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专题 17 等比数列及其前 n 项和
【考纲要求】
1、通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用.
2、掌握等比中项的概念并会应用，掌握等比数列的通项公式，了解其推导过程．
3、掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
4、会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．
【思维导图】
一、等比数列的概念
【考点总结】
1、等比数列的概念
1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比
数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．数学表达式
在数列{a}中，若＝q(n∈N*)，q为非零常数，则数列{a}是等比数列．
n n
2、等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a，b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±.
[化解疑难]
1．G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．
G＝±，即等比中项有两个，且互为相反数．
2．当G2＝ab时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0,0,5不是等比数列.
3、等比数列的通项公式
等比数列{a}的首项为a，公比为q(q≠0)，则通项公式为：a＝aqn－1.
n 1 n 1
[化解疑难]
1．在已知首项a 和公比q的前提下，利用通项公式a＝aqn－1可求出等比数列中的任一项；
1 n 1
2．等比数列{a}的通项公式a＝aqn－1，可改写为a＝·qn.当q＞0且q≠1时，这是指数型函数.
n n 1 n
二、等比数列的前n项和
【考点总结】
1、等比数列的前n项和公式的推导
设等比数列{a}的首项是a，公比是q，前n项和S 可用下面的“错位相减法”求得．
n 1 n
S＝a＋aq＋aq2＋…＋aqn－1. ①
n 1 1 1 1
则qS＝aq＋aq2＋…＋aqn－1＋aqn. ②
n 1 1 1 1
由①－②得(1－q)S＝a－aqn.
n 1 1
当q≠1时，S＝.
n
当q＝1时，由于a＝a＝…＝a，所以S＝na.
1 2 n n 1
结合通项公式可得：
等比数列前n项和公式：
S＝
n
2、等比数列的前n项和公式
1．等比数列前n项和公式
(1)公式：S＝
n
(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．
2．等比数列前n项和公式的使用
公比q≠1时，公式S＝适用于已知a，q和项数n，而公式S＝更适用于已知a，q和末项a，使用时依据
n 1 n 1 n
条件灵活选用．
【题型汇编】
题型一：等比数列的定义
题型二：等比数列的通项公式
题型三：等比数列的性质
题型四：等比数列的前n项和【题型讲解】
题型一：等比数列的定义
一、单选题
1．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知等比数列 的公比为q，前n项和为 ．若
， ，则 （ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将题中两等式作差可得出 ，整理得出 ，由此可计算出 的值.
【详解】
将等式 与 作差得 ， ，
因此，该等比数列的公比 ，
故选：A.
2．（2022·江西南昌·一模（理））已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A．12 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
取 ，可知 为等比数列，然后可解.
【详解】
因为 ，取 ，则有 ，所以 是首项、公比都为2的等比数列，所以
.
故选：D3．（2022·黑龙江·大庆中学二模（文））若数列 对任意正整数n都有 ，
则 （ ）
A．17 B．18 C．34 D．84
【答案】B
【解析】
【分析】
根据递推公式 ，可求出数列 的通项公式，从而可求出 的值.
【详解】
因为 ，
所以 时， ，
两式相减，得 ，即 ，
又 时，得 也适合 ，
所以 时， ，
所以 ．
故选：B．
4．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））已知数列 满足 为其前n项和.若 ，则
（ ）
A．20 B．30 C．31 D．62
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用等比数列的定义、通项公式得到公比和首项，再利用等比数列的求和公式进行求解.
【详解】因为 ，所以 为等比数列，且 ，
又 ，所以 ，则 .
故选：C.
5．（2022·重庆·一模）已知 为数列 的前 项和，且 ，则下列式子正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知得 ， ，两式作差得 ，再求得 ， ，得数
列 从第2项起构成以 为公比的等比数列，求得 时， ， ，代入判断可得选项.
【详解】
解：因为 ，所以 ，两式作差得 ，
即 ，所以 ，
又 ， ，解得 ， ，
所以数列 从第2项起构成以 为公比的等比数列，
所以 ， ，
，所以 ，故A不正确，B不正确；
，所以 ，故C不正确，D正确，
故选：D.
6．（2022·广西广西·一模（文））已知等比数列 的公比为q，前n项和 ，若 ，则
（ ）
A．13 B．15 C．31 D．33
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意知等比数列 的公比为q，前n项和 ，若 ，可先求出公比 ，再利用等比数
列 的前n项和公式给出的 做对比，即可求出 ，即可求出分别前四项，即可得到前四项和.
