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专题 04 求数列通项公式
目录
题型一： 累加/累乘..........................................................................................................................1
题型二： 求和公式...........................................................................................................................2
题型三： .........................................................................................3
题型四： ........................................................4
题型五： ...............................................................................................................4
题型六： .................................................................................................5
题型七： 同除、平衡指数、因式分解..........................................................................................5
例题精讲
题型一：累加/累乘
【要点讲解】
【例1】已知数列 ，其中 ，满足 ，试求数列的通项
【解答】
【变式训练1】已知数列 ，其中 ，满足 ，试求数列的通
项。
【解答】【例2】已知数列 ，其中 ，满足 ，试求数列的通项。
解法：
【变式训练1】已知数列 ，其中 ，满足 ，试求数列的通项。
【解答】
题型二：求和公式
【要点讲解】
【例3】已知数列 ，满足 ，试求数列的通项
【解答】
①当 时，
②当 时， ，作差可得
很明显， 时 也成立，故而数列的通项公式为： 。
【变式训练1】已知正项数列 ，满足 ，试求数列的通项公式。
【解答】
①当 时， ，解得②当 时， ，作差可得 ，化
简可得：
故而数列 是以3为首项，以2位公差的等差数列，即 。
【变式训练2】已知正项数列 ，满足 ，试求数列
的通项公式。
【解答】
当 时， ；
当 时， ，作差可得 ，
化简可得：
很明显， 时 也成立，故而数列的通项公式为： 。
题型三：
【例4】已知数列 ，其中 ，满足 ，试求数列的通项。
【解答】设 ，化简可得 ，对比原式可得 ，代入假
设的式子可得： ，故而可得数列 是以4为首项，以2为公比的等比数列，故而
题型四：
【例5】已知数列 ，其中 ，满足 ，试求数列的通项。
【解答】设 ，化简可得 ，对比原式可得
，代入假设的式子可得： ，故而可得数列 是
以-2为首项，以2为公比的等比数列，故而
题型五：
【例6】已知数列 ，其中 ，满足 ，试求数列的通项。
【解答】将递推公式两边同时取倒数可得 ，故而可
得数列 是以1为首项，以 为公差的等差数列，故而 。
【变式训练1】已知数列 ，其中 ，满足 ，试求数列的通项。
【解答】将两边同时加1可得 ，同时取倒数 ，将式子右
侧化简可得 ，假设 ，故而可得 ，为线性数列。根据线性数列的性质可得，数列 是以 为首项，以2为公
比的等比数列，故而可得 ，亦即
化简可得， 。
题型六：
【例7】已知数列 ，其中 ，满足 ，试求数列的通项。
【解答】将根据递推公式可得 ，故而数列
是以-3为首项，以3为公比的等比数列，故而可得
，根据线性数列的性质可得：
，故而数列 是以5为首项，以2为公比的等比数列，故
而可得 。
题型七：同除、平衡指数、因式分解
【解答】已知数列 ，其中 ，满足 ，试求数列的通
项。
递推公式可化简为 ，两边同除 ，化简可得 。故而数列 是以2为首项，以2为公差的等差数列，故而可得
，，化简可得 。
【例8】已知正项数列 ，其中 ，满足 ，试求数列的通项。
【解答】观察到递推公式存在根式，故而两边同时加1可得
化简可得
，故
而数列 是以2为首项，以1为公差的等差数列，故而可得 ，，化简
可得 。
【变式训练1】已 知 正 项 数 列 ， 其 中 ， 满 足
，试求数列的通项。
【解答】将递推公式因式分解可得 ，因为正项数列，故而
可得 化简为 ，由线性数列的性质可得 ，
故而数列 是以1为首项，以2为公比的等比数列，此时
。课后练习
一．选择题（共6小题）
1．已知数列 满足 ，则
A．当 时，则
B．当 时，则
C．当 时，则
D．当 时，则
【解答】解： ，
，即 ，
对于 ：当 时， ，故 ，故 错误；
对于 ：当 时， ，故 ，故 错误；
对于 ：当 时， ， ，故 错误；
对于 ，由于 ，所以 ，所以 ，同理可推 ，
当 时， ，成立，假设当 时成立， ，即 ，
当 时： ，
由于 ，所以 ，
所以 成立，
故 恒成立，得证．
故选： ．
2．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，若 ，则
A．2027 B．1012 C．1013 D．1014
【解答】解： ，
当 时， ，
当 时， ，
故数列从第2项开始都是偶数，而 是奇数，
故正整数 和 其中必有一个等于 ，另一个就是 ，
故 ．
故选： ．
3．在数列 中，若 ， ，则
A． B．1 C． D．2【解答】解：因为 ， ，
所以 ， ，
，
所以数列 为周期数列，周期为3，
则 ，
故选： ．
4．数列 满足 ，则 等于
A． B． C． D．
【解答】解： 数列 满足 ，①
当 时， ，②
① ②得： ， ，
由①得 适合上式，
故 ，
，
故选： ．
