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开学自我检测 03（难）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数定义域求法可求得集合 ；根据指数函数值域求法可求得集合 ；根据交集定义可得结果.
【详解】由 得 ，则 ；
当 时， ，所以 ；所以 .
故选： .
2．已知复数 ， ， ， ，并且 ，则 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数相等的性质与三角函数的平方关系得到 关于 的关系式，再根据 的范围，结合
二次函数图像与性质即可得解.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，消去 ，得 ，
则 ，
因为 ，
所以当 时， 取得最小值为 ，当 时， 取得最大值为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1所以 .
故选：D.
3．已知函数 及其导数 满足 ，则 的图象在点 处的切线斜率为
（ ）
A．4 B． C．12 D．
【答案】D
【分析】由导数的四则运算求 ，将 代入即可得对应点斜率.
【详解】由题设 ，则 ，可得 ，
故 的图象在点 处的切线斜率为 .
故选：D
4．若 ， ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据角的变换有 ，根据三角函
数值确定 的值.
【详解】 ， 符号相同，
又 ， ， ，
由 可得 ，
又 ， ， ，
所以 ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2，
由 ， ，得 ， ，
故选：A．
5．木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是
用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形 是边长为1
的正方形，且 ， 均为正三角形， ， ，则该木楔子的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，分别过点A，B作 的垂线，垂足分别为G，H，连接 ，取 的中点O，连接
，求出 ，结合三棱锥和三棱柱的体积公式计算即可.
【详解】如图，分别过点A，B作 的垂线，垂足分别为G，H，连接 ，
则由题意等腰梯形 全等于等腰梯形 ，
则 .
取 的中点O，连接 ，因为 ，所以 ，
则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3∴ .
因为 ， ，所以 ，因为四边形 为正方形，
所以 ，又因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 平面 ，同理可证 平面 ，
∴多面体的体积
，
故选：D.
6．已知直线 与抛物线 交于 两点，与圆 交于 两点， 在 轴的
同侧，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由已知联立方程组，利用设而不求法结合抛物线定义表示 ，并求其值.
【详解】由已知抛物线 的焦点 的坐标为 ，
直线 的方程为 ，
联立 ，消 得 ，
设 ，则 ，
所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4圆 的圆心坐标为 ，半径为1，
由已知可得 ，
所以
故选：A.
7．记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用数量积的定义与正弦定理可得 ，再利用两角和与差的正弦公式以及三
角函数的有界性求解即可.
【详解】 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ，
，
由正弦定理可得 ，
所以 ，
由
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5可得
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 .
故选：D.
8．已知 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，函数 的图象和函数 的图象有两个公共点
B．当 时，函数 的图象和函数 的图象只有一个公共点
C．当 或 时，函数 的图象和函数 的图象没有公共点
D．当 时，函数 的图象和函数 的图象只有一个公共点
【答案】A
【分析】根据给定条件，构造函数 ，把两个函数图象公共点个数转化为函数 零点个
数求解.
【详解】令 ，因此函数 零点个数即为函数 和 的
图象公共点个数，
求导得 ，当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，当 时， ，
由 求导得： ，当 时， ，函数 递减，
，
因此当 时， ，而当 ， 时，函数 递减，取值集合是 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6则当 ， 时，函数 取值集合为 ，
当 ， 时， ，二次函数 图象开口向下，
当 时， （ 表示数 中最小的），
函数 在 上的取值集合为 ，
于是当 ， 时，函数 取值集合为 ，
从而当 时，函数 的值域为 ，
由 ，得 ，函数 有两个零点，A正确；
而 ，即 ，显然当 或 时，函数 有两个零点，CD错误；
当 时， ，函数 无零点，B错误.
故选：A
【点睛】思路点睛：涉及两个函数图象交点问题，构造这两个函数的差函数，转化为求函数零点问题即可.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，我国社会物流需求不断增加，物流行业前景广
阔.社会物流总费用与GDP的比率是反映地区物流发展水平的指标，下面是 年我国社会物流总
费用与GDP的比率统计，则（ ）
A． 这5年我国社会物流总费用逐年增长，且2021年增长的最多
B． 这6年我国社会物流总费用的 分位数为14.9万亿元
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7C． 这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为
D．2022年我国的GDP超过了121万亿元
【答案】AD
【分析】由图表逐项判断可得答案.
