数学学科知识与教学能力（初级中学）标准预测试卷-参考答案及解析_4-教培资料-26年最新资料-同步更新_初中高中教资_03科三专项（进去保存报考的学科即可）_初中_数学

10. I参考答案I 记 ”取到的零件是合格品 ” 为事件B,“零件为第一台机床的产品 ” 为事件Al,“零件为第二台机床的产品 ” 为事件A2。根据全概率公式，任取一零件是合格品的概率为P(B) = P(A,)P(B 队）＋P(A2)P(B 凡） ＝ —X 0.96 +— X 0.93 = 0.95。 11. I参考答案1 因为如）在无＝3 处可导，所以在无＝3 处连续，从而有limf(x)= limf伈） ＝f(3)，得9 = 3a + b。又由 工一令3 兀3- 肛）在冗＝3 处可导，得f:(3） ＝八（3)，分别计算八（3)和J:(3），几（3)= lim 肛） － Iµ-= limG=6, -3十 元－3 一3＋尤－3 知） －/(3) 釭＋b-9,. f a（尤－3). 3a+b-9\ H.... /a(x-3). 3a+b-9 几(3) =怎[? x -3 ＝ 上严 无－3 =箕性（ x - 3 + x -3 )，则四ƴ( 冗－3 ＋ 无- 3 ) = 6，将9 = 3a + b 代人，解得a = 6,b = - 9。 最后计算定积分，f阳）中＝『（6兀－9）中＋『元 2中＝（3x 2 -9x) I :＋亡『 ＝旦 12. I参考答案1 (I)改进教学方式 教师可以利用信息技术对文本、图像、声音、动画等进行综合处理，丰富教学场景，激发学生学习数学的兴 趣和探究新知的欲望。利用数学专用软件等教学工具开展数学实验，将抽象的数学知识直观化，促进学生对 数学概念的理解和数学知识的建构。利用技术支待平台将在线学习与课堂教学相结合，开展线上线下融合的 混合式教学。 (2)促进自主学习 加强线上网络空间与线下物理空间的融合，突破传统数学教育的时空限制，丰富学习资源，为学生自主学 习创造条件。指导学生做好时间管理，规划学习任务，利用数字化平台、工具与资源开展学习活动，加强自我 监控、自我评价，提升自主学习能力；家校协同，建立监控、指导、评价、激励机制，适时交流和开展个性化指导， 营造学生自主学习的良好环境。 13. I参考答案1 数据的集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，度量集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值 或中心值。加权平均数不同千简单的算术平均数，简单的算数平均数只与数据的大小有关，而加权平均数还 与数据的 “权 ” 相关，学生对 “权 ” 的意义和作用的理解会有困难，数据与 “ 权 ” 往往混淆不清，只会利用公式， 而不知加权平均数的统计意义。 在教学过程中，教师应设置间题情境，让学生在针对实际问题中的一组数据时，会根据具体情况赋予适当 的 “ 权 ” ，并根据得到的加权平均数对实际问题做出简单的判断。 “权 ” 的重要性在千它反映的是数据的相对 ”重要程度 ”，在教学过程中，要列举典型的、贴近学生生活和具有现实意义的生活例子，通过实际问题的分析 和解决，加深对 “权 ” 的理解和体会，渗透平均数和 “权 ” 的统计思想，帮助学生从算法、概念、统计三个角度去 理解加权平均数。 三、解答题 14. I参考答案1 (I)因为直线l与直线y= X + I 平行，所以直线l的斜率为l，又直线l 经过点A(O, -4），所以直线l的方程 为y - (- 4) = I x (x -0)，整理得y =元- 4。 (2) 联立直线和曲线方程{:2=元－ 4， 解得｛ 无＝ 2' 或『 ＝ 8， 因此，所求封闭图形的面积为 y = 2x, y = - 2, y = 4, r2 (y + 4 －扣）由 ＝（卓r 2 + 4y －扣）[ 2 = 18。 —2- (2)发现定理 问题：在线段AB的垂直平分线上任取几点Pl ,P2 ,P3 ，观察这些点到A,B 两点的距离，你能发现什么？ 