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专题 15 等比数列性质归类
目录
题型一：等比数列定义
题型二：等比数列通项公式
题型三：等比数列an与sn的关系
题型四：构造等比数列求通项公式
题型五：等差等比“纠缠数列”
题型六：等比数列“指数型中点”特性
题型七：等比数列单调性
题型八：不定方程型计算
题型九：等比数列不等关系“平衡点”
题型十：前n项和的“等距”性
题型十一：等比数列最值型
题型十二：性质求范围型
题型十三：数列与导数
题型十四：等比数列综合
题型一：等比数列定义
1．（23-24高三上·山东·阶段练习）记非常数数列 的前n项和为 ，设甲： 是等比数列；乙：
（ ，1，且 ），则（ ）
A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分不必要条件
C．甲是乙的必要不充分条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】当甲成立时利用等比数列求和公式可得乙成立，当乙成立时利用数列前n项和与通项之间关系可
知甲成立，从而可得结果.
【详解】若 ，则 （ ），
∴ ， ，．
∵ ，1，
∴ ，∴数列 是以 为公比的等比数列．
若数列 为等比数列，且 ，则 ．
又 ，∴ ，∴ ，
此时 ，1， ，所以甲是乙的充要条件．
故选：A．2．（22-23高二下·辽宁鞍山·阶段练习）数列 的前n项和 ，则 （ ）
A．是等差数列 B．是等差数列也是等比数列
C．是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列
【答案】D
【分析】根据数列通项与前 项和的关系，解得通项公式，根据等差数列与等比数列的定义，可得答案.
【详解】当 时， ；
当 时， ，
检验：将 代入上式，则 ，
则数列 的通项公式 ，
由 ， ，即 ，则数列 不是等比数列；
由 ， ，即 ，则数列 不是等差数列.
故选：D.
3．（2023·河南郑州·二模）已知正项数列 的前 项和为 ，且 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 化简为 ，再利用和与项的关系可得 ，从而确定
数列 从第二项起，构成以 为首项，公比 的等比数列，根据等比数列的前 项和公式即可求
解.
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为数列 的各项都是正项，即 ，
所以 ，即 ，
所以当 时， ，
所以数列 从第二项起，构成以 为首项，公比 的等比数列.
所以 .
故选：C
4．（2023·新疆喀什·模拟预测）已知等比数列 的前n项和为 ，且 ，则 （ ）
A．54 B．93 C．153 D．162
【答案】D
【分析】先求出 ，根据 与 的关系得出当 时， ．又根据等比数列，可知
.列出方程，即可求出 的值，再利用通项公式求 .
【详解】当 时，则 .
当 时， ．
又因为 是等比数列，所以 ，
所以 ，解得： ，所以 ，所以 ．
故选：D.
5．（21-22高三下·北京·开学考试）若数列 满足 ，则“ ， ， ”是“ 为等
比数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
【答案】A
【分析】利用等比数列的定义通项公式即可判断出结论．
【详解】解：“ ， ， ”，取 ，则 ，
为等比数列．
反之不成立， 为等比数列，设公比为 ，则 ， ，只有
时才能成立满足 ．
数列 满足 ，则“ ， ， ”是“ 为等比数列”的充分不必要条件．
故选：A．
题型二：等比数列通项公式
1．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知数列 满足 ，前n项和为 ， ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出 ，再利用等比数列前n项和公式计算即得.
【详解】数列 中， ，由 ，得 ， ，则有 ，
因此数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 .
故选：D
2．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）数列 满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据递推公式，构造等比数列得出数列的通项公式.
【详解】因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：A.
3．（23-24高三·辽宁辽阳·模拟）若等比数列 满足 ，则其公比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等比数列 满足 ，得到 ，两式相比得 ，再求得 验证即可.
【详解】因为 ，
所以等比数列 的公比 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
即等比数列 的公比为 .
故选：C.
4．（24-25高三·全国·模拟）在公比q为整数的等比数列 中， 是数列 的前n项和．若
， ，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．数列 是等比数列
C． D．数列 是公差为2的等差数列
【答案】D
【分析】依题意利用等比数列项的性质联立方程组求出首项和公比，即得数列通项，利用等比数列的定义
可判断B项，代值检验C项；利用等差数列的定义判断D项.
【详解】因为数列 为等比数列，由 可得 ，又 ，
则 可看成方程 的两根，解得 或 ，
因公比q为整数，故 ，即 ，解得 ，故得 .
对于A，由上分析知 ，即A正确；
对于B，依题意， ， 则 ，
由 可知数列 是等比数列，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D，由 ，
可知数列 是公差为 的等差数列，故D错误.
故选：D.
5．（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）已知数列 满足 ， ，数列 是公比为2
的等比数列，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得 ，然后令 ，可得数列 是
以 为首项，以 为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式即可求得数列 的通项公式，从而得
到结果.
【详解】因为 ， ，则 ，
且数列 是公比为2的等比数列，
则 ，两边同除 可得 ，
令 ，则 ，即 ，
即 ，且 ，
所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
则 ，则 ，
即 ，所以 .
故选：C
题型三：等比数列 an 与 sn 的关系
1．（2024·全国·模拟预测）记 为数列 的前n项和，则“ 为等比数列”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不
必要条件
【答案】A
【分析】先考查充分性：利用 ，验证即可，再考查
必要性，当 时，满足条件 ，但不是等比数列，即可判断.
