文档内容
专题 02 等比数列必备知识点与考点突破
【必备知识点】
◆知识点 1 : 等 比 数列
1.等比数列的概念
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数, 那么这个数列叫做等比数列,
这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 表示 .
2.等比数列的判定
(1) (定义法); (2) (中项法)
(3) (通项法)； (4) (和式法).
3.等比数列通项公式
或
例:已知数列 满足 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．数列 是公差为 的等差数列
B．数列 是公差为2的等差数列
C．数列 是公比为 的等比数列
D．数列 是公比为2的等比数列
【答案】C
【解析】
∵ ，
∴ ，既不是等比数列也不是等差数列；
∴ ，
∴数列 是公比为 的等比数列．
故选：C
例:已知等比数列{ }中，满足 ， ，则（ ）
A．数列{ }是等比数列 B．数列 是递增数列
C．数列 是等差数列 D．数列{ }中， 仍成等比数列
【答案】AC
【解析】
由题意得： ，所以 ，则 ，
所以数列{ }是等比数列，A正确；
，所以 ，且 ，故数列 是递减数列，B错误；
，所以 ，C正确；
，
因为 ，故数列{ }中， 不成等比数列，D错误.
故选：AC
◆知识点 2 : 等 比 数列的性质设 为等比数列,公比为 ,则
(1)若 ,则 .
(2)若 成等差数列,则 成等比数列.
(3)数列 ( 为不等于零的常数)仍是公比为 的等比数列;
数列 是公比为 的等比数列;
数列 是公比为|q|的等比数列;
若数列 是公比为 的等比数列,则数列 是公比为 的等比数列.
(4)在数列 中,每隔 项取出一项,按原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为 .
(5)在数列 中,连续相邻 项的和(或积)构成公比为 (或 )的等比数列.
(6)若数列 是各项都为正数的等比数列,则数列 且 是公差为 的等差数列.
(7)等比数列 的连续 项的积构成的数列: ,仍为等比数列.
例:在正项等比数列 中， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
在等比数列 中， ，
于是得 ，而 ，所以 .
故选：C
例:已知等比数列 满足 ， ，则（ ）
A．数列 是等差等列 B．数列 是等差数列
C．数列 是递减数列 D．数列 是递增数列【答案】B
【解析】
解：因为等比数列 满足 ， ，
则 ， 故数列 是以1为首项，以2为公比的等比等列，故A错误；
则 ， 故数列 是以0为首项，以-1为公差的等差数
列，故B正确；由A知： 。故数列 是递增数列，故C错误；
由B知： ，故数列 是递减数列，故D错误；
故选：B
◆知识点 3 : 等 比 数列前 n 项和
1.等比数列前 项和公式
当 时,
当 时,
2.等比数列前 项和公式与指数函数的关系
(1)当 时, 是关于 的正比例函数,点 是直线 上的一群孤立的点.
(2)当 时, .记 ,则 是一个指数式与一个常数
的和.当 且 时, 是指数函数,此时,点 是指数型函数 图象上的一群孤立
的点.
如等比数列 的前 项和为 ,点 是函数 图象上的一群孤立的点.
例:已知正项等比数列 首项为1，且 成等差数列，则 前6项和为（ ）A．31 B． C． D．63
【答案】C
【解析】
∵ 成等差数列，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 或 ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
故选：C.
例:已知等比数列 的前n项和 ，则实数t的值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【解析】
由等比数列 的前 项和 ，分别令 ，2，3．
得 ， ， ，
解得 ， ， ，
由等比数列可得 ，即 ， ，
解得 ，故选： ．
◆ 知识点 4 : 等 比 数列前 n 项和的性质已知等比数列 的公比为 ,前 项和为 ,则有如下性质:
(1) .
证明:
.
(2)若 均不为0 ,则 成等比数列,且公比为 .
(3)若 共有 项,则 ;
若 共有 项,则 .
例:等比数列 的前n项和为 ，已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为 且 为等比数列，故 为等比数列，
故 ，解得 ，
故选：B.