组织学生用尺子量一量，或者用折叠法看所连线段是否对称。容易得出结论：线段垂直平分线上的点到 这条线段两个端点的距离相等。 (3)定理证明 让学生先用数学语言描述定理的已知和求证，然后尝试证明。 如图，已知直线l.LAB，垂足为C, AC= CB，点P在l上，求证：PA=PB。 l ; c: B 教师带领学生分析已知和求证，找到证明思路，即利用三角形全等的方法进行证明。 证明过程：·:l上AB,:. LPCA = LPCB。 又AC= CB,PC = PC,:. !:::..PCA î !:::..PCB(SAS),:. PA = PB。 (3)问题：如图，在!:::.ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE= 3 cm, !:::..ABD的周长为13cm，求!:::..ABC的周长。 B - C 解答：＇．．DE 是AC的垂直平分线，．．AD = DC, AE = EC = 3 cm，则!:::,.ABC的周长L =AB+BD+DC+AC = AB + BD + AD + 2AE = 13 + 2 x 3 = 19(cm)。 —4- x = -— 3, X = 1, 得y = -x = - l －心，又由1,1＝丘，得c 2 = x2 +y2 +z2 = 2＠，由麟解得｛r = － l，或1r = ｝，因此，c ＝ z = 0, z =-- 3, (1,-1,0)或C =(-主主－勺。 11. I 参考答案1 如图，S = J: I lnx 心＝JŰ(-lnx) 也＋『nx由＝ －（如－兀）I+ （如－兀）1 厂＝符lnlO -辈 m,元=...l... 10 x 12. I参考答案1 有理数是一个整数a和一个正整数b的比，它是整数和分数的集合。有理数和无理数统称为实数。 如果A概念的外延包含B概念的外延，那么这两个概念之间的关系称为从属关系，其中A概念叫作B概念 的属概念（上位概念），B 概念叫作A概念的种概念（下位概念）。结合有理数和实数的概念可以知道， “有理 数 ” 是 “实数 ” 的种概念，“实数 ” 是 “有理数 ” 的属概念，两概念之间的关系为从属关系。 “平行四边形 ” 相对于 “四边形 ” 是种概念，“四边形 ” 相对千 “平行四边形 ” 是属概念， “平行四边形 ” 和 “四边形 ” 概念之间的关系为从属关系。 “平行四边形 ” 和 “四边形 ” 均为 ＂矩形 ” 的属概念，所以一个概念的属 概念是不唯一的。 13. I参考答案1 (1 )教师的 ” 组织 ” 作用主要体现在：教师应当准确把握教学内容的数学实质和学生的实际情况，确定合 理的教学目标，设计一个好的教学方案；在教学活动中，教师要选择适当的教学方式，因势利导、适时调控、努 力营造师生互动、生生互动、生动活泼的课堂氛围，形成有效的学习活动。 (2)教师的 “ 引导 ” 作用主要体现在：通过恰当的间题，或准确、清晰、富有启发性的讲授，引导学生积极思 考，激发学生的好奇心；通过恰当的归纳和示范，使学生理解知识、掌握技能、积累经验、感悟思想；能关注学生 的差异，用不同层次的问题或教学手段，引导每一个学生都能积极参与学习活动，提高教学活动的针对性和有 效性。 (3)教师的 “ 合作 ” 作用主要体现在：教师以平等、尊敢的态度鼓励学生积极参与教学活动，启发学生共同 探索，与学生一起感受成功和挫折、分享发现和成果。 三、解答题 14. I参考答案1 设存在X1,X2 ,X3 使得…¥1 + X2a2 ”勺a3 = /J，对该线性方程组的增广矩阵作初等行变换： （a! ＂ ＂ P) ［主：百1兰］－［会百三三］－ ［全三 a三1b : 2 2 ] (1 )当a为任意实数，b ¥< 2时，线性方程组X1a1 + X2a2 + X3a3 = /J 无解，此时p不能由a1,a2 ,a3 线性 表示。 — 6 — 因此，在解决问题时，两种推理密不可分。 (3) 在教学过程中，应注重两种推理方式的结合使用。合情推理是通过学生的自主学习活动发现结论的 过程，更能贯彻以学生为主体的思想，培养学生的创造性思维和思考问题的条理性。在合情推理后结合演绎 推理，让学生经历运用法则证明结论的过程，使学生感受对结论进行科学、严谨的证明的重要性，使其真正领 悟到所学知识的来源。演绎推理更为重要的是，教师可以在这一过程中向学生渗透解题技巧和相应的数学思 想方法，对学生数学思维和解题能力的培养起到重要作用。在对问题进行探究性教学时，只有将演绎推理和 合情推理相互结合，学生才能真正清楚该问题的分析过程，从而全面培养其相应的思维及能力。 六、教学设计题 17. I参考答案1 (1)教学目标 CD 综合利用图形与几何、函数等知识解决开放性问题，学会一题多解。 ＠经历探索一题多解的过程，发展创新思维和推理能力，提高综合运用所学知识解决问题的能力。 ＠在探索解题方法的过程中，培养积极探索精神，养成良好的数学思考的习惯，建立学好数学的信心。 教学重难点 教学重点：综合运用所学知识从多个角度思考和解决问题。 教学难点：多种方法的探索。 (2)教学过程 一、复习旧知 教师带领学生复习三角形全等、相似以及相关的图形与几何知识。 【设计意图］通过复习相关旧知，为学生接下来做相关习题提供思路和理论基础，使学生更容易进入学习 状态，发挥出想象力和创造性。 二、问题探究 教师课件出示例题，并给学生充足的时间独立思考。（教师在此过程中进行巡视，如果多数学生不能够独 立地想出解题方法，教师应进行相应的引导） 教师随机请几位学生说说他的解题思路。预设学生有以下几种解题思路： (1)连接AE，若AP 2 + PE2 = AE2，则LAPE为直角。 (2) 若!:::.ABP~ !:::.PDE，则LAPE为直角。 (3)设PE 与CF交于点H。若!:::.ABPÐ !:::.EFH，则LAPE为直角。 教师对例题的条件进行补充，设长方形AB长为a,BC长为b，请学生利用前面的几种解题思路，求出当BP 长为多少时，LAPE为直角。 先让学生独立尝试解答，然后再小组合作，探讨有疑问的地方或者更简便的解题方法。 各组汇报探究结果，教师同时请几位同学上台板演解题过程。 预设学生的解题过程如下： (I)设BP长为元，连接AE，则AP 2 = a2+尤2,PE2=b2+(a+b-兀）气AE2 = (a + b) 2 + (b -a) 2 ,当A户＋ PE2 = AE2 时，解得X= a或冗＝b。 AB BP (2) 设BP长为尤。当!:::.ABP~ !:::.PDE 时，有—- = —－所以 a ＝三－，解得父＝a或冗＝b。 PD DE'"'.,.a+ b -无 b (3)设BP长为x。当!:::.ABPÐ!:::.EFH 时，FH =BP= X，此时!:::.EFH~!:::.PCH，有二二－＝ －色＿，解得X = b-x b-x a；当X= b 时，P 点与C点重合，H点不存在，此时t,.ABP兰!:::.PDE,LAPE = 90°。所以BP长为a或b。 教师对学生的回答进行评价，并对学生的板演进行订正，对于学生有疑问或者掌握的不好的地方进行重 点讲解。 ［设计意图］通过教师引导，学生在自主探索、合作学习的过程中，学会有条理的思考，能比较清楚地表达 一－8- 一、单项选择题 教师资格考试数学学科知识与教学能力（初级中学） 标准预测试卷（三）参考答案及解析 2 0 -41 12 0 -41 12 0 -4 1. A 解析： －3 1 5 I = I O I -I I = I O 1 -1 I = 16。故本题选A。 2 9 -51 10 9 -11 10 0 8 2. A 解析：平面3x+ 2y -z + 5 = 0的一个法向批为n, = (3,2, -1），平面无－2y-z -4 = 0的一个法 向蜇为n2 = (1, -2, -J），因为n, • llz = 3 x 1 + 2 x (-2) + (- 1) x (-1) = O，所以两平面相交且垂直。 