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专题 17 等比数列及其前 n 项和
【考纲要求】
1、通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用.
2、掌握等比中项的概念并会应用，掌握等比数列的通项公式，了解其推导过程．
3、掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
4、会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．
【思维导图】
一、等比数列的概念
【考点总结】
1、等比数列的概念
1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比
数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．数学表达式
在数列{a}中，若＝q(n∈N*)，q为非零常数，则数列{a}是等比数列．
n n
2、等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a，b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±.
[化解疑难]
1．G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．
G＝±，即等比中项有两个，且互为相反数．
2．当G2＝ab时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0,0,5不是等比数列.
3、等比数列的通项公式
等比数列{a}的首项为a，公比为q(q≠0)，则通项公式为：a＝aqn－1.
n 1 n 1
[化解疑难]
1．在已知首项a 和公比q的前提下，利用通项公式a＝aqn－1可求出等比数列中的任一项；
1 n 1
2．等比数列{a}的通项公式a＝aqn－1，可改写为a＝·qn.当q＞0且q≠1时，这是指数型函数.
n n 1 n
二、等比数列的前n项和
【考点总结】
1、等比数列的前n项和公式的推导
设等比数列{a}的首项是a，公比是q，前n项和S 可用下面的“错位相减法”求得．
n 1 n
S＝a＋aq＋aq2＋…＋aqn－1. ①
n 1 1 1 1
则qS＝aq＋aq2＋…＋aqn－1＋aqn. ②
n 1 1 1 1
由①－②得(1－q)S＝a－aqn.
n 1 1
当q≠1时，S＝.
n
当q＝1时，由于a＝a＝…＝a，所以S＝na.
1 2 n n 1
结合通项公式可得：
等比数列前n项和公式：
S＝
n
2、等比数列的前n项和公式
1．等比数列前n项和公式
(1)公式：S＝
n
(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．
2．等比数列前n项和公式的使用
公比q≠1时，公式S＝适用于已知a，q和项数n，而公式S＝更适用于已知a，q和末项a，使用时依据
n 1 n 1 n
条件灵活选用．
【题型汇编】
题型一：等比数列的定义
题型二：等比数列的通项公式
题型三：等比数列的性质
题型四：等比数列的前n项和【题型讲解】
题型一：等比数列的定义
一、单选题
1．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知等比数列 的公比为q，前n项和为 ．若
， ，则 （ ）
A．3 B．2 C． D．
2．（2022·江西南昌·一模（理））已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A．12 B． C． D．
3．（2022·黑龙江·大庆中学二模（文））若数列 对任意正整数n都有 ，
则 （ ）
A．17 B．18 C．34 D．84
4．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））已知数列 满足 为其前n项和.若 ，则
（ ）
A．20 B．30 C．31 D．62
5．（2022·重庆·一模）已知 为数列 的前 项和，且 ，则下列式子正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·广西广西·一模（文））已知等比数列 的公比为q，前n项和 ，若 ，则
（ ）
A．13 B．15 C．31 D．337．（2022·上海青浦·二模）设各项均为正整数的无穷等差数列 ，满足 ，且存在正整数 ，
使 、 、 成等比数列，则公差 的所有可能取值的个数为（ ）
A． B． C． D．无穷多
二、多选题
1．（2022·山东潍坊·三模）已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，则下列结
论正确的是（ ）
A．数列 为等差数列 B．对任意正整数 ，
C．数列 一定是等差数列 D．数列 一定是等比数列
题型二：等比数列的通项公式
一、单选题
1．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知在等比数列 中， ， ，则
（ ）
A．2 B．4 C． D．2
2．（2022·江西萍乡·二模（理））等比数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河南新乡·三模（理））设等比数列 的公比为q，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2022·河南·三模（理））在等比数列 中， ， ，则 ( )
A．80 B．242 C． D．244
5．（2022·甘肃·二模（文））正项等比数列 满足 ， ，则 的前7项和 ( )A．256 B．254 C．252 D．126
6．（2022·安徽六安·一模（文））标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录
方式，此表中各行均为正方形“ ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“ ”的边长
都是下一行“ ”边长的 倍，若视力4.0的视标边长为 ，则视力4.8的视标边长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·河南·二模（文））将数列{3n+1}与{9n-1}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则 （ ）
A．319 B．320 C．321 D．322
8．（2022·河北唐山·三模）等比数列 中，若 ，则 （ ）
A．16 B． C．32 D．
9．（2022·广东佛山·三模）已知公比为 的等比数列 的前 项和 ， ，且 ，则
（ ）
A．48 B．32 C．16 D．8
10．（2022·贵州毕节·三模（理））已知正项等比数列 中，其前 项和为 ，若 ， ，则公
比 的值为（ ）A． B． C． 或 D． 或
