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2025新教材数学高考第一轮复习
专题十一 概率与统计
11.1 随机事件及概率
五年高考
考点1 随机事件的概率
1.(2019课标Ⅱ文,4,5分,易)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这
5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为 ( )
2 3
A. B.
3 5
2 1
C. D.
5 5
2.(2018课标Ⅲ文,5,5分,易)若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45,既用现金支付
也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为 ( )
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
3.(2021全国甲理,10,5分,中)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为(
)
1 2 2 4
A. B. C. D.
3 5 3 5
考点2 古典概型
1.(2022全国甲文,6,5分,易)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取 2张,则
抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为 ( )
1 1 2 2
A. B. C. D.
5 3 5 3
2.(2020课标Ⅰ文,4,5分,易)设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到
的3点共线的概率为 ( )
1 2 1 4
A. B. C. D.
5 5 2 5
3.(2022新高考Ⅰ,5,5分,易)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质
的概率为 ( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
4.(2019课标Ⅰ理,6,5分,中)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重
卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,下图就是一重
卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是 ( )5 11 21 11
A. B. C. D.
16 32 32 16
5.(2022全国乙理,13,5分,易)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、
乙都入选的概率为 .
6.(2022全国甲理,15,5分,中)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的
概率为 .
考点3 事件的相互独立性
1.(2021新高考Ⅰ,8,5分,中)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机
取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”,乙表示事件“第二次取
出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 8”,丁表示事件“两次取出
的球的数字之和是7”,则( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
2.(2022全国乙理,10,5分,中)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相
互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 p ,p ,p ,且p >p >p >0.记该棋手
1 2 3 3 2 1
连胜两盘的概率为p,则 ( )
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大
3.(多选)(2023新课标Ⅱ,12,5分,难)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立,发送0时,
收到1的概率为α(0<α<1),收到0的概率为1-α;发送1时,收到0的概率为β(0<β<1),收到1
的概率为1-β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送 1
次;三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,
收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到
1,0,1,则译码为1) ( )
A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-α)(1-β)2
B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1-β)2
C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3
D.当0<α<0.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
1 1
4.(2020天津,13,5分,中)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 .假定两球是否落入
2 3
盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ;甲、乙两球至少有一个落入
盒子的概率为 .
5.(2019课标Ⅰ理,15,5分,中)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场
胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主
客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则
甲队以4∶1获胜的概率是 .
6.(2019课标Ⅱ,18,12分,中)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每
球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设
甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局
双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.
考点4 条件概率与全概率公式
1.(2023全国甲理,6,5分,中)某地的中学生中有 60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑
雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好
滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为( )
A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4
2.(2023天津,13,5分,中)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球,其总数之比
为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为 40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个
球,取到的三个球都是黑球的概率为 ;将三个盒子中的球混合后任取一个球,是白
球的概率为 .3.(2022新高考Ⅰ,20,12分,中)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫
生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了
100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100人(称为对照组),得到如
下数据:
不够良
良好
好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?
(2)从该地的人群中任选一人,A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B 表示事件
“选到的人患有该疾病”,P(B|A) P(B|A) 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病
与
P(B|A) P(B|A)
风险程度的一项度量指标,记该指标为R.
P(A|B) P(A|B)
(i)证明:R= · ;
P(A|B) P( A|B)
(ii)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|B)的估计值,并利用(i)的结果给出R的估计值.
附:K2= n(ad−bc) 2 ,
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k)0.0500.010 0.001
k 3.8416.63510.828
.三年模拟
综合基础练
1.(2024届四川眉山青神中学期中,2)从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任
取两本书,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.至少有一本政治与都是数学
B.至少有一本政治与都是政治
C.至少有一本政治与至少有一本数学
D.恰有一本政治与恰有两本政治
2.(2024届重庆八中适应性月考(一),3)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选6只
小白鼠,随机地将其中3只分配到试验组且饲养在高浓度臭氧环境,另外3只分配到对照
组且饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g),则指定的两只小
白鼠分配到不同组的概率为( )
3 2 1 3
A. B. C. D.
10 5 2 5
3.(2024届四川达州育才外国语学校月考,9)从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数,若这三
个数之积为偶数,则它们之和大于8的概率为( )