【详解】
是等比数列， ，故 ，等比数列 的前n项和
，又 ，故 ，则
.
故选：B.
7．（2022·上海青浦·二模）设各项均为正整数的无穷等差数列 ，满足 ，且存在正整数 ，
使 、 、 成等比数列，则公差 的所有可能取值的个数为（ ）
A． B． C． D．无穷多
【答案】B
【解析】【分析】
由已知可得 ，分析可知 ，则 是 的倍数，且 ，由已知 ，
对 的取值进行分类讨论，求出 的值，并求出对应的 的值，即可得出结论.
【详解】
根据题意可知， ，化简可得 ，
因为 各项均为正整数，则 ，故 是 的倍数，且 ，
因为 、 、 成等比数列，则 ，分以下情况讨论：
①若 ，则 ，可得 ， ，解得 ，合乎题意；
②若 ，则 ，可得 ， ，解得 ，合乎题意；
③若 ，则 ，可得 ， ，解得 ，不合乎题意；
④若 ，则 ，可得 ， ，解得 ，不合乎题意；
⑤若 ，则 ，可得 ，此时， 是常数列，且每项均为 ，合乎题意.
综上所述，公差 的所有可能取值的个数为 .
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查等差数列基本量的计算，解题的关键时分析出 ，然
后对 的取值进行分类讨论，验证 的值是否满足题意，即可得解.
二、多选题
1．（2022·山东潍坊·三模）已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，则下列结
论正确的是（ ）A．数列 为等差数列 B．对任意正整数 ，
C．数列 一定是等差数列 D．数列 一定是等比数列
【答案】ABC
【解析】
【分析】
设等差数列 的公差为 ，设等比数列 的公比为 ，求出 ，利用等差数列的定义可判断AC选项；
利用基本不等式和等比中项的性质可判断C选项；取 可判断D选项.
【详解】
设等差数列 的公差为 ，则 ，所以， .
对于A选项， ，所以， 为等差数列，A对；
对于B选项，对任意的 ， ，由等比中项的性质可得 ，
由基本不等式可得 ，B对；
对于C选项，令 ，
所以， ，
故数列 一定是等差数列，C对；
对于D选项，设等比数列 的公比为 ，
当 时， ，
此时，数列 不是等比数列，D错.
故选：ABC.题型二：等比数列的通项公式
一、单选题
1．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知在等比数列 中， ， ，则
（ ）
A．2 B．4 C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等比数列的通项公式代入求解 、 ，即可求解.
【详解】
解：由题意得：
设等比数列 的公比为
，
，
，整理得 ，解得
故选：A
2．（2022·江西萍乡·二模（理））等比数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】
求得等比数列的公比 ，从而求得 .
【详解】
设等比数列 的公比为 ，
依题意 ， ，
，
所以 .
故选：C
3．（2022·河南新乡·三模（理））设等比数列 的公比为q，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知可直接求出.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 .
故选：A.
4．（2022·河南·三模（理））在等比数列 中， ， ，则 ( )
A．80 B．242 C． D．244
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意求出等比数列 的公比和首项，即可求出 ，从而求出 ﹒
【详解】等比数列 的公比 ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
5．（2022·甘肃·二模（文））正项等比数列 满足 ， ，则 的前7项和 ( )
A．256 B．254 C．252 D．126
【答案】B
【解析】
【分析】
设正项等比数列 公比为q，且q＞0，根据已知条件求出q，利用等比数列求和公式即可求 .
【详解】
设正项等比数列 公比为q，且q＞0，
∵ ， ，
∴ ，即 ，即 ，则q＝2，
∴ .
故选：B.
6．（2022·安徽六安·一模（文））标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录
方式，此表中各行均为正方形“ ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“ ”的边长
都是下一行“ ”边长的 倍，若视力4.0的视标边长为 ，则视力4.8的视标边长为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，转化为等比数列，求出通项公式，进而求出答案.
【详解】
设第 行视标边长为 ，第 行视标边长为
由题意可得： ，故
则数列 为首项为 ，公比为 的等比数列
即
则视力4.8的视标边长为
故选：D
7．（2022·河南·二模（文））将数列{3n+1}与{9n-1}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则 （ ）
A．319 B．320 C．321 D．322
【答案】B【解析】
【分析】
判断出 是首项为 公比为 的等比数列，求得 的通项公式，由此求得 的值.
