北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
专题十一 概率与统计
一、单项选择题
1.(2023届四川南充阆中中学月考,3)下列统计量可用于度量样本x ,x ,x ,…,x 离散程
1 2 3 n
度的是( )
A.x ,x ,x ,…,x 的众数
1 2 3 n
B.x ,x ,x ,…,x 的中位数
1 2 3 n
C.x ,x ,x ,…,x 的极差
1 2 3 n
D.x ,x ,x ,…,x 的平均数
1 2 3 n
答案 C 众数是统计数据中出现次数最多的数据,是一种衡量集中趋势的数值;中位数
是统计数据中最中间的一个数或两个数的平均数,是一种衡量集中趋势的数值;极差是
用来表示统计数据中的变异数据,反映的是最大值与最小值之间的差距,刻画一组数据
的离散程度;平均数反映数据的平均水平,是一种衡量集中趋势的数值.故选C.
2.(2023届银川三沙源上游学校开学考,4)袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个,从
中任取2个,则互斥而不对立的两个事件是 ( )
A.至少有一个白球;都是白球
B.至少有一个白球;至少有一个红球
C.至少有一个白球;红、黑球各一个
D.恰有一个白球;一个白球一个黑球
答案 C 在A中,至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故
A不成立.
在B中,至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故B不
成立.
在C中,至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生,是
互斥而不对立的两个事件,故C成立.
在D中,恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故D不
成立.故选C.
3.(2023届豫东名校联考,9)为进一步强化学校美育育人功能,构建“五育并举”的全面
培养的教育体系,某校开设了传统体育、美育、书法三门选修课程,该校某班级有6名
同学分别选修其中的一门课程,每门课程至少有一位同学选修,则恰有2名同学选修传
统体育的概率为 ( )
5 1 7 7
A. B. C. D.
36 6 36 18北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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答案 D 6名同学分别选修一门课程,每门课程至少有一位同学选修,共有
(C2C2C2
)
6 4 2+C4+C1C2C3 ·A3
=540种.恰有2名同学选修传统体育的情况有
A3 6 6 5 3 3
3
(
C2C2
) 210 7
C2· C1+ 4 2 ·A2 =210种,∴所求概率P= = .故选D.
6 4 A2 2 540 18
2
4.(2023届黑龙江齐齐哈尔恒昌中学开学考,7)若随机变量X服从两点分布,且成功概率
为0.7;随机变量Y服从二项分布,且Y~B(10,0.8),则下列结果正确的有 ( )
A.E(X)=0.7,E(Y)=6.4
B.D(X)=0.21,D(Y)=1.6
C.P(X=1)=0.3
D.P(Y=3)=C3 0.87×0.23
10
答案 B 由题意可知E(X)=0×(1-0.7)+1×0.7=0.7,E(Y)=10×0.8=8,D(X)=0.7×(1-
0.7)=0.21,D(Y)=10×0.8×0.2=1.6,P(X=1)=0.7,P(Y=3)=C3 0.83×0.27,故A,C,D错误,B
10
正确. 故选B.
5.(2023届云南玉溪一中开学考,6)先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次,观察向上的点数.
在第一次向上的点数为奇数的条件下,两次点数和不大于7的概率为( )
13 7 3 2
A. B. C. D.
18 12 10 3
答案 D 设事件A表示“先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次,第一次向上的点数为奇
数”,事件B表示“先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次,两次点数和不大于7”,则P(A)=
1
1 12 1 P(AB) 3 2
,P(AB)= = ,所以P(B|A)= = = .故选D.
2 36 3 P(A) 1 3
2
6.(2023届山西忻州联考(二),7)在某次数学考试中,学生成绩X服从正态分布(100,σ2).
若X在(85,115)内的概率是0.5,则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生,恰有2
名学生的成绩不低于85的概率是 ( )
27 9 3 9
A. B. C. D.
64 64 4 16
答案 A 因为学生成绩服从正态分布(100,σ2),且P(85<X<115)=0.5,所以
3
P(85<X<100)=0.25,P(X<85)=0.25,P(X≥85)=0.75= ,
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3
所以从参加这次考试的学生中任意选取1名学生,其成绩不低于85的概率是 ,则从参
4
加这次考试的学生中任意选取3名学生,恰有2名学生的成绩不低于85的概率是
C2(3) 2
×
1
=
27
.故选A.
