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开学自我检测 01（易）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已经集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先计算一元二次不等式求出 ，再根据补集定义求出 ，最后应用交集定义运算求解即可.
【详解】∵ ， ，
∴ 或 ， ，
故选：D．
2．已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的运算法则，化简得到 ，结合复数模的计算公式，即可求解.
【详解】由复数 满足 ，可得 ，所以 .
故选：B.
3．已知向量 不共线，且向量 与 共线，则实数 的值为（ ）
A． 或 B． 或1 C． 或2 D．1或2
【答案】C
【分析】利用平面向量共线基本定理列等式，利用不共线向量相等列方程组求解.
【详解】若向量 与 共线，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1则存在实数 ，使得 ，
又因为向量 ， 不共线，所以 ，解得 或 .
故选：C.
4．已知 是定义在R上的减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分段函数为减函数需满足三个条件，一是上支为减函数，二是下支为减函数，三是下支的最大值
小于或等于上支的下界，列不等式组即可解得.
【详解】要使函数 在R上为减函数，
需满足 ，解得 .
故选：D．
5．惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名建筑事务所steynstudio完成的．若将如图所示的双曲线
大教堂外形弧线的一段近似看成 下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线方程为
，则此双曲线的离心率为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】首先根据双曲线的渐近线方程得到 ，从而得到 ， ， ，再求离心率即可.
【详解】双曲线 ， ， ，
因为双曲线的一条渐近线方程为 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ， ， .
故选：D.
6．过坐标原点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据题意可得 为等边三角形，可得结果.
【详解】圆 化为标准方程为 ，
其圆心为 ，半径为1，
由题意知， , , , ,
所以 ,所以 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3所以 ,且 ,
所以 为等边三角形，
所以 .
故选:C．
7．若数列 和 满足 ， ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据递推关系可得 是以2为首项，2为公比的等比数列，进而得 ，即可根据
代入求解.
【详解】因为 ， ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，又 ，即 ，
所以
所以 ；
故选：B
8．设函数 ，则（ ）
A． 且 在 单调递增
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4B． 且 在 单调递减
C． 且 在 单调递增
D． 且 在 单调递减
【答案】C
【分析】首先证明函数 的周期为 ，然后分 与 两种情况分别讨论函数的值域，判
断函数的单调区间即可．
【详解】由于 ，得 的最小正周期不是 ；
，则 的周期为 ，
当 时， ，
由于 ，得 ，故 ，
当 时， ，
由于 ，得 ，故 ，
综上所述，可得 的值域为 ，
当 时， ，
由于 ，得 ，
根据余弦函数性质可知 在 上单调递增．故C选项正确．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．少年强则国强，少年智则国智，党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，
提高学生身体素质，为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数
据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5A．样本的众数为65
B．该校学生中低于65kg的学生大约为1200人
C．样本的第80百分位数为72.5
D．样本的平均值为66.75
【答案】BCD
【分析】由频率分布直方图得众数，百分位数，平均数后判断
【详解】对于A，样本的众数为67.5，故A错误，
对于B，该校学生中低于65kg的学生大约为 ，故B正确，
对于C，体重位于 的频率为 ，
体重位于 的频率为 ，
故第80百分位数位于 ，设其为 ，则 ，得 ，故C正确，
对于D，样本的平均值为 ，故D正确，
故选：BCD
10．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的
能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（ ）
A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级
B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍
C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍
D．记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为an，则数列{an}是等比数列
【答案】ACD
【分析】根据所给公式，结合指对互化原则，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】对于A：当 时，由题意得 ，
解得 ，即地震里氏震级约为七级，故A正确；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6对于B：八级地震即 时， ，解得 ，
所以 ，
所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的 倍，故B错误；
对于C：六级地震即 时， ，解得 ，
所以 ，
即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C正确；
对于D：由题意得 （n=1，2，···，9，10），
所以 ，所以
所以 ，即数列{an}是等比数列，故D正确；
故选：ACD
11．对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 在 处取得极大值
B． 有两个不同的零点
C．
D．若 在 上恒成立，则
【答案】AC
【分析】根据导函数确定 的单调性极值及最值情况，就能确定选项的正误．
【详解】A选项， ，定义域为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7，令 ，解得 ，
当 时， ，∴函数 在 上单调递增，
当 时， ，∴函数 在 上单调递减，
∴函数在 时取得极大值也是最大值 ，故A对；
B选项，∵ 时， ， ， ，
当 时， ，如图所示：
∴函数 有且只有唯一一个零点，故B错；
C选项，∵当 时， 为单调递减函数，∴ ，
∵ ，所以 ，故C对；
D选项，若 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
由 ，则 ，故D错．
故选：AC．
12．如图，在圆锥PO中，已知圆O的直径 ，点C是底面圆O上异于A的动点，圆锥的侧面展开图
是圆心角为 的扇形． ，则（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8A． 面积的最大值为
B． 的值与 的取值有关
C．三棱锥 体积的最大值为
D．若 ，AQ与圆锥底面所成的角为 ，则
【答案】CD
【分析】根据给定条件，求出圆锥的母线长及圆锥的高，并求出轴截面顶角，再逐项分析判断作答.