【详解】由图表可知，2018 2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，2021年增长的最多，且增长为
万亿元，故A正确；
因为 ，则 分位数为第5个，即为16.7，所以这6年我国社会物流总费用的 分位数为
16.7万亿元，故B错误；
由图表可知，2017−2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为 ，故C错
误；
由图表可知，2022年我国的GDP为 万亿元，故D正确.
故选：AD.
10．已知在数列 中， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 可能是等差数列
C． D．若 ，则 是递增数列
【答案】BD
【分析】令 即可判断A，当 时，利用等差数列的定义即可判断B，令 即可验证C，利用数列
单调性的定义证明即可判断D.
【详解】选项A，令 时， ，即 ，故选项A错误；
选项B，当 时， ，由此可知数列 为首项为 ，公差为 的等差数列，故选项B正
确；
选项C，当 时， ，与已知条件 矛盾，故选项C错误；
选项D，由选项B可知， 时数列 是递增数列，
当 且 时， ， ， ， ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8将这个 式子叠加得 ，
即 ，
则
所以 ，所以当 且 时，数列 是递增数列，
即 ，则 是递增数列，故选项D正确；
故选：BD.
11．已知函数 满足 ，则下列
结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 为偶函数
D．曲线 在 处的切线斜率为
【答案】BCD
【分析】利用三角恒等变换化简 ，由已知条件可求得 和 的值，从而判断 ；可得
解析式，计算 即可判断 ；计算 即可判断C；利用导数的几何意义即可判断 .
【详解】由题， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9则 又 ，所以 ，
则 ，
由 知， 是函数的最大值，
所以
解得
又 ，所以取 ，得 ，故 错误；
所以
则
，故 正确；
，显然为偶函数，故 正确；
即曲线 在 处的切线斜率为 ，故 正确.
故选：
12．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 且 ，点 在椭圆内部，点
在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A． 的最小值为
B．椭圆 的短轴长可能为2
C．椭圆 的离心率的取值范围为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10D．若 ，则椭圆 的长半轴长为
【答案】AC
【分析】利用椭圆的定义计算判断A；点 在椭圆内建立不等式，推理计算判断BC；求出点 的坐标，列
出方程计算判断D作答.
【详解】对于A，由 ，得 ，则
，当 三点共线时取等号，A正确；
对于B，由点 在椭圆内部，得 ，则 ，有 ，椭圆 的短轴长大于2，B错误；
对于C，因为 ，且 ，于是 ，即 ，
解得 ，即 ，因此 ，椭圆 的离心率的取值范围为 ，
C正确；
对于D，由 ，得 为线段 的中点，即 ，则 ，又 ，
即 ，解得 ，则 ，椭圆 的长半轴长为 ，
D错误.
故选：AC
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显
体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的
函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1113．若 ， 是两个单位向量，且 在 上的投影向量为 ，则 与 的夹角的余弦
值为 ．
【答案】
【分析】根据投影向量的定义可得 ，根据数量积的运算律求 ，进而可求向量夹角.
【详解】由题意可知： ，
因为 在 上的投影向量为 ，所以 ，
可得 ，
，
，
所以 ，
故答案为： .
14．在 的展开式中存在常数项，写出一个满足条件的 的值是 .
【答案】4（答案不唯一，满足 即可）
【分析】求出展开式的通项公式，然后令 的指数为 ，根据 的范围即可求解.
【详解】 展开式的通项公式为
令 ，得 ,故
令 则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12故答案为： .
15．已知二面角 的大小为 ，该二面角内一点 到 、 的距离分别为 和 ，则 到 的距离
为 ．
【答案】 /
【分析】设点 在平面 、 内的射影为分别为 、 ，过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，连接
、 ，分析可知二面角 的平面角为 ，设 ，根据
结合同角三角函数的平方关系求出 的值，可求得 的长，即为所求.
【详解】设点 在平面 、 内的射影为分别为 、 ，
过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，连接 、 ，
由题意可知 ， ，因为 ， ，则 ，
因为 ， ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，则 ，
因为 ， ，则 ，
又因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为过点 的平面中有且只有一个平面与直线 垂直，故 、 、 、 四点共面，
因为 平面 ，所以， ，
故二面角 的平面角为 ，设 ，则 ，
因为 ， ，则 ，同理 ，
则 ，即 ，
即 ，即 ，所以， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13所以， ，解得 ，故 .