【详解】若 是等比数列，则 ，
，
所以 ，
即 ．
若 ，
令 满足条件，但 不是等比数列．
所以是充分不必要条件．
故选：A．
2．（21-22高三重庆沙坪坝·模拟）设等比数列 的前 项和为 ， ，若不等式
对任意的 恒成立，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据 作差求出 ，即可得到 ，再分 为奇数、偶数两种情况讨
论，分别求出 的取值范围，即可求出 、 的取值范围，即可得解.
【详解】因为 ，所以当 时 ，
当 时 ，所以 ，即 ，
因为 为等比数列，所以 ，所以 ，
则 ，
当 为奇数时 ，则 ，
当 为偶数时 ，则 ，
所以 ，因为不等式 对任意的 恒成立，
所以 ， ，所以 ，则 ，即 的最小值为 .
故选：B
3．（22-23高三·浙江绍兴·模拟）已知等比数列 的前 项和为 ，则点列 在同一坐标平
面内不可能的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据等比数列通项公式和前 项和公式确定正确答案.
【详解】设等比数列 的首项为 ，公比为 ，
A选项， 时， ，图象符合.
B选项， 时， ，图象符合.
C选项， 时， ，图象符合.
D选项，由图可知， 都是负数，所以 ，
但图象显示 时， 或 为正数，矛盾，所以D选项图象不符合.
故选：D
4．（21-22高三·黑龙江绥化·模拟）已知数列 的前n项和为 ，q为常数，则“数列 是等比数
列”为“ ”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】利用等比数列的性质由“数列 是等比数列”可以得到“ ”；利用数列通项与前n项
和的关系由“ ”可以得到当 时， “数列 是等比数列”，故“数列 是等比数列”为“
”的充分不必要条件
【详解】由 ，可得
两式相减得， ，即从第3项起，每一项是前一项的q倍.
又由 ，可得
则数列 从第2项起，每一项是前一项的q倍.
综上，当 时，数列 是等比数列.
由数列 是等比数列，可得
则 ，即 成立.
则“数列 是等比数列”为“ ”的充分不必要条件
故选：A
5．（21-22高三河南·阶段练习）设数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据通项与 的关系可得递推公式 ，再构造等比数列求 的通项公式，进而代入
求得 得到 即可
【详解】当 时， ，解得 .
当 时， ，
所 ，即 ，所以 ，即 ，
所以数列 是首项为3，公比为2的等比数列，则 ，
从而 ，故 .
故选：C
题型四：构造等比数列求通项公式
1．（21-22高三·浙江台州·模拟）已知数列 满足： ， ， ，则下列说法正确的
是（ ）
A． 一定为无穷数列 B． 不可能为常数列
C．若 ，则 可能小于1 D．若 ，则
【答案】D
【分析】对 两边取倒数得 ，再利用构造数列法得 ，可知
是以 为首项，公比为 的等比数列，利用等比数列通项公式可以求得 ，再
依次对选项判断，得到正确答案.
【详解】对 两边取倒数得，
，又 ，
所以数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，，
，
对于A， ，由于n未知，不能确定 是有限数列还是无限数列，故A错误；
对于B，当 时， ，此时 为常数列，故B错误；
对于C，当 时， ，
， ，即 ，所以 一定小于1，故C错误；
对于D，当 时， ，
， ，即 ，
又 ， ， ； ，即 ，所以
，故D正确.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的方法：
（1）由 与 的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法.
2．（24-25高三全国·模拟）已知数列 满足递推公式 ，且 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】对 两边取对数得 ，令 ，则可得 是以 为
首项，2为公比的等比数列，求出 ，从而可求出 ，进而可求得结果.
【详解】由题意可得 ，则由 ，得 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：此题考查等比数列的判定及等比数列的求和公式的应用，解题的关键是对已知递推
式两边取对数变形构造等比数列，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
3．（23-24高三·云南大理·阶段练习）已知数列 满足： ，且 ，则下列
说法错误的是（ ）
A．存在 ，使得数列 为等差数列 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，数列 是等比数列
【答案】C
【分析】通过倒数法可推导得到A正确；利用递推关系式可推导得到 ，知数列周期为 ，由此可
得B正确；利用递推关系式可得 ，可知C错误；通过构造法可推导得到符合等比数列
定义式的形式，知D正确.
【详解】对于A，当 时， ， ，
又 ， 数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，A正确；
对于B，当 时， ， ，
， 数列 是周期为 的周期数列，
又 ， ， ，B正确；
对于C，当 时， ，
若 ，则 ，又 ， 对于任意的 ，都有 ；
由 得： ， ，
若 ，则 ，与 矛盾，C错误；
对于D，当 时， ，
若 ，则 ，又 ， 对于任意的 ，都有 ；
，又 ，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，D正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查构造法求数列通项、数列周期性的应用等知识；解题关键是能够利用数列
的递推关系，通过构造的方式配凑出符合等差、等比数列定义的形式.
4．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，数列 的前 项和
为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】方法一：变形得到 ， 是以6为首项，9为公比的等比数列，分
组求和,结合等比数列求和公式求出答案；
方法二：推出 是首项为2，公比为3的等比数列，故 ，分 为奇数和偶数两种
情况，利用累加法得到数列的通项公式，利用等比数列求和公式求出答案.
