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人教A版数学--数列专题四
知识点一 数列新定义
典例1、对于数列 ，若存在正数 ，使得 对任意 都成立，则称数列
为“拟等比数列”．
（1）已知 ， ，且 ，若数列 和 满足： ， 且
， ；
①若 ，求 的取值范围；
②求证：数列 是“拟等比数列”；
（2）已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，前 项和为 ，若 ， ，
，且 是“拟等比数列”，求 的取值范围（请用 、 表示）．
随堂练习：已知 是由正整数组成的无穷数列，该数列前 项的最大值记为 ，最小
值记为 ，令 ，并将数列 称为 的“生成数列”．
（1）若 ，求数列 的前 项和；（2）设数列 的“生成数列”为 ，求证： ；
（3）若 是等比数列，证明：存在正整数 ，当 时， 是等比数列．
典例2、已知数列 ： ， ，…， ，其中 是给定的正整数，且 .令
， ， ， ， ，
.这里， 表示括号中各数的最大值， 表示括号
中各数的最小值.
（1）若数列 ：2，0，2，1，-4，2，求 ， 的值；
（2）若数列 是首项为1，公比为 的等比数列，且 ，求 的值；
（3）若数列 是公差 的等差数列，数列 是数列 中所有项的一个排列，求
的所有可能值（用 表示）.随堂练习：已知无穷数列 满足：① ；②
（ ；
； ）.设 为 所能取到的最大值，并记数列
.
（1）若 ，写出一个符合条件的数列A的通项公式；
（2）若 ，求 的值；
（3）若 ，求数列 的前100项和.
典例3、对于序列 ，实施变换T得序列 ，
记作 ；对 继续实施变换T得序列 ，记作
．最后得到的序列 只有一个数，记作 ．
（1）若序列 为1，2，3，求 ；
（2）若序列 为1，2，…，n，求 ；
（3）若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作 ，若序列B为序列的一个排列，请问： 是 的什么条件？请说明理由．
随堂练习：若数列 满足 ，则称 为E数列.
记
.
（1）写出一个满足 ，且 的E数列 ；
（2）若 ， ，证明E数列 是递减数列的充要条件是 ；
（3）对任意给定的整数 ，是否存在首项为0的E数列 ，使得 ？如果
存在，写出一个满足条件的E数列 ；如果不存在，说明理由.
知识点二 等差数列通项公式的基本量计算,等差数列前n项和的基本量计算,等比中项
的应用,
数列不等式能成立（有解）问题典例4、设等差数列 的前n项和为 ，数列 是首项为1公比为 的等比数
列，其前n项和为 ，且 ，对任意 恒成立.
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）设 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求实
数 的取值范围.
随堂练习：已知数列 的前 项和为 ，且满足
．设
，数列 的前 项和为 ．
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）设 ，若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．典例5、设首项为a的等比数列 的前 项和为 ，若等差数列 的前三项恰为 ，
， .
（1）求数列 ， 的通项公式；（用字母a表示）
（2）令 ，若 对 恒成立，求实数a的取值范围.
随堂练习：已知数列 和 ，记 ， 分别为 和 的前 项和， 为 的前
项积，且满
足 ， ， .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，记数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
典例6、若数列 的前n项和为 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）已知数列 满足 ，其前n项和为 ，若 对任意 恒成
立，求实数 的取值范围.
随堂练习：已知数列 的前 项和为 ， ，数列 满足
， .（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设数列 满足： ， ，若不等式 恒成
立，求实数 的取值范围.
人教A版数学--数列专题四答案
典例1、答案：（1）① ；②证明见解析 （2）
解：（1）①因为 ， ，且 ， ， ，所以， 的
取值范围是 ；
②由题意可得 ， 则 ，即
，假设当 时， ，
则当 时， ，即 ，
所以，对任意的 ， ，
所以， ， ，
即存在 ，使得 ， 所以，数列 是“拟等比
数列”.