1 2 4 5
A. B. C. D.
3 3 9 9
4.(2023山东潍坊二模,5)已知事件A、B满足P(A|B)=0.7,P(A)=0.3,则 ( )
A.P(A∩B)=0.3 B.P(B|A)=0.3
C.事件A,B相互独立 D.事件A,B互斥
5.(2024届湖南名校联合体第三次联考,5)为庆祝我国第39个教师节,某校举办教师联谊会,
甲、乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛,每轮比赛由甲、乙两人
4 3
各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为 ,乙每轮猜对的概率为 .在每轮比赛中,甲和乙
5 4
猜对与否互不影响,则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为 ( )
3 19 7 1
A. B. C. D.
5 20 20 20
6.(2024届湖北四市联考,5)长时间玩手机可能影响视力.据调查,某校学生大约30%的人近
视,而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时,这些人的近视率约为60%,现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生,则他近视的概率为 ( )
5 9 9 7
A. B. C. D.
21 40 20 20
7.(2023河北衡水二模,5)某校有演讲社团、篮球社团、乒乓球社团、羽毛球社团、独唱
社团共五个社团,甲、乙、丙、丁、戊五名同学分别从五个社团中选择一个报名,记事件
A为“五名同学所选项目各不相同”,事件B为“只有甲同学选篮球”,则P(A|B)=( )
3 3 3 2
A. B. C. D.
32 16 4 5
8.(2024届安徽蚌埠二中期中,7)已知P(B)=0.4,P(B|A)=0.8,P(B|A)=0.3,则P(A)= ( )
3 3 1 1
A. B. C. D.
4 8 3 5
9.(2024届浙江宁波一模,15)第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法
国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米、200米两项比赛,根据以往赛事分析,该运动
1 3
员100米比赛未能站上领奖台的概率为 ,200米比赛未能站上领奖台的概率为 ,两项比
2 10
1
赛都未能站上领奖台的概率为 ,若该运动员在100米比赛中站上领奖台,则他在200米
10
比赛中也站上领奖台的概率是 .
综合拔高练
1.(2023陕西宝鸡三模,8)已知口袋内有一些大小相同的红球、白球和黄球,从中任意摸出
一球,摸出的球是红球或白球的概率为0.4,摸出的球是红球或黄球的概率为0.9,则摸出的
球是黄球或白球的概率为 ( )
A.0.7 B.0.5 C.0.3 D.0.6
2.(多选)(2024届江苏常州前黄中学期中,9)已知事件A,B满足P(A)=0.5,P(B)=0.2,则( )
A.若B⊆A,则P(AB)=0.5
B.若A与B互斥,则P(A∪B)=0.7
C.若A与B相互独立,则P(A B)=0.9
D.若P(B|A)=0.2,则A与B相互独立
3.(多选)(2023广东广州二模)有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为8%,
第2台加工的次品率为3%,第3台加工的次品率为2%,加工出来的零件混放在一起.已知
第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的10%,40%,50%,从混放的零件中任取一个零件,
则下列结论正确的是 ( )A.该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08
B.该零件是次品的概率为0.03
C.如果该零件是第3台车床加工出来的,那么它不是次品的概率为0.98
1
D.如果该零件是次品,那么它不是第3台车床加工出来的概率为
3
4.(2023湖北十堰四调,16)甲、乙两位同学玩游戏:给定实数a =3,按下列方法操作一次产
1
生一个新的实数,由甲掷一枚骰子,若朝上的点数为1,2,3,则a =2a -4,若朝上的点数为4,则
2 1
a =a ,若朝上的点数为5,6,则a =a +2.对实数a 重复上述操作,得到新的实数a ,若a >a ,则
2 1 2 1 2 3 3 1
甲获胜,否则乙获胜,那么甲获胜的概率为 .
5.(2023江苏南京二模,15)一个袋子中有n(n∈N*)个红球和5个白球,每次从袋子中随机摸
出2个球.若摸出的两个球颜色不相同发生的概率记为p(n),则p(n)的最大值为 .
