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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题27 数列大题综合 （新高考通用）
一、解答题
1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列 的首项为1，公差 ，其前
n项和 满足 .
(1)求公差d；
(2)是否存在正整数m，k使得 .
【答案】(1)
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）由等差数列求和公式列出方程，求出公差；
（2）在第一问的基础上，得到通项公式，利用求和公式得到 ，法一：
由m，k为正整数，列出符合要求的解；法二：得到 ，且 ，
从而得到 ，写成符合要求的解.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
所以 ，即 ，解得： 或 .
因为 ，所以 .
（2）法一：由（1）得， ，
，
时 ；
时 ；
时 ；
时 （舍），
当 时， ，不合题意；满足条件的 有三组.
法二：由（1）得， ，
故 ，
所以 ，且 ，
所以 ，所以 ， ， .
存在满足条件的 有三组.
2．（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知数列 满足 ，
．
(1)证明： 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，由等比数列的定义即可证明；
（2）先由（1）中的结论可得 的通项公式，从而得到 的通项公式，再由裂项
相消法即可得到结果.
【详解】（1）证明：因为当 时， ，所以
，
所以 ，且 ，也满足，即 首项为 ，公比为4的等比数列．
（2）由（1）知 ，所以 ，
所以 ，
所以
3．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知数列 满足 ， 是以1为首
项，2为公比的等比数列.
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等比数列通项公式可得 ，可构造 ，利
用常数列求解，也可根据 ，利用累加法求解；
（2）根据裂项相消法求和即可.
【详解】（1）由题意得 ，
法一：因为 ，即 ，
所以 是常数列，
所以 ，故 .
法二：当 时， ， ， ， ，
等式两边分别相加，得，
所以 .
当 时，也符合上式，故 .
（2）因为
，
所以
.
4．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知数列{ }满足
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)设 ，数列{ }的前n项和为Tn，若 ，求m.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由前 项和与通项的关系，当 时，得
，两式作差得 ,再验证首项是否满足上式；
（2）将 代入得 ，裂项相消法可得
，再解方程得 .【详解】（1）因为 ①，
则当 时， 则 ，
当 时，得 ②，
则① ②得 ，则 ，又 满足上式，
所以数列{ }的通项公式为
（2）
所以
化简得：
，解得 .
5．（2022秋·江苏南京·高三校考期末）已知等差数列 和等比数列 满足，
.
(1)求数列 ， 通项公式
(2)设数列 中满足 ，求和
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据条件利用等差等比数列的通项公式列方程可得公差，公比，进而可
得通项公式；（2）由（1）得数列 的通项公式，然后利用分组分解法可求和.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
则 ，解得 ，
，
，解得 ，
，
即 ， ；
（2）由（1）得 ，
.
6．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知数列 的各项均为正数，其前n项
和 满足 ，n∈N*．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)若 对任意n∈N*恒成立，求a．
1
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据 与 的关系，利用相减法结合 ，可得 ，即可证
明；
（2）由 ，令 ，可得等比数列 的公比 ，则前n项和 ， ，根据不等式 对任意 恒
成立，结合数列 的单调性，则可列不等式求得 的值.
【详解】（1）证明：因为 ， ，所以 ①，
当 时， ②，则①-②得： ，因为 ，
所以 ，整理得： ，即 ，所以数列 是等
比数列；
（2）解：由于 ，则当 时， ，整理得
，
所以等比数列 的公比 ，
则 ， ，
若 ，因为 ，则 ，所以
对任意 恒成立，
又数列 单调递增，所以 ，即
，则 ，所以 ，即 .
7．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知数列 满足 .
(1)判断数列 是否是等比数列，并求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）由已知可得 ，可知该数列不是等比数列，利用递推关系
即可求出 ；
（2）利用裂项相消法即可求和.
【详解】（1） ，故数列 不是等比数列.
∵ ，
∴
同理
，
迭代得 ，即
所以 .
（2） ，所以 .
8．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)设数列 的前n项积为 ，若 ，求数列 的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由通项与前 项和的关系结合等差的定义证明即可；
（2）由等差数列通项公式得出 ，再由题设定义得出数列 的通项公式．
【详解】（1）当 时，
当n≥2时， ，所以 ，
所以 （常数），
故数列 是以 为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）知， ，得 ，
当n≥2时， ，
当 时， ，不符合上式，
故 ．9．（2023秋·浙江宁波·高三期末）已知数列 满足 ，且
.
(1)若 是等比数列，且 ，求 的值，并写出数列 的通项公
式；
(2)若 是等差数列，公差 ，且 ，求证：
.
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等比数列的定义，对 分奇数偶数两种情况讨论即可求解；
（2）由累乘法求出 ，由裂项相消法可求得
，再利用 求出 即可证明.
