北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
7.3 等比数列
五年高考
考点1 等比数列及其前n项和
1.(2023全国甲理,5,5分,中)设等比数列{a }的各项均为正数,前n项和为S ,若a =1,S =5S -
n n 1 5 3
4,则S =( )
4
15 65
A. B. C.15 D.40
8 8
答案 C
2.(2023天津,6,5分,中)已知{a }为等比数列,S 为数列{a }的前n项和,a =2S +2,则a 的值
n n n n+1 n 4
为 ( )
A.3 B.18 C.54 D.152
答案 C
3.(2022全国乙理,8,5分,中)已知等比数列{a }的前3项和为168,a -a =42,则a =( )
n 2 5 6
A.14 B.12 C.6 D.3
答案 D
4.(2019课标Ⅲ,5,5分,中)已知各项均为正数的等比数列{a }的前4项和为15,且
n
a =3a +4a ,则a = ( )
5 3 1 3
A.16 B.8 C.4 D.2
答案 C
3
5.(2019课标Ⅰ,14,5分,中)记S 为等比数列{a }的前n项和.若a =1,S = ,则S = .
n n 1 3 4 4
5
答案
8
6.(2023全国甲文,13,5分,中)记S 为等比数列{a }的前n项和.若8S =7S ,则{a }的公比为
n n 6 3 n
.
1
答案 -
2
1
7.(2019课标Ⅰ理,14,5分,中)记S 为等比数列{a }的前n项和.若a = ,a2=a ,则S =
n n 1 3 4 6 5
.
121
答案
3
考点2 等比数列的性质北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
1.(2023新课标Ⅱ,8,5分,中)记S 为等比数列{a }的前n项和,若S =-5,S =21S ,则S =( )
n n 4 6 2 8
A.120 B.85 C.-85 D.-120
答案 C
2.(2021全国甲理,7,5分,中)等比数列{a }的公比为q,前n项和为S .设甲:q>0,乙:{S }是递增
n n n
数列,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案 B
3.(2023全国乙理,15,5分,中)已知{a }为等比数列,a a a =a a ,a a =-8,则a = .
n 2 4 5 3 6 9 10 7
答案 -2
4.(2020新高考Ⅱ,18,12分,中)已知公比大于1的等比数列{a }满足a +a =20,a =8.
n 2 4 3
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)求a a -a a +…+(-1)n-1a a .
1 2 2 3 n n+1
解析 (1)已知数列{a }是公比大于1的等比数列,设公比为q(q>1),依题意有
n
{a q+a q3=20, 1
1 1
解得a =2,q=2,或a =32 , q = (舍)(注意:不要忽略公比大于1这一条件),
a q2=8, 1 1 2
1
所以a =2n,所以数列{a }的通项公式为a =2n. (5分)
n n n
(2)a a -a a +…+(-1)n-1a a
1 2 2 3 n n+1
=23-25+27-29+…+(-1)n-1·22n+1
23 [1−(−22 ) n ] 8 22n+3
= = -(-1)n . (12分)
1−(−22 ) 5 5
三年模拟
综合基础练
1.(2023广东佛山一模,4)已知各项均为正数的等比数列{a }的前n项和为
n
S ,a a =9,9S =10S ,则a +a 的值为 ( )
n 2 4 4 2 2 4
A.30 B.10 C.9 D.6
答案 B
2.(2024届湖南长沙南雅中学入学考,6)等比数列{a }的前n项和为S ,若S =10,S =30,则
n n 10 20
S = ( )
40
A.60 B.70 C.80 D.150
答案 D北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
3.(2024届浙江名校协作体适应性考试,5)已知数列{a }的前n项和为S .若p:数列{a }是等
n n n
比数列;q:(S -a )2=S (S -S ),则p是q的( )
n+1 1 n n+2 2
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
4.(多选)(2024届湖南师大附中摸底考试,10)已知{a }是各项均为正数的等比数列,其前n
n
项和为S ,且{S }是等差数列,则下列结论正确的是 ( )
n n
A.{a +S }是等差数列
n n
B.{a ·S }是等比数列
n n
C.{a2}是等差数列
n
{S }
D. n 是等比数列
n
答案 ACD
1
5.(2023河北唐山三模,13)设S 为等比数列{a }的前n项和,a = ,a2=a ,则S = .
n n 1 2 3 6 3
7
答案
8
6.(2024届山东德州一中月考,13)已知等比数列{a }的首项为1,且a +a =2(a +a ),则
n 6 4 3 1
a a a …a = .
