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2025新教材数学高考第一轮复习
7.3 等比数列
五年高考
考点1 等比数列及其前n项和
1.(2023全国甲理,5,5分,中)设等比数列{a }的各项均为正数,前n项和为S ,若a =1,S =5S -
n n 1 5 3
4,则S =( )
4
15 65
A. B. C.15 D.40
8 8
2.(2023天津,6,5分,中)已知{a }为等比数列,S 为数列{a }的前n项和,a =2S +2,则a 的值
n n n n+1 n 4
为 ( )
A.3 B.18 C.54 D.152
3.(2022全国乙理,8,5分,中)已知等比数列{a }的前3项和为168,a -a =42,则a =( )
n 2 5 6
A.14 B.12 C.6 D.3
4.(2019 课标Ⅲ,5,5 分,中)已知各项均为正数的等比数列{a }的前 4 项和为 15,且
n
a =3a +4a ,则a = ( )
5 3 1 3
A.16 B.8 C.4 D.2
3
5.(2019课标Ⅰ,14,5分,中)记S 为等比数列{a }的前n项和.若a =1,S = ,则S = .
n n 1 3 4 4
6.(2023全国甲文,13,5分,中)记S 为等比数列{a }的前n项和.若8S =7S ,则{a }的公比为
n n 6 3 n
.
1
7.(2019 课标Ⅰ理,14,5 分,中)记 S 为等比数列{a }的前 n 项和.若 a = ,a2=a ,则 S =
n n 1 3 4 6 5
.
考点2 等比数列的性质
1.(2023新课标Ⅱ,8,5分,中)记S 为等比数列{a }的前n项和,若S =-5,S =21S ,则S =( )
n n 4 6 2 8
A.120 B.85 C.-85 D.-120
2.(2021全国甲理,7,5分,中)等比数列{a }的公比为q,前n项和为S .设甲:q>0,乙:{S }是递
n n n
增数列,则 ( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3.(2023全国乙理,15,5分,中)已知{a }为等比数列,a a a =a a ,a a =-8,则a = .
n 2 4 5 3 6 9 10 7
4.(2020新高考Ⅱ,18,12分,中)已知公比大于1的等比数列{a }满足a +a =20,a =8.
n 2 4 3
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)求a a -a a +…+(-1)n-1a a .
1 2 2 3 n n+1
三年模拟
综合基础练
1.(2023 广 东 佛 山 一 模 ,4) 已 知 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {a } 的 前 n 项 和 为
n
S ,a a =9,9S =10S ,则a +a 的值为 ( )
n 2 4 4 2 2 4
A.30 B.10 C.9 D.6
2.(2024届湖南长沙南雅中学入学考,6)等比数列{a }的前n项和为S ,若S =10,S =30,则
n n 10 20
S =( )
40
A.60 B.70 C.80 D.150
3.(2024届浙江名校协作体适应性考试,5)已知数列{a }的前n项和为S .若p:数列{a }是等
n n n
比数列;q:(S -a )2=S (S -S ),则p是q的( )
n+1 1 n n+2 2
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(多选)(2024届湖南师大附中摸底考试,10)已知{a }是各项均为正数的等比数列,其前n
n
项和为S ,且{S }是等差数列,则下列结论正确的是 ( )
n n
A.{a +S }是等差数列
n nB.{a ·S }是等比数列
n n
C.{a2}是等差数列
n
{S }
D. n 是等比数列
n
1
5.(2023河北唐山三模,13)设S 为等比数列{a }的前n项和,a = ,a2=a ,则S = .
n n 1 2 3 6 3
6.(2024 届山东德州一中月考,13)已知等比数列{a }的首项为 1,且 a +a =2(a +a ),则
n 6 4 3 1
a a a …a = .
1 2 3 7
7.(2023重庆5月第三次联考,17)已知公差不为零的等差数列{a }满足a =3,且a ,a ,a 成等
n 2 1 3 7
比数列.