【详解】
由题意知，数列 是首项为 ，公比为9的等比数列，所以 ，则
.
故选：B
8．（2022·河北唐山·三模）等比数列 中，若 ，则 （ ）
A．16 B． C．32 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查等比数列得基本量得运算，根据 可求得 ，再由 分析得 ．
【详解】
∵ ，则 ，即
又∵ ，即 ，则 且
∴
则
故选：A．
9．（2022·广东佛山·三模）已知公比为 的等比数列 的前 项和 ， ，且 ，则
（ ）
A．48 B．32 C．16 D．8
【答案】C
【解析】【分析】
根据 ，作差求出 ，再根据 ，求出 ，即可得到通项公式，再代入计算可得；
【详解】
解：因为公比为 的等比数列 的前 项和 ①，
当 时 ，
当 时 ②，
① ②得 ，
所以 ，则 ，又 ，所以 ，解得 ，
所以 ，则 ；
故选：C
10．（2022·贵州毕节·三模（理））已知正项等比数列 中，其前 项和为 ，若 ， ，则公
比 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意得： 和 ，解方程即可求解.
【详解】
根据题意：因为 ，又 是正项等比数列，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，即 ，联立 ，整理得： ，即 ，解得 或 .
故选：C.
11．（2022·新疆昌吉·二模（文））数列 是等差数列， ，且 ， ， 构成公比为q的等比数列，
则 （ ）
A．1或3 B．0或2 C．3 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等比中项的性质列方程，由此求得 ，进而求得 ，从而求得 的值
【详解】
设等差数列 的公差为d，∵ 构成公比为q的等比数列，∴ ，
即 ，解得 或2，
所以 或 ，所以 或3，
故选：A
二、多选题
1．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）在数列 中，若 （ 为非零常数），则
称 为“等方差数列”， 称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A． 是等方差数列
B．若正项等方差数列 的首项 ，且 是等比数列，则
C．等比数列不可能为等方差数列
D．存在数列 既是等方差数列，又是等差数列
【答案】BC
【解析】【分析】
根据等方差数列定义判断A，由等方差数列定义及等比数列求 判断B，根据等方差数列定义及等比数列
的通项公式判断C，由等差数列及等方差数列定义，利用反证法判断D.
【详解】
设 ，则 ， 不满足为非零常数，所以 不是等方差数列，故A错误；
由题意 ，则 ，即 ，解得 或 （舍去），当
时， 满足题意，故B正确；
设数列 为等比数列，不妨设 ，则 ，所以 ，若 为
常数，则 ，但此时 ，不满足题意，故C正确；
若数列 既是等方差数列，又是等差数列，不妨设 ，（ 为非零常数），
，所以 ，即 ，所以 ，即 ，所以 为
常数列，这与 ， 矛盾，故D错误.
故选：BC
2．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此
两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现自1，1起进行构造，第
1次得到数列1，2，1，第2次得到数列1，3，2，3，1，…，第 次得到数列 ，记
，数列 的前n项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】【分析】
通过计算求出 的值，运用归纳法得到 之间的关系，最后根据等比数列的定义和前n项和
公式进行求解判断即可.
【详解】
由题意得： ，
所以有 ，因此选项AB不正确；
，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，因此有
，因此选项C正确；
，所以选项D正确，
故选：CD
【点睛】
关键点睛：通过计算得到 是解题的关键.
题型三：等比数列的性质
一、单选题
1．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））已知等比数列 的公比为2，前n项和为
，若 ，则 （ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质即可求解.
【详解】因为 ， ，则 ，所以 ．
故选:D
2．（2022·辽宁沈阳·三模）在等比数列 中， 为方程 的两根，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用韦达定理可得 ，再根据等比数列的性质即可得出答案.
【详解】
解：在等比数列 中，
因为 为方程 的两根，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
3．（2022·江西九江·二模）若数列 为等比数列，且 、 是方程 的两根，则 ( )
A．－2 B．1 C．－1 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据韦达定理判断 、 的正负，从而求出求出 的正负，并求出 ，根据 即可求出 ﹒
【详解】由 ， ，可知 ， ，则 ，
又 ，则 ﹒
故选：C.
4．（2022·四川凉山·二模（文））正项等比数列 与正项等差数列 ，若 ，则 与 的关
系是（ ）
A． B． C． D．以上都不正确
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差数列通项公式和等比数列性质可将已知等式化为 ，由此可得结果.
【详解】
设等差数列 公差为 ，则 ，
又 ， ，
均为正项数列， .