【详解】（1）依题意，因为 ，所以 ，公比 ，
所以 ，所以 ，
所以 的奇数项和偶数项分别是公比为2的等比数列，得 ，
故 ，亦即 .（2）由 ，得 ，
由叠乘得 ，所以 ，
得 ，
因为 ，所以
，
因为 ，所以 即 ，
得 ，
故 .
10．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知数列 满足 ， ，数列
为等比数列且公比 ，满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 的前n项和为 ，若________，记数列 满足 ，求数列
的前 项和 ．
在① ，② ， ， 成等差数列，③ 这三个条件中任选一个
补充在第（2）问中，并对其求解．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据给定条件，求出数列 的公比，进而判断数列 为等差数列，
再求出通项作答.
（2）选①②③，分别求出数列 的通项，结合（1），利用分组求和法求解作答.
【详解】（1）因为 ， ， ， ，
令 得 ，又数列 为等比数列，即有 ，而 ，解得 ，则
，
因此 ，即数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以 .
（2）若选①，由（1）知数列 是公比为2的等比数列，
由 得， ，解得 ，则 ，
因此 ，
即有数列 的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列，偶数项是以4为首项4为公
比的等比数列，
所以
．
选②，由（1）及 ， ， 成等差数列得 ，即 ， ，
则 ，因此 ，
即有数列 的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列，偶数项是以4为首项4为公
比的等比数列，
所以
．
若选③，由（1）及 得 ，解得 ，则 ，
因此 ，
即有数列 的奇数项是以1为首项4为公差的等差数列，偶数项是以4为首项4为公
比的等比数列，
所以
．
11．（2023·福建厦门·统考二模）记等差数列 的公差为 ，前 项和为 ；等比数
列 的公比为 ，前 项和为 ，已知 ， ， ．
(1)求 和 ；
(2)若 ， ， 求 的前 项和．
【答案】(1) 或 .
(2)
【分析】（1）根据条件列方程组求解；（2）可求得 ，使用分组求和.
【详解】（1）由已知条件可得:
①， ②， ③，
由①②消去 得: ，
由①③得: ，
所以 ，得 或 ，
所以 或 .
（2）当 时， ，则 ，
所以 ，
所以
，
的前 项和 为
12．（2023·福建福州·统考二模）欧拉函数 (n)(n∈ )的函数值等于所有不超过正整
数n，且与n互质的正整数的个数，例如： (1)=1， (4)=2．
(1)求 ， ；
(2)令 ，求数列 的前n项和．【答案】(1) ； ；
(2) .
【分析】（1）根据欧拉函数的定义，采用枚举法即可求解；
（2）根据任意相邻的三个正整数均有两个数与 互为质数可求出 ，从而求得
的通项公式，根据通项公式的特征，采用错位相减法即可求出其前n项和.
【详解】（1）不超过9，且与其互质的数即为 中排除掉3，6，9剩下的正整数，
则 ；
不超过27，且与其互质的数即为[1,27]中排除掉3，6，9，12，15，18，21，24，27剩
下的正整数，
则 ．
（2） 表示任意相邻的三个正整数，其中与 互质的为 与
两个，
故分别取 可得 中与 互质的正整数个数为 ，
所以 ，
所以 ．
设数列 的前 项和为 ．
，
∴ ，两式相减得：
则 ．
13．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期中）设等差数列 的前n
项和为 ， .数列{bn}满足：对每个 成等比
数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，n∈N*，证明： ，n∈N*.
【答案】(1) ， ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设数列 的公差为 ，根据已知求出 ，即得数列 通项.
求出 根据已知即得数列 通项；
（2）先求出 再利用数学归纳法证明.
【详解】（1）解：设数列 的公差为 ，
由题意得 ，解得 ，
.数列 满足：对每个 成等比数列.
整理得 ，
解得 .
（2）证明： ，
用数学归纳法证明：
①当n=1时， =0<2，不等式成立；
②假设n=k，（k∈N*）时不等式成立，即 ，
则当n=k+1时，
即n=k+1时，不等式也成立.
由①②得 ，n∈N*.
14．（2023·河北唐山·统考一模）已知数列 的前 项和为 ，满足
．
(1)求 ；
(2)令 ，证明： ， ．
【答案】(1)
(2)证明见解析【分析】（1）利用 ，结合条件可得 ，再利用等差数
列的求和公式计算即可.
（2）结合（1）可知 ，利用 放缩，再结合裂项相消求和
即可证明.
【详解】（1）因为 ，
所以由 ，
可得 ，
所以， ，
即 ，
即 .
