北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
专题十 计数原理
一、单项选择题
1.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位
于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 (
)
A.24 B.18 C.12 D.9
答案 B 分两步,第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路径;第二步,从F→G,有3
条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3=18条可以选择的最短路径.故
选B.
2.(2023届黑龙江牡丹江二中段考一,2)若3个班级分别从6个风景点中选择一处游览,
则不同选法有 ( )
A.A3种B.C3种C.36种 D.63种
6 6
答案 D 每个班级有6种选法,则3个班级有6×6×6=63种不同的选法.故选D.
3.(2023届贵阳一中月考一,5)二项式定理,又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664
年—1665年间提出,据考证,我国至迟在11世纪,北宋数学家贾宪就已经知道了二项式
系数法则.在 ( x2+ 1 ) 5 的展开式中,x的系数为( )
2x
5 5 5
A.10 B. C. D.
2 4 8
答案 C ( x2+ 1 ) 5 的展开式的通项为T =Ck(x2)5k ( 1 ) k =Ck(1) k
2x k+1 5 2x 5 2
x103k(k=0,1,2,3,4,5),令10-3k=1,解得k=3,所以在 ( x2+ 1 ) 5 的展开式中,x的系数为
2x
C3×
(1) 3
=
5
.故选C.
5 2 4
( 1 ) 8
4.(2022河南开封模拟,4) x− 的展开式中所有有理项的系数和为 ( )
√3 x
A.85 B.29 C.-27 D.-84北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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答案 C ( x− √3 1 x ) 8 展开式的通项为T r+1 =C 8 rx8−r ( − √3 1 x ) r =(-1)r C 8 rx 8− 4 3 r ,其中
r=0,1,2,3,4,5,6,7,8.当r=0,3,6时,T 为有理项,故有理项系数和为(-1)0C0 +(-1)3C3 +
r+1 8 8
(-1)6C6 =1+(-56)+28=-27,故选C.
8
5.(2023届哈尔滨质检,5)小张接到5项工作,要在周一、周二、周三、周四这4天中完
成,每天至少完成1项,且周一只能完成其中1项工作,则不同的安排方式有 ( )
A.180种 B.480种 C.90种D.120种
答案 A 首先从5项工作中选一项安排到周一,再从其余4项工作中选出2项作为一
个整体,最后将这三组安排到周二、周三、周四三天,则不同的安排方式有C1C2A3
5 4 3
=180种.故选A.
6.(2023届四川南江中学阶段测试,9)4张卡片的正、反面分别写有数字
1,2;1,3;4,5;6,7.将这4张卡片排成一排,可构成不同的四位数的个数为 ( )
A.288 B.336 C.368 D.412
答案 B 当四位数中不出现1时,排法有C1×C1×A4 =96种;
2 2 4
当四位数中出现一个1时,排法有2×C1×C1×A4 =192种;
2 2 4
当四位数中出现两个1时,排法有C1×C1×A2 =48种.
2 2 4
所以可构成不同的四位数的个数为96+192+48=336.故选B.
7.(2022湖北荆门龙泉中学二模,3)若今天(第一天)是星期二,则第1510天是 ( )
A.星期三 B.星期日
C.星期二 D.星期五
答案 C 1510=(14+1)10的展开式的通项为T =Cr 1410-r,又14可被7整除,所以当10-
r+1 10
r≠0时,T 均可被7整除,当10-r=0时,T =1,所以第1510天是星期二.故选C.
r+1 11
8.(2023届黑龙江牡丹江二中段考一,8)若(1-2x)5=a +a x+a x2+a x3+a x4+a x5,则|a |+|a |+|
0 1 2 3 4 5 0 1
a |+|a |+|a |+|a |= ( )
2 3 4 5
A.1 B.32 C.81 D.243
答案 D 因为-2<0,所以x的奇数次幂的系数a ,a ,a 均为负数,即|a |=-a ,|a |=-a ,|a |
1 3 5 1 1 3 3 5
=-a ,令x=-1,可得a -a +a -a +a -a =35=243,即|a |+|a |+|a |+|a |+|a |+|a |=243,故选D.
5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
二、多项选择题
9.(2022重庆巴蜀中学3月适应性月考(八),11)若122 022+a能被7整除,则整数a的值可
以是 ( )
A.4 B.6 C.11 D.13
答案 BD 122 022=(14-2)2 022与(-2)2 022=22 022被7除同余,22 022=8674=(7+1)674被7除余1,
故1+a能被7整除,则a=7k+6(k∈Z),故选BD.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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10.(2022湖南新高考教学教研联盟联考一,10)已知(1+x)n=a +a x+a x2+a x3+…
0 1 2 3
+a xn(n∈N*),则下列结论正确的是( )
n
A.a =a
0 n
B.当a =10时,n=5
3
C.若(1+x)n(n∈N*)的展开式中第7项的二项式系数最大,则n等于12或13
a a a a 65
D.当n=4时, 1+ 2+ 3+ 4 =
2 4 8 16 16
答案 ABD a =a =1,A正确;
0 n
x3的系数a =C3,则C3 =10,所以n=5,B正确;
3 n n
若(1+x)n(n∈N*)的展开式中第7项的二项式系数最大,当n为偶数时,n等于12,当n为
奇数时,n等于11或13,C错误;
当n=4时,(1+x)4=a +a x+a x2+a x3+a x4.
0 1 2 3 4
令x= 1 ,则 ( 1+ 1) 4 =a0+ a 1+ a 2+ a 3+ a 4 = 81 ,又a =1,
2 2 2 4 8 16 16 0
a a a a 65
所以 1+ 2+ 3+ 4 = ,D正确.故选ABD.