故本题选A。 3. C 解析：对千A,B 两项，取x;=1 + —,<=I +ǯ,n e N且n > 3，虽然lim(X: -X:) = 0，但是 n'" n + I'- - -,_,....一。 |I飞） －f（x;')| = 1 > 0，所以函数f(x)= 在（1,2)和(1,2]上都不一致连续；C项，因为函数f(x) = x - l ——在[-2, -1]上连续，由康托尔定理，知函数f(x)在[-2, -1]上一致连续心项，函数在x = 1处无定 x - 1 义。故本题选C。 1 01 r -1 1 4. D解析：当A = [ǰ DZ],B = [ ] 时，A 2 = E = B2，此时A,ia B, A,ia-B 且凶1Dz IBl,A,B, 0 1 0 1 C项错误；由A 2 = B2，可得IA 2 I= 1B2 I⇒!AA I= IBB 巨IAIIAI= IB IIB l⇒IAl 2 = 1B 1 2 , D项正确。故 本题选D。 5. D 解析：因为A.为n阶方阵A的伴随矩阵，所以IA'I= IA I 几－1，则I IA*IAI= I IAl"-'·AI= (IA尸） 几• IA I= IA 1•'-n+I。故本题选D。 6. C解析：根据题意知，基本事件总数为c; = 10 （种），取出的2支彩笔中含有红色彩笔的基本事件数为 4 2 C团＝4（种），故所求概率P= —. = —-。故本题选C。 10 5 7. C 解析：《义务教育数学课程标准(2022年版）》在评价建议中指出，要发挥评价的育人导向作用，坚 持以评促学、以评促教。故本题选C。 8. C 解析：泰勒斯在数学方面划时代的、影响最深远的贡献是引人命题证明的思想，被称为人类历史上 第一位数学家。故本题选C。 二、简答题 9. I参考答案1 罗尔中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b l上连续，在开区间(a,b)上可导，且/(a) = f(b），则在(a, b)上至少存在一点§，使得f'(t) = 0。 构造函数J(x)_= x 3 -3x +c，求导得f'(x) = 3x 2 -3，令f'(x) = 0，解得X =土l，当XE (O,l)时J'(x)< 0，函数单调递减。假设函数f(x)在区间［0,1]内有两个不同的实根x 1,Xz，不妨设X1 < X2，则f包）＝I伍）＝ 0，由罗尔定理可知，在区间(x 1,x 2)上存在§，使得I'(§) =0，这明显与函数f(x)在(0, 1)上单调递减矛盾，所 以假设不成立，即方程x 3 -3x+c =O (c 为常数）在区间[0, I]内不可能有两个不同的实根。 10. I参考答案1 设机(a1 飞）＋k2(a2 飞）＋丛(a1 飞）＝ （K1 心）a1+ (K 1 ＋朽）a2+ (K2 ＋丛）a3 = 0。由于al, “”“3 线性无关，所以｛：：：： ： ：：解方程组得kl = k2 = k3 = 0。因此，a1+a2,a2 +a3,a1 +a3 线性无关。 k2 + k3 = 0, —10- 四、论述题 15. I参考答案1 (1)教学目标要体现核心素养的主要表现 教学目标的确定要充分考虑核心素养在数学教学中的达成。每一个特定的学习内容都具有培养相关核心 素养的作用，要注重建立具体内容与核心素养主要表现的关联，在制定教学目标时将核心素养的主要表现体现 在教学要求中。例如：确定小学阶段 “数与运算 ” 主题的教学目标时，关注学生符号意识、数感、矗感、运算能力等 的形成；确定初中阶段 “图形的性质 ” 主题的教学目标时，关注学生空间观念、几何直观、推理能力等的形成。 (2)处理好核心素养与 “ 四基 ”“四能 ” 的关系 核心素养导向的教学目标是对 “ 四基 ”“ 四能 “ 教学目标的继承和发展。 “ 四基 ”“ 四能 ” 是发展学生核心 素养的有效载体，核心素养对 “四基 ”“ 四能 “ 教学目标提出了更高要求。