3 4 4 64
7.(2023届贵阳开学考,3)目前,全国多数省份已经开始了新高考改革.改革后,考生的高
考总成绩由语文、数学、英语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.
某校高三年级选择“物理、化学、生物”“物理、化学、政治”和“历史、政治、地
理”组合的学生人数分别是200,320,280.现采用分层抽样的方法从上述学生中选出 40
位学生进行调查,则从选择“物理、化学、生物”组合的学生中应抽取的人数是 (
)
A.6 B.10 C.14 D.16
40 1
答案 B 因为 = ,所以从选择“物理、化学、生物”组合的学生中
200+320+280 20
1
应抽取的人数为200× =10.故选B.
20
8.(2022辽宁东北育才学校模考六,3)某大学有A,B两家餐厅,某同学第1天午餐时随机
地选择一家餐厅用餐,如果第一天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率是0.4;如果第
一天去B餐厅,那么第二天去A餐厅的概率是0.8,则该同学第2天去A餐厅用餐的概率
是 ( )
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
答案 B 设A =“第1天去A餐厅用餐”,B =“第1天去B餐厅用餐”,A =“第2天去A
1 1 2
餐厅用餐”,由题意得P(A )=P(B )=0.5,P(A |A )=0.4,P(A |B )=0.8,由全概率公式得
1 1 2 1 2 1
P(A )=P(A )P(A |A )+P(B )P(A |B )=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6,故该同学第2天去A餐厅用
2 1 2 1 1 2 1
餐的概率为0.6.故选B.
二、多项选择题
9.(2022山东学业质量联测二,9)已知m,n均为正数,随机变量X的分布列如下表:
X 0 1 2
P m n m
则下列结论一定成立的是 ( )
A.P(X=1)<P(X≠1) B.E(X)=1
1
C.mn≤ D.D(X+1)<1
8
1 1
答案 BCD 由分布列的性质得m+n+m=2m+n=1,P(X=1)=n,P(X≠1)=2m,当m= ,n=
4 2
时,P(X=1)=P(X≠1),A错误;因为E(X)=n+2m=1,所以B正确;因为m,n均为正数,所以北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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1 1
1=n+2m≥2√2mn,即mn≤ ,当且仅当n=2m= 时,等号成立,C正确;由n=1-2m>0,得
8 2
1
0<m< .又E(X)=1,所以D(X+1)=D(X)=m+m=2m<1,D正确.故选BCD.
2
10.(2022湖北八市联考,9)立德中学举行党史知识竞赛,对全校参赛的1 000名学生的得
分情况进行了统计,把得分数据按照[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]
分成5组,绘制了如图所示的频率分布直方图,根据图中信息,下列说法正确的是 (
)
A.图中x的值为0.020
B.这组数据的极差为50
C.得分在80分及以上的人数为400
D.这组数据的平均数的估计值为77
答案 ACD 对于A,由(0.005+x+0.035+0.030+0.010)×10=1,得x=0.020,故A正确;
对于B,由频率分布直方图无法看出这组数据的最大值和最小值,故B不正确;
对于C,得分在80分及以上的人数的频率为(0.030+0.010)×10=0.4,所以人数为
1 000×0.4=400,故C正确;
对于D,这组数据的平均数的估计值为55×0.05+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.1=77,故
D正确.
