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专题 07 数列求和-错位相减、裂项相消
◆错位相减法
错位相减法是求解由等差数列 和等比数列 对应项之积组成的数列 (即 )的前 项和
的方法.这种方法运算量较大,要重视解题过程的训练.在讲等比数列的时候, 我们推导过等比数列的求和公
式,其过程正是利用错位相减的原理, 等比数列的通项 其实可以看成等差数列通项 与等比数列
通项 的积.
公式秒杀:
( 错位相减都可化简为这种形式 , 对于求解参数 与 , 可以采用将前 1 项和与前 2 项
和代入式中 , 建立二元一次方程求解 . 此方法可以快速求解出结果或者作为检验对错的依据 . )
【经典例题1】设数列 的前n项和为 ，若 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ； (2) .
【解析】
(1)因为 ．
所以 ，解得 ．
当 时， ，
所以 ，所以 ，即 ．
因为 也满足上式，所以 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 ．
(2)由（1）知 ，所以 ，所以 …①
…②
①-②得
，所以 ．
【经典例题2】已知等差数列 的前n项和为 ，数列 为等比数列，且 ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ， (2)
【解析】
(1)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
由题意得： ，解得： ，
所以 ，
由 得： ，所以 ，
所以
(2) ，
则 ①，②，
两式相减得：
，
所以
【经典例题3】已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)设等比数列 的公比为 ，当 时， ，所以 ， ，无解．
当 时， ，所以 解得 ， 或 ， （舍）．
所以 ．
(2) ．所以 ①，则
②，
①－②得，．
所以 ．
【练习1】已知数列 满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)由 得： ，又 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ，
.
(2)由（1）得： ；
， ，
，
.
【练习2】已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)令 得 ，∴ ，当 时， ，则 ，
整理得 ，∴ ，∴数列 是首项为1，公比为2的等比数列，∴ ；
(2)由（1）得 ，则 ， ，
两式相减得 ，化简得 ．
【练习3】已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)当 时， ，解得 ．
当 时， ，
整理得 ，
所以 是以2为首项，4为公比的等比数列，
故 ．
(2)由（1）可知， ，则 ，
，
则
．
故 ．
【练习4】已知数列 满足 ， （ ）.
(1)求证数列 为等差数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】
(1)由已知可得 ，即 ，即 ， 是等差数列.
(2)由（1）知， ， ，
相减得，◆裂项相消法
把数列的通项拆成相邻两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.在消项时要注意前面
保留第几项,最后也要保留相对应的倒数几项.例如消项时保留第一项和第3项,相应的也要保留最后一项和
倒数第三项.
常见的裂项形式:
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;
(5) ;
(6) ;
(7) ;
(8)
(9)
(10) .
1)
(1
(12)【经典例题1】已知正项数列 中， ， ，则数列 的前 项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为 且 ，所以，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以， ，
因为数列 为正项数列，则 ，
则 ，所以，数列 的前 项和为
.
故选：C.
【经典例题2】数列 的通项公式为 ，该数列的前8项和为__________．
【答案】
【解析】
因为 ，
所以 ．
故答案为： ．
【经典例题3】已知数列 的前 项和为 ，若 ，则数列 的前 项和为________．【答案】
【解析】
当 时， ，
当 时， ，
且当 时， ，故数列 的通项公式为 ，
，
则数列 的前 项和为：
.
故答案为：
【练习1】数列 的前2022项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：
记 的前 项和为 ，
则；
故选：B
【练习2】数列 的各项均为正数， 为其前 项和，对于任意的 ，总有 ， ， 成等差数列，
又记 ，数列 的前 项和 ______．
【答案】
【解析】
由对于任意的 ，总有 ， ， 成等差数列可得：
，
当 时可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
由数列 的各项均为正数，
所以 ，
又 时 ，所以 ，
所以 ，
，
.故答案为： .
【练习3】 _______.
【答案】
【解析】
，
.
故答案为： .
【练习4】设数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)解：数列 满足 ，
当 时，得 ，时， ，
两式相减得： ，
∴ ，
当 时， ，上式也成立.
∴ ；
(2)因为 ，
，
∴ ，
.
【练习5】已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， ，求数列 的前 项和
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)当 时， ，解得： ；
当 时， ，即 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， .(2)由（1）得： ， ，
.
