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开学自我检测 02（中）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出集合 后利用交集的定义可求 .
【详解】 ，又 ，故 ，
故选：C.
2．已知 ，其中 为虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据题意，由复数的数字运算即可得到 ，从而得到 以及 ，即可得到结果.
【详解】∵ ， ， ， ，
故选:A．
3．数学试题）已知 ，若 与 的夹角为120°，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据投影向量的定义，结合数量积的运算即可求解.
【详解】 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1在 上的投影向量为 ，
故选：C
4．某人设计的一个密码由2个英文字母（不分大小写）后接2个数字组成，且2个英文字母不相同，2个
数字也互不相同，则该密码可能的个数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由分步计数原理，把选择26个不同英文字母的排列数与选择2个不同数字的排列数相乘即可.
【详解】因为英文字母有26个，所以2个不同英文字母的排列有 种，
因为数字有10个，所以2个不同数字的排列有 种，
由分步计数原理，所以该密码可能的个数是 .
故选：C
5．如图，已知直线 ， 为 之间一定点，并且点 到 的距离为2，到 的距离为1. 为直线 上
一动点，作 ，且使 与直线 交于点 ，则 面积的最小值为（ ）
△
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立直角坐标系．直线 的斜率存在，设方程为： ， ，直线 的方程为：
，可得 的面积 ，再利用基本不等式的性质即可得出．或者利用锐角三角函数，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2结合二倍角公式以及三角函数的性质及可求解.
【详解】解法一：不妨将图形顺时针旋转 ，然后以点 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
直线 的斜率存在，设方程为： ， ．
则直线 的方程为： ，
， ．
的面积 ，
当且仅当 时取等号．
的面积最小值为2．
故选：C．
解法二：
设角 则 ，故
所以 的面积
由于 ，所以 ，故当 时，面积取最小值2，
故选：C
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 36．数列 中， ，对任意正整数 都满足 ，数列 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题设 ，即得 ，结合已知
等量关系及等比数列前n项和列方程求参数.
【详解】由题意 ，
又 ，则 ， ，…， ，
累加得 ，
所以 ，则 ，可得 .
故选：C
7．设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的性质及导函数求函数单调性，利用中间量法求得各值的范围，即可得解.
【详解】∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∵ ， ，
构造 ， ，
故 在 上单调递减，所以 ，即 ，
故 ，从而 ，∴ .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4故选:A．
8．已知椭圆 ，点 在椭圆 上，满足在椭圆 上存在一点 到直线 的
距离均为 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，根据距离公式可得 是关于 的方程
的两个实根，整理得关于 的一元二次方程，根据韦达定理可得 ，求解
得 ，结合不等式即可得最大值.
【详解】
由题可设 ，
则 到直线 的距离为 ， 到直线 的距离为 ，
所以 是关于 的方程 的两个实根，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5该方程即 ，于是 ．
又 ，所以 ，同理 ，
所以
．
当且仅当 时等号成立，所以 的最大值是 .
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．如图，矩形ABCD中， ，E是边AB的中点，将 沿直线DE翻折成 （点 不落
在底面BCDE内），连接 、 .若M为线段 的中点，则在 的翻折过程中，以下结论正确的
是（ ）
A． 平面 恒成立 B．存在某个位置，使
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6C．线段BM的长为定值 D．
【答案】AC
【分析】根据面面平行的判定定理和性质，结合线面垂直的判定定理、棱锥体积公式、余弦定理逐一判断
即可.
【详解】设 的中点为 ，连接 、 ，
因为M为线段 的中点，所以 ，
而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为在矩形ABCD中， ， 的中点为 ，所以 ，
同理可证 平面 ，因为 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，而 平面 ，
所以有 平面 恒成立，因此选项A正确；
设点 在底面 的射影为 ，连接 ，
因为在矩形ABCD中， ，E是边AB的中点，
所以有 ，因此有 ，而 ，
显然 与 不垂直，
假设存在某个位置，使 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，
所以 ，这与 与 不垂直，因此选项B不正确；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7在矩形ABCD中， ，E是边AB的中点，
所以 ，显然有 ，
由余弦定理可知： ，
因为 ， ，
所以线段BM的长为定值，因此选项C正确；
，因此选项D不正确，
故选：AC
10．已知抛物线 经过点 ，其焦点为 ，过点 的直线 与抛物线交于点 ，
，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由 点坐标代入求出 ，即可求出抛物线方程与焦点坐标，设直线 ，联立直线与抛物
线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦公式判断B，根据数量积的坐标表示判断C，根据斜率公式判
断D.
【详解】因为抛物线 经过点 ，所以 ，解得 ，故A正确；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8所以抛物线方程为 ，则焦点 ，
设直线 ，则 ，消去 整理得 ，
则 ，所以 ， ，
则 ，
，
所以 ，故B正确；
所以 ， ，所以 ，故C错误；
，故D正确；
故选：ABD
11．若函数 ， ，满足对 均有 ，则 的取值不可能
为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】AB
【分析】将问题转化为两个函数的零点重合，得出 转化单变量的函数最值问题，求导计算即可.