【详解】方法一：因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ．
因为 ，所以 是以6为首项，9为公比的等比数列．
所以
；
方法二：因为当 时， ，即 ，
又 ，所以 是首项为2，公比为3的等比数列，故 ．
由 ，得 ，两式相减得 ．
当 为偶数且 时， ，
以上式子相加得 ，又 ，所以 ．
又 满足上式，所以 ．
当 为奇数且 时， ，
以上式子相加得 ，又 ，所以 ，
又 满足上式，所以 ．
综上， ，
所以 ．
故选：D
【点睛】方法点睛：数列中的奇偶项问题考查方向：①等差，等比数列中的奇偶项求和问题；②数列中连续两项和或积问题；③含有 的问题；④通项公式分奇偶项有不同表达式问题；含三角函数问题，需
要对 分奇偶讨论，寻找奇数项，偶数项之间的关系，分组求和，期间可能会涉及错位相减和求和或裂项
相消法求和.
5．（20-21高三·海南海口·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，当 时， ；对
任意的 ， 成立.若数列 满足 ，且
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知，令 ，即 有 ，结合递推式有 ，即 在
上单调增，进而求 且 ，利用构造法确定 为等差数列并写出通项公式，即可
求 .
【详解】当 时， ，在 上任取两数 ，且 ，令 ，则 ．
，即 在 上是单调增函数．
令 ，则 ，解得 ．而数列 满足 ，
，
，则 ，
∴数列 是公比为 ，首项为 的等比数列，得： ，
∴ ，故 .
故选：C．
【点睛】关键点点睛：首先应用已知条件判断函数的单调性，求 ；再由 ，应用构造法求数
列通项，进而求项.
题型五：等差等比“纠缠数列”
1．（2023·四川南充·模拟预测）若 分别是 与 的等差中项和等比中项， 则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件可得 ， ，然后结合同角三角函数的关系，以及
恒等变换公式化简，即可得到结果.
【详解】依题意可得 ， ，
且 ，
所以 ，即 ，解得
又因为 ，所以 ，所以 故选:A
2．（21-22高三·黑龙江齐齐哈尔·模拟） 是公比不为1的等比数列 的前n项和， 是 和 的等
差中项， 是 和 的等比中项，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 是 和 的等差中项，可得 ，又由 是 和 的等比中项，同时令
，得 ，由此即可得到本题答案.
【详解】设 的公比为 ，由于 ，
所以 ， ， ，又 是 和 的等差中项，所以 ，
即 ，化简得 ，
由于 ，所以 ， ，所以 ， ，
，因为 是 和 的等比中项，所以 ，
即 ，
所以 ，令 ，
则 ，
当 ，即 时， 取得最大值，最大值为 .
故选：D
【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，考查学生的转化求解能力和运算能力，属中档
题.
3．（14-15高三·广东东莞·模拟）已知 ， ， 是 、 的等差中项，正数 是
、 的等比中项，那么 、 、 、 的从小到大的顺序关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】∵ ，A是a、b的等差中项，正数G是a、b的等比中项，
∴ ，
∴ ，
故选D．
4．（10-11高三·福建三明·阶段练习） 中，角 成等差，边 成等比，则 一定是
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A △ △【详解】∵△ABC中,角A. B. C成等差,∴2B=A+C,又A+B+C= ,∴B= .
∵边a、b、c成等比数列,∴b2 =ac.再由余弦定理可得b2 =a2 +c2 −2ac cos ，
∴ac=a2 +c2 −ac,(a−c)
2
=0，∴a=b=c，故 ABC一定是等边三角形．
本题选择A选项.
△
5．（21-22高三宁夏银川·阶段练习）若四个正数 成等差数列， 是 和 的等差中项， 是 和
的等比中项，则 和 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据数列的性质，列式，结合基本不等式，即可比较大小.
【详解】由条件可知， ， ， ， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 .
故选：B
题型六：等比数列“指数型中点”特性
1．（23-24高三·北京·模拟）等比数列 的公比为 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据题意，利用等比数列的通项公式与不等式的性质，对两个条件进行正反推理论证，可得所求
结论.
【详解】根据题意， 成立时，有 结合 ，
得 ，即 ，
①当 时，可得 ，所以 ，即 ；
②当 时， 为偶数时， ，可得 ，所以 ，
为奇数时， ，可得 ，所以 ，因此不存在 满足 成立，
综上所述，若 成立，则必定有 ，
若 ，结合 ，可知等比数列 是递增数列，必定有 成立
因此，若等比数列 的首项 ，则“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
2．（22-23高三·江苏苏州·模拟）已知等差数列 公差 ，数列 为正项等比数列，已知
，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，根据题意可知 ，由 得
，设 ，则 ，利用一次函数和指数函数的性质，结
合图形，可得 时 ； 时 ； 时 ，依次判断选项
即可.
【详解】设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ( )，
若 ，则 ，得 ，解得 ，不符合题意；
所以 ，得 ，又 ，
令 ，得 ，即 ①，
设 ，则 且 ，
所以①式变为 ，
由题意，知 和 是方程 的两个解，
令 ， 且 ，
则一次函数 与指数函数 的图象至少有2个交点，
作出两个函数图象，如图，
当函数 与 单调递增或递减时， 才会有2个解，
且无论哪种情况，都有 时， ；
时， ； 时， ；
所以 ， ， ， ，
即 ， ， ， .
故选：C.
3．（21-22高三·全国·模拟）已知等比数列 中，公比q＝2，若 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件可得 ，再由 ，即可得结果.