(1)求数列{a }的通项公式;
n
1 5
(2)设数列{b }满足b = ,{b }的前n项和为S ,求证:S < .
n n a a n n n 12
n n+2
综合拔高练1
1.(2023山西太原、大同二模,6)已知等比数列{a }的前n项和为S ,若a =S +1(n∈N*),则
n n n+1 n
a = ( )
5
A.16 B.32 C.81 D.243
2.(2024届湖南师大附中摸底考试,7)已知{a }是公差为3的等差数列,其前n项和为S ,设
n n
甲:{a }的首项为零;乙:S +3是S +3和S +3的等比中项,则( )
n 2 1 3A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3.(2023湖北襄阳四中适应性考试,3)部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形,一个数
学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统,分形几
何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合,数学与艺术审美的统一,而且还有其深刻的科
学方法论意义.如图,由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一
种分形,具体作法是取一个实心三角形,沿三角形的三边中点连线.将它分成4个小三角形,
去掉中间的那一个小三角形后,对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形,若
√3
记图①三角形的面积为 ,则第 个图中阴影部分的面积为 ( )
4
…
A.√3 (√3) n+1 √3 (3) n
· B. ·
9 2 6 2
C.√3 (3) n √3 (3) n
· D. ·
4 4 3 4
4.(多选)(2023 江苏八市二模,10)已知数列{a }的前 n 项和为 S ,a ={2n−13,1≤n≤6, 若
n n n
(−3) n−7−1,n>6,
S =-32,则k可能为 ( )
k
A.4 B.8 C.9 D.12
5.(多选)(2023河北唐山二模,10)如图,△ABC是边长为2的等边三角形,连接各边中点得到
△A B C ,再连接△A B C 的各边中点得到△A B C ,……,如此继续下去,设△A B C 的边
1 1 1 1 1 1 2 2 2 n n n
长为a ,△A B C 的面积为M ,则 ( )
n n n n n
√3
A.M = a2B.a2=a a
n 4 n 4 3 5√3
C.a +a +…+a =2-22-n D.M +M +…+M <
1 2 n 1 2 n
3
6.(2023河北石家庄三模,14)已知数列{a }的通项公式为a =n-1,数列{b }是以1为首项,2
n n n
为公比的等比数列,则 = .
a +a +…+a
b b b
1 2 9
7.(2023江苏七市三模,18)已知数列{a }满足a =1,a =5,a =5a -6a .
n 1 2 n+2 n+1 n
(1)证明:{a -2a }是等比数列;
n+1 n
(2)证明:存在两个等比数列{b },{c },使得a =b +c 成立.
n n n n n
综合拔高练2
1.(2024届湖北六校联考,19)已知数列{a }满足S =2a -n(n∈N*).
n n n
(1)证明:{a +1}是等比数列;
n
(2)求a +a +a +…+a .
1 3 5 2n+12.(2024届湖南长沙南雅中学入学考,17)已知{a }为等差数列,a =1且公差d≠0,a 是a 和a
n 1 4 2 8
的等比中项.
(1)若数列{a }的前m项和S =66,求m的值;
n m
(2)若a ,a , , ,…, 成等比数列,求数列{k }的通项公式.
1 2 a a a n
k k k
1 2 n
3.(2024 届安徽安庆、池州、铜陵三市开学联考,18)已知数列{a }满足 a =1,a =
n 1 n+1
{a +2,n为奇数,
n
2a ,n为偶数.
n
(1)记b =a ,求证:数列{b +2}是等比数列;
n 2n n
(2)若T =a +a +…+a ,求T .
n 1 2 n 2n4.(2023 山西太原、大同二模,17)已知{a }是正项等比数列,{b }是等差数列,且
n n
a =b =1,1+a =b +b ,a +2=b .
1 1 3 2 4 2 3
(1)求{a }和{b }的通项公式;
n n
(2)从下面条件①、②中选择一个作为已知条件,求数列{c }的前n项和S .
n n
条件①:c =a b ;条件②:c =b .
n n n n n
a
n
注:若选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.5.(2023山东济南二模,18)已知数列{a }的前n项和S =2n+1-2,数列{b }满足b =log a .
n n n n 2 n
(1)求数列{a },{b }的通项公式;
n n
(2)由a ,b 构成的n×n阶数阵如图所示,求该数阵中所有项的和T .