【详解】条件对 均有 恒成立，等价于 ，
易知 ， 与 均在定义域内单调递增，
且由 ，故 时 ，
若要满足题意，只需两函数的零点相同即可，则
令 ，即 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9则 ，令 ，则 ， ，即 在
上单调递减， 上单调递增，
，显然A、B不可能，C、D可能
故选：AB
12．猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名
相互独立，猜对三首歌曲 歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金分别是：猜对歌曲A的概率为
0.8，可获公益基金1千元；猜对歌曲 的概率为0.5，可获公益基金2千元；猜对歌曲 的概率为0.5，可
获公益基金3千元．规则如下：按照 的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，记嘉
宾获得的公益基金总额为 千元，则（ ）
A．
B．
C．
D．获得公益基金的期望值与猜歌顺序无关
【答案】BC
【分析】确定X的取值，求得每个值对应概率，可判断A；继而可求得期望和方差，根据期望和方差的性
质可判断B，C；再求出按照 的顺序猜时的期望值，比较可判断D.
【详解】由题意，可分别用 表示猜对三首歌曲 歌名的的事件，则 相互独立，
按照 的顺序猜，则X的取值可能为 ，
则 ， ，
， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10则 ，
，
故 ， ，
由此可知A错误；B正确，C正确；
假设按照 的顺序猜，设Y表示此时获得的公益基金总额
则 ， ，
， ，
则 ，
与按照 的顺序猜的期望值不同，故D错误，
故选：BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 的展开式中，含 项的系数是 .
【答案】116
【分析】利用二项展开式的通项公式，找出含有 的项，即可求得 项的系数.
【详解】因为 的二项展开式的通项公式为 ，
在 的展开式中，
令 ，则含 项的系数为 .
故答案为：
14．设 ， 为两个随机事件，
①若 ， 是互斥事件 ， ，则 ；
②若 ， 是对立事件，则 ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11③若 ， 是独立事件， ， ，则 ；
④若 ， ，且 ，则 ， 是独立事件.
以上命题正确的序号为 .（填写序号）
【答案】②③④
【分析】根据互斥事件的概率加法公式，对立事件的性质以及独立事件的概率乘法公式，可得答案.
【详解】①：由 是互斥事件，则 ，故①错误；
②：由 是对立事件，则 为必然事件，即 ，故②正确；
③：由 是独立事件，则 也是互相独立的，
即 ，故③正确；
④：由 ， ，
则 相互独立，即 相互独立，故④正确.
故答案为：②③④.
15．如图所示，斜率为 的直线 交椭圆 于M、N两点，交 轴、 轴分别于Q、P
两点，且 ，则椭圆的离心率为 ．
【答案】 /0.5
【分析】数形结合，表示出M、N点的坐标，代入方程 ，找到 的关系，再结合
，即可求解椭圆的离心率；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12【详解】设直线 由图可知， ，
又因为 ，设 在 轴上投影长度为 ，
所以
代入 ，解得： ，
上式除以下式得： ，
等式两边同时除以 ，解得： 即：
又因为 ，解得 ，所以椭圆的离心率为 ，
故答案为： ；
16．已知函数 ，函数 有三个不同的零点 ，且 ，则实
数 的取值范围是 ； 的取值范围是
【答案】
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13【分析】分析分段函数的性质，画出 草图，易知 有三个不同的零点 ，
有 ，进而可得 ，即可求范围.
【详解】由题设，当 时， ，
当 时， ，当且仅当 时等号成立，
故 ，又 ，当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， 单调递增，且 ，
综上可得如下函数图象：
要使 有三个不同的零点 ，则 ，
所以实数 的取值范围是 ；
由图知：当 时，有 ，当 时，令 ，则 ，
有 ， ，
所以 且 ，而 在 上递减，
所以 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14故答案为： ；
【点睛】方法点睛：已知方程根的个数，求参数的取值范围的常用方法：
（1）直接法：直接根据题设条件列出关于参数的不等式，求解即可得出参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题进行求解；
（3）数形结合法：对解析式适当变形，构造两个函数，在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象，
其交点的个数就是方程根的个数，然后数形结合求解．常见类型有两种：一种是转化为直线与函数的图象
的交点个数问题；另一种是转化为两个函数的图象的交点个数问题.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．如图，在 中， ， ， .
(1)求 的长度；
(2)在边 上取一点 ，使 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在 中，由余弦定理求解即可；
（2）设 ， ，利用余弦定理表示出 和 ，再结合
即可解出 ，进而利用面积公式求解即可.
【详解】（1）在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
所以 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15（2）设 ，则 ，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
由 ，
即 ，解得 ，
所以 ， ， ，
所以 ，
所以 的面积为 .
18．已知等差数列 前 项和为 ，满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若等比数列 前 项和为 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，设
，求数列 的前 项和 ．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： ．
【答案】(1)
(2)见解析
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解；
（2）根据等比数列的基本量计算，等差等比数列的求和公式，利用分组求和即可求解.