例如：要引导学生在发现间题、提出 问题的同时，会用数学的眼光观察现实世界；在分析问题的同时，会用数学的思维思考现实世界；在用数学方 法解决问题的过程中，会用数学的语言表达现实世界。 五、案例分析题 16. 1参考答案1 (1)教学过程中教师通过具有启发性的问题引导学生探究勾股定理，激发学生好奇心的同时也培养了学 生良好的思维方式；教师组织学生利用多种方式计算正方形面积，提高学生学习效率的同时，培养学生的求异 思维和发散思维；教师在积极引导学生思考的同时，还对学生的回答进行正面评价，与学生共同总结发现，充 分体现了教师把学生放在第一位。 (2)该教学片段中蕴含了从特殊到一般和数形结合的数学思想。教师从实例出发，通过探索四个全等直 角三角形和小正方形拼接成的大正方形的面积之间的关系进而归纳出勾股定理的一般结论体现了从特殊到 一般的数学思想；借助图形进行分割、补形、拼凑等方法探索勾股定理体现了数形结合思想。 从特殊到一般的数学思想，是通过观察具体、特殊的情况，归纳出一般性的规律，为数学问题提供普遍适 用的解答方法；数形结合是强调数与形之间的相互转化与结合，利用直观的图形辅助解决抽象的数学问题，使 复杂问题变得直观易懂。这两种思想在数学学习和应用中扮演若直要角色，有助于我们更深入地理解数学的 本质，提高解决问题的能力。 (3)在教学实践中，想要有效的开展数学思想的教学要注重以下几点： 心立足数学本源，挖掘并渗透数学思想。教学中教师应将知识背后的数学思想挖掘出来，使其显性化、明 朗化、并有效渗透到数学学习的过程中。 ＠在知识的发生过程中，体验数学思想。教学中教师应把握好概念的形成过程、结论的推导过程、规律的 揭示过程等，向学生渗透数学思想及方法、训练思维。 ＠在问题的解决过程中，凸显数学思想。数学问题的转化无不遵循数学思想指示的方向，教师在教学中 应突出数学思想在解题中的指导作用，展示数学思想的应用过程。 ＠在知识的总结过程中，归纳数学思想。数学思想的教学是零散的而不是系统的，因此在教学中教师应 在课后小结或总复习时及时归纳，使数学思想纳人已有的系统，逐步完善。 ＠引导学生养成反思习惯，增强数学思想意识。在教学中教师应引导学生经常反思在概念、定理、法则、 解题等的教学中所包含的数学思想方法，帮助学生感悟数学思想，进而培养数学思维能力。 六、教学设计题 17. I参考答案1 (1)教学重点：二次根式的化简，最简二次根式。 教学难点：二次根式化简方法的探究过程。 (2)一、导入新课 复习二次枝式的乘除法法则。 — 12 — 教师资格考试数学学科知识与教学能力（初级中学） 标准预测试卷（四）参考答案及解析 一、单项选择题 解析皿（元」岊－x) ＝压U『丿勹－1) = limx(F. -1) （／勹 + 1) 一 二 ＋1 1. B 2. C 王厂卢 1 = 1 :`l = 1。故本题选B。 无 －l 2 2 2 解析：尤 2 + 2y 2 + 3z 2 - 4 = 0可化为立－＋汇十三＝l,这是一个椭球面。故本题选C。 4 2 4 3 3. C 解析：矩阵乘法一般情况下不满足交换律，A 项错误；（A + B) 2 = (A + B)(A + B) = A 2 + AB + BA + 团当AB =BA时，才有(A + B) 2 =A 2 +2AB+B2 ,B项错误；因为A 可逆，等式AB =AC 两边同乘A 一1 得，B = C, C 项正确；当A=[; V,B =[『 』时，有AB =0，所以矩阵A,B 不一定是零矩阵。故本题选C。 4 c 解析：对题中矩阵作初等行变换，化成阶梯形矩阵：［； 3 l 2 0 － － l O O － － T -- 2 4 6 l O O -- 1 3 0 2 』，因为阶梯形矩阵有2 个非零行，所以矩阵A 的秩是2 。故本题选C。 1 0 3 ＿ ＿ ＿ 2 0 0 5. A 解析：点（元，y,z)关千坐标原点的对称点为（－元，－Y, -z)，所以点A(-2,1,-1)关千坐标原点的 对称点是（2, - 1, 1)。