例:已知等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A．90 B．100
C．120 D．130
【答案】D
【解析】
设公比为 ，有 ，可得 ，
故选：D．
例:已知一个等比数列首项为 ，项数是偶数，其奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，则这个数列的项数
为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设这个等比数列 共有 项，公比为 ，
则奇数项之和为 ，
偶数项之和为 ，
，
等比数列 的所有项之和为 ，则 ，
解得 ，因此，这个等比数列的项数为 .
故选：C.
【核心考点】
◆考点 1 : 等比中项
1．在等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，则 的通项公式为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】
解：设等差数列 的公差为d，又 ， ， 成等比数列，
所以 ，则 ，解得：
所以 .
故选：D.2．已知 是公差不为零的等差数列， ，且 ， ， 成等比数列，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为 ，所以 ，解得 ．又 ， ， 成等比数列，所以 ，
设公差为d，所以 ，整理得 ，因为 ，所以 ，
从而 ．故选：B
3．已知等差数列 的前n项和为 ，若 ， ， 成等比数列，则公比为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】
由题意，等差数列 的前n项和为 ，则 ，
故由 ， ， 成等比数列，可得 ,即 ,且 ，
设等差数列的公差为d，则 ，解得 ，则数列 为常数列，
故 ， ， 成等比数列，则公比为 ，故选:D
4．已知等差数列 的前n项和为 ，若 ， ， 成等比数列，则公比为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】
设等差数列 的公差为 ，则， ， ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，即公比为1.
故选：D.
◆考点 2 : 等比数列的证明
1．已知数列 的前n项和公式为 ，则数列 （ ）
A．是公差为4的等差数列 B．是公比为2的等比数列
C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列
【答案】A
【解析】
由题意得： ，
当 时， ，
也适合上式，故 ，
则当 时， ，
即数列 是公差为4的等差数列，A正确，D错误；
由于当 时， 不是常数，故数列 不是等比数列，故B,C错误，
故选：A
2．数列 中， ， ，则下列结论中正确的是（ ）A．数列 的通项公式为
B．数列 为等比数列
C．数列 为等比数列
D．数列 为等差数列
【答案】C
【解析】
数列 中， ， ，则 ， ，显然 不成等比数列，A，B都
不正确；
依题意， ，由 两边取对数得： ，
因此，数列 是首项为 ，公比为2的等比数列，C正确，D不正确.
故选：C
3．设数列 满足 ，且 ，则（ ）
A． 为等比数列 B． 为等比数列
C． 为等比数列 D． 为等比数列
【答案】A
【解析】
由 ，可得 ，所以 ，
又由 ，所以 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列.
故选：A.
4．若数列 的 项和为 且 ， ，则下列说法不正确的是（ ）A． B．
C．数列 是等比数列 D．数列 是等比数列
【答案】B
【解析】
解：数列 的前 项和为 ，且 ①，
当 时，解得 ，
当 时， ②，
① ②得： ，
故 ，
整理得 （常数），
所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列；
所以 ． ．
根据数列的通项公式和求和公式，整理得 ， ，
由于 ，所以 ．
故 正确， 错误．
故选： ．
◆考点 3 : 等比数列的性质
1．设 是等比数列，且 ， ，则 （ ）
A．12 B．2 C．30 D．32
【答案】D
【解析】设该等比数列的公比为 ，
因为 ，
所以由 ，
所以 ，
故选：D
2．如果数列 是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
取等比数列 ，则数列 不是等比数列，故D错误；
对其它选项，均满足等比数列通项公式的性质.
故选：D.
3．已知 是等比数列，则（ ）
A．数列 是等差数列 B．数列 是等比数列
C．数列 是等差数列 D．数列 是等比数列
【答案】B
【解析】
若 ，则 、 无意义，A错C错；
设等比数列 的公比为 ，则 ， （常数），
故数列 是等比数列，B对；
取 ，则 ，数列 为等比数列，因为 ， ， ，且 ，
所以，数列 不是等比数列，D错.