【详解】设圆锥的母线长为 ，由 ，得 ，而圆锥底面圆半径 ，
圆锥的高 ，则 ，
，当且仅当 时取等号， 错误；
当 时， ，与 的取值无关，B错误；
过 作 交 于 ，由 平面 ，得 平面 ，
由 ，得 ，于是 ，
所以当且仅当 ，且 为 中点时，三棱锥 体积取最大值 ，C正确；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9若 ，则 ，由 选项知， 为 与圆锥底面所成的角，
即 ，显然 ，在 中，
，
，而 ，
所以 ，D正确.
故选：CD
【点睛】思路点睛：求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面
上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．将数字1，2，3，4填入标号1，2，3，4的四个方格内，每格填1个，则每个方格的标号与所填数字
均不相同的概率是 ．（用最简分数表示）
【答案】
【分析】首先计算4个数字填入4个空格的所有情况，然后列举计算每个方格的标号与所填数字均不相同
的情况，再利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】将数字1，2，3，4填入标号1，2，3，4的四个方格内，每格填1个，共有 种，
而每个方格的标号与所填数字均不相同的有：
当第一个方格的填的数字为2时，第二个方格可以填1，3，4三种，
当第二个方格填1时，第三个方格只能填4，第四个方格只能填3；当第二个方格填3时，第三个方格只能
填4，第四个方格只能填1；当第二个方格填4时，第三个方格只能填1，第四个方格只能填3，共3种，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10同理当第一个方格所填数字为3可4时，均有3种填法，所以共有 种，
所以所求概率为 ，
故答案为：
14．在正四棱锥 中， ，用平行于正四棱锥底面的平面截去一个高为 的四棱锥后，
所得棱台的体积为 ．
【答案】 /
【分析】先利用勾股定理求出正四棱锥 的高，再利用相似比求出截去的高为 的四棱锥的底面
边长，在求出两个棱锥的体积即可.
【详解】如图， 为底面四边形 对角线的交点，
则 为正四棱锥 的高， ，
则 ，
设截去的高为 的四棱锥的底面边长为 ，
则 ，解得 ，
所以棱台的体积为 .
故答案为： .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1115．若函数 在区间 上单调递增，则常数 的一个取值为 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】当 时，化简得到 ，满足 在区间 上单调递增，即可得
到答案.
【详解】由函数 的图象与性质，可得函数 在区间 上单调递增，
当 时，
可得 ，
此时函数 满足在区间 上单调递增，
当 时， ，所以常数 的一个取值可以为 .
故答案为： （答案不唯一）.
16．已知 为坐标原点，直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线 及其准线依次交于
三点（其中点 在 之间），若 .则 的面积是 .
【答案】 /
【分析】依题意作出图形，利用抛物线的定义结合图形依次求得 与 ，从而求得直线
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12的方程，联立抛物线方程，利用抛物线焦半径公式与点线距离公式求得 与 ，从而得解.
【详解】过点 作 垂直于准线，垂足为 ，过点 作 垂直于准线，垂足为 ，设准线与 轴相交
于点 ，如图，
则 ，
在 中， ，所以 ，所以 ，
故在 中， ，所以 ，则 .
又 轴， ，所以 ，
又抛物线 ，则 ，所以 ，
所以抛物线 ，点 .
因为 ，所以直线 的斜率 ，则直线 ，
与抛物线方程联立 ，消 并化简得 ，
易得 ，设点 ，则 ，
则 ，
又直线 ，可化为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13则点 到直线 的距离 ，
所以 .
故选：B.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ， ，且 的平分线
交 于点 ．
(1)求角
(2)求线段AE的长
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二倍角公式以及正弦定理边角互化即可求解，
（2）根据等面积法，结合面积公式即可求解.
【详解】（1） ， ，
，
，
， ．
（2） ， , ，
，
所以 ,由于 ， ，则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14．
18．如图，在梯形ABCD中， ， ， ，E为边AD上的点， ， ，
将 沿直线CE翻折到 的位置，且 ，连接PA，PB．
(1)证明： ；
(2)Q为线段PA上一点，且 ，若二面角 的大小为 ，求实数λ的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得 平面PAE，然后利用面面垂直的判定定理及性质定理可
得 平面 ，进而可得 平面POC，即得；
（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法结合条件即得.
