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人教A版数学--数列专题十一
知识点一 判断等差数列,写出等比数列的通项公式,求等比数列前n项和,分组（并项）
法求和
典例1、已知数列 ， ， 为数列 的前 项和，
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明 为等差数列，并求数列 的前 项和.
随堂练习：已知数列 满足 ， ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记在区间 上， 的项数为 ，求数列 的前m项和.典例2、设各项均为正数的数列 的前n项和为 ，满足对任意 ，都
．
（1）求证：数列 为等差数列；
（2）若 ，求数列 的前n项和 ．
随堂练习：设数列 满足 ，且 .
（1）求证：数列 为等差数列，并求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .典例3、已知正项数列 的前n项和为 ，且 ，数列 满足 ．
（1）求数列 的前n项和 ，并证明 ， ， 是等差数列；
（2）设 ，求数列 的前n项和 ．
随堂练习：已知数列 ， ，且对任意 ，都有 .
（1）设 ，判断数 是否为等差数列或等比数列；（2）若 ， ，求数列 的前 项的和 .
知识点一 累加法求数列通项,含绝对值的等差数列前n项和,由递推关系证明等比数列
典例4、已知在前n项和为 的等差数列 中， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前20项和 ．随堂练习：已知等差数列 的前 项和为 ， ， ， ．
（1）求 的通项公式
（2）设 ，求数列 的前 项之和 ．
典例5、已知 是数列 的前 项和，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求 .随堂练习：已知等差数列 的公差为 ，数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ；
（3）请直接写出 的结果.
典例6、在等比数列 中， ，公比 ，且 ，又
有4是 和 的等比中项．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前21项和 ．随堂练习：在数列 中， ， ，且满足 .
（1）求数列 的通项公式;
（2）设 是数列 的前 项和，求 .
人教A版数学--数列专题十一答案
典例1、答案： （1） （2）证明见解析，
解：（1）当 ， 所以 ，
当 ， 即 ，
所以 所以 ；
（2）当 ， 所以 ，因为 ， 所以 ，
所以 是 ， 所以 ， 所以 ，
令 ，
则 =-1+ ，
，
.
随堂练习：答案： （1） ， ； （2）前m项和为 ， .
解：（1）由题意知： 为等差数列，设其公差为d，
由 ，得 ，又 ，
∴ ，则 .
（2）由题及（1）得， ，
∴
.
典例2、答案：（1）证明见解析； （2） .
解：（1）证明：当 时， ， ，所以 .当 时，有 ， ，
两式相减得 ，
所以 ，则 ，
两式相减得 ，即 ，
因为数列 各项均为正数，所以有 ，
又 时，则 ，即 ，整理可得 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，满足 .
所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可得， ，所以 .
所以，当 为偶数时， .
当 为偶数时，
；
当 为奇数时， .
综上所述， .
随堂练习：答案： （1）证明见解析， ; （2） .解：（1）由已知得 ， 即 ，
是以 4 为首项， 2 为公差的等差数列.
，
当 时，
,
当 时， 也满足上式，所以 ;
（2） ,
当 为偶数时，
当 为奇数时，
,
所以 .
典 例 3 、 答 案 ： （ 1 ） ， 证 明 见 解 析 ； （ 2 ）
．解：（1） ①， ，
当 时， ，∴ 或 (舍)，
当 时， ②，
①－②： ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ 是以2为首项，2为公差的等差数列，∴ ， ，
∴数列 是首项为－2，公比为2的等比数列，
∴ ．
（2）∵
，
∴ ， ， 成等差数列； ，
当n为偶数时，
．
当n为奇数时，．
综上可知 ．
随堂练习：答案：（1）答案见解析；（2） .
解:（1）由 ，得 ， ，
所以，数列 是等差数列.
当 的公差为零时， ，数列 是等差数列，不是等比数列；
当 的公差不为零时， ，数列 既是等差数列也是等比数列；
（2）若 ，由（1）知 ，
所以数列 是等差数列，且首项为 ，公差为 ， .
则 ， .
.
典例4、答案： （1） ； （2） .
解：（1）由 ，则 ，
由 ，则 ，
所以 ，即 ，故 ， 则 .（2）由（1）知： ，可得 ，即 ，故 时 ，
所以 .
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）设等差数列 的公差为 ，
则由已知可得： ，解得 ，
所以 .
（2）因为 ， ，
所以
.
典例5、答案： （1） （2）
解：（1）
当 时， ，
当 时， ，
也符合上式，所以 ，
（2）因为 ，所以 时， ； 时， ，当 时，
，
当 时，
.
综上：
随堂练习：答案： （1） （2） （3）
解：（1） 为等差数列， ，
得到公差 ，进而得到 ，
（2） ，
所以令 ，得 ，又 ，
，整理得，
典例6、答案： （1） （2）
解：（1）因为 ，可得 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
因为4是 和 的等比中项，所以 ，
即 与 是方程 的两个根，且 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由 ，可得 ，则 ，
则数列 的前 项和为 ，
当 时， ，所以 ；
当 时， ，
所以
.随堂练习：答案：（1） ； （2） .
解：（1）由 可得 是等差数列，且公差 ，
所以 .
（2）由 ，可得 的前 项和 ，
当 时， ，
，
当 时， ，此时 ，
所以
，
综上所述：