【详解】由题设， ，则 且q＝2，则 ，
而 .
故选：B
4．（2021·浙江杭州·模拟预测）已知等差数列 公差不为0，正项等比数列 ， ， ，则
以下命题中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设等差数列 公差为 ，正项等比数列 公比为 ， ， ，由 可得出 ，从而分析出 时， ， 时， ．
把方程 变形为 ，引入函数 ，利用两个函数的图象可得结论．
【详解】设等差数列 公差为 ，正项等比数列 公比为 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，又 ，所以 ，
由 得 ， ， ，
所以 时， ， 时， ．
， ，由 ， ，
即 ， （*），
令 ， ，（*）式为 ，其中 ， 且 ，
由已知 和 是方程 的两个解，
记 ， 且 ， 是一次函数， 是指数函数，
由一次函数和指数函数性质知当它们同增或同减时，图象才能有两个交点，即方程 才
可能有两解（题中 时， ， 时， ，满足同增减）．
如图，作出 和 的图象，它们在 和 时相交，
无论 还是 ，由图象可得， ， ，
时， ， 时， ，
因此 ， ， ， ，
即 ，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的性质，解题时由已知两项相等得出公差 和公比
的关系，考虑到方程 有两解，把此方程变形为 ，引入函数 ，通过
函数图象观察得到 和 的关系，从而由数形结合思想得出结论．
5．（20-21高按·浙江·模拟）已知数列 是公差不为零的等差数列， 是正项等比数列，若 ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由等差，等比数列的形式特征画函数的图象，根据图象判断选项.
【详解】等差数列的通项公式是关于 的一次函数， ，图象中的孤立的点在一条直线上，
而等比数列 的通项公式是关于 的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，
如图所示当 时，如下图所示，当公差 时，如下图所示，
如图可知当 时， ， ， ， .
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断的方法，选择图象法可以比较快速的判断选项.
题型七：等比数列单调性
1．（23-24高三山西晋城模拟）已知等比数列 满足 ，公比 ，且
， ，则当 最小时， （ ）
A．1012 B．1013 C．2022 D．2023
【答案】A
【分析】根据题意结合等比数列的性质可推得 以及 ，即可判断数列的的增减性以及
项与1的大小关系，由此即可求得答案.
【详解】由题意知 ，故 ，
则 ，即 ，
结合等比数列 满足 ，公比 ，可知 ，
由 ，得 ，
即得 ，故 ，即 ，
由此可得 ，
故当 最小时， ，
故选：A2．（23-24高三·北京顺义模拟）数列 是等比数列，则对于“对于任意的 ， ”是“ 是
递增数列”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要
【答案】C
【分析】根据充分条件、必要条件的定义及等比数列的单调性与通项公式判断即可.
【详解】设等比数列 的公比为 ， ，
若 ，则 ，
当 时，由 得 ，解得 或 ，
若 ，则 ，此时 与已知矛盾；
若 ，则 ，此时 为递增数列．
当 时，由 ，得 ，解得 或 ，
若 ，则 ，此时 与已知矛盾；
若 ，则 ，此时 为递增数列．
反之，若 是递增数列，则 ，
所以“对于任意的 ， ”是“ 是递增数列”的充要条件．
故选：C．
3．（23-24高三湖北·开学考试）已知数列 是等比数列，则“存在正整数 ，对于 恒
成立”是：“ 为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】取两种特殊情况说明，分 和 两次情况讨论，将 转化为 ，分
和 两种情况与假设对比，据此即可求解.
【详解】取两种特殊情况说明充分性，
当 时显然成立；
当 时，理由如下：
因为 是等比数列，设公比为 ，则 ，
当 时， ，即 ，
若 ，则 ，
注意到，当 时， ，与假设矛盾，舍去，
故 ，此时 ，则 为递减数列；
若 ，则 或 ，
注意到，当 时， ，与假设矛盾，舍去，
故 ，此时 ，则 为递减数列；
综上：存在 ，使 时， 为递减数列，即充分性成立；
当 为递减数列时， ，即 成立，即必要性成立.
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于取两种特殊情况说明，分 和 两次情况讨论.
4．（23-24高三下·山东·开学考试）已知数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，则“
”是
“ 是单调递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不
必要条件
【答案】B
【分析】根据等比数列的单调性和必要不充分条件的判断即可得到答案.【详解】若等比数列 满足“ ”，
比如 ， ，此时 不是单调递减数列，故正向无法推出，即充分性不成立，
若数列 为递减数列， ， 或 ， .
则①“ ， ”可以推出 ;
②“ ， ”也可以推出 ，则必要性成立；
则“ ”是“ 是单调递减数列”的必要不充分条件，
故选：B.
5．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知数列 是无穷项等比数列，公比为 ，则“ ”是“数列
单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【分析】根据等比数列的首项、公比的不同情形，分析数列的单调性，结合充分条件、必要条件得解.
【详解】若 ， ，则数列 单调递减，故 不能推出数列 单调递增；
若 单调递增，则 ， ，或 ， ，不能推出 ，
所以“ ”是“数列 单调递增”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
题型八：不定方程型计算
1．（23-24高三·广东揭阳·阶段练习）已知数列 为等比数列， 为数列 的前n项和.若
成等差数列，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将 成等差数列转化为 等式，进而求出数列的公比，将比值 用基本
元 表示，化简求值即可.