n n n
a b ,a b ,a b ,…,a b
( 1 1 1 2 1 3 1 n)
a b ,a b ,a b ,…,a b
2 1 2 2 2 3 2 n
a b ,a b ,a b ,…,a b
3 1 3 2 3 3 3 n
…
a b ,a b ,a b ,…,a b
n 1 n 2 n 3 n n7.3 等比数列
五年高考
考点1 等比数列及其前n项和
1.(2023全国甲理,5,5分,中)设等比数列{a }的各项均为正数,前n项和为S ,若a =1,S =5S -
n n 1 5 3
4,则S =( )
4
15 65
A. B. C.15 D.40
8 8
答案 C
2.(2023天津,6,5分,中)已知{a }为等比数列,S 为数列{a }的前n项和,a =2S +2,则a 的值
n n n n+1 n 4
为 ( )
A.3 B.18 C.54 D.152
答案 C
3.(2022全国乙理,8,5分,中)已知等比数列{a }的前3项和为168,a -a =42,则a =( )
n 2 5 6
A.14 B.12 C.6 D.3
答案 D
4.(2019 课标Ⅲ,5,5 分,中)已知各项均为正数的等比数列{a }的前 4 项和为 15,且
n
a =3a +4a ,则a = ( )
5 3 1 3
A.16 B.8 C.4 D.2
答案 C
3
5.(2019课标Ⅰ,14,5分,中)记S 为等比数列{a }的前n项和.若a =1,S = ,则S = .
n n 1 3 4
4
5
答案
8
6.(2023全国甲文,13,5分,中)记S 为等比数列{a }的前n项和.若8S =7S ,则{a }的公比为
n n 6 3 n
.
1
答案 -
2
1
7.(2019 课标Ⅰ理,14,5 分,中)记 S 为等比数列{a }的前 n 项和.若 a = ,a2=a ,则 S =
n n 1 3 4 6 5
.
121
答案
3
考点2 等比数列的性质1.(2023新课标Ⅱ,8,5分,中)记S 为等比数列{a }的前n项和,若S =-5,S =21S ,则S =( )
n n 4 6 2 8
A.120 B.85 C.-85 D.-120
答案 C
2.(2021全国甲理,7,5分,中)等比数列{a }的公比为q,前n项和为S .设甲:q>0,乙:{S }是递
n n n
增数列,则 ( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案 B
3.(2023全国乙理,15,5分,中)已知{a }为等比数列,a a a =a a ,a a =-8,则a = .
n 2 4 5 3 6 9 10 7
答案 -2
4.(2020新高考Ⅱ,18,12分,中)已知公比大于1的等比数列{a }满足a +a =20,a =8.
n 2 4 3
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)求a a -a a +…+(-1)n-1a a .
1 2 2 3 n n+1
解析 (1)已知数列{a }是公比大于 1 的等比数列,设公比为 q(q>1),依题意有
n
{a 1 q+a 1 q3=20, 解得a =2,q=2,或a =32 , q = 1 (舍)(注意:不要忽略公比大于1这一条件),
1 1
a q2=8, 2
1
所以a =2n,所以数列{a }的通项公式为a =2n. (5分)
n n n
(2)a a -a a +…+(-1)n-1a a
1 2 2 3 n n+1
=23-25+27-29+…+(-1)n-1·22n+1
=23 [1−(−22 ) n ] 8-(-1)n22n+3. (12分)
=
1−(−22 ) 5 5
三年模拟
综合基础练
1.(2023 广 东 佛 山 一 模 ,4) 已 知 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {a } 的 前 n 项 和 为
n
S ,a a =9,9S =10S ,则a +a 的值为 ( )
n 2 4 4 2 2 4
A.30 B.10 C.9 D.6
答案 B
2.(2024届湖南长沙南雅中学入学考,6)等比数列{a }的前n项和为S ,若S =10,S =30,则
n n 10 20
S =( )
40A.60 B.70 C.80 D.150
答案 D
3.(2024届浙江名校协作体适应性考试,5)已知数列{a }的前n项和为S .若p:数列{a }是等
n n n
比数列;q:(S -a )2=S (S -S ),则p是q的( )
n+1 1 n n+2 2
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
4.(多选)(2024届湖南师大附中摸底考试,10)已知{a }是各项均为正数的等比数列,其前n
n
项和为S ,且{S }是等差数列,则下列结论正确的是 ( )
n n
A.{a +S }是等差数列
n n
B.{a ·S }是等比数列
n n
C.{ }是等差数列
a2
n
D.{S }是等比数列
n
n
答案 ACD
1
5.(2023河北唐山三模,13)设S 为等比数列{a }的前n项和,a = ,a2=a ,则S = .
n n 1 2 3 6 3
7
答案
8
6.(2024 届山东德州一中月考,13)已知等比数列{a }的首项为 1,且 a +a =2(a +a ),则
n 6 4 3 1
a a a …a = .
