北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
7.4 数列求和
五年高考
考点1 公式法求和
1.(2020课标Ⅱ理,6,5分,中)数列{a }中,a =2,a =a a .若a +a +…+a =215-25,则k=(
n 1 m+n m n k+1 k+2 k+10
)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 C
2.(2018课标Ⅱ理,17,12分,易)记S 为等差数列{a }的前n项和,已知a =-7,S =-15.
n n 1 3
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)求S ,并求S 的最小值.
n n
解析 (1)设{a }的公差为d,由题意得3a +3d=-15.
n 1
由a =-7得d=2.
1
所以{a }的通项公式为a =2n-9.
n n
(2)由(1)得S =n2-8n=(n-4)2-16.
n
所以当n=4时,S 取得最小值,最小值为-16.
n
考点2 分组、并项求和
1.(2016课标Ⅱ,17,12分,中)S 为等差数列{a }的前n项和,且a =1,S =28.记b =[lg a ],其中
n n 1 7 n n
[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.
(1)求b ,b ,b ;
1 11 101
(2)求数列{b }的前1 000项和.
n
解析 (1)设{a }的公差为d,据已知有7+21d=28,
n
解得d=1.所以{a }的通项公式为a =n.
n n
b =[lg 1]=0,b =[lg 11]=1,b =[lg 101]=2.
1 11 101
0,1≤n<10,
{
1,10≤n<100,
(2)因为b =
n 2,100≤n<1 000,
3,n=1 000,
所以数列{b }的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.
n
{a +1,n为奇数,
2.(2021新高考Ⅰ,17,10分,中)已知数列{a }满足a =1,a = n
n 1 n+1 a +2,n为偶数.
n
(1)记b =a ,写出b ,b ,并求数列{b }的通项公式;
n 2n 1 2 n
(2)求{a }的前20项和.
n北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
解析 (1)由题设可得a =a +1,a =a +2(k∈N*),故a =a +3,即b =b +3,
2k+2 2k+1 2k+1 2k 2k+2 2k n+1 n
即b -b =3,b =a =a +1=2,b =b +3=5,
n+1 n 1 2 1 2 1
所以{b }是首项为2,公差为3的等差数列,
n
故b =2+(n-1)×3=3n-1.
n
(2)当n为奇数时,a =a -1.
n n+1
设数列{a }的前n项和为S ,
n n
则S =a +a +…+a
20 1 2 20
=(a +a +…+a )+(a +a +…+a )
1 3 19 2 4 20
=[(a -1)+(a -1)+…+(a -1)]+(a +a +…+a )
2 4 20 2 4 20
=2(a +a +…+a )-10
2 4 20
( 9×10 )
=2(b +b +…+b )-10=2× 10×2+ ×3 -10=300,
1 2 10
2
即{a }的前20项和为300.
n
3.(2020新高考Ⅰ,18,12分,中)已知公比大于1的等比数列{a }满足a +a =20,a =8.
n 2 4 3
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)记b 为{a }在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{b }的前100项和S .
m n m 100
解析 (1)已知数列{a }是公比大于1的等比数列,设公比为q(q>1),依题意有
n
{a q+a q3=20, 1
1 1
解得a =2,q=2或a =32,q= (舍去),
a q2=8, 1 1 2
1
所以a =2n,所以数列{a }的通项公式为a =2n. (5分)
n n n
(2)由于21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,
所以b 对应的区间为(0,1],则b =0;
1 1
b ,b 对应的区间分别为(0,2],(0,3],
2 3
则b =b =1,即有2个1;
2 3
b ,b ,b ,b 对应的区间分别为(0,4],(0,5],(0,6],(0,7],则b =b =b =b =2,即有22个2;
4 5 6 7 4 5 6 7
b ,b ,…,b 对应的区间分别为(0,8],(0,9],…,(0,15],则b =b =…=b =3,即有23个3;
8 9 15 8 9 15
b ,b ,…,b 对应的区间分别为(0,16],(0,17],…,(0,31],则b =b =…=b =4,即有24个4; (8
16 17 31 16 17 31
分)
b ,b ,…,b 对应的区间分别为(0,32],(0,33],…,(0,63],则b =b =…=b =5,即有25个5;
32 33 63 32 33 63
b ,b ,…,b 对应的区间分别为(0,64],(0,65],…,(0,100],则b =b =…=b =6,即有37个6.
64 65 100 64 65 100
(10分)
所以S =1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×37=480.
100北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
(12分)
考点3 错位相减求和
1.(2021新高考Ⅰ,16,5分,难)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的
某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸,对折1次共可以得到10 dm×12
dm,20 dm×6 dm两种规格的图形,它们的面积之和S =240 dm2,对折2次共可以得到5
1
dm×12 dm,10 dm×6 dm,20 dm×3 dm三种规格的图形,它们的面积之和S =180 dm2,以此类
2
n
推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ;如果对折n次,那么∑❑S=
k
k=1
dm2.