故本题选A。 6. C 解析：由X ~N(µ,(T 2 ），知E(2X + 1) = 2E(X) + I =孕＋1 = 5，解得µ =2 。故本题选C。 7. C 解析：A,B,D 三项均为高中数学课程内容；C 项为初中数学课程内容。故本题选C。 8. B 解析：《九章算术》在数学上有许多成就，包括最早提出了正负数及其加减运算法则和 ＂盈不足 术 ”，最早系统地叙述了分数的约分通分和四则运算法则，最早提出了 ＂线性方程组 ” 的概念，并系统地总结 其算法等。故本题选B。 二、简答题 9. I参考答案1 (A,E) l O O ＿ ＿ 2 2 0 0 0 2 l 2 3 ＿ ＿ l- 2 1 2 2 4 0 5- 2 ] 0 3 5 o o 。 。 T － － O O l T ＿＿－ 0 3 2 1 。 。 。 。 1 0 0 － －。 。 2 2 2 1- 2 l一 4 1- 2 －－ 0 3 5 2 3 - - 5- 2 5- 4 1_ 2 。 。＿ － － O O l 1 0 0 － － 2 2 0 0 3 2 2 1 ＿ ＿ 。 - l T － － 0 0 1 3- 2 3- 4 1; 2 = (E,A 一1 ) 。 —14 - 学生思维的积极性。 以 “相似三角形 ” 为例，学生在学习新知之前学习过 “全等三角形 ” 的相关知识。两个三角形全等，其对应 边的比值为1，教师可以抓住这一特性，采用 “ 类比导入法 ”，引导学生通过观察全等三角形和相似三角形的对 比图，结合全等三角形的性质特征来类比分析相似三角形的性质特征。 三、解答题 14. I参考答案1 1 1 21 11 1 2 1 - 3 (l) 1A I = 3 4 3一 O l - 3 = 1 = k + 2 = 0，所以k = -2。 2 k - 4 2 4 kl 10 2 k-4 (2) 设a3 = x1” 1 +x2”2。求xl ,x2 的值就是解非齐次线性方程组Bx = a3，其中B = ( a,, a2),x = (x l，动 T。对方程组的增广矩阵作初等行变换， (B, a,) = [: : _:]-[: 所以X = (5, -3) r，即a3 = 5a, - 3a2o 四、论述题 15. 1参考答案I 教学方案一般分为四步。 首先是引入概念，数学概念是数学思维的细胞，是形成数学知识体系的基本元素，对千学习数学有着非常重要 的作用。可以通过实例引入、以旧引新、概念对比、概念类比、字义透视、图形观察、互逆这七种方法引入概念。 其次是要明确概念，明确概念就是明确概念内涵、外延、表达方式等。明确概念的内涵，准确地给概念下 定义；明确概念的外延，正确的给概念分类；明确概念的表达及限制条件。 然后就是巩固概念了，巩固概念是为了防止遗忘，再现的方式有复述、举实例、建立知识之间的广泛连接 等。我们可以当堂巩固，也可以在课下及时复习。 最后就是概念的应用，概念应用有不同的层次，低层次的是知觉水平的应用，高层次的是思维水平的 应用。 五、案例分析题 16. I参考答案1 (1)配方法是用开平方的方法，把一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程；因式分解法是使方程转 化为两个一次式的乘积等千0 的形式，再使这两个一次式分别等千0，从而实现降次。这两种方法的共同之处 是将一元二次方程降次，转化为求一元一次方程的解，这体现了化归的数学思想，即把一个比较难解决的问 题，通过某种方式，转化为比较容易解决的问题，最终得到原问题的答案。 (2)配方法和求根公式都是解一元二次方程的方法，配方法适用千比较好配成完全平方形式的方程，求根 公式适用于求一般的方程，但是求根公式也是利用配方法将普通一元二次方程配方求解得出来的，所以这其 中也体现了转化的数学思想，教师在教学时不应该让学生对求根公式死记硬背，而应该讲清楚求根公式的原 理，让学生在解一元二次方程时，能够根据方程的特点灵活选取求解的方法，达到快速准确求解。 