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专题检测练
一、单项选择题
1.(2023河南郑州一模)将2个1和3个0随机排成一行,则2个1不相邻的概率为 (
)
A.0.3 B.0.5
C.0.6 D.0.8
答案 C
2.(2023广西南宁三中模拟预测,3)某统计部门对四组数据进行统计分析后,获得如图所示
的散点图.
下面关于相关系数的比较,正确的是 ( )
A.r <r <r <r B.r <r <r <r
4 2 1 3 2 4 1 3
C.r <r <r <r D.r <r <r <r
2 4 3 1 4 2 3 1
答案 C
3.(2024届黑龙江牡丹江第三高级中学第一次月考,2)已知随机变量X,Y分别满足
1
X~B(8,p),Y~N(μ,σ2),且期望E(X)=E(Y),又P(Y≥3)= ,则p= ( )
2
1 1
A. B.
8 4
3 5
C. D.
8 8
答案 C
4.(2024届浙江金华十校模拟,4)有一组样本数据1,3,2,a,3,5,4,b,则 ( )
A.这组样本数据的极差不小于4
B.这组样本数据的平均数不小于4
C.这组样本数据的中位数不小于3
D.这组样本数据的众数等于3
答案 A北京曲一线图书策划有限公司
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5.(2024届江西景德镇第一次质检,6)对某位运动员近5次比赛成绩统计如表:
比赛次数x 1 2 3 4 5
得分y 3940484850
^ ^
根据表可得y关于x的经验回归方程为 y=3x+a,则下列说法不正确的是 ( )
^
A.a=36
B.y与x的相关系数r>0
C.得分y的方差为22.8
D.预测第6次比赛成绩为54
答案 C
6.(2023山东威海一模,4)随着经济的发展和人民生活水平的提高,我国的旅游业也得到了
极大的发展.据国家统计局网站数据显示,2012—2021年我国国内游客人数(单位:百万)折
线图如图所示,则下列结论不正确的是( )
A.2012—2021年,城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数
B.2012—2021年,城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差
C.2012年到2019年,国内游客中城镇居民游客人数占比逐年增加
D.2012—2021年,农村居民国内游客人数的75%分位数为1 535
答案 D
二、多项选择题
7.(2024届辽宁鞍山第一次质量监测,11)甲盒中有3个白球,2个黑球,乙盒中有2个白球,3
个黑球,则下列说法中正确的是 ( )
3
A.若从甲盒中一次性取出2个球,记X表示取出白球的个数,则P(X=1)=
10
13
B.若从甲盒和乙盒中各取1个球,则恰好取出1个白球的概率为
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C.若从甲盒中连续抽取3次,每次取1个球,每次抽取后都放回,则恰好得到2个白球的概
54
率为
125
D.若从甲盒中取出1球放入乙盒中,再从乙盒中取出1球,记B:从乙盒中取出的1球为白
13
球,则P(B)=
30
答案 BCD
三、填空题
8.(2024届河南平许济洛第一次质量检测,14)商场为改进服务质量,提升顾客购物体验,从
2023年第三季度消费过的顾客中随机抽取部分人进行满意度问卷调查.并将这部分人满
意度的得分分成以下6组:[40,50),[50,60),…,[90,100],统计结果如图所示.那么该商场顾客
满意度得分的第60百分位数为 .
答案 75
9.(2024届广东广州十六中质检(一),16)有n个编号分别为1,2,…,n的盒子,第1个盒子中
有2个白球1个黑球,其余盒子中均为1个白球1个黑球,现从第1个盒子中任取一球放
入第2个盒子,再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子,以此类推,则从第2个盒子中
取到白球的概率是 ,从第n个盒子中取到白球的概率是 .
5 1 (1) n 1
答案 ; × +
9 2 3 2
四、解答题
10.(2017课标Ⅰ理,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从
该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这
条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零
件数,求P(X≥1)及X的数学期望.
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这
一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:北京曲一线图书策划有限公司
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9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
1 16
经计算得x= ∑❑x=9.97,
16 i
i=1
√ 1 16 √ 1 16 √ 1 16 √ 1 16
∑❑(x −x) 2= (∑❑x2−16x2 )s ∑❑(x −x) 2= (∑❑x2−16x2 )
16 i 16 i 16 i 16 i
i=1 i=1 i=1 i=1
=≈0.212,其中x为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
i
^ ^
用样本平均数 x作为μ的估计值μ,用样本标准差s作为σ的估计值 σ,利用估计值判断
^ ^ ^ ^
是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ−3σ,μ+3σ)之外的数据,用剩下的数据估计μ
和σ(精确到0.01).
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.997 4.
0.997 416≈0.959 2,√0.008≈0.09.
解析 (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.997 4,从而零件的尺寸在
(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.002 6,故X~B(16,0.002 6).
因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 416≈0.040 8.
X的数学期望为EX=16×0.002 6=0.041 6.
(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.002 6,一天内抽取
的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小.
因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常
情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.
^ ^
(ii)由x=9.97,s≈0.212,得μ的估计值为
μ
=9.97,σ的估计值为
σ
=0.212,由样本数据可以看出
^ ^ ^ ^
有一个零件的尺寸在(μ−3σ,μ+3σ)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.
^ ^ ^ ^ 1
剔除(μ−3σ,μ+3σ)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为 ×(16×9.97-9.22)=10.02,因此
15
μ的估计值为10.02.