6.(2023山东菏泽一模,18)为了促进学生德、智、体、美、劳全面发展,某校成立了生物科
技小组,在同一块试验田内交替种植A、B、C三种农作物(该试验田每次只能种植一种农
1
作物),为了保持土壤肥度,每种农作物都不连续种植,共种植三次.在每次种植A后会有 的
3
2 1
可能性种植B, 的可能性种植C;在每次种植B的前提下再种植A的概率为 ,种植C的概
3 4
3 2 3
率为 ;在每次种植C的前提下再种植A的概率为 ,种植B的概率为 .
4 5 5
(1)在第一次种植B的前提下,求第三次种植A的概率;
(2)在第一次种植A的前提下,求种植A作物次数X的分布列及期望.专题十一 概率与统计
11.1 随机事件及概率
五年高考
考点1 随机事件的概率
1.(2019课标Ⅱ文,4,5分,易)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这
5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为 ( )
2 3
A. B.
3 5
2 1
C. D.
5 5
答案 B
2.(2018课标Ⅲ文,5,5分,易)若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45,既用现金支付
也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为 ( )
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
答案 B
3.(2021全国甲理,10,5分,中)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为(
)
1 2 2 4
A. B. C. D.
3 5 3 5
答案 C
考点2 古典概型
1.(2022全国甲文,6,5分,易)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取 2张,则
抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为 ( )
1 1 2 2
A. B. C. D.
5 3 5 3
答案 C
2.(2020课标Ⅰ文,4,5分,易)设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到
的3点共线的概率为 ( )1 2 1 4
A. B. C. D.
5 5 2 5
答案 A
3.(2022新高考Ⅰ,5,5分,易)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质
的概率为 ( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
答案 D
4.(2019课标Ⅰ理,6,5分,中)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重
卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,下图就是一重
卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是 ( )
5 11 21 11
A. B. C. D.
16 32 32 16
答案 A
5.(2022全国乙理,13,5分,易)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、
乙都入选的概率为 .
3
答案
10
6.(2022全国甲理,15,5分,中)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的
概率为 .
6
答案
35
考点3 事件的相互独立性
1.(2021新高考Ⅰ,8,5分,中)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机
取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”,乙表示事件“第二次取
出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 8”,丁表示事件“两次取出
的球的数字之和是7”,则( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
答案 B
2.(2022全国乙理,10,5分,中)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 p ,p ,p ,且p >p >p >0.记该棋手
1 2 3 3 2 1
连胜两盘的概率为p,则 ( )
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大
答案 D
3.(多选)(2023新课标Ⅱ,12,5分,难)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立,发送0时,
收到1的概率为α(0<α<1),收到0的概率为1-α;发送1时,收到0的概率为β(0<β<1),收到1
的概率为1-β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送 1
次;三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,
收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到
1,0,1,则译码为1) ( )
A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-α)(1-β)2
B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1-β)2
C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3
D.当0<α<0.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译
码为0的概率
答案 ABD
1 1
4.(2020天津,13,5分,中)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 .假定两球是否落入
2 3
盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ;甲、乙两球至少有一个落入
盒子的概率为 .
1 2
答案 ;
6 3
5.(2019课标Ⅰ理,15,5分,中)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场
胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主
客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则
甲队以4∶1获胜的概率是 .
答案 0.18
6.(2019课标Ⅱ,18,12分,中)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每
球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设
甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.
解析 (1)X=2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,
或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.
(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情
况为:前两球是甲、乙各得 1 分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-
0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.
名师点拨
由于先多得两分的一方获胜,10∶10平后,又打X球该局比赛结束,故X=2和X=4分别表示
打2球和4球后有一方比对方多得2分.
考点4 条件概率与全概率公式
1.(2023全国甲理,6,5分,中)某地的中学生中有 60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑
雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好
滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为( )
A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4
答案 A
2.(2023天津,13,5分,中)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球,其总数之比
为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为 40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个
球,取到的三个球都是黑球的概率为 ;将三个盒子中的球混合后任取一个球,是白
球的概率为 .
1 3
答案 ;
20 5
3.(2022新高考Ⅰ,20,12分,中)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫
生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了
100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100人(称为对照组),得到如
下数据:
不够良
良好
好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?
(2)从该地的人群中任选一人,A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B 表示事件“选到的人患有该疾病”,P(B|A) P(B|A) 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病
与
P(B|A) P(B|A)
风险程度的一项度量指标,记该指标为R.