六、教学设计题 17. I 参考答案I (1) 例题l的设计意图 例题1 的证明需要构造辅助线，即从点D向AB 作垂线，交AB于点E，然后根据角平分线的性质（角平 分线上的点到角两边的距离相等）和题中条件得到CD = DE,AC = AE，再根据题中条件分析!::.DEB（等 腰直角三角形），进而得到DE= EB，从而可证得AC+ CD = AE + DE = AE + EB = AB。因此，在练习过程 中可以进一步使学生理解角平分线的性质定理，学会利用角平分线的性质解决问题，顺利达成中和＠的 ; : :l-+[i 。]-[: ， l - 5 3 0 0 0 —16 - 教师资格考试数学学科知识与教学能力（初级中学） 标准预测试卷（五）参考答案及解析 一、单项选择题 sin(x -1),. sin(冗-1),. r sin(冗- 1) 1 1. D 解析：！呼元2 +x - 2 ＝上几－l)（x + 2) ＝叫 x - 1 • ml = ！呼无言 ＝了。故本题 选D。 2. D 解析：平面X - 2y + 3z + 2 = Q的一个法向量为n l = (l, -2,3），平面－2x+4y -6z-4=0 的一 1 -2 3 2 个法向量为n2 = ( -2,4, -6），因为—- = —- = -—= —－，所以两平面重合。故本题选D。 -2 4 -6 -4 3. C 解析：根据n维向量的运算法则和性质，易知A,B,D项结论正确；当a,p对应分量相等时，才可以 得到a =/J,C项不成立。故本题选C。 4. D 解析：IA· -A 一1 I= I I A IA -I - A -I I= I (I A I-1)A~'I= I IAl-lll A-'l=O。故本题选D。 5. A 解析：点(x,y,z)关千坐标原点的对称点为（一元，－y, -z)，所以点P(3, -1,2)关千坐标原点的对 称点是（－3,1, -2)。故本题选A。 6. C 解析：在空间直角坐标系下，由方程丁＋下＋ŵ = l(a > O,b > O,c > 0)所表示的曲面称为椭球 面。题干中方程—+-+-- = 1表示的图形是椭球面。故本题选C。 4 3 2 7. A 解析：贝克莱悖论揭示出微积分理论存在着逻辑矛盾，而牛顿、莱布尼茨都无法澄清微积分理论中 的混乱，这导致了数学史上的第二次危机。数学史上的三次危机事件依次是希帕索斯悖论（无理数的发现）、 贝克莱悖论（无穷小究竟是不是零？）、罗素悖论。故本题选A。 8. D 解析：《义务教育数学课程标准(2022 年版）》指出， “能度址和表达两点间的距离 ” 是7 ~9年级 “点、 线、面角 ” 部分要求的课程内容， “能描述简单随机事件的特征 ” 是7 ~9年级 “ 随机事件的概率 ” 部分要求的课 程内容。此外，7 ～ 9 年级课程内容要求 “体会刻画数据离散程度的意义 ”，而不是能用样本估计总体的离散程 度；7 ～9年级的课程内容要求 “能根据具体问题中的数昼关系列出方程，理解方程的意义 ”“结合具体问题，了解 不等式的意义，探索不等式的基本性质 ”，而对从函数的观点认识方程和不等式没有要求。故本题选D。 二、简答题 9. I 参考答案1 (1) 对非齐次线性方程组所对应的增广矩阵A 作初等行变换： A [] : : :l-[[』:: : b oll l o 当a-¥-2 时，r(A)= r(A) = 3，此时线性方程组有唯一解； 当a=2,b ¥- 1 时，2 = r(A) # r(A) = 3，此时线性方程组无解； 当a=2,b = 1 时，r(A) = r(A) = 2 < 3，此时线性方程组有无穷多解。 (2) 根据题（1) ，若线性方程组有无穷多解，则a= 2,b = I，将增广矩阵化成行最简阶梯形矩阵： j：［三［三[]-+[士［三： l - +［王：三:] — 18 — 的形成过程，处理好过程与结果的关系；重视数学内容的直观表述，处理好直观与抽象的关系；重视学生直接 经验的形成，处理好直接经验与间接经验的关系。 (3)课程内容呈现。注重数学知识与方法的层次性和多样性，适当考虑跨学科主题学习；根据学生的年龄 特征和认知规律，适当采取螺旋式的方法，适当体现选择性，逐渐拓展和加深课程内容，适应学生的发展 需求。 三、解答题 14. I参考答案I 1 (1)要使J(x）在x =0处连续，则有!in,,if(x) = l皿x msin一＝J(O) = 0，因此l皿无 m = Q，所以m为大千等千 尤一。 工＿。 无 工一。 l的正整数。 （心） "'sin — (2)若函数f(x)在x = 0 处可导，则f'(0 ) = hmf(0 ＋心）－f（0 ) = hm 心＝lim（上）m-1. 缸-0 A无 心 A无 心-0 sin"i;存在。由此易知，当m - 1 ;a. 1,即m ;a. 2时，极限lim （心） m - Jsin 一存在；当m = 1时，极限 缸 A 比心） m-lsini;不存在。综上，m为大千等于2的正整数时，f(父）在元＝0处可导。 (3)若f(x）的一阶导数在无 ＝0处连续，则f'(O)存在，且lill_lf ＇（父）＝f'(O)。由(2)知，当m为大千等千 允刁 2的正整数时f'(O)存在，且f'(O) = 0。因为当无"F 0 时，f'（元）＝叩 m- I sin _:_ - X m-2 COS—，所以要使 杻权 ” (x) = f'(O) = 0，则需m-2,;.1，即m ;a. 3。综上，m为大于等千3的正整数时，f(父）的一阶导数在无＝ 0 处连续。 四、论述题 15. I参考答案I 数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成的。教师在制定教学目 标时要充分关注数学学科核心素养的达成；要深人理解数学学科核心素养的内涵、价值、表现、水平及其相互 联系；要结合特定教学任务，思考相应数学学科核心素养在教学中的孕育点、生长点：要注意数学学科核心素 养与具体教学内容的关联；要关注数学学科核心素养目标在教学中的可实现性，研究其融人教学内容和教学 过程的具体方式及载体，在此基础上确定教学目标。 学生数学学科核心素养水平具有阶段性、连续性、整合性等特点。教师应理解不同数学学科核心素养水 平的具体要求，不仅关注每一节课的教学目标，更要关注主题、单元的教学目标，明晰这些目标对实现数学学 科核心素养发展的贡献。在确定教学目标时，要把握好学生数学学科核心素养发展的各阶段目标之间的关 系，合理设计各类课程的教学目标。 数学学科核心素养是 “ 四基 ” 的继承和发展。 “ 四基 ” 是培养学生数学学科核心素养的沃土，是发展学生 数学学科核心素养的有效载体，教学中要引导学生理解基础知识，掌握基本技能，感悟数学基本思想，积累数 学基本活动经验，促进学生数学学科核心素养的不断提升。 五、案例分析题 16. I参考答案1 (1)教师甲在教学中注重让学生动手实践探究，有利千培养学生的动手操作能力，且在学生学习新概念后 及时设置习题，能够有效帮助学生加深对概念的理解，提高应用所学知识解决问题的能力。但是，教师甲也有 一些不足之处，在教学中忽略了学生的主体地位，没有引导学生进行思考，而是直接讲解知识内容，忽视了知 识间的内在联系，不利于学生对新知的理解和学习。 教师乙用一个数学问题进行课堂导人，充分激发了学生参与课堂学习的积极性，同时，在整个教学过程 一－20 - 教师总结：在证明一个四边形是平行四边形时，我们通常要化归到平行四边形的定义，并把平行四边形问 题转化为证明三角形全等或角相等，得出两直线平行，即可证得结论成立。 三、归纳总结 回顾平行四边形的性质定理及本节课所学。 师生共同总结：平行四边形的判定定理与相关的性质定理互为逆定理。也就是说，当定理的条件与结论 互换后，所得命题依然成立。 ［设计意图］引导学生经历猜想、探究和证明的过程，锻炼了学生的动手操作能力，通过让学生用数学语言 表述和证明，让学生感受数学的简洁关，培养其符号化与转化思想。 - 22-