11.(2022辽宁沈阳二模,10)甲、乙两人进行飞镖游戏,甲的10次成绩分别为
8,6,7,7,8,10,10,9,7,8,乙的10次成绩的平均数为8,方差为0.4,则 ( )
A.甲的10次成绩的极差为4
B.甲的10次成绩的75%分位数为8
C.甲和乙的20次成绩的平均数为8
D.甲和乙的20次成绩的方差为1
答案 ACD 对于A,甲的10次成绩中,最大值为10,最小值为6,则极差等于4,故A正
确;对于B,因为10×75%=7.5,所以将甲的10次成绩从小到大排列后,第8个数为75%分
位数,即75%分位数等于9,故B不正确;经计算,甲的10次成绩的平均数等于8,又已知北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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乙的10次成绩的平均数等于8,则甲和乙的20次成绩的平均数为8,故C正确;对于D,
1
s2 = ×[(6-8)2+3×(7-8)2+3×(8-8)2+(9-8)2+2×(10-8)2]=1.6,
甲 10
10×(1.6+0)+10×(0.4+0) 1 10+10
则所求方差s2= = × (10×1.6+10×0.4)+ ×0 =1,
10+10 20 10+10
故D正确.故选ACD.
12.(2022湖北省部分重点中学联考二,9)一袋中有大小相同的3个红球和2个白球,下列
结论正确的是 ( )
3
A.从中任取3个球,恰有1个白球的概率是
5
36
B.从中有放回地取球3次,每次任取1个球,恰好有2个白球的概率为
125
98
C.从中有放回地取球3次,每次任取1个球,则至少有1次取到红球的概率为
125
D.从中不放回地取球2次,每次任取1个球,则在第1次取到红球的条件下,第2次取到
1
红球的概率为
2
C2C1
6 3
答案 ABD 对于A,从中任取3个球,恰有1个白球的概率P= 3 2= = ,所以A
C3 10 5
5
正确;
2
对于B,从中有放回地取球3次,每次任取1个球,其中每次取到白球的概率为 ,所以恰
5
有2个白球的概率P=C2(2) 2 (
1−
2)
=
36
,所以B正确;对于C,从中有放回地取球3
3 5 5 125
2
次,每次任取1个球,其中每次取到白球的概率为 ,所以至少有1次取到红球的概率
5
P=1-C3(2) 3
=1−
8
=
117
,所以C不正确;
3 5 125 125
对于D,设第1次取到红球为事件A,第2次取到红球为事件B,所以第1次取到红球的条
3 2
×
P(AB) 5 4 1
件下,第2次取到红球的概率P(B|A)= = = ,所以D正确.
P(A) 3 2
5
三、填空题
13.(2019课标Ⅰ,15,5分)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场
胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客
主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独
立,则甲队以4∶1获胜的概率是 .北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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答案 0.18
解析 由题意可知七场四胜制且甲队以4∶1获胜,则 共比赛了 5 场 , 且第 5 场甲胜 , 前 4
场中甲胜 3 场 .第一类:第1场、第2场中甲胜1场,第3场、第4场甲胜,则P =
1
3
C1×0.6×0.4×0.52= ;第二类:第1场、第2场甲胜,第3场、第4场中甲胜1场,
2 25
则P =0.62×C1×0.5×0.5= 9 ,所以甲队以4∶1获胜的概率为P= ( 3 + 9 ) ×0.6=0.18.
2 2 50 25 50
14.(2023届安徽十校联考,15)现有5名同学站成一排拍毕业照留念,在“甲不站最左边,
乙不站最右边”的前提下,丙站最左边的概率为 .
3
答案
13
解析 设“甲不站最左边,乙不站最右边”为事件A,丙站最左边为事件B.
5名同学站成一排,共有A5 =120种可能,事件B发生的情况有A4 =24种,
5 4
事件A发生的情况分两种:
第一种,当甲站在最右边时,有A4 =24种;
4
第二种,当甲不站在最左边,也不站在最右边时,有C1C1A3 =54种,
3 3 3
事件AB发生的情况有C1A3 =18种,
3 3
54+24 13 24 1 18 3
所以P(A)= = ,P(B)= = ,P(AB)= = ,所以在“甲不站最左边,乙
120 20 120 5 120 20
3
P(AB) 20 3
不站最右边”的前提下,丙站最左边的概率为P(B|A)= = = .