5．定义：在数列 中， ，其中 为常数，则称数列 为“等比
差”数列．已知“等比差”数列 中， ， ，则A．1763 B．1935 C．2125 D．2303
【解答】解： 数列 是“等比差”数列，
，
， ，
，
，
由累加法得 ，
，
由累乘法得 ，
．
故选： ．
6．已知各项为正的数列 的前 项和为 ，满足 ，则 的最小值为
A． B．4 C．3 D．2
【解答】解： 各项为正的数列 的前 项和为 ，满足 ，①
， ，当 时， ，②
① ②整理得： ，
可得 ， 舍）
即数列 是首项为1，公差为2的等差数列，
，
，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
即 的最小值为2，
故选： ．
二．多选题（共2小题）
7．对于数列 ，若 ， ，则下列说法正确的是
A． B．数列 是等差数列
C．数列 是等差数列 D．
【解答】解：对于数列 ，已知 ， ，①
则 ，②
由② ①可得： ，
又 ，即数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，数列 是以1为首项，2为公差的等
差数列，
则 ， ，
对于选项 ， ，即选项 正确；
对于选项 ， ， ， ， 数列 不是等差数列，即选项 错
误；
对于选项 ，数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，即选项 正确；
对于选项 ，数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，则 ，
即选项 正确．
故选： ．
8．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多 斐波那契以兔子繁殖为例子而引
入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用 表示斐波那契
数列的第 项，则数列 满足： ， ，记 ，
则下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．【解答】解：对于 ， ，
， ， ， ， ， ， ，即 ，故 正确；
对于 ，
，故 正确；
对于 ， ， ，
，
，即 ，故 正确；
对于 ，
， ， ， ，
将以上各式相加得 ，
，即 ，
，故 错误，
故选： ．
三．填空题（共4小题）
9．已知数列 满足： ，若 ，且数
列 为递增数列，则实数 的取值范围为 ．
【解答】解：因为 ，两边取倒数可得 ，变形可得 ，所以数列 是等比数列，且首项为 ，公比为
2，所以 ，
则 ，又 ，数列 为递增数列，
所以 ，即 ．
当 时， ，即 ，解得 ．
所以实数 的取值范围为 ．
故答案为： ．
10．已知 为数列 的前 项和，且 ，若 ，则 8 ．
【解答】解：已知 为数列 的前 项和，且 ，
则 ，
则 ，
即 ，
又 ，
则 ．
故答案为：8．
11．已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 ．
【解答】解：因为 ，所以当 时， ，两式相减得 ，整理得
，
即 时， ，
又当 时， ，解得 ，
所以数列 是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以 ．
故答案为： ．
12．已知数列 的前 项和 为正整数），则此数列的通项公式
．
【解答】解：已知数列 的前 项和 为正整数），
则当 时， ，
又 ，
即 ．
故答案为： ．
四．解答题（共4小题）
13．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ．数列 的前 项和为 ，
， ．（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的最大项．
【解答】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
则 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
当 时， ，则 ，所以 ；
当 时， ，所以 ，
所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列，
所以 ；
（2）因为 ，所以 ， ， ，
当 时， ，
因为 在 时单调递减，所以 ，
所以当 时， ，即 ，
所以 ，
所以数列 的最大项为 ．
14．已知数列 的前 项和为 ， 且 ．（1）求 的通项公式；
（2） 为满足 的 的个数，求使 成立的最小正整数 的值．
【解答】解：（1）由题意， ， ， ， ， ，
， ， ，
所以 ，
又 ， ，都符合上式，所以 ，
所以当 ， ，
又 符合上式，所以 ；
（2）结合（1）可知， ，
设数列 的前 项和 ，则 ，
因为 每一项都为正，所以 是单调递增的，
又 ， ，
所以所求最小正整数 为11．
15．已知等比数列 的各项均为正数，其前 项和为 ，且 ．
（1）求 的通项公式；
（2）若存在正整数 ，使得 成立，求 的值．
【解答】解：（1） ，
，
两式相减可得 ，等比数列 的各项均为正数， ；
设公比为 ，则 ，
解得 ，即 ，
当 时， ，
解得 ， ；
（2）若存在正整数 ，使得 ，
即 ， ，
解得 ， 存在 ，使得 ．
16．30．设数列 的前 项和是 ，且满足 ．
（1）求 的值；
（2）求证：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（3）若数列 的通项公式是 （其中常数 是整数），对于任意 ，
都有 成立，求整数 的最小值．
【解答】解：（1） ，解得 ；
（2） ， 时， ，
两式作差得到 ，
即 ，由于 ，
所以 是以1为首项， 为公比的等比数列，所以 ；
（3） ，由题意 ， ，
， ，
所以 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，
， ， ，
由题意只需 ，即 ，
所以整数 的最小值为14．