P(A|B) P(A|B)
(i)证明:R= · ;
P(A|B) P( A|B)
(ii)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|B)的估计值,并利用(i)的结果给出R的估计值.
附:K2= n(ad−bc) 2 ,
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k)0.0500.010 0.001
k 3.8416.63510.828
.
200×(40×90−10×60) 2
解析 (1)由题中数据可知K2= =24>6.635,所以有99%的把握认为
100×100×50×150
患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
(2)(i) 证 明 : 因 为 R=
P(B|A) P(B|A) P(AB) P(A) P(BA) P(A) P(AB)·P(BA)
· = · · · = ,
P(B|A) P(B|A) P(A) P(BA) P(A) P(BA) P(BA)·P(BA)
( P(AB))
注 意P(B|A)=
P(A)
P(A|B) P(A|B) P(AB) P(B) P(AB) P(B) P(AB)·P(AB)
且 · = · · · = ,
P(A|B) P( A|B) P(B) P(AB) P(B) P(AB) P(AB)·P(AB)
P(A|B) P(A|B)
所以R= · .
P(A|B) P( A|B)
40 2 10 1 60 3 90 9
(ii)由题表中数据可知P(A|B)= = ,P(A|B)= = ,P(A|B)= = ,P(A|B)= = ,
100 5 100 10 100 5 100 10
2 9
P(A|B) P(A|B) 5 10
所以R= · = × =6.
P(A|B) P( A|B) 3 1
5 10
三年模拟
综合基础练
1.(2024届四川眉山青神中学期中,2)从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任
取两本书,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.至少有一本政治与都是数学B.至少有一本政治与都是政治
C.至少有一本政治与至少有一本数学
D.恰有一本政治与恰有两本政治
答案 D
2.(2024届重庆八中适应性月考(一),3)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选6只
小白鼠,随机地将其中3只分配到试验组且饲养在高浓度臭氧环境,另外3只分配到对照
组且饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g),则指定的两只小
白鼠分配到不同组的概率为( )
3 2 1 3
A. B. C. D.
10 5 2 5
答案 D
3.(2024届四川达州育才外国语学校月考,9)从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数,若这三
个数之积为偶数,则它们之和大于8的概率为( )
1 2 4 5
A. B. C. D.
3 3 9 9
答案 D
4.(2023山东潍坊二模,5)已知事件A、B满足P(A|B)=0.7,P(A)=0.3,则 ( )
A.P(A∩B)=0.3 B.P(B|A)=0.3
C.事件A,B相互独立 D.事件A,B互斥
答案 C
5.(2024届湖南名校联合体第三次联考,5)为庆祝我国第39个教师节,某校举办教师联谊会,
甲、乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛,每轮比赛由甲、乙两人
4 3
各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为 ,乙每轮猜对的概率为 .在每轮比赛中,甲和乙
5 4
猜对与否互不影响,则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为 ( )
3 19 7 1
A. B. C. D.
5 20 20 20
答案 B
6.(2024届湖北四市联考,5)长时间玩手机可能影响视力.据调查,某校学生大约30%的人近
视,而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时,这些人的近视率约为60%,现从每天
玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生,则他近视的概率为 ( )
5 9 9 7
A. B. C. D.
21 40 20 20答案 B
7.(2023河北衡水二模,5)某校有演讲社团、篮球社团、乒乓球社团、羽毛球社团、独唱
社团共五个社团,甲、乙、丙、丁、戊五名同学分别从五个社团中选择一个报名,记事件
A为“五名同学所选项目各不相同”,事件B为“只有甲同学选篮球”,则P(A|B)=( )
3 3 3 2
A. B. C. D.
32 16 4 5
答案 A
8.(2024届安徽蚌埠二中期中,7)已知P(B)=0.4,P(B|A)=0.8,P(B|A)=0.3,则P(A)= ( )
3 3 1 1
A. B. C. D.
4 8 3 5
答案 D
9.(2024届浙江宁波一模,15)第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法
国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米、200米两项比赛,根据以往赛事分析,该运动
1 3
员100米比赛未能站上领奖台的概率为 ,200米比赛未能站上领奖台的概率为 ,两项比
2 10
1
赛都未能站上领奖台的概率为 ,若该运动员在100米比赛中站上领奖台,则他在200米
10
比赛中也站上领奖台的概率是 .