【详解】设等比数列 的公比为q，
若 成等差数列，可得： ，
当 时，此时 恒成立，
即为 ，得 ，即 ，显然不成立；
当 时， 即为： ，其中 ，
得 ，得 或 （舍去），
，故选：A.
2．（23-24高三·吉林松原·模拟）设等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 的公比
为（ ）
A．1或 B．1或3 C． 或 D． 或3
【答案】D
【分析】运用等比数列的性质公式求解即可.
【详解】由 ，可得 ，
则 ，故 ，
解得 或 .
故选：D．
3．（23-24高三·河南省直辖县级单位·阶段练习）等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等比数列前n项和的性质求解.
【详解】由等比数列性质可知， 成等比数列，
因为 ，所以 ，所以 成等比数列，
所以 ，所以 ，所以 .
故选：C.
4．（23-24高三上·河南三门峡·阶段练习）已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ， ， 成等
差数列，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】D
【分析】借助等比数列的片段和性质得出 与 的关系，再借助基本不等式即可得到.
【详解】根据等比数列的片段和性质有 ，
由 ， ， 成等差数列，有 ，
即 ，故有 ，又因为数列为正项等比数列，则 ，
即 ，
当且仅当 时，等号成立.
故选：D.
5．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知等比数列 的前 项和为 ，且数列 是等
差数列，则 （ ）
A．1或 B．1或 C．2或 D． 或
【答案】B
【分析】设等比数列 的公比为 ，根据已知列出关系式 ，进而化简求解即可得出
或 .根据等比数列的性质，化简可得 .分别代入 的值，即可得出答案.
【详解】设等比数列 的公比为 ，由 ， ， 成等差数列可得， ，
即 ，化简得 ，
解得 或 .
又 ，
所以， .
当 时， ；
当 时， ．
故选：B．
题型九：等比数列不等关系“平衡点”
1．（21-22高三·湖北·阶段练习）设等比数列{ }的公比为q，其前n项和为 ，前 n项积为 ，并满足
条件 ， ，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． 是数列{ }中的最大值 D．数列{ }无最小值
【答案】B
【分析】由题分析出 ，可得出数列 为正项递减数列，结合题意分析出正项数列 前
项都大于 ，而从第 项起都小于 ，进而可判断出各选项的正误.
【详解】当 时，则 ，不合乎题意；
当 时，对任意的 ， ，且有 ，可得 ，
可得 ，此时 ，与题干不符，不合乎题意；
故 ，对任意的 ， ，且有 ，可得 ，
此时，数列 为单调递减数列，则 ，由 可得 ，故 ，A
正
确；
，故B不正确； 是数列{ }中的最大值，C正确；
数列{ }无最小值，D正确．
故选：B.
2．（22-23高三·广东深圳·模拟）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项之积为 ，且满足 ， ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． 是数列 中的最大值 D．
【答案】C
【分析】由已知结合等比数列的性质检验各选项即可判断.
【详解】因为等比数列 满足 ，
又 ，所以 ，A错误；
，即 ,B错误；
当 时， ，当 时， ，即 是数列 中的最大值，C正确；
由题意得， ，则 ,D错误.
故选：C.
3．（22-23高三·辽宁·模拟）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，且满足条件
， ， ，则下列选项不正确的是（ ）
A． 为递减数列 B．
C． 是数列 中的最大项 D．
【答案】B
【分析】根据已知条件求得 的范围，再根据等比数列的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】因为数列 为等比数列，且 ， ，所以 ，即数列 为正项等比数列，
当 时，则 ，不满足 ，舍去，
所以 ，即数列 为单调递减数列，A说法正确；
由 可得 ， ，
所以 ，即 ，B说法错误；
因为数列 单调递减，且 ， ，所以 是数列 中的最大项，C说法正确；
由等比中项可知 ，D说法正确；
故选：B
4．（20-21高三河南郑州·模拟）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并且满
足条件 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】B
【分析】根据 ， ，分 ， ， 讨论确定q的范围，然后再逐项判断.
【详解】若 ，因为 ，所以 ，则 与 矛盾，
若 ，因为 ，所以 ，则 ，与 矛盾，
所以 ，故B正确；
因为 ，则 ，所以 ，故A错误；
因为 ， ，所以 单调递增，故C错误；
因为 时， ， 时， ，所以 的最大值为 ，故D错误；
故选：B.5．（2021高三·全国·专题练习）设等比数列 的公比为q，前n项和为 ，前n项积为 ，并满足条
件 ， ，则下列结论中不正确的有（ ）
A．q>1
B．
C．
D． 是数列 中的最大项
【答案】A
【分析】根据 并结合 ，得到 ， ，进而结合等
比数列的性质求得答案.
【详解】因为 ，所以 或 ，而 为等比数列，
，于是 ， ，则A错误；
，则B正确；
，则C正确；
因为 ，所以 是数列 中的最大项，则D正确.
故选：A.