故选：B.
4．如果数列 是等比数列，且 ， ，则数列 是（ ）
A．等比数列 B．等差数列
C．不是等差也不是等比数列 D．不能确定是等差或等比数列
【答案】B
【解析】
设 ，则 ，则 ，则数列 是等差数列，公差为
故选B
5．等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项的和为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列 ，则
数列 的前n项的和是（ ）
A． B．Sqn－1
C．Sq1－n D．
【答案】C
【解析】
根据题意，易知 ，数列 也是等比数列，且首项为1，公比为 ，
故数列 的前n项和为 .
故选：C.6．设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【详解】
解：已知等比数列 的前 项和为 ， ，
由等比数列的性质得： 成等比数列，且公比不为-1
即： 成等比数列，
，则 ，
，所以 ，
.
故选：B.
◆考点 4 : 等比数列的函数特征
1．设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 为递增数列的充要条件是（ ）
A． ， B． ，
C． D．
【答案】C
【解析】
因为 ，若 ，则数列 为摆动数列，与题意不符，所以， .
①若 ，则对任意的 ， ，由 可得 ，即 ；②若 ，则对任意的 ， ，由 可得 ，此时 .
所以， 为递增数列的充要条件是 ， 或 ， ，
当 ， 时， ，则 ；
当 ， 时， ，则 .
因此，数列 为递增数列的充要条件是 .
故选：C.
2．已知无穷等比数列 满足 ，其前 项和为 ，则（ ）
A．数列 为递增数列 B．数列 为递减数列
C．数列 有最小项 D．数列 有最大项
【答案】C
【解析】
解：因为无穷等比数列 满足 ，所以 ，即 ，
由 ，所以 ，又 ，所以
所以
当 时， ， 递减， 单调递增，所以 有最小项 ；
当 时， ， 不具有单调性， 不单调，但 ， ， ， 且
，所以 有最小项 ；
故选：C
3．等比数列 是递增数列，若 ， ，则公比 为（ ）A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】
因为等比数列 是递增数列，则数列 的公比 满足 且 ，
所以， ，即 ，解得 或 .
若 ，则 ，解得 ，
此时 ，此时数列 为递增数列，合乎题意；
若 ，则 ，解得 ，
此时 ，此时数列 为递增数列，合乎题意.
综上所述， 或 .
故选：D.
4．设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并满足条件 ， ，
，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列 存在最大值 D． 是数列 中的最大值
【答案】D
【解析】
因为 是公比为 的等比数列，且 ， ， ，
所以 ， ，所以 ，所以在等比数列 中，从 到 的每一项都大于 ，从 开始后面所有的项的值都小于 且大于 .
对于A：因为 ，所以 ，故A不正确；
对于B： ，故B不正确；
对于C：根据上面的分析，等比数列 中每一项都为正值，所以 无最大值，
所以数列 无最大值，故C不正确；
对于D：因为在等比数列 中，从 到 的每一项都大于 ，
从 开始后面所有的项的值都小于 且大于 ，所以 是数列 中的最大值，故D正确.
故选：D.
◆考点 5 : 等比数列前 n 项和的概念与计算
1．已知数列 是递增的等比数列，且 ， ，若 的前n项和 满足
，则正整数k等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】
由 ， ，知 ， ，解得 ， ，所以 ， ，则
，所以 ，解得 ．
故选：A
2．已知等比数列 的前n项和 ，则（ ）A．首项 的值不确定 B．公比 C． D．
【答案】D
【解析】
解：已知 ，则 ， ，
，所以 ，
因为 ，所以 ．
故选：D．
3．若数列 的前10项和等于数列 的前6项和，则常数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
的前10项和为 ， 的前6项和为
，解得 ．
故选：A.
4．已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列，则 （ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【解析】
设等比数列公比为 ，由 ， ， 成等差数列可得， ，化简得，解得 ， .故选：B.