即点 到直线 的距离为 .
故答案为： .
16．数列 中的所有项排成如下数阵：
已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数 ， ， ， 成等差数列，且 ， ，从
第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以 为公比的等比数列．
① ；
② 在第 列；
③ ；
④ ．
以上正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】根据已知条件，按照行和列的顺序分别推理，可判断 ， 可利用行和列的通项，判断单调
性，求解出对应的最大最小值，比较即可判断， 利用等差等比的通项公式推导可判断．
【详解】解：对 ， 第一列数 ， ， ， 成等差数列，且 ， ，
，故 ， 正确；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14对 ， 第一行共有 项，第二行共有 项，第三行共有 项， ，第 行共有 项，
所以前一行共有 项，前二行共有 项，前三行共有 项， ，前 行共有 项，
前 行共有 项，而 ，
位于第 行 列， 错误；
对 ， 第一列数所组成的等差数列第 行的第一项为： ，
且每一行中的数按从左到右的顺序均构成以 为公比的等比数列，
第 行的数构成以 为首项，公比为 的等比数列，
， 正确；
对 ， 第一列数所组成的等差数列第 行的第一项为： ，
，令 ，
，
当 时， 单调递减，又 ， ，
令 ，在 上单调递增，
， 成立， 正确．
故答案为： ．
【点睛】关键点定睛：解题的关键点是类比推理，数阵行、列的规律总结、类比出等差、等比数列及项数.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．已知数列 为等差数列，数列 为等比数列，且 ，若
．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设由 ， 的公共项构成的新数列记为 ，求数列 的前5项之和 ．
【答案】(1)
(2)682
【分析】（1）设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ，然后根据题意结合等差数列和等比数列的通
项公式列方程组可求出 ，从而可求出数列 ， 的通项公式；
（2）设数列 的第 项与数列 的第 项相等，则可得 ， ， ，得 ，然
后可列举数列 的前5项，从而可求得结果.
【详解】（1）设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ，
因为
则 ，解得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16（2）设数列 的第 项与数列 的第 项相等，
则 ， ， ，
所以 ， ， ，
因为 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，则 ，当 时， ，
当 时， ，则 ，当 时， ，
当 时， ，则 ，当 时，
当 时， ，则 ，当 时，
当 时， ，则 ，
故 的前5项之和 ．
18．已知在锐角 中，角 所对应的边分别为 .在下列三个条件：
① ，且 ；
② ；
③ 中任选一个，回答下列问题.（若选择多个条件分别解答，则按第一个
解答计分）
(1)求角 ；
(2)若 ，求 内切圆的半径.
【答案】(1)选择见解析，
(2)
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17【分析】（1）选择条件①，根据向量平行的坐标公式结合三角恒等变换化简即可；选择条件②③，根据
正余弦定理结合三角恒等变换化简求解即可；
（2）根据三角形面积公式可得 ，结合余弦定理可得 ，进而根据等面积法可求内切圆半
径.
【详解】（1）选择条件①，
因为 ，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
由 为锐角三角形可知 ，则 ，
故 ，可得 .
选择条件②，
因为 ，
由余弦定理可得 ，
由正弦定理可得 ，
在三角形 中，可知 ，
则 ，即 ，
因为三角形 中，可知 ，故 .
选择条件③，
因为 ，
所以 ，
即 ，
由正弦定理可得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18根据余弦定理可得 ，
由 中， ，故 .
（2）因为 ，
所以 ，
由余弦定理可得
，
解得 ，
设 内切圆的半径为 ，
因为 ，
所以 ，即 内切圆的半径为 .
19．已知双曲线 与点 .
(1)求过点 的弦 ，使得 的中点为 ；
(2)在（1）的前提下，如果线段 的垂直平分线与双曲线交于 、 两点，证明： 、 、 、 四点
共圆.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用点差法求解；
（2）利用点差法和弦长公式求出相关线段的长度，再利用距离公式证明线段相等，可求证得四点共圆.