故选：C
5．（2022·广东茂名·一模）已知等比数列 的前 项和为 ，公比为 ，则下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】B
【解析】【分析】
A选项可用片段和性质，BD选项使用基本量法，C选项借助下标和性质求解.
【详解】
A选择中，由 即 ，解得
B选项中，
C选项中，由 ， ，
D选项中，
故选：B
6．（2022·四川省宜宾市第四中学校二模（文））在等比数列 中，如果 ， ，那
么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等比数列性质及等比数列通项公式进行求解.
【详解】
由等比数列性质知， ， ， ， 成等比数列，其首项为 ，公比为 ，所以.
故选：C.
7．（2022·陕西·西安中学三模（文））在等比数列 中， ， 是方程 的二根，则
的值为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等比数列的性质、韦达定理列方程组求解．
【详解】
解：在等比数列 中， ， 是方程 的二根，
则 ， ，
则 ．
故选：B．
8．（2022·四川雅安·三模（文））已知 是等比数列， 是其前 项积，若 ，则 （ ）
A．1024 B．512 C．256 D．128
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质求得 ，进而求得 .
【详解】解： ，则 ，
则 ，
故选：B．
【点睛】
利用等比数列的通项公式不难证明等比数列的积的性质 .
9．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）若等比数列 的各项均为正数，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等比数列的性质结合对数的运算性质可得结果.
【详解】
，
故选：B.
10．（2022·陕西西安·三模（文））已知 为等比数列， ， ，则 （ ）
A．1 B．-1 C．1或-8 D．-8
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等比数列性质，结合已知解方程组即可计算作答.
【详解】
在等比数列 中， ，因此 ，解得 或 ，显然， ，则当 ， 时， ，当 ， 时， ，
所以 的值是1或-8.
故选：C
二、多选题
1．（2022·湖南怀化·一模）设 是各项为正数的等比数列，q是其公比， 是其前n项的积，
且 ，则下列选项中成立的是（ ）
A． B． C． D． 与 均为 的最大值
【答案】ABD
【解析】
【分析】
结合等比数列的定义利用数列的单调性判断各选项．
【详解】
由已知数列各项均为正，因此乘积 也为正，公比 ，
又 ，
， ，B正确；
， ，即 ，A正确；
由 得 ， ，所以 ，而 ， ，因此 ，C错；
由上知 ， 先增后减， 与 均为 的最大值，D正确．
故选：ABD．
题型四：等比数列的前n项和
一、单选题1．（2022·云南昆明·一模（理））已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ， ，则数列
的公比等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等比数列的前 项和公式进行求解即可.
【详解】
设数列 的公比为 ，因为等比数列 的前 项和为 ，
而 ，显然 ，
所以
，
解得 ，或 ，或 ，而 ， ，所以 ，
故选：C
2．（2022·陕西宝鸡·二模（文））已知数列 是公比为q的等比数列，若 ，且 是 与2的等
差中项，则q的值是（ ）
A．1 B．2
C． 或1 D． 或2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等比数列的性质和基本量代换，解方程即可求出q.
【详解】
由 解得 .因为 是 与2的等差中项，所以 .
把 代入得： ，
消去 得： ，解得 .
故选：A．
3．（2022·陕西渭南·二模（理））十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载境发明的.明万历十二年
（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是：在1和2
之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为 ，插入11
个数后这13个数之和为 ，则依此规则，下列说法错误的是（ ）
A．插入的第8个数为 B．插入的第7个数是插入的第3个数的 倍
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等比数列通项公式基本量计算出公比，进而求得 和 ，判断出A,B项，利用等比数列的求和公
式得到 ，判断D选项，再通过分析法判断C选项
【详解】
依题意， ， ， ，
，故A正确
，故B正确
， ，又 ，要证 ，即证
即 ，即证
又 要证
要证
要证 ，即 ，
即要证 ，经计算 成立
,故C正确
，故D错误
故选：D
4．（2022·江西南昌·二模（文））已知公比不为1的正项等比数列 的前n项和为 ，若 ，则
公比q=（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接应用等比数列前n项和公式建立方程就可解出q.
【详解】
由题知公比不为1且为正，由 得 ，化简得 ，所以q=3.
故选：A.5．（2022·湖南常德·一模）设 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由等比数列的通项公式与前 项的基本量运算求解．
【详解】
由已知 ， ，所以 ．
故选：A．
6．（2022·四川·仁寿一中二模（文））已知数列 满足： ，点 在函数
的图象上．记 为 的前n项和，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解析】
【分析】
由 以及解析式求出 ，再由 得出答案.