◆考点 6 : S n 与 a n 的关系
1．已知等比数列 的前n项和 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
当 时， ，
当 时，
，
因为数列 为等比数列，
所以 ，得 ，
所以 ，
故选：A
2．已知公比为 的等比数列 的前 项和 ， ，且 ，则 （ ）
A．48 B．32 C．16 D．8
【答案】C
【解析】
解：因为公比为 的等比数列 的前 项和 ①，当 时 ，
当 时 ②，
① ②得 ，
所以 ，则 ，又 ，所以 ，解得 ，
所以 ，则 ；
故选：C
3．(多选)已知数列 的前 项和为 ， ，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．数列 是等比数列
D．数列 的前 项和为
【答案】ACD
【解析】
解： ，①
，②
两式作差得： ， ，
， ，即 ，
， .
数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，则 ， .
由上述内容可知，选项A，C正确.
当 时， ，则选项B错误.
， ， ，
数列 是首项为 的等比数列.
则数列 的前 项和为 ，则选项D正确.
故选：ACD.
4．已知等比数列 的前n项和为 ，若 ，则k的值为______．
【答案】
【解析】
解：因为 ①，
当 时 ，
当 时 ②，
① ②得 ，
因为 是等比数列，所以 ，解得 ；
故答案为：
◆考点 7 : 等比数列前 n 项和的性质
1．已知数列 是各项为正的等比数列，其前n项和为 ，若 ，则 =（ ）
A． B． C．72 D．90
【答案】D
【详解】根据等比数列前n项和的性质， 成等比数列，设公比为 ，
又由已知
，
则 ，
，
故选：D.
2．设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设 ，则由条件可得 ，
， ， ，
故 .
故选：D．
3．设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：因为数列 为等比数列，则 ， ， 成等比数列，
设 ，则 ，则 ，
故 ，所以 ，得到 ，所以 .故选：C.
4．已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，则下列命题中错误的是（ ）
A．
B．
C． ， ， 成等比数列
D．“ ”是“ ， ， 成等差数列”的充要条件
【答案】C
【解析】
对于选项A，因为 ，又等比数列 的公比为 ，所以
所以 ，即 ，故A正确；
因为
，
所以 ，故B正确；
当 时， ，显然此时 ， ， 不能成等比数列，故C错误；
若 ， ， 成等差数列，则 ，所以 ，
即 ，所以 ，所以“ ”是“ ， ， 成等差数列”的充要条件，故D
正确.
5．已知一个项数为偶数的等比数列 ，所有项之和为所有偶数项之和的 倍，前 项之积为 ，则
（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】
由题意可得所有项之和 是所有偶数项之和 的 倍，所以， ，故
设等比数列 的公比为 ，设该等比数列共有 项，
则 ，所以， ，
因为 ，可得 ，因此， .
故选：C.
◆考点 8 : 等比数列的奇数项和偶数项性质与应用
1．已知等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则其偶数项 为（ ）
A．15 B．30
C．45 D．60
【答案】D
【解析】
设 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
所以 .
故选: D
2．已知一个项数为偶数的等比数列 ，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则
（ ）.
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解析】由题意可得所有项之和 是所有偶数项之和的4倍，∴ ，
设等比数列 的公比为 ，由等比数列的性质可得 ，即 ，
∴ ，∵ ,∴解得 ，
又前3项之积 ，解得 ，∴ .
故选:B.
3．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数
列的项数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】
【详解】
设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为 ，
则 ,所以 ，
结合等比数列求和公式有： ，解得n=4，
即这个等比数列的项数为8.
本题选择C选项.
4．在等比数列 中，若公比 ，且 ，则数列 的前100项的和为
A．100 B．90
C．120 D．30
【答案】B
【解析】
由题意，在数列 的前100项中， ，所以 ，所以 ．故选B．
5．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项
数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解析】
设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为S ,所有偶数项之和为S ，
奇 偶
则S =341,S =682,所以 ，
奇 偶
∴ ，解得n=5，
这个等比数列的项数为10，
本题选择D选项.
