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第3讲 简单的三角恒等变换
最新考纲 考向预测
三角恒等变换是三角变换的
工具，主要考查利用两角和与
1.会用向量的数量积推导出两角差的余
差的三角函数公式、二倍角公
弦公式.
式进行三角函数的化简与求
2.能利用两角差的余弦公式导出两角差
值，重在考查化简、求值，公
的正弦、正切公式.
命题趋 式的正用、逆用以及变式运
3.能利用两角差的余弦公式导出两角和
势 用，可单独考查，也可与三角
的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的
函数的图象与性质、向量等知
正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在
识综合考查，加强转化与化归
联系.
思想的应用意识．选择题、填
4.能运用公式进行简单的恒等变换(包
空题、解答题均有可能出现，
括导出积化和差、和差化积、半角公式，
中低档难度.
但对这三组公式不要求记忆).
核心素
逻辑推理、数学运算
养
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__ α cos ____ β ±cos __ α sin ____β；
cos(α∓β)＝cos__ α cos ____ β ±sin __ α sin ____β；
tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__ α cos ____α；
cos 2α＝ cos 2 α － sin 2 α ＝ 2cos 2 α － 1 ＝ 1 － 2sin 2 α ；
tan 2α＝.
3．三角函数公式的关系常用结论
四个必备结论
(1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
(4)辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin (x＋φ)，其中tan φ＝.
常见误区
(1)明确二倍角是相对的，如：是的2倍，3α是的2倍．
(2)解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
(3)运用公式时要注意公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意
升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变形．
(4)在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．特别是在(0，π)内，正弦值
对应的角不唯一．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．( )
(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．( )
(3)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝.( )
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对
任意角α，β都成立．( )
(5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√2．(多选)下面各式中，正确的是( )
A．sin＝sin cos ＋cos
B．cos ＝sin sin －cos cos
C．cos＝cos cos ＋sin sin
D．cos ＝cos －cos
解析：选ABC.因为sin＝sin cos ＋cos ·sin
＝sin cos ＋cos ，所以A正确；
因为cos ＝－cos＝－cos
＝sin sin－cos cos ，所以B正确；
因为cos＝cos＝cos cos ＋sin ·sin ，所以C正确；
因为cos ＝cos≠cos －cos ，所以D不正确．故选ABC.
3．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知2tan θ－tan ＝7，则tan θ＝( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析：选D.由已知得2tan θ－＝7，得tan θ＝2.
4．(2020·高考全国卷Ⅱ)若sin x＝－，则cos 2x＝____________．
解析：因为sin x＝－，所以由二倍角公式，得cos 2x＝1－2sin2x＝1－2×＝.
答案：
5．(易错题)若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝________．
解析：因为α是第三象限角，所以sin α＝－＝－，所以sin＝－×＋×＝－.
答案：－
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
和差公式的直接应用
[题组练透]
1．(2020·高考全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(
)
A. B. C. D.
解析：选A.因为3cos 2α－8cos α＝5，所以3(2cos2α－1)－8cos α＝5，所以
6cos2α－8cos α－8＝0，所以3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝2(舍去)或cos α＝
－，因为α∈(0，π)，所以sin α＝＝.故选A.2．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )
A．－ B. C. D．－
解析：选A.因为sin α＝，α∈，
所以cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
因为tan(π－β)＝＝－tan β，
所以tan β＝－，
则tan(α－β)＝＝－.
3．已知α∈，sin α＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos的值．
解：(1)因为α∈，sin α＝，
所以cos α＝－＝－，
故sin＝sin cos α＋cos sin α
＝×＋×＝－.
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，所
以cos＝cos cos 2α＋sin sin 2α＝×＋×＝－.
三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律
例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反．”
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
三角函数公式的逆用与变形应用
(1)(多选)下列各式中，值为的是( )
A.
B．cos2－sin2
C．cos 42°sin 78°＋sin 42°cos 78°
D.
(2)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为( )
A．－ B. C. D．－
【解析】 (1)因为＝＝cos 60°＝；cos2－sin2＝cos ＝；cos 42°sin 78°＋sin 42°cos 78°＝sin(78°＋42°)＝sin 120°＝；
＝tan 30°＝.所以值为的是BC.故选BC.
(2)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，
即tan(A＋B)＝－1，又(A＋B)∈(0，π)，
所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.
【答案】 (1)BC (2)B
(1)三角函数公式活用技巧
①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；
②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以
知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．
(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题
①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；
②注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特
殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．
1．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝( )
A. B. C. D.
解析：选B.因为sin θ＋sin ＝sin θ＋cos θ＝sin ＝1，
所以sin ＝，故选B.
2．(2020·山东菏泽一中月考)sin2＋sin2－sin2α＝( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选C.原式＝＋－sin2α＝1－·[cos＋cos]－sin2α＝1－cos 2αcos －sin2α＝
1－－＝.
三角公式的灵活应用
角度一 三角函数公式中变“角”
(1)(多选)若tan＝2，则( )
A．tan α＝ B．tan α＝
C．tan 2α＝ D．tan 2α＝
(2)(2020·百校联盟1月联考)已知α，β都是锐角，cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则
cos 2α＝________．【解析】 (1)tan α＝tan＝
＝＝，tan 2α＝＝.故选BD.
(2)因为α，β都是锐角，所以0<α＋β<π，－<α－β<，
又因为cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，
所以sin(α＋β)＝，cos(α－β)＝，
则cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝
×－×＝－.
【答案】 (1)BD (2)－
(1)三角公式求值中变角的解题思路
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差
的形式；
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差
的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(2)常见的配角技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．
角度二 三角函数公式中变“名”
求值：－sin 10°.