1 2 3 7
答案 128
7.(2023重庆5月第三次联考,17)已知公差不为零的等差数列{a }满足a =3,且a ,a ,a 成等
n 2 1 3 7
比数列.
(1)求数列{a }的通项公式;
n
1 5
(2)设数列{b }满足b = ,{b }的前n项和为S ,求证:S < .
n n a a n n n 12
n n+2
解析 (1)设{a }的公差为d(d≠0),根据a ,a ,a 成等比数列,可得 =a a ,
n 1 3 7 a2 1 7
3又a =3,所以{(a +2d) 2=a (a +6d), {2d2=a d,
2 1 1 1 即 1
a +d=3, a +d=3,
1 1
由d≠0,解得{d=1,故a =n+1.
n
a =2,
1
(2)证明:由(1)知b
n
= 1
=
1( 1
−
1 ),
(n+1)(n+3) 2 n+1 n+3
所以S =b +b +…+b
n 1 2 n
=
1(1 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1 1 ) ( 1 1 ) 1(1 1 1 1 )
− + − + − + − +…+ − + − = + − −
2 2 4 3 5 4 6 5 7 n n+2 n+1 n+3 2 2 3 n+2 n+3
.
因为n∈N*,所以1(1 1 1 1 ) 1 (1 1) 5 .
+ − − < × + =
2 2 3 n+2 n+3 2 2 3 12
5
所以S < .
n
12
综合拔高练1
1.(2023山西太原、大同二模,6)已知等比数列{a }的前n项和为S ,若a =S +1(n∈N*),则
n n n+1 n
a = ( )
5
A.16 B.32 C.81 D.243
答案 A
2.(2024届湖南师大附中摸底考试,7)已知{a }是公差为3的等差数列,其前n项和为S ,设
n n
甲:{a }的首项为零;乙:S +3是S +3和S +3的等比中项,则( )
n 2 1 3
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案 C
3.(2023湖北襄阳四中适应性考试,3)部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形,一个数
学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统,分形几
何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合,数学与艺术审美的统一,而且还有其深刻的科学方法论意义.如图,由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一
种分形,具体作法是取一个实心三角形,沿三角形的三边中点连线.将它分成4个小三角形,
去掉中间的那一个小三角形后,对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形,若
√3
记图①三角形的面积为 ,则第 个图中阴影部分的面积为 ( )
4
…
A.√3 (√3) n+1 √3 (3) n
· B. ·
9 2 6 2
C.√3 (3) n √3 (3) n
· D. ·
4 4 3 4
答案 D
4.(多选)(2023 江苏八市二模,10)已知数列{a }的前 n 项和为 S ,a ={2n−13,1≤n≤6, 若
n n n
(−3) n−7−1,n>6,
S =-32,则k可能为 ( )
k
A.4 B.8 C.9 D.12
答案 AC
5.(多选)(2023河北唐山二模,10)如图,△ABC是边长为2的等边三角形,连接各边中点得到
△A B C ,再连接△A B C 的各边中点得到△A B C ,……,如此继续下去,设△A B C 的边
1 1 1 1 1 1 2 2 2 n n n
长为a ,△A B C 的面积为M ,则 ( )
n n n n n
√3
A.M = a2B.a2=a a
n 4 n 4 3 5
√3
C.a +a +…+a =2-22-n D.M +M +…+M <
1 2 n 1 2 n
3
答案 ABD
6.(2023河北石家庄三模,14)已知数列{a }的通项公式为a =n-1,数列{b }是以1为首项,2
n n n为公比的等比数列,则 = .
a +a +…+a
b b b
1 2 9
答案 502
7.(2023江苏七市三模,18)已知数列{a }满足a =1,a =5,a =5a -6a .