（2）因为 ， ， ，
即 ，所以 ，
即 ，且有 ，
因为 ，则 ，所以， ，
又因为数列 是“拟等比数列”，故存在 ，使得 ，且数列 为
单调递减数列.
①当 时，此时 ， 所以，
，
因为 ，则 ，因为数列 在 时单调递减，故 ， 而
；
②当 时， ，则 ，
由 ，则 ，
因为数列 在 时单调递减，故 .
由①②可得 ，即 的取值范围是 .
随堂练习：答案：（1） ； （2）证明见解析； （3）证明见解析.
解：（1）因为 ，所以 ． 所以
，
所以 ， ， 所以 ，
因为 ， 所以数列 是等比数列， 所以数列 的前 项和为：
；
（2）由题意可知 ， ， 所以 ，所以 ．所以 ， 所以 ，
由“生成数列”的定义可得 ， 所以 ．
累加可得 .
（3）由题意知 ．由（2）可知 ．
① 当 时，得 ，即 ， 所以 ， 所以 .
即 为公比等于1的等比数列，
②当 时，令 ，则 .
当 时，显然 ．
若 ，则 ，与 矛盾, 所以 ，即 .
取 ，当 时， ，显然 是等比数列,
综上，存在正整数 ，使得 时， 是等比数列.
典例 2、答案： （1） ， ； （2） ； （3）所有可能值为
.
解：（1）由题设， ， ， ，则 ，
， ， ，则 ， 所以 ， .
（2）若数列 任意两项均不相等，
当 时 ； 当 且 时， ，又 ， ， 此时 ；
综上， ，故 ，不合要求；
要使 ，即存在 且 使 ，即 ，
又 ，则 ， 当 ，则 ，不合要求；
当 ，则 ，满足题设； 综上， .
（3）由题设数列 单调递增且 ，
由（2）知： ，
根据题设定义，存在 且 ， ，
则 ，
由 比数列 中 个项大， ，同理 ， 所以
；
又 至少比数列 中一项小， ，同理 ，
所以 ；
综上， .
令数列 ，下证 各值均可取到，
ⅰ、当 ，而数列 递增，
， 且 ，
此时， ，
，则 ；
ⅱ、当 时， ，则
，
当 且 时，令 ，则 ，
所以 ，
，
此时 ；
ⅲ、给定 ，
令 ( )且 ( )，
则 ( )， ( )，
又数列 递增， ，
( )， ( )，
所以 ，
此时 且 ，
故 ， 综上， .
随堂练习：答案： （1） ； （2） ； （3） .
解：（1） ；
（2） 因为 ，所以 ，所以 或 . 因此
.当 时， 且 同时成立，
此时 .
当 时，
且 同时成立，此时矛盾. 综上， .
（3）因为 ， 所以 . 所以 .
由 知， . 事实上，当 时，
与 同时成立， 所以 ，从而 .
猜想数列 ：1，2，4，5，7，8， ，
即数列 由不能被3整除的正整数从小到大排列组成，且满足数A： 的
两条性质.
下面用数学归纳法证明.
①当 时结论成立. ②假设 时结论成立，则当 时，
当 时，此时 ，
由于 ；
；
上面各式均成立，此时有 .
当 时，此时 ， 由于
；；
上面各式均成立，此时有 .
综上，数列 是由不能被3整除的正整数从小到大排列组成.
数列 的前100项和为： .
典例3、答案： （1） （2） （3）充分不必要条件
解：（1）序列 为1，2，3， ， ， ，即8， ．
（2） 时，
时， ．
时， ，
时， ，
，
取 时， ，
取 时， ①，
则 ②，
① ②得，
所以 ． 由序列 为1，2， ， ，可得
．
（3）序列 为序列 ，2， ， 的一个排列， ．而反之不成立．例如取序列 为： ， ， ，2，1，满足 ．
因此 是 的充分不必要条件．
随堂练习：答案：（1）0,1,2,1,0（或 0,1,0,1,0）（2）证明见解析；（3）不存在，
理由见解析.