【练习6】已知数列 中， ．
(1)证明： 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析； (2)
【解析】
(1)解： ，
即为 ·······①，
又 ，········②，
①-②得 ，即 ，
又当 时， ，
故 ；
从而 ，
所以 是首项为1，公比为2的等比数列；
(2)由（1）得 ，所以 .
【练习7】记 是公差不为零的等差数列 的前 项和，若 ， 是 和 的等比中项.
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前20项和.
【答案】(1) ， (2)
【解析】
(1)由题意知 ，
设等差数列 的公差为 ，则 ，
因为 ，解得
又 ，可得 ，
所以数列 是以1为首项和公差为1的等差数列，
所以 ，
(2)由（1）可知 ，
设数列 的前 和为 ，则
，所以
所以数列 的前20和为
【练习8】已知等差数列 满足 ， ， （ ）．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)数列 的前n项和为 ，求 ．
【答案】(1) ， (2)
【解析】
(1)由题意，可设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得 ，d＝2，
∴ ；
∴ ；
(2)∵ ，
．
【练习9】已知正项数列 的前 项和为 ，且 、 、 成等比数列，其中 ．
(1)求数列 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)解：对任意的 ， ，由题意可得 .
当 时，则 ，解得 ，
当 时，由 可得 ，
上述两个等式作差得 ，即 ，
因为 ，所以， ，
所以，数列 为等差数列，且首项为 ，公差为 ，则 .
(2)解： ，
则 ，
因此， .
【练习10】已知 是数列 的前 项和， ，___________.
① ， ；②数列 为等差数列，且 的前 项和为 .从以上两个条件中任选一个
补充在横线处，并求解：
(1)求 ；(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)条件选择见解析， (2)
【解析】
(1)解：选条件①： ， ，得 ，
所以， ，
即数列 、 均为公差为 的等差数列，
于是 ，
又 ， ， ，所以 ；
选条件②：因为数列 为等差数列，且 的前 项和为 ，
得 ，所以 ，
所以 的公差为 ，
得到 ，则 ，
当 ， .
又 满足 ，所以，对任意的 ， .
(2)解：因为 ，
所以.
【过关检测】
一、单选题
1． （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由 ，
得 ，
两式相减得
.
所以 .
故选：B.
2．数列 的前n项和等于（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】
解：设 的前n项和为 ，
则 ， ①
所以 ， ②
①－②，得 ，
所以 ．
故选:B．
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S =7，S =63，则数列{nan}的前n项和为（ ）
3 6
A．-3+(n+1)×2n B．3+(n+1)×2n
C．1+(n+1)×2n D．1+(n-1)×2n
【答案】D
【解析】
设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，
所以由题设得 ，
两式相除得1+q3=9，解得q=2，
进而可得a =1，
1
所以an=a qn-1=2n-1，
1
所以nan=n×2n-1.
设数列{nan}的前n项和为Tn，
则Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1，
2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，
两式作差得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n= -n×2n=-1+(1-n)×2n，
故Tn=1+(n-1)×2n.故选：D.
4．已知等差数列 ， ， ，则数列 的前8项和为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由 ， 可得公差 ，所以 ，
因此 ，所以前8项和为
故选：B
5．已知数列 的前 项和为 ， ．记 ，数列的前 项和为 ，则 的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
因为数列 中， ，所以 ，所以
，所以 ．因为 ，所以 ，
所以 ．因为数列 是递增数列，当 时，
，当 时， ， ，所以 ，所以 的取值范围为 ．故选：A．
6．已知数列满足 ，设 ，则数列 的前2022项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为 ①，
当 时， ；
当 时， ②，
①-②化简得 ，
当 时： ，也满足 ，
所以 ， ，
所以 的前2022项和 .
故选:D.
7．已知数列 满足 ，且 ， ，则 （ ）
A．2021 B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵ ，即 ，则
∴数列 是以首项 ，公差 的等差数列则 ，即
∴
则
故选：B．
8．等差数列 中， ，设 ，则数列 的前61项和为（ ）
A． B．7 C． D．8
【答案】C
【解析】
解：因为等差数列满足 ，所以 ，所以 ，所以
，令数列 的前 项和为 ，
所以数列 的前n项和 ，所以 ．
故选：C．
9．设数列 的前n项和为 ，则（ ）
A．25<S <25.5 B．25.5<S <26
100 100
C．26<S <27 D．27<S <27.5
100 100
【答案】A
【解析】
由 ，
∴ ，
∴ ，故选：A．
10．已知数列 满足 ，则数列 的前5项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为 ，
所以 .