n 1 2 n+2 n+1 n
(1)证明:{a -2a }是等比数列;
n+1 n
(2)证明:存在两个等比数列{b },{c },使得a =b +c 成立.
n n n n n
证明 (1)∵a =5a -6a ,
n+2 n+1 n
∴a -2a =5a -6a -2a ,
n+2 n+1 n+1 n n+1
∴a -2a =3a -6a =3(a -2a ),
n+2 n+1 n+1 n n+1 n
显然a -2a =0与a =1,a =5矛盾,
n+1 n 1 2
∴a -2a ≠0,∴a −2a =3,
n+1 n n+2 n+1
a −2a
n+1 n
∴数列{a -2a }是首项为a -2a =5-2=3,公比为3的等比数列.
n+1 n 2 1
(2)∵a =5a -6a ,∴a -3a =5a -6a -3a ,
n+2 n+1 n n+2 n+1 n+1 n n+1
∴a -3a =2a -6a =2(a -3a ),
n+2 n+1 n+1 n n+1 n
显然a -3a =0与a =1,a =5矛盾,∴a -3a ≠0,
n+1 n 1 2 n+1 n
∴a −3a =2,
n+2 n+1
a −3a
n+1 n
∴数列{a -3a }是首项为a -3a =5-3=2,公比为2的等比数列,
n+1 n 2 1
∴a -3a =2n,①
n+1 n
又由(1)知,a -2a =3n,②
n+1 n
∴②-①得,a =3n-2n,
n
∴存在b =3n,c =-2n两个等比数列{b },{c },使得a =b +c 成立.
n n n n n n n
综合拔高练2
1.(2024届湖北六校联考,19)已知数列{a }满足S =2a -n(n∈N*).
n n n
(1)证明:{a +1}是等比数列;
n
(2)求a +a +a +…+a .
1 3 5 2n+1
解析 (1)证明:当n=1时,S =2a -1,得a =1,
1 1 1
当n≥2时,S -S =(2a -n)-[2a -(n-1)],
n n-1 n n-1
所以a =2a +1,n≥2,
n n-1从而a +1=2(a +1),n≥2,得 a +1 =2(n≥2),
n n-1 n
a +1
n−1
所以{a +1}是以2为首项,2为公比的等比数列.
n
(2)由(1)得a =2n-1,
n
所以a +a +a +…+a =(2+23+…+22n+1)-(n+1)
1 3 5 2n+1
2(1−4n+1
)
= -(n+1)
1−4
22n+3−3n−5
= .
3
2.(2024届湖南长沙南雅中学入学考,17)已知{a }为等差数列,a =1且公差d≠0,a 是a 和a
n 1 4 2 8
的等比中项.
(1)若数列{a }的前m项和S =66,求m的值;
n m
(2)若a ,a , , ,…, 成等比数列,求数列{k }的通项公式.
1 2 a a a n
k k k
1 2 n
解析 (1)因为{a }是等差数列,
n
所以a =a +d,a =a +3d,a =a +7d,
2 1 4 1 8 1
因为a 是a 和a 的等比中项,
4 2 8
所以 =a ·a ,所以(a +3d)2=(a +d)·(a +7d),
a2 2 8 1 1 1
4
由d≠0化简得d=a =1.所以a =n,
1 n
m(m+1)
由S = =66,
m
2
解得m=11.
(2)因为a ,a , , ,…, 成等比数列,
1 2 a a a
k k k
1 2 n
所以该数列的公比为a 2=2,
2=
a 1
1
又a =1,所以 =1×2(n+2)-1=2n+1,
1 a
k
n
又{a }为等差数列,且a =n,所以 =k =2n+1.
n n a n
k
n
故数列{k }的通项公式为k =2n+1.
n n
3.(2024 届安徽安庆、池州、铜陵三市开学联考,18)已知数列{a }满足 a =1,a =
n 1 n+1{a +2,n为奇数,
n
2a ,n为偶数.
n
(1)记b =a ,求证:数列{b +2}是等比数列;
n 2n n
(2)若T =a +a +…+a ,求T .
n 1 2 n 2n
解析 (1)证明:由已知得b =a =3,b +2=a +2=5.