【详解】（1）双曲线的标准方程为 ，所以 ， ，
设存在过点 的弦 ，使得 的中点为 ，
设 ， ， ， ，
两式相减得 ，即 ，得： ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19经检验，存在这样的弦 ，方程为 ；
（2）设 直线方程为 ，则点 在直线 上，
则 ，所以直线 的方程为 ，
设 ， ， 的中点为 ， ， ，
两式相减得 ，则 ，则 ，
又因为 在直线 上有 ，解得 ，
，解得 ， ，
整理得 ，则 ，则 ，
由距离公式得 ，
所以 、 、 、 四点共圆.
20．已知函数 .
(1)若 在 恒成立，求a的取值范围；
(2)若 ，求证：函数 的图象在函数 图象的下方.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分离参数，构造函数 ，利用导数求出函数最小值即可求解；
（2）构造 ，利用导数法求出函数 的最小值大于零，即可得证.
【详解】（1）当 时， ，因为 在 恒成立，
所以 在 恒成立，记 ，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20，令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 时，函数 取得最小值 ，所以 ，即 ；
（2）当 时， ，定义域为 ，
令 ，
则 ，
令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 时，函数 取得最小值 ，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
所以函数 的图象在函数 图象的下方，得证.
21．如图，在三棱柱 中，底面是边长为2的等边三角形， 分别是线段 的
中点， 在平面 内的射影为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21(1)求证： 平面 ；
(2)若点 为棱 的中点，求点 到平面 的距离；
(3)若点 为线段 上的动点（不包括端点），求锐二面角 的余弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）法一：利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证；
法二：建立空间直角坐标系，利用数量积为0，可证 ，从而得证；
法三：如法二建立空间直角坐标系，求出平面 的一个法向量，证明其与 平行，从而得证；
（2）利用空间向量法求点到面的距离；
（3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域.
【详解】（1）法一：连结 ，因为 为等边三角形， 为 中点， ，
又 平面 ， 平面 ，
平面
平面 ，又 平面 ，
由题设知四边形 为菱形， ，
分别为 中点， ，
又 平面 平面 .
法二：由 平面 ， 平面 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22又 为等边三角形， 为 中点， ，则以 为坐标原点， 所在直线为
轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则
又 平面 平面 .
法三：（同法二建系）设平面 的一个法向量为
，即
不妨取 ，则 ，则
所以平面 的一个法向量为
， ， ， 平面
（2）由（1）坐标法得 ，平面 的一个法向量为 （或 ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23点到F到平面 的距离=
（3）
设 ，则 ，
；
由（1）知： 平面 平面 的一个法向量
（或者由（1）中待定系数法求出法向量）；
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，则 ；
，
令 ，则 ；
，
即锐二面角 的余弦值的取值范围为 .
22．某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有A，B，C，D这4个选项，4个选项中仅有两
个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试
过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24，并且规定若第 题正确选项为两个，则第 题正确选项为两个的概率为 ；第
题正确选项为三个，则第 题正确选项为三个的概率为 .
(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；
(2)求第n题正确选项为两个的概率；
(3)若第n题只选择B、C两个选项，设Y表示第n题得分，求证： .
【答案】(1)分布列见解析；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）设事件 表示正确选项为 个，事件 表示正确选项为 个， 表示第 题正确选项为
个的概率， 表示第 题正确选项为 个的概率.由全概率公式可求出 ，继而 可求，再由
全概率公式计算第二题得分分布列的各种情况，并根据公式计算期望；
（2）根据（1）中由第一题到第二题正确选项数概率的计算理解，由全概率公式可以得出一般性的结论
化简可得 ，可知 为等比数列,求通项可得
；
（3）根据（2）求出的 可得 ，在利用全概率公式即可求得 的分布列，计算出
,则结论可证.
【详解】（1）设事件 表示正确选项为 个，事件 表示正确选项为 个，
表示第 题正确选项为 个的概率， 表示第 题正确选项为 个的概率.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25设事件 表示选项“C”为第二题的一个正确选项，用随机变量 表示第二题得分.
依题得， 可能取值为 .
因为 ， ，
所以
所以 的分布列为:
所以 .
（2）依题得， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列.
所以 ， .
（3）由（2）可知， ， .
依题得， 可能取值为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 26，
，
所以 .
【点睛】方法点睛：高中阶段的马尔科夫链类型的概率问题解决关键是利用全概率公式找到概率的递推式，
然后用数列手段去处理求解.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 27