1 2 3 7
答案 128
7.(2023重庆5月第三次联考,17)已知公差不为零的等差数列{a }满足a =3,且a ,a ,a 成等
n 2 1 3 7
比数列.
(1)求数列{a }的通项公式;
n
1 5
(2)设数列{b }满足b = ,{b }的前n项和为S ,求证:S < .
n n a a n n n 12
n n+2
解析 (1)设{a }的公差为d(d≠0),根据a ,a ,a 成等比数列,可得a2=a a ,
n 1 3 7 3 1 7
{(a +2d) 2=a (a +6d), {2d2=a d,
又a =3,所以 1 1 1 即 1
2 a +d=3, a +d=3,
1 1
{d=1,
由d≠0,解得 故a =n+1.
a =2, n
1
1 1( 1 1 )
(2)证明:由(1)知b = = − ,
n (n+1)(n+3) 2 n+1 n+3北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
所以S =b +b +…+b
n 1 2 n
=
1(1 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1 1 ) ( 1 1 ) 1(1 1 1 1 )
− + − + − + − +…+ − + − = + − −
2 2 4 3 5 4 6 5 7 n n+2 n+1 n+3 2 2 3 n+2 n+3
.
1(1 1 1 1 ) 1 (1 1) 5
因为n∈N*,所以 + − − < × + = .
2 2 3 n+2 n+3 2 2 3 12
5
所以S < .
n 12
综合拔高练1
1.(2023山西太原、大同二模,6)已知等比数列{a }的前n项和为S ,若a =S +1(n∈N*),则
n n n+1 n
a = ( )
5
A.16 B.32 C.81 D.243
答案 A
2.(2024届湖南师大附中摸底考试,7)已知{a }是公差为3的等差数列,其前n项和为S ,设
n n
甲:{a }的首项为零;乙:S +3是S +3和S +3的等比中项,则 ( )
n 2 1 3
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案 C
3.(2023湖北襄阳四中适应性考试,3)部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形,一个数
学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统,分形几
何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合,数学与艺术审美的统一,而且还有其深刻的科
学方法论意义.如图,由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于
一种分形,具体作法是取一个实心三角形,沿三角形的三边中点连线.将它分成4个小三角
形,去掉中间的那一个小三角形后,对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形,
√3
若记图①三角形的面积为 ,则第 个图中阴影部分的面积为 ( )
4
…
√3 (√3) n+1 √3 (3) n
A. · B. ·
9 2 6 2北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
√3 (3) n √3 (3) n
C. · D. ·
4 4 3 4
答案 D
{2n−13,1≤n≤6,
4.(多选)(2023江苏八市二模,10)已知数列{a }的前n项和为S ,a = 若
n n n (−3) n−7−1,n>6,
S=-32,则k可能为 ( )
k
A.4 B.8 C.9 D.12
答案 AC
5.(多选)(2023河北唐山二模,10)如图, ABC是边长为2的等边三角形,连接各边中点得到
△A B C ,再连接△A B C 的各边中点得到△A B C ,……,如此继续下去,设△A B C 的边
1 1 1 1 1 1 △ 2 2 2 n n n
长为a , A B C 的面积为M ,则 ( )
n n n n n
△
√3
A.M = a2B.a2=a a
n 4 n 4 3 5
√3
C.a +a +…+a =2-22-n D.M +M +…+M <
1 2 n 1 2 n 3
答案 ABD
6.(2023河北石家庄三模,14)已知数列{a }的通项公式为a =n-1,数列{b }是以1为首项,2为
n n n
公比的等比数列,则a +a +…+a = .
b b b
1 2 9
答案 502
7.(2023江苏七市三模,18)已知数列{a }满足a =1,a =5,a =5a -6a .
n 1 2 n+2 n+1 n
(1)证明:{a -2a }是等比数列;
n+1 n
(2)证明:存在两个等比数列{b },{c },使得a =b +c 成立.
n n n n n
证明 (1)∵a =5a -6a ,
n+2 n+1 n
∴a -2a =5a -6a -2a ,
n+2 n+1 n+1 n n+1
∴a -2a =3a -6a =3(a -2a ),
n+2 n+1 n+1 n n+1 n
显然a -2a =0与a =1,a =5矛盾,
n+1 n 1 2
a −2a
∴a -2a ≠0,∴ n+2 n+1 =3,
n+1 n a −2a
n+1 n
∴数列{a -2a }是首项为a -2a =5-2=3,公比为3的等比数列.