3
答案
5
综合拔高练
1.(2023陕西宝鸡三模,8)已知口袋内有一些大小相同的红球、白球和黄球,从中任意摸出
一球,摸出的球是红球或白球的概率为0.4,摸出的球是红球或黄球的概率为0.9,则摸出的
球是黄球或白球的概率为 ( )
A.0.7 B.0.5 C.0.3 D.0.6
答案 A
2.(多选)(2024届江苏常州前黄中学期中,9)已知事件A,B满足P(A)=0.5,P(B)=0.2,则( )
A.若B⊆A,则P(AB)=0.5
B.若A与B互斥,则P(A∪B)=0.7
C.若A与B相互独立,则P(A B)=0.9
D.若P(B|A)=0.2,则A与B相互独立
答案 BD3.(多选)(2023广东广州二模)有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为8%,
第2台加工的次品率为3%,第3台加工的次品率为2%,加工出来的零件混放在一起.已知
第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的10%,40%,50%,从混放的零件中任取一个零件,
则下列结论正确的是 ( )
A.该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08
B.该零件是次品的概率为0.03
C.如果该零件是第3台车床加工出来的,那么它不是次品的概率为0.98
1
D.如果该零件是次品,那么它不是第3台车床加工出来的概率为
3
答案 BC
4.(2023湖北十堰四调,16)甲、乙两位同学玩游戏:给定实数a =3,按下列方法操作一次产
1
生一个新的实数,由甲掷一枚骰子,若朝上的点数为1,2,3,则a =2a -4,若朝上的点数为4,则
2 1
a =a ,若朝上的点数为5,6,则a =a +2.对实数a 重复上述操作,得到新的实数a ,若a >a ,则
2 1 2 1 2 3 3 1
甲获胜,否则乙获胜,那么甲获胜的概率为 .
5
答案
9
5.(2023江苏南京二模,15)一个袋子中有n(n∈N*)个红球和5个白球,每次从袋子中随机摸
出2个球.若摸出的两个球颜色不相同发生的概率记为p(n),则p(n)的最大值为 .
5
答案
9
6.(2023山东菏泽一模,18)为了促进学生德、智、体、美、劳全面发展,某校成立了生物科
技小组,在同一块试验田内交替种植A、B、C三种农作物(该试验田每次只能种植一种农
1
作物),为了保持土壤肥度,每种农作物都不连续种植,共种植三次.在每次种植A后会有 的
3
2 1
可能性种植B, 的可能性种植C;在每次种植B的前提下再种植A的概率为 ,种植C的概
3 4
3 2 3
率为 ;在每次种植C的前提下再种植A的概率为 ,种植B的概率为 .
4 5 5
(1)在第一次种植B的前提下,求第三次种植A的概率;
(2)在第一次种植A的前提下,求种植A作物次数X的分布列及期望.
解析 设A,B,C 表示第i次种植农作物A,B,C的事件,其中i=1,2,3.
i i i
(1)在第一次种植B的情况下,第三次种植A的概率为3 2 3
P(A )=P(C |B )P(A |C )= × = .
3 2 1 3 2
4 5 10
1 1 3
(2)由已知条件,得在第1次种植A的前提下P(B )= ,P(A |B )= ,P(C |B )= ,
2 3 2 3 2
3 4 4
2 2 3
P(C )= ,P(A |C )= ,P(B |C )= ,
2 3 2 3 2
3 5 5
因为第一次必种植A,则随机变量X的可能取值为1,2,
3 2 3 1 13
P(X=1)=P(C B )+P(B C )=P(B |C )·P(C )+P(C |B )·P(B )= × + × = ,
2 3 2 3 3 2 2 3 2 2
5 3 4 3 20
2 2 1 1 7
P(X=2)=P(C A )+P(B A )=P(A |C )·P(C )+P(A |B )·P(B )= × + × = ,
2 3 2 3 3 2 2 3 2 2
5 3 4 3 20
所以X的分布列为
X 1 2
13 7
P
20 20
13 7 27
E(X)=1× +2× = .
20 20 20