【详解】（1）设等差首项和公差分别为 ，
由 得 ，
所以 ；
（2）设等比首项和公差分别为 ，
若选①②，由 得 ；
由 得 ，
所以公比为 ，故 ，
故 ，
故 ；
若选②③，
由 可知公比不为1，所以 ，
由 得 ，
所以 ，
故 ，
故 ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17若选①③，由 可知公比不为1，所以 ，
由 得 ；
所以 ，
故 ，
故 .
19．如图，在等腰直角三角形 中， ， ， ， ， 分别是 ， 上的点，且
， ， 分别为 ， 的中点，现将 沿 折起，得到四棱锥 ，连结 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)在翻折的过程中，当 时，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，利用面面平行的判定证明平面 平面 ，再利
用面面平行的性质即可证明；
（2）以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，利用面面角的空间向量求法即
可得到答案.
【详解】（1）在四棱锥 中，取 的中点 ，连接 ， ，
因为 ， 分别为 ， 的中点， ，则 ， ，
因为 平面 ， 平面 ，则 平面 ，同理可得， 平面 ，
又 ， ， 平面 ，故平面 平面 ，因为 平面 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18故 平面 ；
（2）因为在等腰直角三角形 中， ， ，
所以 ，则在四棱锥 中， ， ，
因为 ，则 ， ，又 ， 平面 ，
故 平面 ，又 平面 ，故 ，
因为 ， ， ，则 ，所以 ，故 ．
以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则：
， ， ， ，故 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，故 ；
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，故 ，
所以 ，
故平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
20．2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年．某市统计了该市4个地区的外来
务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格：
区 区 区 区
外来务工人数 万 3 4 5 6
就地过年人数 2.5 3 4 4.5
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19万
(1)请用相关系数说明 与 之间的关系可用线性回归模型拟合，并求 关于 的线性回归方程 和
A区的残差
(2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴．
①若该市 区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给 区就地过年的人员发放的补
贴总金额；
②若 区的外来务工人员中甲、乙选择就地过年的概率分别为 ，其中 ，该市政府对甲、
乙两人的补贴总金额的期望不超过1400元，求 的取值范围．
参考公式：相关系数 ，
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ．
【答案】(1)答案见解析， ，0.05
(2)①1750（万元）；②
【分析】（1）根据表中数据和题设给出的计算公式可求相关系数，故可用线性回归模型拟合 与 之间的
关系，求出回归方程后可求残差.
（2）①结合（1）的回归方程可估计补贴总金额；②利用独立事件的概率公式可求补贴总金额的分布列，
求出其期望后可求 的取值范围.
【详解】（1）由题， ，
，
， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20所以相关系数 ，
因为 与 之间的相关系数近似为0.99，说明 与 之间的线性相关程度非常强，
所以可用线性回归模型拟合 与 之间的关系．
，
故 关于 的线性回归方程为 ．
∵ ，∴ ，故A区的残差为0.05.
（2）（2）①将 代入 ，得 ，
故估计该市政府需要给 区就地过年的人员发放的补贴总金额为 （万元）．
②设甲、乙两人中选择就地过年的人数为 ，则 的所有可能取值为0，1，2，
，
，
．
所以 ，
所以 ，
由 ，得 ，又 ，所以 ，
故 的取值范围为 ．
21．已知函数 .
(1)若 ，求函数 的单调增区间;
(2)若 时，不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围;
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导得到 ，得到单调区间.
（2）变换得到 ，设 ，求导得到单调区间，计算最值得到答案.
【详解】（1）由题意得: 时， ，
，
令 ，解得: 或 ，故 的单调递增区间为 .
（2） 在 上恒成立，，
即 在区间 恒成立，
设 ， ，则 ，
令 ，解得 ，此时 单调递增，
令 ，解得 ，此时 单调递减，
故 .
故 .
22．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，A，B分别是C的右、上顶点，且
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22，D是C上一点， 周长的最大值为8.
(1)求C的方程；
(2)C的弦 过 ，直线 ， 分别交直线 于M，N两点，P是线段 的中点，证明：以
为直径的圆过定点.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据椭圆的定义结合三角形不等式求解即可；
（2）设 ，直线 ，联立直线与椭圆的方程，根据过两点圆的方程，结合图
形的对称性可得定点在 轴上，代入韦达定理求解即可.
【详解】（1）依题意， ，
周长 ，当且仅当 三点共线时等号成立，
故 ，
所以 ，所以 的方程 ；
（2）设 ，直线 ，代入 ，整理得 ，
， ，
易知 ，令 ，得 ，同得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23从而中点 ，
以 为直径的圆为 ，
由对称性可知，定点必在 轴上，
令 得， ，
，
所以 ，即 ，因为 ，
所以 ，即 ，
解得 ，所以圆过定点 .
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24（4）将所求问题或题中的关系转化为 ， （或 ， ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25