(
n+3)
答案 5;240× 3−
2n
2.(2020课标Ⅰ理,17,10分,中)设{a }是公比不为1的等比数列,a 为a ,a 的等差中项.
n 1 2 3
(1)求{a }的公比;
n
(2)若a =1,求数列{na }的前n项和.
1 n
解析 (1)设{a }的公比为q,由题设得2a =a +a ,
n 1 2 3
即2a =a q+a q2.所以q2+q-2=0,解得q =1(舍去),q =-2.
1 1 1 1 2
故{a }的公比为-2.
n
(2)记S 为{na }的前n项和.由(1)及题设可得,a =(-2)n-1.所以S =1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1,-
n n n n
1−(−2) n
2S =-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n.可得3S =1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n×(-2)n=
n n
3
1 (3n+1)(−2) n
-n×(-2)n.所以S = − .
n
9 9
3.(2020课标Ⅲ理,17,10分,中)设数列{a }满足a =3,a =3a -4n.
n 1 n+1 n
(1)计算a ,a ,猜想{a }的通项公式并加以证明;
2 3 n
(2)求数列{2na }的前n项和S .
n n
解析 (1)a =5,a =7.
2 3
猜想a =2n+1.由已知可得,
n
a -(2n+3)=3[a -(2n+1)],
n+1 n
a -(2n+1)=3[a -(2n-1)],
n n-1
……
a -5=3(a -3).
2 1
因为a =3,所以a =2n+1.
1 n
(2)由(1)得2na =(2n+1)2n,
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所以S =3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n.①
n
从而2S =3×22+5×23+7×24+…+(2n+1)×2n+1. ②
n
①-②得-S =3×2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n+1)×2n+1.
n
所以S =(2n-1)2n+1+2.
n
考点4 裂项相消求和
n 1
1.(2017课标Ⅱ,15,5分,中)等差数列{a }的前n项和为S ,a =3,S =10,则∑❑ = .
n n 3 4 S
k=1 k
2n
答案
n+1
{S } 1
2.(2022新高考Ⅰ,17,10分,中)记S 为数列{a }的前n项和,已知a =1, n 是公差为 的
n n 1 a 3
n
等差数列.
(1)求{a }的通项公式;
n
1 1 1
(2)证明: + +…+ <2.
a a a
1 2 n
解析 (1)依题意得,S =a =1,
1 1
S 1 1 n+2
n= +(n-1)× = ,∴3S =(n+2)a ,
a 1 3 3 n n
n
则3S =(n+1+2)a =(n+3)a ,
n+1 n+1 n+1
∴3S -3S =(n+3)a -(n+2)a ,
n+1 n n+1 n
即3a =(n+3)a -(n+2)a ,
n+1 n+1 n
a n+2
∴na =(n+2)a ,即 n+1= ,
n+1 n a n
n
a (n+1)(n+2)
由累乘法得
n+1=
,
a 1×2
1
(n+1)(n+2)
又a =1,∴a = ,
1 n+1
2
n(n+1)
∴a = (n≥2),又a =1满足上式,
n 2 1
n(n+1)
∴a = (n∈N*).
n 2
1 2 (1 1 )
(2)证明:由(1)知 = =2 − ,
a n(n+1) n n+1
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1 1 1 (1 1) (1 1) (1 1 ) ( 1 ) 2
∴ + +…+ =2 − +2 − +…+2 − =2 1− =2− <2.
a a a 1 2 2 3 n n+1 n+1 n+1
1 2 n
(应用裂项相消法)
三年模拟
综合基础练
1 2 1 1
1.(2024届江苏盐城联考,6)已知数列{a }满足a =1,a = , = + ,n∈N*,则数列
n 1 2 2 a a a
n+1 n n+2
{a a }的前10项和S = ( )
n n+1 10
12 11 10 9
A. B. C. D.
13 12 11 10
答案 C
2.(2024届湖北武汉二中阶段测,4)已知函数y=f(x)满足f(x)+f(1-x)=1,若数列{a }满足
n
(1) (2) (n−1)
a =f(0)+f +f +…+f +f(1),则数列{a }的前20项的和为 ( )
n n n n n
A.230 B.115 C.110 D.100
答案 B
3.(2024届浙江模拟预测)已知数列{a }的首项a =3,前n项和为S ,a =2S +3,n∈N*,设
n 1 n n+1 n
{b }
b =log a ,则数列 n 的前n项和T 的范围为( )
n 3 n a n
n
[1 ] [1 )
A. ,2 B. ,2
3 3
[1 3) (1 3]
C. , D. ,
3 4 4 4
答案 C
2 a
4.(2024届福建宁德一中阶段练,6)已知数列{a }满足a = ,a = n ,则数列{a }
n 1 3 n+1 2(2n+1)a +1 n
n
的前2 017项和S = ( )