题型十：前 n 项和的“等距”性
1．（20-21高三·黑龙江哈尔滨·开学考试）设等比数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【解析】根据等比数列的前 项和公式，由条件 ，求出公比即可得到结论．
【详解】解：设等比数列的公比为 ，
若 ，则 不成立．
，
由 ，得 ，
即 ，
，解得 ，
则 ，故选：A．
【点睛】本题主要考查等比数列前 项和的计算，利用条件求出 是解决本题的关键，要求熟练掌握
等比数列的前 项和公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
2．（21-22高三·河北唐山·模拟）设 是等比数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据等比数列的性质求解．在 时， 仍成等比数列．
【详解】设 ，由数列 为等比数列(易知数列 的公比 )，得
为等比数列
又
故选： ．
【点睛】结论点睛：数列 是等比数列，若 ，则 成等比数列．简称等比数列
的片断和仍成等比数列．注意 是等比数列与 成等比数列之间不是充要条件．
3．（23-24高三·河南·开学考试）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A．324 B．420 C．480 D．768
【答案】C
【分析】根据等比数列前n项和的性质计算即可.
【详解】因为 为等比数列，且 ，显然 的公比不为 ，
所以 也成等比数列.
由 ，解得 .
故选：C.
4．（21-22高三下·江西·开学考试）设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用等比数列片段和性质计算作答.
【详解】等比数列 的前 项和为 ，则 成等比数列，
设 ，则 ， ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 .
故选：A.
5．（2023·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最小值
为
（ ）
A．8 B． C． D．10
【答案】B【分析】由等比数列的性质及已知条件可得 ，则 ，然后利用基本不等
式可求得结果.
【详解】由正项等比数列 可知 ， ， 成等比数列，
则 ，又 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故 的最小值为 .
故选：B.
题型十一：等比数列最值型
1．（2023·江西赣州·一模）若等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并且
，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】D
【分析】根据等比数列定义以及 可得 且 ，即AB均错误，再由等比数列前 项
和的函数性质可知 无最大值，由前 项积定义解不等式可知 的最大值为 .
【详解】由 可知公比 ，所以A错误；
又 ，且 可得 ，即B错误；
由等比数列前 项和公式可知 ，由指数函数性质可得 为单调递增，
即 无最大值，所以C错误；
设 为数列 前 项积的最大值，则需满足 ，可得 ，
又 可得 ，即 的最大值为 ，所以D正确.
故选：D
2．（21-22高三四川成都·阶段练习）在各项都为正数的等比数列 中，已知 ，其前 项积为
，且 ，则 取得最大值时， 的值是（ ）
A．9 B．8或9 C．10或11 D．9或10
【答案】D【分析】首先求出首项 和公比 ，解不等式组 ，代入通项公式求解出 即可
【详解】（法一）∵等比数列 ，其前 项积为 ，且 .
∴ ，∴ ，∴ .故 .
∵ ，所以前 项积有 .又因为 ，所以 为前 项积的最大值.
（法二）∵ ， .∴ .
当 时， 有最大值，解得 .
∴ 时， 有最大值.
故选：D.
【点睛】本题主要考查等比数列前 项积的最大值.
其实质是求等差数列前 项和的最值的变型.第一步：求出等比数列首项 ，公比 .
第二步：解不等式组 .满足不等式组的 的值，即为使前 项积 取最大值时的项数.
3．（2023高三·全国·专题练习）设首项为正且大于1的无穷等比数列 的公比为 ，前 项和为
，若 ，则（ ）
A．数列 无最大项 B．数列 有最小项为
C．数列 是递增数列， D．数列 最大值为
【答案】B
【分析】设无穷等比数列 的公比为 ，根据已知可得 ，得数列 是摆动数列可判断
C；由 ， ； 得数列 的最小项、最大项可
判断ABD．
【详解】设无穷等比数列 的公比为 ，因为 ，
即 ，又 ，所以 ，
因为 ，
所以当 时，数列 是摆动数列，故单调性不确定，故C错误；
又 ，所以 ； ，
此时数列 的最小项为 ，最大项为 ，故B正确，AD错误．
故选：B.
4．（23-24高三·福建漳州·模拟）已知正项等比数列 的前 项积为 ，且 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【分析】结合等比数列的性质及数列的单调性判断各选项即可.
【详解】由已知数列各项均为正，因此乘积 也为正，公比 ，若 ，则 ，
由等比数列性质知 ，所以 ，故选项A错误；
又 ，因为 ，所以 ，所以 ，则 ，故 先增后减，所以 ，故选项B正确；
若 ，则 ，又 ，无法判断 与1的大小，即无法判断 与1的大小，故 与
大小没法判断，故选项CD错误.
故选：B
5．（22-23高三江西萍乡·阶段练习）已知数列 为等比数列，函数
的导函数为 ， ，若 ， 的公比
，则当 的前 项乘积最小时， 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】设 ，可得出
，可得出 ，分析数列 的单调性，即可得出当 的前
项乘积最小时， 的值.
【详解】设 ，则 ，
则 ，
因为数列 为等比数列，
所以 ，
由 ， ，可得 ，则 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 的前 项乘积最小时， 的值为 或 ，
故选：D.
题型十二：性质求范围型
1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知等比数列 的公比为 ， 前 项积为 ， 若
， 且 ， ， 均有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】应用等比数列通项公式及项的性质计算解不等式即可.【详解】当 时， 注意到 ，
因此 ， 即 解得 ;
当 时， 则 即 解得 ，
则 的取值范围为 .
故选 ：D.
2．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列 的前5项积为32， ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用等比数列性质求出 ，进而求出公比 的取值范围并用 表示出 ，然后根据对
勾函数的性质即可求解.
【详解】由等比数列性质可知， ，
因为 ，所以 ，
从而
不妨令 ，则 ，
由对勾函数性质可知， 在 上单调递减，
故对于 ， ， ，
从而 ，则 .