（2） ，当 时， ．
当 时， ，
故 ．
综上， ， ．
15．（2023春·山东济南·高三统考开学考试）各项均为正数的数列 ，其前n项和
记为 ，且满足对 ，都有 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，证明： ．【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】(1)结合递推式 ，可得 ，进而得
，
得到数列 是等差数列，进而可得通项公式；
(2)由 ，从第三项开始放缩，得 ，进而得证.
【详解】（1）由已知：对于 ， ， ，
则
∴ ，且数列 各项均为正数
∴ ，
，因为 ，得 ，
∴数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
故 .
（2） ， ，
故
，
所以 .
16．（2023秋·山东泰安·高三统考期末）已知数列 的前n项和为 ， ，且（ ）．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前n项和为 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，由 与 的关系可得 是以2为首项，2为公比的等
比数列，从而求得结果；
（2）根据题意，由裂项相消法即可求得 ，从而证明.
【详解】（1）由 ，得 ．
当 时， ，
所以 ，所以 ，
由于 ，所以 ，
因为 ，所以 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，所以 ．
（2）由（1）知， ，，
，
因为 ，所以 ．
17．（2023·山东济宁·统考一模）已知数列 的前 项和为 ，且满足：
.
(1)求证：数列 为常数列；
(2)设 ，求 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据 证明 即可；
（2）先求出数列 的通项，再利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）由 ，
当 时， ，
当 时， ，
两式相减得 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
当 时， ，上式也成立，所以数列 为常数列；
（2）由（1）得 ，
所以 ，
则
，
则 ，
两式相减得
，
所以 .
18．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知数列 的首项 ，且满足
．
(1)求证：数列 为等比数列
(2)设数列 满足 ，求最小的实数 ，使得
对一切正整数 均成立．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，将递推公式代入即可证明；（2）根据题意和（1）的结论，利用分组求和法求得
，然后利用函数的单调性即可求解.
【详解】（1）因为 ，所以 ．
又 ，所以数列 是一个首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）由 知，当 为偶数时， ，
当 为奇数时，
故
，
当 时， ，
则 ，
所以 的最小值为 ．
19．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知等比数列 的各项均为正数，
的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，记 的前 项和为 ，证明： .【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】(1) 设数列 的公比为 ，由 ，可得 ，再由 ，可得
，即可得数列 的通项公式；
(2)由题意可得 ， ，从而可得
，又由 ，即可得 .
【详解】（1）解：设数列 的公比为 ，
则 ，
因为 是各项均为正数的等比数列，
所以 ，
由 ，
得 ，
解得 ，
所以 .
（2）证明：由（1）知，
.
.因为 ，
所以 ，
即 .
20．（2023·湖北·统考模拟预测）设数列 的前n项和为 ．已知 ，
， ．
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)设数列 的前n项和为 ，且 ，令 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)应用 ,结合等差数列定义证明即可;
(2)先求等比数列的通项公式,再两次应用错位相减或裂项相消
【详解】（1） ①，
当 时， ②，
①－②得： ,
即 ，
所以 ， 且 ，
所以 是以1为公差的等差数列．（2）由（1）得， ．
当 时， ；当 时， ；
又 满足上式，所以 ．
所以 ，记数列 的前n项和为 ．
方法一：（两次错位相减）
，①
，②
①－②得 ，③
则 ，④
③－④得
，
所以 ．
方法二：（裂项）
因为 ，
所以
．
21．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知数列 满足 ，
， .(1)证明： 是等比数列
(2)求数列 的前2n项和 .
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）由递推公式可得出 ，进而推得 ，即可证
明；
（2）由（1）可知， ， .分别求出奇数项的和以及偶数项的和，
相加即可得到结果.
【详解】（1）证明：由已知可得， ，
.
又 时， ，
所以，数列 是等比数列，首项 ，公比 .
（2）解：由（1）可知， .
则 .
所以 ，
.
所以.
22．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）各项不为0的数列 满足
，且 .
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据递推公式得到 ，进而证明数列 为等差数列；
（2）结合（1）可得 ，代入 对任意 恒成立，利用数列的单调
性即可得出实数 的取值范围.
【详解】（1）因为各项不为0的数列 满足 ，
两边同时取倒数，可得 ，所以 ，
， ，解得 .
数列 为等差数列，且公差为3，首项为 .
（2）由（1）可得 ， ，对任意 恒成立， 对任意 恒成立，
令 ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， 单调递增， ,
所以 ，
实数 的取值范围为 .
23．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）数列 满足
.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 .若对于任意正整数n，均有
恒成立，求m的最小值.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）当 时，求出 ，当 时，利用求出 ，检验后得到答案；
（2）利用错位相减法得到 ，不等式转化为 ，令 ，作差法得到
的单调性，从而得到 的最大值，得到m的最小值.
