文档内容
专题 07 数列求和-错位相减、裂项相消
◆错位相减法
错位相减法是求解由等差数列 和等比数列 对应项之积组成的数列 (即 )的前 项和
的方法.这种方法运算量较大,要重视解题过程的训练.在讲等比数列的时候, 我们推导过等比数列的求和公
式,其过程正是利用错位相减的原理, 等比数列的通项 其实可以看成等差数列通项 与等比数列
通项 的积.
公式秒杀:
( 错位相减都可化简为这种形式 , 对于求解参数 与 , 可以采用将前 1 项和与前 2 项
和代入式中 , 建立二元一次方程求解 . 此方法可以快速求解出结果或者作为检验对错的依据 . )
【经典例题1】设数列 的前n项和为 ，若 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ； (2) .
【解析】
(1)因为 ．
所以 ，解得 ．
当 时， ，
所以 ，所以 ，即 ．
因为 也满足上式，所以 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 ．
(2)由（1）知 ，所以 ，所以 …①
…②
①-②得
，所以 ．
【经典例题2】已知等差数列 的前n项和为 ，数列 为等比数列，且 ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ， (2)
【解析】
(1)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
由题意得： ，解得： ，
所以 ，
由 得： ，所以 ，
所以
(2) ，
则 ①，②，
两式相减得：
，
所以
【经典例题3】已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)设等比数列 的公比为 ，当 时， ，所以 ， ，无解．
当 时， ，所以 解得 ， 或 ， （舍）．
所以 ．
(2) ．所以 ①，则
②，
①－②得，．
所以 ．
【练习1】已知数列 满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)由 得： ，又 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ，
.
(2)由（1）得： ；
， ，
，
.
【练习2】已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)令 得 ，∴ ，当 时， ，则 ，
整理得 ，∴ ，∴数列 是首项为1，公比为2的等比数列，∴ ；
(2)由（1）得 ，则 ， ，
两式相减得 ，化简得 ．
【练习3】已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)当 时， ，解得 ．
当 时， ，
整理得 ，
所以 是以2为首项，4为公比的等比数列，
故 ．
(2)由（1）可知， ，则 ，
，
则
．
故 ．
【练习4】已知数列 满足 ， （ ）.
(1)求证数列 为等差数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】
(1)由已知可得 ，即 ，即 ， 是等差数列.
(2)由（1）知， ， ，
相减得，◆裂项相消法
把数列的通项拆成相邻两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.在消项时要注意前面
保留第几项,最后也要保留相对应的倒数几项.例如消项时保留第一项和第3项,相应的也要保留最后一项和
倒数第三项.
常见的裂项形式:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) ;
(7) ;
(8)
(9)
(10) .
1)
(1
(12)【经典例题1】已知正项数列 中， ， ，则数列 的前 项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为 且 ，所以，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以， ，
因为数列 为正项数列，则 ，
则 ，所以，数列 的前 项和为
.
故选：C.
【经典例题2】数列 的通项公式为 ，该数列的前8项和为__________．
【答案】
【解析】
因为 ，
所以 ．
故答案为： ．
【经典例题3】已知数列 的前 项和为 ，若 ，则数列 的前 项和为________．【答案】
【解析】
当 时， ，
当 时， ，
且当 时， ，故数列 的通项公式为 ，
，
则数列 的前 项和为：
.
故答案为：
【练习1】数列 的前2022项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：
记 的前 项和为 ，
则；
故选：B
【练习2】数列 的各项均为正数， 为其前 项和，对于任意的 ，总有 ， ， 成等差数列，
又记 ，数列 的前 项和 ______．
【答案】
【解析】
由对于任意的 ，总有 ， ， 成等差数列可得：
，
当 时可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
由数列 的各项均为正数，
所以 ，
又 时 ，所以 ，
所以 ，
，
.故答案为： .
【练习3】 _______.
【答案】
【解析】
，
.
故答案为： .
【练习4】设数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)解：数列 满足 ，
当 时，得 ，时， ，
两式相减得： ，
∴ ，
当 时， ，上式也成立.
∴ ；
(2)因为 ，
，
∴ ，
.
【练习5】已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， ，求数列 的前 项和
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)当 时， ，解得： ；
当 时， ，即 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， .(2)由（1）得： ， ，
.