16
∑❑x2
=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,
i
i=1
^ ^ ^ ^ 1
剔除(μ−3σ,μ+3σ)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为 ×(1 591.134-9.222-
15
15×10.022)≈0.008,
因此σ的估计值为√0.008≈0.09.北京曲一线图书策划有限公司
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11.(2024届湖南名校联合体第三次联考,18)2023年实行新课标新高考改革的省市共有29
个,选科分类是高级中学在校学生生涯规划的重要课题,某高级中学为了解学生选科分类
是否与性别有关,在该校随机抽取100名学生进行调查.统计整理数据得到如下的2×2列
联表:
选物理类选历史类合计
男
35 15
生
女
25 25
生
合
100
计
(1)依据小概率值α=0.05的独立性检验,能否据此推断选科分类与性别有关联?
(2)在以上随机抽取的女生中,按不同选择类别同比例分层抽样,共抽取6名女生进行问卷
调查,然后在被抽取的6名女生中再随机抽取4名女生进行面对面访谈,设面对面访谈的
女生中选择历史类的人数为随机变量X,求随机变量X的分布列和数学期望.
n(ad−bc) 2
附:χ2= ,其中n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
0.02 0.00
α 0.10 0.05 0.010 0.001
5 5
5.02 7.87
x 2.7063.841 6.635 10.828
α
4 9
解析 (1)2×2列联表补充如下:
选历史
选物理类 合计
类
男生 35 15 50
女生 25 25 50
合计 60 40 100
零假设为H :选科分类与性别无关联,
0
100×(35×25−25×15) 2 25
因为χ2= = ≈4.167>3.841=x ,
0.05
60×40×50×50 6
根据小概率值α=0.05的独立性检验,推断H 不成立,
0
即认为选科分类与性别有关联,此推断犯错误的概率不大于0.05.
(2)由已知,50名女学生中选择物理类和选择历史类的比例为1∶1,
因此抽取的6名女生中,选择物理类和选择历史类的人数均为3名,北京曲一线图书策划有限公司
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所以随机变量X的可能取值为1,2,3.
C1C3
3 1
C2C2
3
C3C1
1
P(X=1)= 3 3= = ,P(X=2)= 3 3= ,P(X=3)= 3 3= ,
C4 15 5 C4 5 C4 5
6 6 6
所以随机变量X的分布列如表:
X 1 2 3
1 3 1
P
5 5 5
1 3 1
所以E(X)=1× +2× +3× =2.
5 5 5
12.(2024届湖南部分学校第三次联考,20)某商场在6月20日开展开业酬宾活动.顾客凭
购物小票从6~20这15个号码中依次不放回地抽取2个号码,第1个号码为a,第2个号码
b
为b.设X是不超过 的最大整数,顾客将获得购物金额X倍的商场代金券(若X=0,则没有
a
代金券),代金券可以在活动结束后使用.
(1)已知某顾客抽到的a是偶数,求该顾客能获得代金券的概率;
(2)求X的数学期望.
解析 (1)当b>a时,该顾客能获得代金券.设“a是偶数”为事件A,“b>a”为事件B,
(20−6)+(20−8)+…+(20−18) 56 4
则P(AB)= = = ,
A2 210 15
15
8×14 8
=
P(A)= ,
A2 15
15
4
P(AB) 15 1
所以P(B|A)= = = ,
P(A) 8 2
15
1
所以当顾客抽到的a是偶数时,该顾客能获得代金券的概率为 .(3分)
2
(2)X的可能取值为0,1,2,3. (4分)
1
当X=0时,b<a,则P(X=0)= . (5分)
2
当X=1时,a+1≤b≤2a-1,
若a≥11,则a+1≤b≤20.
对每一个a,b有20-a种不同的取值,则(a,b)共有9+8+…+1=45种情况.北京曲一线图书策划有限公司
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若6≤a≤10,对每一个a,b有a-1种不同的取值,则(a,b)共有5+6+7+8+9=35种情况,所以
45+35 8
P(X=1)= = . (7分)
A2 21
15
当X=2时,2a≤b≤3a-1.
若a≥7,则2a≤b≤20.
对每一个a,b有21-2a种不同的取值,则(a,b)共有7+5+3+1=16种情况.
若a=6,则12≤b≤17,(a,b)共有6种情况.
16+6 11
所以P(X=2)= = .
A2 105
15
(9分)
当X=3时,3a≤b≤4a-1,(a,b)只有(6,18),(6,19),(6,20)这3种情况,
3 1
所以P(X=3)= = . (11分)
210 70
1 8 11 1 133 19
所以E(X)=0× +1× +2× +3× = = . (12分)
2 21 105 70 210 30
13.(2023山西临汾二模,18)一只红铃虫的产卵数y和温度x有关,现收集了7组观测数据
如下表所示:
2
温度x/℃ 21232527 32 35
9
6
产卵数y/个 7 112124 115325
6
(1)画出散点图,根据散点图判断y=c+dx与y=aebx哪一个适宜作为产卵数y关于温度x的
回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程.
1 7 1 7 1 7
附:可能用到的公式w=ln y,w= ∑❑w,x= ∑❑x,y= ∑❑y,可能用到的数据如下
i i 7 i 7 i 7 i
i=1 i=1 i=1
表所示:
7
x y w ∑❑(x-x
i
i=1
