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开学自我检测 02（中）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，其中 为虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．2
3．数学试题）已知 ，若 与 的夹角为120°，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．某人设计的一个密码由2个英文字母（不分大小写）后接2个数字组成，且2个英文字母不相同，2个
数字也互不相同，则该密码可能的个数是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，已知直线 ， 为 之间一定点，并且点 到 的距离为2，到 的距离为1. 为直线 上
一动点，作 ，且使 与直线 交于点 ，则 面积的最小值为（ ）
△
A． B． C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16．数列 中， ，对任意正整数 都满足 ，数列 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
7．设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知椭圆 ，点 在椭圆 上，满足在椭圆 上存在一点 到直线 的
距离均为 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．如图，矩形ABCD中， ，E是边AB的中点，将 沿直线DE翻折成 （点 不落
在底面BCDE内），连接 、 .若M为线段 的中点，则在 的翻折过程中，以下结论正确的
是（ ）
A． 平面 恒成立 B．存在某个位置，使
C．线段BM的长为定值 D．
10．已知抛物线 经过点 ，其焦点为 ，过点 的直线 与抛物线交于点 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．若函数 ， ，满足对 均有 ，则 的取值不可能
为（ ）
A． B． C． D．9
12．猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名
相互独立，猜对三首歌曲 歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金分别是：猜对歌曲A的概率为
0.8，可获公益基金1千元；猜对歌曲 的概率为0.5，可获公益基金2千元；猜对歌曲 的概率为0.5，可
获公益基金3千元．规则如下：按照 的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，记嘉
宾获得的公益基金总额为 千元，则（ ）
A．
B．
C．
D．获得公益基金的期望值与猜歌顺序无关
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 的展开式中，含 项的系数是_____.
14．设 ， 为两个随机事件，
①若 ， 是互斥事件 ， ，则 ；
②若 ， 是对立事件，则 ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3③若 ， 是独立事件， ， ，则 ；
④若 ， ，且 ，则 ， 是独立事件.
以上命题正确的序号为_____.（填写序号）
15．如图所示，斜率为 的直线 交椭圆 于M、N两点，交 轴、 轴分别于Q、P
两点，且 ，则椭圆的离心率为_____．
16．已知函数 ，函数 有三个不同的零点 ，且 ，则实
数 的取值范围是_____； 的取值范围是_____
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．如图，在
中， ， ， .
(1)求 的长度；
(2)在边 上取一点 ，使 ，求 的面积.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 418．已知等差数列 前 项和为 ，满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若等比数列 前 项和为 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，设
，求数列 的前 项和 ．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： ．
19．如图，在等腰直角三角形 中， ， ， ， ， 分别是 ， 上的点，且
， ， 分别为 ， 的中点，现将 沿 折起，得到四棱锥 ，连结 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)在翻折的过程中，当 时，求平面 与平面 夹角的余弦值．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 520．2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年．某市统计了该市4个地区的外来
务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格：
区 区 区 区
外来务工人数 万 3 4 5 6
就地过年人数
2.5 3 4 4.5
万
(1)请用相关系数说明 与 之间的关系可用线性回归模型拟合，并求 关于 的线性回归方程 和
A区的残差
(2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴．
①若该市 区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给 区就地过年的人员发放的补
贴总金额；
②若 区的外来务工人员中甲、乙选择就地过年的概率分别为 ，其中 ，该市政府对甲、
乙两人的补贴总金额的期望不超过1400元，求 的取值范围．
参考公式：相关系数 ，
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 621．已知函数 .
(1)若 ，求函数 的单调增区间;
(2)若 时，不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围;
22．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，A，B分别是C的右、上顶点，且
，D是C上一点， 周长的最大值为8.
(1)求C的方程；
(2)C的弦 过 ，直线 ， 分别交直线 于M，N两点，P是线段 的中点，证明：以
为直径的圆过定点.
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