6．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比
和项数分别为（ ）
A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8
【答案】D
【解析】
解：设等比数列项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，
根据题意得：S奇＝85，S偶＝170，
∴q 2，又a＝1，
1
∴S奇 85，整理得：1﹣4n＝﹣3×85，即4n＝256，
解得：n＝4，
则这个等比数列的项数为8．
故选D．
7．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比为（ ）
A．8 B．2 C．4 D．2
【答案】D
【解析】
设公比为 ，项数为 ，
,
，故选D.
【过关检测】
一、单选题
1．设 是公比为 的等比数列，且 .则 （ ）
A． B． C．8 D．11
【答案】B
【解析】
是公比为 的等比数列，且 .
则 ，解之得 ，则
故选：B
2．若数列{ }的前n项和为 ＝ ， =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】
解：当 时， ，解得 ，
当 时， ，即 ，
∴ 是首项为1，公比为-2的等比数列，∴ ，
所以 .
故选：B.
3．已知等比数列 的前 项和为 ，则实数 的值是（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】C
【解析】
等比数列 的前 项和为 ，
当 时，可得 ，可得 ，
当 时， ，则
所以
因为 为等比数列，
所以 ，即
解得 ，经检验符合题意.
故选：C．
4．已知数列 是等比数列，满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设等比数列 的公比为 ，则 ，解得 ，
所以， ，
因此， .
故选：B.
5．记 为等比数列 的前n项和，若 ，则 的公比q=（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】
，所以 ，即 .
故选：B
6．数列 中， ， ，若 ，则 （ ）
A．3 B．5 C．4 D．6
【答案】D
【解析】
由题意，数列 中， ， ，
令 ，可得 ，即 ，
所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，所以 ，
又由 ，
解得 .
故选：D.
7．已知数列 的前n项和为 ，q为常数，则“数列 是等比数列”为“ ”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
由 ，可得
两式相减得， ，即从第3项起，每一项是前一项的q倍.
又由 ，可得
则数列 从第2项起，每一项是前一项的q倍.
综上，当 时，数列 是等比数列.
由数列 是等比数列，可得
则 ，即 成立.
则“数列 是等比数列”为“ ”的充分不必要条件
故选：B
8．已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，若 ，则称项 为“和谐项”，则数
列 的所有“和谐项”的平方和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由 ，得 ，所以 ，即 ，于是有
因为 ，所以 ，
所以数列 是从 起，公比为 的等比数列，
所以
当 时， ，所以此式不满足 ，故 的通项公式为
所以 ，
因为 ，所以 .
数列 的所有“和谐项”的平方和为：
.
故选：A.
二、多选题
9．设 是等比数列，则下列四个命题正确的是（ ）
A． 是等比数列 B． 是等比数列C． 是等比数列D． 是等比数列
【答案】ABC
【解析】
设公比为 ，则 ， ，即 是首项为 ，公比为 的等比数列，A
正确；
，即 是首项为 ，公比为 的等比数列，B正确；{1 }
，即 是首项为 ，公比为 的等比数列，C正确；
a
n
若数列 的首项 ，则 ，此时 不是等比数列，D错误.
故选：ABC.
10．已知等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，则数列 的公比可能是（ ）
A．－3 B．－2 C．2 D．3
【答案】AC
【解析】
设数列 的公比为q，则 ，
所以 ，解得 或 .
故选：AC
11．已知 是数列 的前 项和， ，则（ ）
A． 是等比数列 B．
C． D．
【答案】AB
【解析】
，
，即 ，
当 时， ，
，
，即 ，
是以1为首项，以 为公比的等比数列，故A正确；∴ ，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故选：AB.
12．已知等比数列 各项均为正数，其前 项积为 ，若 ， ，则下列
结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 是 中最小的项
D．使 成立的 的最大值为18
【答案】AC
【解析】
对于A：因为 ，所以 ，所以 ，所以 .故A正确；
对于B：因为 ，所以 时， ，所以数列 为递增数列.