P(A) 13 13
20
15.(2023届辽宁渤海大学附中月考,14)某考生回答一道四选一的考题,假设他知道正确
答案的概率为0.5,知道正确答案时,答对的概率为100%,而不知道正确答案时猜对的概
率为0.25,那么他答对题目的概率为 .
答案 0.625
解析 设“考生答对题目”为事件A,“考生知道正确答案”为事件B,则P(B)=0.5,P(A|
B)=1,P(A|B)=0.25,∴P(A)=P(A∩B)+P(A∩B)=P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B
)=1×0.5+0.25×0.5=0.625.
16.(2023届山东高密三中月考,15)数据:1,2,2,3,4,5,6,6,7,8的中位数为m,60%分位
数为a,则m= ,a= .
答案 4.5 5.5
4+5 5+6
解析 由题意得中位数m= =4.5,而10×60%=6,则60%分位数a= =5.5,故答案
2 2
为4.5,5.5.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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四、解答题
17.(2023届长春外国语学校期中,19)北京冬奥会某个项目招募志愿者,需进行有关专业、
礼仪及服务等方面知识的测试,测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道,规定每次测
试都从备选题中随机抽出3道题进行测试,至少答对2道题者视为合格,若甲能答对备
选题中的5道题,求:
(1)甲测试合格的概率;
(2)甲答对的试题数X的分布列和数学期望.
C2C1+C3
50+10 1
解析 (1)设“甲测试合格”为事件A,则P(A)= 5 5 5= = .
C3 120 2
10
(2)甲答对的试题数X的所有可能取值为0,1,2,3,
C3
1
C1C2
5
C2C1
5
C3
1
P(X=0)= 5 = ,P(X=1)= 5 5= ,P(X=2)= 5 5= ,P(X=3)= 5 = ,
C3 12 C3 12 C3 12 C3 12
10 10 10 10
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
1 5 5 1
P
12 12 12 12
1 5 5 1 18 3
∴E(X)=0× +1× +2× +3× = = .
12 12 12 12 12 2
18.(2022全国甲,19,12分)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜
方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知
甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率;
(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.
解析 (1)记“甲学校在第i个项目获胜”为事件A(i=1,2,3),“甲学校获得冠军”为事
i
件E.
则P(E)=P(A A A )+P(A A A )+P(A A A )+P(A A A )=
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 4 1 2 1 1 3 4 1 2 4 3
× × + × × + × × + × × = .
2 5 5 2 5 5 2 5 5 2 5 5 5
3
∴甲学校获得冠军的概率为 .
5
(2)记“乙学校在第j个项目获胜”为事件B(j=1,2,3).X的所有可能取值为
j
0,10,20,30.
1 2 4 4
则P(X=0)=P(B B B )= × × = ,
1 2 3 2 5 5 25北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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1 2 4 1 3 4 1 2 1 11
P(X=10)=P(B B B )+P(B B2B )+P(B B B )= × × + × × + × × =
1 2 3 1 3 1 2 3 2 5 5 2 5 5 2 5 5 25
,
1 3 4 1 2 1 1 3 1 17
P(X=20)=P(B B B )+P(B B B )+P(B B B )= × × + × × + × × = ,
1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 5 5 2 5 5 2 5 5 50
1 3 1 3
P(X=30)=P(B B B )= × × = .
1 2 3 2 5 5 50
∴X的分布列为
X 0 10 20 30
4 11 17 3
P
25 25 50 50
4 11 17 3
∴E(X)=0× +10× +20× +30× =13.
25 25 50 50
19.(2022新高考Ⅱ,19,12分)在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病
患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图.
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率;
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区
总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病
的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,
精确到0.000 1).
解析 (1)平均年龄为
(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×
0.002)×10=47.9(岁).
(2)设事件A=“该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)”,则P(A)=1-P(A
)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1-0.11=0.89.
(3)设事件B=“任选一人年龄位于区间[40,50)”,事件C=“任选一人患这种疾病”,由
条件概率公式可得
P(BC) 0.1%×0.023×10 0.001×0.23
P(C|B)= = =
P(B) 16% 0.16