【解】 原式＝－sin 10°
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝
＝＝＝.
三角函数名的变换技巧
明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、
余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
1．求4sin 20°＋tan 20°的值为________．
解析：原式＝4sin 20°＋
＝＝
＝＝.答案：
2．已知sin α＝－，α∈，若＝2，则tan(α＋β)＝________．
解析：因为sin α＝－，α∈，所以cos α＝.
又因为＝2，
所以sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]．
展开并整理，得cos(α＋β)＝sin(α＋β)，
所以tan(α＋β)＝.
答案：
[A级 基础练]
1.若sin θ＝cos(2π－θ)，则tan 2θ＝( )
A．－ B. C．－ D.
解析：选C.因为sin θ＝cos(2π－θ)＝cos θ，所以tan θ＝，所以tan 2θ＝＝＝－.
2．(多选)下列四个命题中是真命题的是( )
A．∃x∈R，sin2＋cos2＝
B．∃x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y
C．∀x∈[0，π], ＝sin x
D．sin x＝cos y x＋y＝
解析：选BC.因为sin2＋cos2＝1≠，所以A为假命题；当x＝y＝0时，sin(x－y)
⇒
＝sin x－sin y，所以B为真命题；因为 ＝ ＝|sin x|＝sin x，x∈[0，π]，所以C为真
命题；当x＝，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠，所以D为假命题．故选BC.
3.的值为( )
A． B．
C．－ D．－
解析：选B.原式＝
＝＝tan(45°＋15°)＝.
4．(2020·陕西榆林模拟)已知＝3cos(2π＋θ)，|θ|<，则sin 2θ＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C.因为＝3cos(2π＋θ)，所以＝3cos θ.
又|θ|<，故sin θ＝，cos θ＝，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝，
故选C.
5．若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝( )
A. B.
C.或 D.或
解析：选A.因为α，β都是锐角，且cos α＝<，
所以<α<，sin α＝＝，
又sin(α＋β)＝<，
所以<α＋β<π，所以cos(α＋β)＝－＝－.
cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝，故选A.
6．已知sin＝，α∈，则cos的值为________．
解析：由已知得cos α＝，又α∈，所以sin α＝－，
所以cos＝cos α＋sin α＝－.
答案：－
7．(2020·洛阳统考)已知sin α＋cos α＝，则cos 4α＝________．
解析：由sin α＋cos α＝，得sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，所以sin
2α＝，从而cos 4α＝1－2sin22α＝1－2×＝.
答案：
8．(2020·甘肃、青海、宁夏联考改编)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋
β)＝________，tan α＝________．
解析：因为tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，
所以tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝
＝＝－1.tan α＝tan(α＋β－β)＝＝＝.
答案：－1
9．已知α∈，tan α＝，求tan 2α和sin的值．
解：因为tan α＝，
所以tan 2α＝＝＝.
且＝，即cos α＝2sin α.
又sin2α＋cos2α＝1，所以5sin2α＝1.
又α∈，所以sin α＝，cos α＝.
所以sin＝sin αcos －cos αsin
＝×－×＝－.10．已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cos β的值．
解：(1)因为α，β∈，所以－<α－β<.
又因为tan(α－β)＝－<0，
所以－<α－β<0，
即sin(α－β)＝－cos(α－β)，
又sin2 (α－β)＋cos2(α－β)＝1，
解得cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－.
(2)由(1)可得，cos(α－β)＝，
因为α为锐角，且sin α＝，所以cos α＝.
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin α·sin(α－β)＝×＋×＝.
[B级 综合练]
11．(2020·河南百校联盟联考)已知α为第二象限角，且tan α＋tan ＝2tan αtan
－2，则sin＝( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选C.tan α＋tan ＝2tan αtan －2 ＝－2 tan＝－2，因为α为第二象限
角，所以sin＝，cos＝－，则sin＝－sin＝－sin＝cossin －sin·cos ＝－.
⇒ ⇒
12．已知coscos＝，则sin4θ＋cos4θ的值为________．
解析：因为coscos
＝
＝(cos2θ－sin2θ)＝cos 2θ＝.
所以cos 2θ＝.
故sin4θ＋cos4θ＝＋＝＋＝.
答案：
13．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过
点P.
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
解：(1)由角α的终边过点P，得sin α＝－，所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
(2)由角α的终边过点P，得cos α＝－，由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α得
cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.
14．已知函数f(x)＝sin，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f的值．
解：(1)f＝sin＝sin＝－.
(2)f＝sin
＝sin＝(sin 2θ－cos 2θ)．
因为cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝，
cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝，
所以f＝(sin 2θ－cos 2θ)
＝×＝.
[C级 创新练]
15．(2020·湖南岳阳一中月考)黄金三角形就是一个等腰三角形，其顶角为
36°，底角为72°，底与腰的长度比值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2cos
72°.若n＝cos 36° cos 72°cos 144°，则mn＝( )
A．－1 B. C．－ D．1
解析：选C.因为 m＝2cos 72°，n＝cos 36°cos 72°cos 144°，所以 mn＝2cos
72°cos 36°cos 72°cos 144°＝2sin 18°·cos 36°cos 72°cos 144°＝＝＝＝＝＝＝－，即
mn＝－.故选C.
16．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－
2β)的取值范围为________．
解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，
又α，β∈[0，π]，所以α－β＝，
所以即≤α≤π，
所以sin(2α－β)＋sin(α－2β)
＝sin＋sin(α－2α＋π)
＝cos α＋sin α＝sin.
因为≤α≤π，所以≤α＋≤，所以－1≤sin≤1，即取值范围为[－1，1]．
答案：[－1，1]