因为 ，所以 ，所以 .故B错误；
对于C：因为数列 各项均为正数，前 项积为 ，且 时，有 ，所以 ，即 ；时，有 ，所以 ，即 ；所以 是 中最小的项.故C正确.
对于D：因为 ，而 ，
所以使 成立的 的最大值为17.故D错误.
故选：AC
三、填空题
13．设等比数列 的前n项和为 ，公比为q，若 ， ，则 ________．
【答案】1或
【解析】
∵ ∴ 或 .
故答案为：1或 .
14．设等比数列 的前n项和为 ，若 ，且 ，则λ＝________．
【答案】
【解析】
因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
所以 ，所以 ，故 ．
故答案为： .
15．已知数列 的前n项和为 ， ， ，则 ___________.【答案】
【解析】
由题意得 ，又 ，则 ，
故数列 是以6为首项， 为公比的等比数列，则 .
故答案为： .
16．在正项等比数列 中， ， ，记数列 的前n项积为 ， ，则n的最小值为
______
【答案】5
【解析】
设正项等比数列 公比为q，由 得 ，
于是得 ，而 ，解得 ，
因此， ， ，
由 得： ，
从而得： ，而 ，解得 ，
又 ，则n的最小值为5，
故答案为：5.
四、解答题
17．已知 是公差不为0的等差数列，且 ， 是 和 的等比中项．
(1)求数列 的通项公式；(2)设数列 的前n项和为 ，求 的最大值．
【答案】(1) ； (2)75.
【解析】
(1)设等差数列 的公差为 ，
则 ，
解得 ．
∴ ．
(2)由 ，得 ，
∴数列 的前5项都大于0，第6项等于0，从第7项起后面的项都小于0．
∴ 的最大值为 ．
18．已知数列 是公差不为零的等差数列，其前 项和为 ，且 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求正整数 的值.
【答案】(1) (2)4
【解析】
(1)设 公差为 ，∵ 成等比数列，∴ ，又∵ 且 ，结合等差数列的性质有
，即 ，即 ，∴ ，∴
(2)由（1） ，∴ .
∵ ，∴ ，∵ ，且 是递增数列，且，故
19．已知数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)证明： 为等比数列，并写出它的通项公式：
(2)若正整数m满足不等式 ，求m的最大值．
【答案】(1)证明见解析， (2)
【解析】
(1)解：因为 ①，
当 时 ，解得 ，
当 时 ②，
① ②得 ，即 ，即 ，
所以 ， ，所以 是以 为首项、 为公比的等比数列，
所以 .
(2)解： 由（1）可知 ，
因为 ，所以 ，即 ，解得 ，所以 ，
因为 ，所以 的最大值为 .
20．已知数列 满足 ， ；设等差数列 ､ 的前 项和分别为 和 ，
且 ， ， .
(1)求证数列 是等比数列；(2)求常数 的值及 的通项公式；
(3)求 的值.
【答案】(1)见解析
(2) ；
(3)
【解析】
(1)因为数列 满足 ， ，
所以 ，
所以数列 是首项为 ，公比为2的等比数列；
(2)因为由等差数列 ､ 的性质可知：
， ，
所以由 得： ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
因为等差数列 ､ 的前 项和分别为 和 ，所可设 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
当 时， ，
当 ，即 ，
显然 时， 也满足上式，
所以 ；
(3)由（1）可知 ，即 ，
所以 ，
所以
令 ，
则 ，
两式相减得：
，
所以 ，
所以
21．已知首项为 的等比数列 公比小于0，其前n项和为 ，且 ， ， 成等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若实数a使得 对任意 恒成立，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)设等比数列 的公比为q，
由 ， ， 成等差数列，可得：
，
整理： ，
所以 ，即为 ，
解得 ，
由等比数列 不是递减数列，可得 ，
即 .
(2)由（1）得 ，
设 ， ，设 ，
时， ， 递减， 时， ， 递增，当n为奇数时， 随n的增大而减小，所以 .
.
当n为偶数时， 随n的增大而增大，所以 .
.
故，实数a使得 对任意 恒成立，
则a的取值范围为 .