所以 前5项和为
故选：D
11．已知数列 的首项 ，且满足 ，记数列 的前n项和为 ，
若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
解：因为 ，所以 ， ， ，……， ，
所以 ，又 ，即 ，所以 ，所以 ，
所以
所以 的取值范围是 .
故选：C
12．在数列 中， ，其前 项和 满足 ，若对任意 总有
恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
当 时， ， ，两式相减，整理得 ①，
又当 时， ②，① ②，整理得
，又因 ，得 ，从而数列 为等差数列，
当 时， 即 ，解得 ，所以公差 ，
则 ， ，
故当 时，
，易见 随 的增大而增大，从而 恒成立，所以 ，故 的最小值为 ，
故选：C．
二、填空题
13．已知正项数列{an}满足a＝2且an 2﹣2an2﹣anan ＝0，令bn＝（n+2）an，则数列{bn}的前8项的和
1 +1 +1
等于 __．
【答案】4094
【解析】
由 ，
得（an +an）（an −2an）＝0，又an＞0，
+1 +1
所以an +an＞0，
+1
所以an −2an＝0，
+1
所以 ，
所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，
所以 ，
令数列{bn}的前n项的和为Tn，
，
则 ，
＝2−8×29＝−4094，
则T＝4094，
8
故答案为：4094．14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2，则数列{ }的前n项和Tn＝__．
【答案】2 .
【解析】
解：∵Sn＝2an﹣2，∴Sn ＝2an ﹣2（n≥2），设公比为 ，
﹣1 ﹣1
两式相减得：an＝2an﹣2an ，即an＝2an ，n≥2，
﹣1 ﹣1
又当n＝1时，有S＝2a﹣2，解得：a＝2，
1 1 1
∴数列{an}是首项、公比均为2的等比数列，
∴an＝2n， ，
又Tn ，
Tn ，
两式相减得： Tn ，
整理得：Tn＝2 ．
故答案为：Tn＝2 ．
15．将 （ ）的展开式中 的系数记为 ，则 __________．
【答案】
【解析】
的展开式的通项公式为 ，令 可得 ；
；所以
.
故答案为： .
16．数列 的前项n和为 ，满足 ，且 ，则 ______．
【答案】
【解析】
由题意，数列 满足 ，
可得 ，
所以 + +…+ ，
故答案为：
三、解答题
17．已知数列 满足 ， .
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)求数列 的前n项和 .
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【解析】
(1)令 ，因为 ，所以数列 为等差数列，首项为1，公差为2；
(2)由（1）知： ；故 ；
所以 ；
所以
；
18．已知正项数列 的前 项和为 ， ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)∵ ，∴数列 是以公差为3的等差数列.
又 ，∴ ， ，∴ .
(2)由（1）知 ，于是
19．已知数列 的首项为3，且 ．(1)证明数列 是等差数列，并求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】
(1)因为 ，所 ，
则 ，所以数列 是以 为首项，公差等于1的等差数列，
∴ ，即 ；
(2) ，
则 ；
综上， ， .
20．已知数列 中， ，且满足 .
(1)求证：数列 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和为 .
【答案】(1)证明见解析， (2)
【解析】
（1）解：对任意的 ， ，所以 ，且 ，所以数列 是以为首项， 为公比的等比数列．所以 ，所以 ．
（2）解：由已知可得 ，则 ，所以，
，两式相减得
，因此， .
21．已知等比数列 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 为正项数列（各项均为正），求数列 的前 项和 .
【答案】(1) 或 ；
(2) .
【解析】
(1)等比数列 的公比为q， ， ，则 ，解得 ，
所以当 时， ，当 时， .
(2)由（1）知， ，则有 ，
则 ，
于是得 ，
两式相减，得，
所以 .
22．已知等差数列 满足 ， ，数列 的前n项和为 ，且 .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 .
【答案】(1) 或 ； ；
(2)若 ，则 ；若 ，则 .
【解析】
(1)设等差数列 的公差为d，
， ， ，
化简得 ，解得： 或 ，
若 ，则 ；若 ，则 ；
由数列 的前n项和为 ①，
当 时，得 ，
当 时，有 ②；
①-②有 ，即 ， ，
所以数列 是首项为3，公比为3的等比数列，所以 ，
综上所述： 或 ； ；(2)若 ，则 ，
则 ，
若 ，则 ，
则 ③；
③×3得 ④；
③-④得：
整理化简得： ，
综上所述：若 ，则 ；若 ，则 .