【详解】（1）取 ，由 ，得 ；
当 时，由 ，得 ，
两式相减得 ，整理得 ；
当n＝1时， 也适合上式.
综上， ；
（2）由（1）知 ，得
， ，
两式相减得 ，
整理得 .
由题意对于任意正整数n，均有 恒成立，则
，即 恒成立.
设 ，由 ，
则当 时， ，即 ；
当 时， ，即 .
于是 的最大值为 ，所以 ，即m的最小值是 .24．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知 为数列 的前 项和， ，
，记 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，记数列 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用 与 的关系，整理数列 的递推公式，根据构造法，可得通
项，可得答案；
（2）写出数列 的通项，利用裂项相消，可得 ，分奇偶两种情况，可得答案.
【详解】（1）由 ，得 ．
∴ ，则 ．∴ ，
∴数列 是以1为首项，4为公比的等比数列，
∴ ．∵ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴
∴当 为奇数时， ．
当 为偶数时， ， 是递增数列，∴ ．
综上得： ．
25．（2023·湖南·模拟预测）已知正项数列 的前n项和为 ，且满足
， ．
(1)求数列 的通项公式 及前n项和 ；
(2)设数列 满足 ， ．求数列 的通项公式．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据 与 的关系，可得 ，根据等差数列的定义及通项公式
求解即可；
（2）根据递推关系，利用累加法求通项公式即可.
【详解】（1）由 ，可得 ，
两式相减可得： ，
化简可得 ，由正项数列 知 ，
所以 ，
又 ，解得 ，
所以 是以2为首项，2为公差的等差数列，
故 ，由 可得 .
（2）由（1）知 ，所以 ，
所以 ， ， ， ，
由累加法可得，
，
所以 .
26．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知各项均为正数的数列 满足 ，
， ， ．
(1)当 时，求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）推导出 ，计算得出 ，即可得出当 时，数列 的通
项公式；
（2）由（1）可求得 ，计算可得 ，利用错位相减法可求得数列 的
前 项和.
【详解】（1）当 时， ，所以， ，即 ，
所以， ，所以， ，即 ，
因为 ，所以，当 时， .（2）解：由（1）可知，当 时， ，则 ，即 ，
所以，数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，所以， .
故 ，设数列 的前 项和为 ，
所以， ，①
则 ，②
① ②可得
，
因此， .
27．（2023春·广东·高三统考开学考试）已知数列 和 满足 ， ，
， ．
(1)求 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算 ，确定 ，
，得到数列 是首项为12，公比为8的等比数列，
得到通项公式.（2）确定数列 是首项为 ，公比为8的等比数列，再利用分组求和法计
算得到答案.
【详解】（1）由题设可得 ， ，所以 ．
又因为 ， ，
故 ， ，
， ，
所以 ， ，
得 ，所以数列 是首项为12，公比为8的等比数列，
故 ．
（2） ，又因为 ， ，
故 ，
，
得 ，
所以数列 是首项为 ，公比为8的等比数列，
故 ，
因为
所以 ．
28．（2023·广东茂名·统考一模）已知 为数列 的前n项和， ，
.(1)求数列 的通项公式：
(2)若 ， 为数列 的前n项和.求 ，并证明： .
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】（1）根据题设，利用 的关系可推得 ，判断数列为等差数列，
即可求得答案；
（2）由（1）求得 的表达式，利用裂项求和求得 ，结合 的的单调性，可
证明结论.
【详解】（1）当 时, ， ,则 ,
当 时， ，则 ,
两式相减得：
即
即
∵ ，∴ ,
∴数列 是2为首项，公差为2的等差数列，∴ .
（2）由（1）得， ，
，
∵ ，∴ ，∴又∵ ，∴ 随着n的增大而减少，从而 随着n的增大面增大，
∴ ，
综上所述， .
29．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知数列 ， 时，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2) 为各项非零的等差数列，其前 项和为 ，已知 ，求数列 的
前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据 的关系求通项公式；
(2)利用错位相减法求和.
【详解】（1）因为 ，①
所以当 时， ，②
① ②可得 ，
所以 ，
当 时， 满足上式，
所以 .
（2）因为 ，且 为各项非零，所以 ，
所以 ，
所以 ，
，
所以
，
所以 .
30．（2023·江苏南京·校考一模）已知等比数列 的前 项和为 , ,
.
(1)求数列 的通项公式.
(2)令 ,求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将题设条件转化为 ，从而得到 ，进而求出
公比 ，由此得解；
（2）利用（1）结论，结合裂项相消求和法即可得解.
【详解】（1）当 时,
即 ,又 是等比数列, ;数列 的通项公式为: .
（2）由（1）知, ,
,
即 .