【详解】
由题得 ，解得 ，故 ，所以 ，故选：A．
7．（2022·新疆喀什·一模（文））在等比数列 中， ， ，则数列 的前5项和
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【解析】
【分析】
由 可得 ，则由数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，从而可求出 ，再由
可求出其范围
【详解】
设等比数列 的公比为 ，则 ，
数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
则 .
故选：A
8．（2022·宁夏·固原一中一模（文））已知 为等比数列 的前 项和， ， ，则
（ ）.
A． B．255 C．85 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设等比数列 的公比为 ，由基本量法求得 和 ，然后由等比数列前 项和公式求解．
【详解】
解：设等比数列 的公比为 ，∵ ， ，即 ， ，∴ ， ，
则 .
故选：A.
9．（2022·安徽宣城·二模（文））我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四，请问底层几盏灯？意思是：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是
上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（ ）
A．32盏 B．64盏 C．128盏 D．196盏
【答案】C
【解析】
根据等比数列前 项和公式，计算首项.
【详解】
设最底层的灯数为 ，公比 ，
，解得： .
故选：C
10．（2022·河南濮阳·一模（文））已知数列 是等比数列， 是其前 项和，若 ， ，
则
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【解析】
由S＝9S 得公比一定不是1，设公比为q，利用S＝9S 建立公比q的方程求解出公比，再利用 求
6 3 6 3
得 ，进而可得结果.
【详解】
由 ，得公比一定不是1，设公比为q，
则 ，解得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
解得 ，所以 .故选D
【点睛】
本题考查了等比数列的前n项和公式及等比数列的通项公式，考查了运算能力，属于基础题．
二、多选题
1．（2022·河北保定·一模）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， ，则下
面说法正确的是（ ）
A．数列 为等比数列 B．数列 为等差数列
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由已知递推式可得 或 ，从而可得数列 为公比为3的等比
数列，数列 为常数列，从而可求出 ，进而可分析判断
【详解】
根据题意得 ，令
或 ，所以可得： 或 ，
所以数列 为公比为3的等比数列，故选项A正确；
数列 为常数列，即为公差为0的等差数列，故选项B正确；
所以 ，且 ，
解得 ，所以C错误，
所以，所以D正确，
故选：ABD．
2．（2022·福建漳州·一模）立德中学的“希望工程”中，甲､乙两个募捐小组在2021年国庆假期走上街头
分别进行了募捐活动.两个小组第1天都募得100元，之后甲小组继续按第1天的方法进行募捐，则从第2
天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少4元；乙小组采取了积极措施，从第1天募得的100元中拿
出了90元印刷宣传材料，则从第2天起，第 天募得的捐款数为 元.若甲小组前n
天募得捐款数累计为 元，乙小组前n天募得捐款数累计为 元（需扣除印刷宣传材料的费用），则
（ ）
A． ， 且 B． ，
C． D．从第6天起.总有
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据题意条件，分别设出数列 和数列 并根据已知条件分别求解出 、 、 、 以及 表示
出来，分别对应选项一一验证即可完成求解.
【详解】
设 代表第n天甲小组募得捐款，且 ，对于甲小组， ， ，所以 ，所以 ，
所以 ， 且 ，故选项A正确；
设 代表第n天甲小组募得捐款，由题可知， ，
所以
，故选项B错误；
因为 ， ，故该选项C正确；
选项D，令 ，所以 ，
而当 时， ，
所以数列 为递减数列，因此 ，即 ，
所以 ，故该选项正确.
故选：ACD.
3．（2022·四川绵阳·一模（理））已知数列 的首项为1，前 项和为 ，若 ，则下列说
法正确的是（ ）
A．数列 是等比数列
B．数列 为单调递增数列
C．
D．
【答案】ABC
【解析】【分析】
根据递推关系可得 ，即可判断数列 是等比数列，进而求出 和 ，判断BC，进而判断出D选
项.
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，即 ，
所以数列 的奇数项和偶数项分别是公比为16的等比数列，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以
所以 ， ，
所以 ， ，
所以数列 是首项为1，公比为4的等比数列，故A正确；
所以 ，则数列 为单调递增数列，故B正确；
所以 ，故C正确；
因为 ， ，
所以 ，故D不正确.
故选：ABC.