1 2 1 2
当n≥2时,b =a =a +2=2a +2=2b +2,
n 2n 2n-1 2n-2 n-1
故b +2=2(b +2),
n n-1
所以数列{b +2}是首项为5,公比为2的等比数列.
n
(2)由(1)知:b =5×2n-1-2,
n
T =a +a +…+a =(a +a +…+a )+(a +a +…+a )=2(b +b +…+b )-2n, 设 S =b +b +…
2n 1 2 2n 1 3 2n-1 2 4 2n 1 2 n n 1 2
+b =5×(1+2+…+2n-1)-2n=5×2n-2n-5,故T =2S -2n=5×2n+1-6n-10.
n 2n n
4.(2023 山西太原、大同二模,17)已知{a }是正项等比数列,{b }是等差数列,且
n n
a =b =1,1+a =b +b ,a +2=b .
1 1 3 2 4 2 3
(1)求{a }和{b }的通项公式;
n n
(2)从下面条件①、②中选择一个作为已知条件,求数列{c }的前n项和S .
n n
条件①:c =a b ;条件②:c =b .
n n n n n
a
n
注:若选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
解析 (1)设{a }的公比为q(q>0),{b }的公差为d,
n n
由题意可得{1+q2=2+4d, {d=2, {d=0,(舍去).
解得 或
q+2=1+2d, q=3 q=−1
∴a =3n-1(n∈N*),b =2n-1(n∈N*).
n n
(2)选择条件①:c =a b ,则c =(2n-1)·3n-1.
n n n n
∴S =c +c +c +…+c +c =1×1+3×3+5×32+…+(2n-3)×3n-2+(2n-1)×3n-1,①
n 1 2 3 n-1 n
∴3S =1×3+3×32+5×33+…+(2n-3)×3n-1+(2n-1)×3n,②
n
①-②得-2S =1+2×(3+32+33+…+3n-1)-(2n-1)×3n
n
3−3n
=1+2× -(2n-1)×3n=-2-(2n-2)×3n,
1−3
∴S =(n-1)×3n+1.
n
选择条件②:c =b ,则c =2n−1.
n n n
a 3n−1
n3 5 2n−3 2n−1
∴S =c +c +c +…+c +c =1+ + +…+ + ,①
n 1 2 3 n-1 n 3 32 3n−2 3n−1
1 1 3 5 2n−3 2n−1
∴ Sn= + + +…+ + ,②
3 3 32 33 3n−1 3n
①-②得2
Sn=1+2×
(1
+
1
+
1
+…+
1 )
−
2n−1
3 3 32 33 3n−1 3n
1 1
−
3 3n 2n−1 2n+2
=1+2× − =2− ,
1 3n 3n
1−
3
n+1
∴S =3- (n∈N*).
n 3n−1
5.(2023山东济南二模,18)已知数列{a }的前n项和S =2n+1-2,数列{b }满足b =log a .
n n n n 2 n
(1)求数列{a },{b }的通项公式;
n n
(2)由a ,b 构成的n×n阶数阵如图所示,求该数阵中所有项的和T .
n n n
a b ,a b ,a b ,…,a b
( 1 1 1 2 1 3 1 n)
a b ,a b ,a b ,…,a b
2 1 2 2 2 3 2 n
a b ,a b ,a b ,…,a b
3 1 3 2 3 3 3 n
…
a b ,a b ,a b ,…,a b
n 1 n 2 n 3 n n
解析 (1)因为S =2n+1-2,所以当n=1时,S =22-2=2,即a =2,
n 1 1
当n≥2时,S =2n-2,所以S -S =2n+1-2-(2n-2),即a =2n,
n-1 n n-1 n
经检验,当n=1时a =2n也成立,所以a =2n,n∈N*.
n n
则b =log a =log 2n=n.
n 2 n 2
(2)由数阵可知T =a (b +b +…+b )+a (b +b +…+b )+…+a (b +b +…+b )
n 1 1 2 n 2 1 2 n n 1 2 n
=(a +a +…+a )(b +b +…+b ),
1 2 n 1 2 n
n(1+n) n2+n
因为S =2n+1-2,b +b +…+b =1+2+…+n= = ,
n 1 2 n
2 2
n2+n
所以T =(2n+1-2)× =(2n-1)·(n2+n).
n
2