故 的取值范围为 .
故选：D.
3．（22-23高三·河南南阳·模拟）已知正项数列 是公比为 的等比数列，数列 的通项公式为
．若满足 的正整数n恰有3个，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据数列 ， 的单调性列出不等式组求解即可.
【详解】由题可知数列 单调递减， 单调递增，
故 ， ， ， ，
故只需 即可，即 解得 ．故答案为： .
4．（2023上海嘉定·三模）已知 是递增的等比数列，且 ，那么首项 的取值范围是 .
【答案】
【分析】由已知得 ，由此能求出 的取值范围.
【详解】解：∵ 是递增的等比数列，且 ，
，且 ，
，
∵ 是递增的等比数列， ，
同理， ，即 ，即 ，
，
当 时，有 ，由 ，得： ，得： ，矛盾，舍去；
当 时，有 ，由 ，得： ，得： 符合.
故当 时， 单调增，取值为 ，
，∴ 的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查等比数列的首项的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的公
式的合理运用.
5.（21-22·河南·模拟）已知 ， ， ， ， ， 成等差数列， ， ， ， 成等比数列，则
的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等差数列和等比数列的性质得到 ， ，从而利用重要不等式即可求最大值.
【详解】因为 ， ， ， 成等差数列，所以 ，
因为 ， ， ， 成等比数列，所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 的最大值是 .
故选：D.
题型十三：数列与导数
1．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当
时， .若存在等差数列 ， ， ， ，且 ，使得数列为等比数列，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据数列性质推出 ， ，结合函数的奇偶性可得 ，从
而推出 有正实数解，分离参数，继而构造函数，利用导数求解函数的
最小值，即可求得答案.
【详解】由等差数列 ， ， ， ，且 知 ，
则 ，即 ，所以 ，
由此可得 ；
由于函数 是定义在 上的奇函数，故 ，
所以数列 的公比 ，所以 ，即 ，
即方程 有正实数解，
即 ，设 ，则 ，
设 ，
则 ，即 在 上单调递增，且 ，
故当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
故选：B
【点睛】难点点睛：本题解答时要利用数列性质判断出 ， ，进而利用函数性质
推出 有正实数解，从而参变分离，构造函数，利用导数解决问题.
2．（20-21高三上·全国·阶段练习，多选）已知等比数列 首项 ，公比为q，前n项和为 ，前n
项积为 ，函数 ，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 为单调递增的等差数列
B．
C． 为单调递增的等比数列
D．使得 成立的n的最大值为6
【答案】BCD
【分析】首先求函数的导数，根据条件判断 ，先判断B；再结合等比数列的定义和等差数列的定
义判断AC；最后数列前 项积的定义判断D.
【详解】函数 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
由等比数列的性质可得 ，
所以 ，所以 ，
由 ，可得 ，故B正确；因为等比数列 首项 ，公比为q，所以 ，
则 ，故 为单调递减的等差数列，故A错误；
设
，则 为常数，
因为 ，所以 ， 单调递减，
所以 为单调递增的等比数列，故C正确；
因为 ，且 ，所以 ， ，
所以使得 成立的n的最大值为6，故D正确．
故选：BCD
3．（23-24高三·四川成都模拟）牛顿数列是牛顿利用曲线的切线和数列的极限探求函数 的零点
时提出的，在航空航天领域中应用广泛.已知牛顿数列 的递推关系为： 是曲线 在点
处的切线在 轴上的截距，其中 .
（1）若 ，并取 ，则 的通项公式为 ；
（2）若取 ，且 为单调递减的等比数列，则 可能为 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】（1）根据题意求出曲线 在点 处切线的方程，可得数列 是等差数列，进
而求得通项公式 ；
（2）由题意，可得 ，结合 为单调递减的等比数列，所以函数 满足
，且 即可.
【详解】（1）根据题意， ， ，且 ，
所以曲线 在点 处切线的方程为 ，
令 ，得 ，即 ，又 ，所以数列 是以1为首项，以 为公差的等差
数列，
所以 （ ）.
（2）根据题意，曲线 在点 处切线的方程为 ，
令 ，得 ，则 ，
因为 为单调递减的等比数列，且 ，设其公比为 ，
则 ，所以 ，所以 ，
则 ，所以 ，即函数 满足 ，且 即可.
如 ，则 ，
所以 ， ，所以 ，符合题意.
故答案为： （ ）； （答案不唯一）.
4．（2025·全国·模拟预测）若 ， 的解从小到大排成 ，那么
若 ．则 的整数部分是 ．
【答案】101
【分析】即求 ，结合 可得 ，利用等比数列求和公式得到
，取对数，得到 ，并证明出
，得到答案.