解：（1） （或 ）
（2）必要性：因为 数列 是递减数列， 所以 ，
所以 是首项为 ，公差为 的等差数列， 所以
；
充分性：由于 ， ，…， ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ， 所以数列 是递减数列.
综上，结论得证． 令 ， 则 ．
（3）因为 ， ，……, ，
所以
因为 ，所以 为偶数 ，
所以 为偶数．
所以要使 ，必须使 为偶数，即 整除 ，亦即 或．
当 时， 数列 的项满足 ， ，
时，
有 ， ； 当 时，
数列 的项满足 ， ， ， 时，
有 ， ． 当 ， 时， 不能被 整除，
所以对任意给定的整数 ,不存在 数列 使得 ， ．
典例4、答案： （1） ， （2）
解：（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 则
由 ，得 即
由①得 ，由②得 ，由③得 ，
所以数列 的通项公式为 ， 所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知， ， 所以 ，
①
②
②-①得： 化简得： ，
又因为 ，即即 ，
（i）当 时， ，所以 ；
（ii）当 时， ，
令 ，则
当 时， ，所以 单调递减；
当 时， ，所以 单调递增；
当 时， 取得最小值为
，即 , 所以 的取值范围是
.
随堂练习：答案： （1）证明见解析；（2） .
解：（1）因为 ，① 所以 ，②
②-①得， ． 所以 ，
又 ， 即 ．
在①中，令 得， ，又 ，所以 ． 所以 ，即 ．
所以 ， 故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
（2）由（1）可得， ， 所以 ，
所以 时， ．
当 时， 适合上式， 所以 ．
所以 ， 所以 ．
令 ，得 ，即 恒成立．
令 ，则 ．
当 时， ， 所以 ，解得 ， 故实数 的取值范围为 ．
典例5、答案： （1） ， （2）
解：（1）设等比数列 的公比为 ，依题意有 ，故 ，
所以 ，即 ，解得 ， 所以
，
又 ，所以公差 ， 所以 ；（2） ， 令 ，则 ，
，
所以 ， 所以 ，
由题意，对 都有 ，即 恒成立，
令 ，则 时，
故 时，数列 递减，又 ，故 ，
所以 ，即 的取值范围为 .
随堂练习：答案： （1） ， （2）
解：（1） 时， ①， ②， ①-②得 ，
当 时， ③， ④， ③÷④得
.
由上可得 ，即 ，化简得 .
当 时， ， ，两式相等得 ， .
故 ，因此 且 ，故 . 综上 ， .
（2） ， ⑤
⑥⑤－⑥得： ， ，
将 代入 得 ， 化简得
，
因 在 单调递增，故 的最小值为－4，故 .
典例6、答案： （1） ；（2） .
解：（1）因为 ，所以 ， 当 ，时
，
所以 ， 所以数列 为等比数列，首项为 ，公比为2，
所以 ，则 ；
（2）因为 ，所以 ，
由（1） ， 所以 恒成立，
当n为偶数时， 恒成立，所以 ，
设 ，由于 ，所以 ，当 时， ， 所以 ，
当n为奇数时， ，若n=1，则有 ，
若 ，则有 ， 令 ，由于 ，
所以 ，综上， .
随堂练习：答案：（1） ， ；（2） .
解:（1）当 时， ，∴ ，
当 时，由
得 ，即 ，
∴数列 是公差为2的等差数列， ∵ ，∴ .
由条件得 ， ， ∴ ，即数列 是公比为2的等比数列，
∴ .
（2） ，设数列 的前 项和为 ，则 ，
∴ ， ∴ ，
，∴ ， 由 得 ， 累加得 ，
即 ， ∴ ， ∴ ，
令 ，则 ，
∴ ， ∴ ， ∴
.
