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开学自我检测 03（难）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 ， ， ， ，并且 ，则 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 及其导数 满足 ，则 的图象在点 处的切线斜率为
（ ）
A．4 B． C．12 D．
4．若 ， ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是
用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形 是边长为1
的正方形，且 ， 均为正三角形， ， ，则该木楔子的体积为（ ）
A． B． C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16．已知直线 与抛物线 交于 两点，与圆 交于 两点， 在 轴的
同侧，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，函数 的图象和函数 的图象有两个公共点
B．当 时，函数 的图象和函数 的图象只有一个公共点
C．当 或 时，函数 的图象和函数 的图象没有公共点
D．当 时，函数 的图象和函数 的图象只有一个公共点
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，我国社会物流需求不断增加，物流行业前景广
阔.社会物流总费用与GDP的比率是反映地区物流发展水平的指标，下面是 年我国社会物流总
费用与GDP的比率统计，则（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2A． 这5年我国社会物流总费用逐年增长，且2021年增长的最多
B． 这6年我国社会物流总费用的 分位数为14.9万亿元
C． 这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为
D．2022年我国的GDP超过了121万亿元
10．已知在数列 中， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 可能是等差数列
C． D．若 ，则 是递增数列
11．已知函数 满足 ，则下列
结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 为偶函数
D．曲线 在 处的切线斜率为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 312．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 且 ，点 在椭圆内部，点
在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A． 的最小值为
B．椭圆 的短轴长可能为2
C．椭圆 的离心率的取值范围为
D．若 ，则椭圆 的长半轴长为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若 ， 是两个单位向量，且 在 上的投影向量为 ，则 与 的夹角的余弦
值为_____．
14．在 的展开式中存在常数项，写出一个满足条件的 的值是_____.
15．已知二面角 的大小为 ，该二面角内一点 到 、 的距离分别为 和 ，则 到 的距离
为_____．
16．数列 中的所有项排成如下数阵：
已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数 ， ， ， 成等差数列，且 ， ，从
第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以 为公比的等比数列．
① ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4② 在第 列；
③ ；
④ ．
以上正确结论的序号是_____ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．已知数列 为等差数列，数列 为等比数列，且 ，若
．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设由 ， 的公共项构成的新数列记为 ，求数列 的前5项之和 ．
18．已知在锐角 中，角 所对应的边分别为 .在下列三个条件：
① ，且 ；
② ；
③ 中任选一个，回答下列问题.（若选择多个条件分别解答，则按第一个
解答计分）
(1)求角 ；
(2)若 ，求 内切圆的半径.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 519．已知双曲线 与点 .
(1)求过点 的弦 ，使得 的中点为 ；
(2)在（1）的前提下，如果线段 的垂直平分线与双曲线交于 、 两点，证明： 、 、 、 四点
共圆.
20．已知函数 .
(1)若 在 恒成立，求a的取值范围；
(2)若 ，求证：函数 的图象在函数 图象的下方.
21．如图，在三棱柱 中，底面是边长为2的等边三角形， 分别是线段 的
中点， 在平面 内的射影为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6(1)求证： 平面 ；
(2)若点 为棱 的中点，求点 到平面 的距离；
(3)若点 为线段 上的动点（不包括端点），求锐二面角 的余弦值的取值范围.
22．某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有A，B，C，D这4个选项，4个选项中仅有两
个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试
过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为
，并且规定若第 题正确选项为两个，则第 题正确选项为两个的概率为 ；第
题正确选项为三个，则第 题正确选项为三个的概率为 .
(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；
(2)求第n题正确选项为两个的概率；
(3)若第n题只选择B、C两个选项，设Y表示第n题得分，求证： .
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