n+1 n 2 1北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
(2)∵a =5a -6a ,∴a -3a =5a -6a -3a ,
n+2 n+1 n n+2 n+1 n+1 n n+1
∴a -3a =2a -6a =2(a -3a ),
n+2 n+1 n+1 n n+1 n
显然a -3a =0与a =1,a =5矛盾,∴a -3a ≠0,
n+1 n 1 2 n+1 n
a −3a
n+2 n+1
∴ =2,
a −3a
n+1 n
∴数列{a -3a }是首项为a -3a =5-3=2,公比为2的等比数列,
n+1 n 2 1
∴a -3a =2n,①
n+1 n
又由(1)知,a -2a =3n,②
n+1 n
∴②-①得,a =3n-2n,
n
∴存在b =3n,c =-2n两个等比数列{b },{c },使得a =b +c 成立.
n n n n n n n
综合拔高练2
1.(2024届湖北六校联考,19)已知数列{a }满足S =2a -n(n∈N*).
n n n
(1)证明:{a +1}是等比数列;
n
(2)求a +a +a +…+a .
1 3 5 2n+1
解析 (1)证明:当n=1时,S =2a -1,得a =1,
1 1 1
当n≥2时,S -S =(2a -n)-[2a -(n-1)],
n n-1 n n-1
所以a =2a +1,n≥2,
n n-1
a +1
从而a +1=2(a +1),n≥2,得 n =2(n≥2),
n n-1 a +1
n−1
所以{a +1}是以2为首项,2为公比的等比数列.
n
(2)由(1)得a =2n-1,
n
所以a +a +a +…+a =(2+23+…+22n+1)-(n+1)
1 3 5 2n+1
2(1−4n+1
)
= -(n+1)
1−4
22n+3−3n−5
= .
3
2.(2024届湖南长沙南雅中学入学考,17)已知{a }为等差数列,a =1且公差d≠0,a 是a 和a
n 1 4 2 8
的等比中项.
(1)若数列{a }的前m项和S =66,求m的值;
n m
(2)若a ,a ,a ,a ,…,a 成等比数列,求数列{k }的通项公式.
1 2 k k k n
1 2 n
解析 (1)因为{a }是等差数列,
n
所以a =a +d,a =a +3d,a =a +7d,
2 1 4 1 8 1
因为a 是a 和a 的等比中项,
4 2 8北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
所以a2 =a ·a ,所以(a +3d)2=(a +d)·(a +7d),
4 2 8 1 1 1
由d≠0化简得d=a =1.所以a =n,
1 n
m(m+1)
由S = =66,
m 2
解得m=11.
(2)因为a ,a ,a ,a ,…,a 成等比数列,
1 2 k k k
1 2 n
a 2
所以该数列的公比为
2=
=2,
a 1
1
又a =1,所以a =1×2(n+2)-1=2n+1,
1 k
n
又{a }为等差数列,且a =n,所以a =k =2n+1.
n n k n
n
故数列{k }的通项公式为k =2n+1.
n n
3.(2024届安徽安庆、池州、铜陵三市开学联考,18)已知数列{a }满足a =1,a =
n 1 n+1
{a +2,n为奇数,
n
2a ,n为偶数.
n
(1)记b =a ,求证:数列{b +2}是等比数列;
n 2n n
(2)若T =a +a +…+a ,求T .
n 1 2 n 2n
解析 (1)证明:由已知得b =a =3,b +2=a +2=5.
1 2 1 2
当n≥2时,b =a =a +2=2a +2=2b +2,
n 2n 2n-1 2n-2 n-1
故b +2=2(b +2),
n n-1
所以数列{b +2}是首项为5,公比为2的等比数列.
n
(2)由(1)知:b =5×2n-1-2,
n
T =a +a +…+a =(a +a +…+a )+(a +a +…+a )=2(b +b +…+b )-2n,设S =b +b +…
2n 1 2 2n 1 3 2n-1 2 4 2n 1 2 n n 1 2
+b =5×(1+2+…+2n-1)-2n=5×2n-2n-5,故T =2S -2n=5×2n+1-6n-10.
n 2n n
4.(2023山西太原、大同二模,17)已知{a }是正项等比数列,{b }是等差数列,且
n n
a =b =1,1+a =b +b ,a +2=b .
1 1 3 2 4 2 3
(1)求{a }和{b }的通项公式;
n n
(2)从下面条件①、②中选择一个作为已知条件,求数列{c }的前n项和S .
n n
b
条件①:c =a b ;条件②:c = n .
n n n n a
n
注:若选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
解析 (1)设{a }的公比为q(q>0),{b }的公差为d,
n n
{1+q2=2+4d, {d=2, {d=0,
由题意可得 解得 或 (舍去).
q+2=1+2d, q=3 q=−1