【详解】因为 ，相当于解 且 ，
从而可以得到 ，结合 可得 ，
为 ，为等比数列，
从而 ，取对数后就是 ，
注意到 ，
，
接下来证明 ，
我们把左边放大，
，并证明其小于 ，
即证 ，
注意到 ，
而 （也可以是 ）从而命题成立．
整数部分是101．
故答案为：101
5．（24-25高三上·上海·开学考试）已知实数 成公比为 的等比数列，抛物线 上每一点到直线
的距离均大于 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由已知得出直线必过点 ，取抛物线位于 轴上方部分，设 上一点 到直线的距离最小，由几何关系得出 ，再根据点到直线的距离公式列出不等式，即可求
解．
【详解】因为实数 成公比为 的等比数列，所以 ，
所以 ，即直线必过点 ，且斜率 ，
不妨取抛物线位于 轴上方部分，则 ， ， ，
由题可知， ，则 ，
设 上一点 到直线 的距离最小，
则 处的斜率等于直线 的斜率，即 ，所以 ，
点 到直线 的距离 ，
整理得 ，解得 ，因为 ，所以 ，
根据直线和抛物线得对称性得， ，
故答案为： ．
题型十四：等比数列综合
1．（2024·河北·一模）已知等差数列 的公差与等比数列 的公比相等，且 ， ，
，则 ；若数列 和 的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列 ，数
列 的前 项和为 ，则使得 成立的 的最小值为 ．
【答案】
【分析】设等比数列 的公比为 ，则等差数列 的公差为 ，根据题意可得出关于 、 、 的方
程组，解出这三个量的值，可得出数列 的通项公式；设满足不等式 的正整数 的最小值为
，推导出 ，设 ，其中 且 ，根据 可得出关于 的不等式，
求出 的最小值，即可得出 的值，即为所求.
【详解】设等比数列 的公比为 ，则等差数列 的公差为 ，
则 ， ， ，
解得 ， ， ，所以， ， ，
由 ，整理可得 ，
数列 的各项分别为： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，
其中 前若干项中，数列 有 项，数列 有 项，
所以， 是数列 的第 项，
所以，
，
所以， ，
令 ，整理可得 ，
令 ，则有 ，解得 ，
因为 ，所以， ，可得 ，
所以，满足不等式 的正整数 的最小值为 ，
同理可知，满足不等式 的正整数 的最大值为 ，
所以满足不等式 的正整数 的最小值 ，即 ，
设 ，其中 且 ，
则
，
，
由 ，整理可得 ，解得 ，
所以自然数 的最小值为 ，所以 .
故答案为： ； .
【点睛】关键点点睛：本题考查利用数列不等式求参数的值，解题的关键在于确定满足条件的正整数 的
最小值所在的区间，并引入合适的参数，求出相应的参数的值，进而得解,
2．（23-24高三下·山东·开学考试）抛物线 与椭圆 有相同的焦点，
分别是椭圆的上、下焦点，P是椭圆上的任一点，I是 的内心， 交y轴于M，且 ，点
是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为 ，若 ，则
．
【答案】
【分析】作出辅助线，由正弦定理得到 ，根据椭圆定义得到 ，从而求出焦
点
坐标为 ，得到抛物线方程，根据导数几何意义得到 在点 的切线为： ，求出 ，结合 ，得到 是首项16，公比 的等比数列，利用等比数列的通项公式求出答
案.
【详解】 焦点在 轴上，故椭圆 的焦点在 轴上，
故 ，
I是 的内心，连接 ，则 平分 ，
在 中，由正弦定理得 ①，
在 ，由正弦定理得 ②，
其中 ，故 ，
又 ，
式子①与②相除得 ，故 ，
同理可得 ，
，
由椭圆定义可知 ， ，
，即焦点坐标为 ，
所以抛物线方程为 ，
，故 在 处的切线方程为 ，
即 ，又 ，故 ，
所以 在点 的切线为： ，
令 ，又 ，即 ，
所以 是首项16，公比 的等比数列，
．
故答案为： ．
【点睛】当已知切点坐标为 时，根据导函数的几何意义可得到切线的斜率，再利用
求出切线方程；当不知道切点坐标时，要设出切点坐标，结合切点既在函数图象上，又在切线方程上，列出等式，进行求
解.
3．（20-21高三·上海宝山·模拟）已知各项均不为零的数列 的前 项和为 ， ， ，
，且 ，则 的最大值等于 .
【答案】
【分析】由递推关系得数列 满足 ，得 ，
由条件得 ，将求 的最大值转化为求关于 的函数的最大值.
【详解】因为 ，
所以 ，将 代入，得 ，
所以 ， ，所以 ，
，
又因为 ，所以 ， ，即 ，
因为 ，所以 ， ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
因为 ，所以当 时， 最大，
所以 ，
即 时， 有最大值 .
故答案为： .
【点睛】根据 求 的最大值时，注意分析数列中项的正负号，得
，且 ，进而得 .
4．（2024高三·全国·专题练习）欧拉函数 的函数值等于所有不超过 且与 互质的正整数的
个数（公约数只有1的两个整数称为互质整数），例如： ， ．记 ，数列
的前 项和为 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题目设定的欧拉函数的概念，结合数列前n项和的概念以及不等式恒成立的转化方法即可求
得参数的范围.
【详解】在 的整数中与 不互质的数有 ，共有 个，所以与 互质的数有
个，因此 ．
在 的整数中，2的倍数共有 个，5的倍数共有 个，10的倍数共有 个，所以．
所以 ，所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列，
所以 ，
则 恒成立等价于 恒成立，
即 恒成立，所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，且 ，
所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围是
【点睛】关键点点睛：本题按照题目设定的欧拉函数的概念，关键分析出：（1）在 的整数中与 不
互质的数的个数 ，从而得到互质的个数 ；（2）在 的整数中，与 互质的数的
个数分别是：2的倍数共有 个，5的倍数共有 个，10的倍数共有 个，所以与
（注意：2的倍数和5的倍数中包含了10的倍数）.
