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开学自我检测 01（易）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已经集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
3．已知向量 不共线，且向量 与 共线，则实数 的值为（ ）
A． 或 B． 或1 C． 或2 D．1或2
4．已知 是定义在R上的减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名建筑事务所steynstudio完成的．若将如图所示的双曲线
大教堂外形弧线的一段近似看成 下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线方程为
，则此双曲线的离心率为（ ）
A．4 B． C．2 D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16．过坐标原点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．2
7．若数列 和 满足 ， ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
8．设函数 ，则（ ）
A． 且 在 单调递增
B． 且 在 单调递减
C． 且 在 单调递增
D． 且 在 单调递减
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．少年强则国强，少年智则国智，党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，
提高学生身体素质，为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数
据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．样本的众数为65
B．该校学生中低于65kg的学生大约为1200人
C．样本的第80百分位数为72.5
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2D．样本的平均值为66.75
10．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的
能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（ ）
A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级
B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍
C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍
D．记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为an，则数列{an}是等比数列
11．对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 在 处取得极大值
B． 有两个不同的零点
C．
D．若 在 上恒成立，则
12．如图，在圆锥PO中，已知圆O的直径 ，点C是底面圆O上异于A的动点，圆锥的侧面展开图
是圆心角为 的扇形． ，则（ ）
A． 面积的最大值为
B． 的值与 的取值有关
C．三棱锥 体积的最大值为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3D．若 ，AQ与圆锥底面所成的角为 ，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．将数字1，2，3，4填入标号1，2，3，4的四个方格内，每格填1个，则每个方格的标号与所填数字
均不相同的概率是_____．（用最简分数表示）
14．在正四棱锥 中， ，用平行于正四棱锥底面的平面截去一个高为 的四棱锥后，
所得棱台的体积为_____．
15．若函数 在区间 上单调递增，则常数 的一个取值为_____.
16．已知 为坐标原点，直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线 及其准线依次交于
三点（其中点 在 之间），若 .则 的面积是_____.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ， ，且 的平分线
交 于点 ．
(1)求角
(2)求线段AE的长
18．如图，在梯形ABCD中， ， ， ，E为边AD上的点， ， ，
将 沿直线CE翻折到 的位置，且 ，连接PA，PB．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4(1)证明： ；
(2)Q为线段PA上一点，且 ，若二面角 的大小为 ，求实数λ的值．
19．已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，证明： 在 上单调递增；
(3)判断 与 的大小关系，并直接写出结论．
20．已知等比数列 的前 项和为 ，且满足 .
(1)求数列 的通项 ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5(2)在 和 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求证： .
21．“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚物，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实
努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会
切身体会到读书破万卷给予我们的力量，为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了 名学
生进行调查，得到了这 名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成
如图所示的频率分布直方图．
(1)为进一步了解这 名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在 ， ， 三组内
的学生中，采用分层抽样的方法抽取了 人，现从这 人中随机抽取 人，记周平均阅读时间在 内
的学生人数为 ，求 的分布列和数学期望；
(2)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取 名学生(有放回试验)，用 表示这 名学生
中恰有 名学生周平均阅读时间在 内的概率，其中 ．当 最大时，写出 的值．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 622．已知 的焦点为 ，且经过 的直线被圆 截得的线段长度的最小
值为4．
(1)求抛物线的方程；
(2)设坐标原点为 ，若过点 作直线 与抛物线相交于不同的两点 ， ，过点 ， 作抛物线的切线
分别与直线 ， 相交于点 ， ，请问直线 是否经过定点？若是，请求出此定点坐标，若不是，
请说明理由．
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