2 4 8 16 16
11.(2021江苏百校联考4月调研,11)设(1-2x)29=a +a x+a x2+…+a x29,则下列结论正确
0 1 2 29
的是 ( )
A.a +a >0
15 16
B.a +a +a +…+a =-1
1 2 3 29
1+329
C.a +a +a +…+a =-
1 3 5 29
2
D.a +2a +3a +…+29a =-58
1 2 3 29
答案 ACD 对于选项A,a +a =C15(-2)15+C16(-2)16>0,故选项A正确;对于选项B,令
15 16 29 29
x=0,可得a =1,令x=1,得a +a +…+a =-1,所以a +a +…+a =-2,故选项B错误;对于选
0 0 1 29 1 2 29
项C,令x=-1,得a -a +a -a +…-a =329,则2(a +a +…+a )=-1-329,故选项C正确;对于选
0 1 2 3 29 1 3 29
项D,在等式两边对x求导可得-58(1-2x)28=a +2a x+…+29a x28,令x=1,可得a +2a +…
1 2 29 1 2
+29a =-58,故选项D正确.故选ACD.
29
12.(2022山东滨州邹平一中3月月考,9)如图,在某城市中,M,N两地之间有整齐的方格
形道路网,其中A ,A ,A ,A 是道路网中位于一条对角线上的4个交会处.今在道路网
1 2 3 4北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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M,N处的甲、乙两人分别要到N,M处,他们分别随机地选择一条沿街的最短路径,以相
同的速度同时出发,直到到达N,M处为止,则下列说法正确的有( )
A.甲从M到达N处的方法有120种
B.甲从M必须经过A 到达N处的方法有9种
3
9
C.甲、乙两人在A 处相遇的概率为
3 100
41
D.甲、乙两人相遇的概率为
100
答案 BD 对于A,甲从M到达N处,需要走6步,其中向上3步,向右3步,所以从M
到达N处的方法有C3 =20种,故A错误;对于B,甲从M到达A ,需要走3步,其中向上1
6 3
步,向右2步,共C1 =3种,从A 到达N,需要走3步,其中向上2步,向右1步,共C1 =3种,
3 3 3
所以甲从M必须经过A 到达N处的方法有3×3=9种,故B正确;对于C,甲经过A 的方
3 3
法数为C1×C1 =9,乙经过A 的方法数为C1×C1 =9,所以甲、乙两人在A 处相遇的方法
3 3 3 3 3 3
81 81
数为C1×C1×C1×C1 =81种,故甲、乙两人在A 处相遇的概率P= = ,故C错
3 3 3 3 3 C3C3 400
6 6
误;对于D,甲、乙两人沿着最短路径行走,只能在A ,A ,A ,A 处相遇,若甲、乙两人在
1 2 3 4
A 处相遇,甲经过A 处,前3步必须向上走,乙经过A 处,则前3步必须向左走,两人在
1 1 1
A 处相遇走法有1种,若甲、乙两人在A 或A 处相遇,由选项C知,各有
1 2 3
C1×C1×C1×C1 =81种,若甲、乙两人在A 处相遇,甲经过A 处,则前3步必须向右走,
3 3 3 3 4 4
乙经过A 处,则乙前3步必须向下走,则两人在A 处相遇的走法有1种.所以甲、乙两人
4 4
1+81+81+1 164 41
= =
相遇的概率P= ,故D正确.故选BD.
C3C3 400 100
6 6
三、填空题
13.(2023届成都七中万达学校9月月考,14)(5-3x+2y)n的展开式中不含y的项的系数和
为64,则展开式中的常数项为 .
答案 15 625
解析 (5-3x+2y)n的展开式中不含y的项,即展开式中y的指数为0,即(5-3x)n的展开式.
令x=1,得(5-3x+2y)n的展开式中不含y的项的系数和为(5-3)n=64,所以n=6.因为(5-
3x+2y)6=[5-(3x-2y)]6,所以展开式中的常数项为C0 ×56=15 625.
6
14.(2023届陕西师范大学附属中学期中,16)已知(a2+1)n的展开式中各项系数之和等于
(16 x2+ 1 ) 5
的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的二项式系数最大的项为54,则正
5 √x
数a的值为 .
答案 √3北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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解析
(16 x2+ 1 ) 5
的展开式的通项为T =
5 √x r+1
Cr·
(16) 5−r
·x10−2r·x
−
2
r
=
(16) 5−r
·Cr·x
10− 5
2
r
,0≤r≤5,r∈Z.
5 5 5 5
令10-
5r
=0,解得r=4,故
(16 x2+ 1 ) 5
的展开式的常数项为
16 ×C4
=16.
2 5 √x 5 5
令a2=1,则(a2+1)n=2n=16,故n=4.∵(a2+1)n=(a2+1)4的展开式的二项式系数最大的项为
C2 a4=54,∴a2=3,解得a=±√3.∵a>0,∴a=√3.
4
15.(2022福建漳州三模,13)711除以6的余数是 .
答案 1
解析 711=(1+6)11=C0 60+C1 61+C2 62+…+C11 611,
11 11 11 11
因为C1 61+C2 62+…+C11 611可被6整除且C0 60=1,
11 11 11 11
所以711除以6的余数是1.
16.(2018课标Ⅰ,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女
生入选,则不同的选法共有 种.(用数字填写答案)
答案 16
解析 解法一:从2位女生,4位男生中选3人,且至少有1位女生入选的情况有以下2
种:
①2女1男:有C2C1 =4种选法;
2 4
②1女2男:有C1C2 =12种选法,
2 4
故至少有1位女生入选的选法有4+12=16种.
解法二:从2位女生,4位男生中选3人有C3 =20种选法,其中选出的3人都是男生的选
6
法有C3 =4种,所以至少有1位女生入选的选法有20-4=16种.
4