【练习6】已知数列 中， ．
(1)证明： 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析； (2)
【解析】
(1)解： ，
即为 ·······①，
又 ，········②，
①-②得 ，即 ，
又当 时， ，
故 ；
从而 ，
所以 是首项为1，公比为2的等比数列；
(2)由（1）得 ，所以 .
【练习7】记 是公差不为零的等差数列 的前 项和，若 ， 是 和 的等比中项.
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前20项和.
【答案】(1) ， (2)
【解析】
(1)由题意知 ，
设等差数列 的公差为 ，则 ，
因为 ，解得
又 ，可得 ，
所以数列 是以1为首项和公差为1的等差数列，
所以 ，
(2)由（1）可知 ，
设数列 的前 和为 ，则
，所以
所以数列 的前20和为
【练习8】已知等差数列 满足 ， ， （ ）．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)数列 的前n项和为 ，求 ．
【答案】(1) ， (2)
【解析】
(1)由题意，可设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得 ，d＝2，
∴ ；
∴ ；
(2)∵ ，
．
【练习9】已知正项数列 的前 项和为 ，且 、 、 成等比数列，其中 ．
(1)求数列 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)解：对任意的 ， ，由题意可得 .
当 时，则 ，解得 ，
当 时，由 可得 ，
上述两个等式作差得 ，即 ，
因为 ，所以， ，
所以，数列 为等差数列，且首项为 ，公差为 ，则 .
(2)解： ，
则 ，
因此， .
【练习10】已知 是数列 的前 项和， ，___________.
① ， ；②数列 为等差数列，且 的前 项和为 .从以上两个条件中任选一个
补充在横线处，并求解：
(1)求 ；(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)条件选择见解析， (2)
【解析】
(1)解：选条件①： ， ，得 ，
所以， ，
即数列 、 均为公差为 的等差数列，
于是 ，
又 ， ， ，所以 ；
选条件②：因为数列 为等差数列，且 的前 项和为 ，
得 ，所以 ，
所以 的公差为 ，
得到 ，则 ，
当 ， .
又 满足 ，所以，对任意的 ， .
(2)解：因为 ，
所以.
【过关检测】
一、单选题
1． （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由 ，
得 ，
两式相减得
.
所以 .
故选：B.
2．数列 的前n项和等于（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】
解：设 的前n项和为 ，
则 ， ①
所以 ， ②
①－②，得 ，
所以 ．
故选:B．
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S =7，S =63，则数列{nan}的前n项和为（ ）
3 6
A．-3+(n+1)×2n B．3+(n+1)×2n
C．1+(n+1)×2n D．1+(n-1)×2n
【答案】D
【解析】
设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，
所以由题设得 ，
两式相除得1+q3=9，解得q=2，
进而可得a =1，
1
所以an=a qn-1=2n-1，
1
所以nan=n×2n-1.
设数列{nan}的前n项和为Tn，
则Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1，
2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，
两式作差得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n= -n×2n=-1+(1-n)×2n，
故Tn=1+(n-1)×2n.故选：D.
4．已知等差数列 ， ， ，则数列 的前8项和为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由 ， 可得公差 ，所以 ，
因此 ，所以前8项和为
故选：B
5．已知数列 的前 项和为 ， ．记 ，数列的前 项和为 ，则 的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
因为数列 中， ，所以 ，所以
，所以 ．因为 ，所以 ，
所以 ．因为数列 是递增数列，当 时，
，当 时， ， ，所以 ，所以 的取值范围为 ．故选：A．
6．已知数列满足 ，设 ，则数列 的前2022项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为 ①，
当 时， ；
当 时， ②，
①-②化简得 ，
当 时： ，也满足 ，
所以 ， ，
所以 的前2022项和 .
故选:D.
7．已知数列 满足 ，且 ， ，则 （ ）
A．2021 B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵ ，即 ，则
∴数列 是以首项 ，公差 的等差数列则 ，即
∴
则
故选：B．
8．等差数列 中， ，设 ，则数列 的前61项和为（ ）
A． B．7 C． D．8
【答案】C
【解析】
解：因为等差数列满足 ，所以 ，所以 ，所以
，令数列 的前 项和为 ，
所以数列 的前n项和 ，所以 ．
故选：C．
9．设数列 的前n项和为 ，则（ ）
A．25