2 017
2 016 2 017 4 034 4 033
A. B. C. D.
2 017 2 018 4 035 4 034
答案 C
5.(2023湖南长沙一中月考,5)下列命题正确的是 ( )
1 ( 1 1 )
A.对于n∈N*,都有 =2 −
(2n−1)(2n+1) 2n−1 2n+1
{ 1 } 1
B.数列 的前n项和等于1−
n(n+2) n+2北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
1−m20
C.1+m+m2+…+m20=
1−m
D.若数列{a }的通项公式为a =(-1)n(3n-1),则其前30项的和等于45
n n
答案 D
6.(多选)(2024届湖北武汉二中联考,9)在公差不为零的等差数列{a }中,已知其前n项和为
n
S ,S =81,且a ,a ,a 成等比数列,则下列结论正确的是 ( )
n 9 2 5 14
A.a =2n+1
n
B.(-1)1a +(-1)2a +…+(-1)100a =100
1 2 100
C.S =n2
n
D.设数列{2n·a }的前n项和为T ,则T =n·2n+1+2
n+1 n n
答案 BC
7.(2023广东二模,13)已知公比大于1的等比数列{a }满足a +a =12,a =16,则{a }的公比q=
n 2 3 4 n
.
答案 2
8.(2024届江苏省灌南高级中学检测一,17)已知等差数列{a }的前n项和为S ,且
n n
a +a =24,S =15.
5 6 3
(1)求数列{a }的通项公式;
n
1
(2)设b = ,求数列{b }的前n项和T .
n a2−1 n n
n
{2a +9d=24,
解析 (1)设等差数列{a }的公差为d,由a +a =24,S =15,可得 1 解得a =3,d=2,
n 5 6 3 3a +3d=15, 1
1
∴a =3+2(n-1)=2n+1.
n
1 1 1 1(1 1 )
(2)b = = = = − ,
n a2−1 (2n+1) 2−1 2n(2n+2) 4 n n+1
n
∴数列{b }的前n项和
n
1[( 1) (1 1) (1 1) (1 1 )]
T = 1− + − + − +…+ −
n 4 2 2 3 3 4 n n+1
1( 1 ) n
= 1− = .
4 n+1 4(n+1)北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
综合拔高练
1.(多选)(2023福建厦门、福州等市质检一,9)记正项等比数列{a }的前n项和为S ,则下列
n n
数列为等比数列的有 ( )
A.{a +a } B.{a a }
n+1 n n+1 n
{S }
C.
n
D.{S S }
a n n+1
n
答案 AB
2.(2023湖南长沙雅礼中学二模,17)已知等差数列{a }满足a =4,2a -a =7,公比不为-1的等
n 2 4 5
比数列{b }满足b =4,b +b =8(b +b ).
n 3 4 5 1 2
(1)求{a }与{b }的通项公式;
n n
3
(2)设c = +b ,求{c }的前n项和S .
n a a n n n
n n+1
解析 (1)设{a }的公差为d,因为a =4,2a -a =7,
n 2 4 5
所以2(4+2d)-(4+3d)=7,解得d=3,从而a =1,
1
所以a =3n-2(n∈N*).
n
设{b }的公比为q,q≠-1,
n
b +b
因为b +b =8(b +b ),所以 4 5 =q3=8,解得q=2,
4 5 1 2 b +b
1 2
4
因为b =4,所以b = =1,所以b =2n-1(n∈N*).
3 1 22 n
3
(2)由(1)可知:c = +2n-1,
n (3n−2)(3n+1)
1 1
所以c = − +2n-1,
n 3n−2 3n+1
( 1 1 1 1 1 )
所以S = 1− + − +…+ − +(1+2+…+2n-1)
n 4 4 7 3n−2 3n+1
( 1 ) 1−2n 1
= 1− + =2n− (n∈N*).
3n+1 1−2 3n+1
3.(2024届山东烟台一中月考,19)记等差数列{a }的公差为d,前n项和为S ;等比数列{b }的
n n n
公比为q,前n项和为T ,已知b =4a ,S =b +6,T =7a .
n 3 1 4 3 3 1
(1)求d和q;
{−a b ,n为奇数,
(2)若a =1,q>0,c = n n+1 求{c }的前2n项和.
1 n a b ,n为偶数, n
n n
解析 (1)由已知条件可得:b q2=4a ①,
1 1