11．（2022·新疆昌吉·二模（文））数列 是等差数列， ，且 ， ， 构成公比为q的等比数列，
则 （ ）
A．1或3 B．0或2 C．3 D．2
二、多选题
1．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）在数列 中，若 （ 为非零常数），则
称 为“等方差数列”， 称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A． 是等方差数列
B．若正项等方差数列 的首项 ，且 是等比数列，则
C．等比数列不可能为等方差数列
D．存在数列 既是等方差数列，又是等差数列
2．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此
两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现自1，1起进行构造，第
1次得到数列1，2，1，第2次得到数列1，3，2，3，1，…，第 次得到数列 ，记
，数列 的前n项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：等比数列的性质
一、单选题
1．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））已知等比数列 的公比为2，前n项和为
，若 ，则 （ ）A． B．4 C． D．6
2．（2022·辽宁沈阳·三模）在等比数列 中， 为方程 的两根，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江西九江·二模）若数列 为等比数列，且 、 是方程 的两根，则 ( )
A．－2 B．1 C．－1 D．
4．（2022·四川凉山·二模（文））正项等比数列 与正项等差数列 ，若 ，则 与 的关
系是（ ）
A． B． C． D．以上都不正确
5．（2022·广东茂名·一模）已知等比数列 的前 项和为 ，公比为 ，则下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
6．（2022·四川省宜宾市第四中学校二模（文））在等比数列 中，如果 ， ，那
么 （ ）
A． B． C． D．
7．（2022·陕西·西安中学三模（文））在等比数列 中， ， 是方程 的二根，则的值为（ ）
A． B． C． D． 或
8．（2022·四川雅安·三模（文））已知 是等比数列， 是其前 项积，若 ，则 （ ）
A．1024 B．512 C．256 D．128
9．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）若等比数列 的各项均为正数，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·陕西西安·三模（文））已知 为等比数列， ， ，则 （ ）
A．1 B．-1 C．1或-8 D．-8
二、多选题
1．（2022·湖南怀化·一模）设 是各项为正数的等比数列，q是其公比， 是其前n项的积，
且 ，则下列选项中成立的是（ ）
A． B． C． D． 与 均为 的最大值
题型四：等比数列的前n项和
一、单选题
1．（2022·云南昆明·一模（理））已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ， ，则数列
的公比等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陕西宝鸡·二模（文））已知数列 是公比为q的等比数列，若 ，且 是 与2的等差中项，则q的值是（ ）
A．1 B．2
C． 或1 D． 或2
3．（2022·陕西渭南·二模（理））十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载境发明的.明万历十二年
（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是：在1和2
之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为 ，插入11
个数后这13个数之和为 ，则依此规则，下列说法错误的是（ ）
A．插入的第8个数为 B．插入的第7个数是插入的第3个数的 倍
C． D．
4．（2022·江西南昌·二模（文））已知公比不为1的正项等比数列 的前n项和为 ，若 ，则
公比q=（ ）
A．3 B．2 C． D．
5．（2022·湖南常德·一模）设 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022·四川·仁寿一中二模（文））已知数列 满足： ，点 在函数
的图象上．记 为 的前n项和，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（2022·新疆喀什·一模（文））在等比数列 中， ， ，则数列 的前5项和
的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
8．（2022·宁夏·固原一中一模（文））已知 为等比数列 的前 项和， ， ，则
（ ）.
A． B．255 C．85 D．
9．（2022·安徽宣城·二模（文））我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，
共灯二百五十四，请问底层几盏灯？意思是：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是
上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（ ）
A．32盏 B．64盏 C．128盏 D．196盏
10．（2022·河南濮阳·一模（文））已知数列 是等比数列， 是其前 项和，若 ， ，
则
A．4 B．8 C．12 D．16
二、多选题
1．（2022·河北保定·一模）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， ，则下
面说法正确的是（ ）
A．数列 为等比数列 B．数列 为等差数列
C． D．
2．（2022·福建漳州·一模）立德中学的“希望工程”中，甲､乙两个募捐小组在2021年国庆假期走上街头
分别进行了募捐活动.两个小组第1天都募得100元，之后甲小组继续按第1天的方法进行募捐，则从第2
天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少4元；乙小组采取了积极措施，从第1天募得的100元中拿
出了90元印刷宣传材料，则从第2天起，第 天募得的捐款数为 元.若甲小组前n
天募得捐款数累计为 元，乙小组前n天募得捐款数累计为 元（需扣除印刷宣传材料的费用），则
（ ）A． ， 且 B． ，
C． D．从第6天起.总有
3．（2022·四川绵阳·一模（理））已知数列 的首项为1，前 项和为 ，若 ，则下列说
法正确的是（ ）
A．数列 是等比数列
B．数列 为单调递增数列
C．
D．