【详解】（1）因为 ，所以 ， ，又 ，PE、 平面PAE，
所以 平面PAE， 平面ABCE，
所以平面 平面PAE．
在梯形ABCD中， ，所以 ，
所以在四棱锥 中， ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15因为 ，所以 为正三角形．
取AE中点O，连接PO，OB，OC，易得 ， ，
因为平面 平面PAE，平面 平面 ， 平面 可得 平面 ，
平面 ,
所以 ．
又 ， ， ，所以四边形OBCE为正方形，所以 ，
又 ，OC、 平面POC，
所以 平面POC，因为 平面POC，所以 ;
（2）由（1）知OA，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，以OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则： ， ， ， ，
由 得 ，
则 ， ，设平面QBC的一个法向量为 ，
故 即 ，令 ，得 ， ，
所以 ，
易知平面ABC的一个法向量为 ，
所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16解得 或 （舍）．
所以实数 的值为 ．
19．已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，证明： 在 上单调递增；
(3)判断 与 的大小关系，并直接写出结论．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由题意得 ，求出 ， ，即可得出答案；
（2）求导，利用导数的正负即可确定函数的单调性，即可得出答案；
（3）构造函数 ，利用导数确定单调性，结合（2）的结论即可求解．
【详解】（1） ，所以 ， ，
故曲线 在点 处的切线方程为 ；
（2）由题意得
所以 ，在 上 恒成立
故 在 上单调递增.
（3） ，
证明如下：设 ，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17由（2）知: 在 上单调递增，则 ，
所以 ，即 在 上单调递增，故 ，即 ．
20．已知等比数列 的前 项和为 ，且满足 .
(1)求数列 的通项 ；
(2)在 和 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据递推关系求出等比数列的公比，由等比数列的通项公式求解；
（2）利用错位相减法求和，然后分析即可.
【详解】（1）当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
又因为 是等比数列，
所以 的公比为3，且 ，即 ，
所以 ；
（2）由（1）可得 ，
所以 ，
则 ，
所以令 ，①
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18所以 ，②
① ②：
所以 ，
因为 ，
所以 .
21．“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚物，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实
努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会
切身体会到读书破万卷给予我们的力量，为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了 名学
生进行调查，得到了这 名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成
如图所示的频率分布直方图．
(1)为进一步了解这 名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在 ， ， 三组内
的学生中，采用分层抽样的方法抽取了 人，现从这 人中随机抽取 人，记周平均阅读时间在 内
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19的学生人数为 ，求 的分布列和数学期望；
(2)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取 名学生(有放回试验)，用 表示这 名学生
中恰有 名学生周平均阅读时间在 内的概率，其中 ．当 最大时，写出 的值．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望
(2)当 时， 取得最大值
【分析】（1）根据分层抽样原则可确定 人中，周平均阅读时间在 ， ， 的人数，则
可确定 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得 每个取值对应的概率，由此可得分布列；根
据数学期望公式可求得期望值；
（2）根据频率分布直方图可求得周平均阅读时间在 内的概率，利用二项分布概率公式可表示出
，由此可确定结果．
【详解】（1）由频率分布直方图得：周平均阅读时间在 ， ， 三组的频率之比为
，
人中，周平均阅读时间在 的人数为 人；在 的人数为 人；在
的人数为 人；
则 所有可能的取值为 ， ， ， ，
，
，
的分布列为：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20数学期望 ；
（2）用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取 名学生，周平均阅读时间在 内的概率
，
则 ，
若 最大，则 最大，
当 时， 取得最大值．
22．已知 的焦点为 ，且经过 的直线被圆 截得的线段长度的最小
值为4．
(1)求抛物线的方程；
(2)设坐标原点为 ，若过点 作直线 与抛物线相交于不同的两点 ， ，过点 ， 作抛物线的切线
分别与直线 ， 相交于点 ， ，请问直线 是否经过定点？若是，请求出此定点坐标，若不是，
请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线 经过定点 ．
【分析】（1）依题意得到 从而利用两点距离公式求得 ，从而得解；
（2）根据抛物线求出切线方程，从而求得 的坐标，进而求得 的方程，再令 ，即可得出定点.
【详解】（1）因为抛物线 的焦点为 ，圆 的圆心 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21而经过 的直线被圆 截得的线段长度 ，其中 为圆心 到直线的距离，
则 ，所以 ，
显然， 的最大值为焦点 到圆心 的距离，即 ，
所以 ，又 ，解得 或 （舍），
故抛物线的方程为 ．
（2）设点 ， ， ，由 ，即 ，得 ，
则点 处的切线方程为 ，
直线 的方程为： ，
则点 ，同理点 ，
可得：
，
直线 的方程为： ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22注意到点 ， 满足 ，
直线 的方程为 ．
注意令 ，则
，
直线 经过定点 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23
