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人教A版数学--数列专题七
知识点一 根据规律填写数列中的某项,数列求和的其他方法,数列新定义
典例1、对于项数为 的有穷数列 ，设 为 中的最大值，称数
列 是 的控制数列.例如数列3，5，4，7的控制数列是3，5，5，7.
（1）若各项均为正整数的数列 的控制数列是2，3，4，6，6，写出所有的 ；
（2）设 是 的控制数列，满足 （ 为常数， ）.证明：
.
（3）考虑正整数 的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列 .是否存在数
列 ，使它的控制数列为等差数列？若存在，求出满足条件的数列 的个数；
若不存在，请说明理由.
随堂练习：给定整数 ( )，设集合 ，记集合
．
（1）若 ，求集合 ；
（2）若 构成以 为首项， ( )为公差的等差数列，求证：集合 中的元素个数为 ；
（3）若 构成以 为首项， 为公比的等比数列，求集合 中元素的个数及所有
元素之和．
典例2、设 ， 为正整数，一个正整数数列 ， ，…， 满足 ，
对 ，定义集合 ，数列 ， ，…， 中的 （
）是集合 中元素的个数.
（1）若数列 ， ，…， 为5,3,3,2,1,1，写出数列 ， ，…， ；
（2）若 ， ， ， ，…， 为公比为 的等比数列，求 ；
（3）对 ，定义集合 ，令 是集合 中元素的个数.求
证：对 ，均有 .随堂练习：已知数列 的各项均为正整数，设集合
，记
的元素个数为 .
（1）①若数列 ： ， ， ， ，求集合 ，并写出 的值；
②若数列 ： ， ， ， ，且 ， ，求数列 和集合 ；
（2）若 是递增数列，求证：“ ”的充要条件是“ 为等差数列”；
（3）请你判断 是否存在最大值，并说明理由.
典例3、对于项数为m（ 且 ）的有穷正整数数列 ，记
，即 为 中的最小值，设由 组成的数列 称为
的“新型数列”.
（1）若数列 为2019，2020，2019，2018，2017，请写出 的“新型数列” 的
所有项；
（2）若数列 满足 ，且其对应的“新型数列” 项数 ，求 的所有项的和；
（3）若数列 的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求符合条件的 及其
对应的“新型数列” .
随堂练习：设数列 （ ）的各项均为正整数，且 .若对任意
，存
在正整数 使得 ，则称数列 具有性质 .
（1）判断数列 与数列 是否具有性质 ；（只需写出结论）
（2）若数列 具有性质 ，且 ， ， ，求 的最小值；
（3）若集合 ，且 （任意
， ）.
求证：存在 ，使得从 中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质
的数列.知识点二 利用定义求等差数列通项公式,裂项相消法求和,利用an与sn关系求通项或
项
典例4、已知数列 是等差数列，其前n项和为 ， ， ，数列 满足
( 且 )， .
（1）求 和 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 .
随堂练习：已知等差数列 的各项均为正数，其前n项和为 ，且满足 ，
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，且 ，求数列 的前n项的和 .典例5、已知数列 的首项 ，其前n项和为 ，且满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前n项和为 ，且 ，求n.
随堂练习：已知数列 的前 项和 ，数列 满足 .
（1）求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求满足 的的最大值.
典例6、在“① ， ， ；② ， ；③ ”三
个条件中任选一个，补充到下面的横线上，并解答． 已知等差数列 的前n项
和为 ，且__________．
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求 的前n项和为 ，求证： ．随堂练习：已知等差数列 的前 项和为 ，数列 是各项均为正数的等比数列，
， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）在① ，② ，③ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题
中，并作答.
问题：已知 ，___________，是否存在正整数 ，使得数列 的前 项和
？若存在，求 的最小值；若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分
别解答，按第一个解答计分.）
人教A版数学--数列专题七答案
典例1、答案： （1）答案见解析； （2）证明见解析； （3） 。
解：（1）由题意 ， ， ， ， ，
所以数列 有六种可能： ； ； ； ； ；
．（2）因为 ， ，所以 ，
所以控制数列 是不减的数列，
是 的控制数列，满足 ， 是常数，所以 ，
即数列 也是不减的数列， ，
那么若 时都有 ，则 ，
若 ，则 ，若 ，则 ，
又 ，由数学归纳法思想可得对 ，都有 ；
（3）设 的控制数列是 ，由（2）知 是不减的数列， 必有一项等于 ，
当 是数列 中间某项时， 不可能是等差数列， 所以 或 ，
若 ，则 （ ）， 是等差数列，
此时只要 ， 是 的任意排列均可．共 个，
，而 时，数列 中必有 ，否则不可能是等差数列，
由此有 ，即 就是 ，只有一种排列，
综上， 的个数是 ．
随堂练习：答案：（1） （2）见解析（3）
解:（1）因为 ， 当 时，
∴ ．
(2) 因为 构成以 为首项， ( )为公差的等差数列，所以有 ( )，以及 ( )．
此时，集合 中的元素有以下大小关系：
．
因此，集合 中含有 个元素．
(3)由题设， ． 设集合 ，
．
①先证 中的元素个数为 ，即从集合 中任取两个元素，它们的和互不相同．
不妨设 ，于是 ． 显然 ．
假设 ，可得 ，即
．
因为 ， ，所以 ，又 ，
于是 ，等式 不成立．
因此， ． 同理可证 ．
②再证 ．
不妨设 ，于是 ． 显然 ， ．
假设 ，可得 ，即 ，
因为 ，所以 ，又 ，于是 ，等式
不成立．因此， ． 由①②，得 ，且 ．
此时，集合 中的元素个数为 ．
集合 中所有元素的和为 ．
典例2、答案：（1）数列 ， ，…， 是6,4,3,1,1. （2） （3）
解: （1）解：数列 ， ，…， 是6,4,3,1,1.
（2）由题知 ，由于数列 ， ，…， 是 项的等比数列，
因此数列 ， ，…， 为 ， ，…，2
下面证明
假设数列 中有 个 ， 个 ，…， 个2， 个1，显然
所以 .
由题意可得 ， ，
，…， ，…， .
所以 故
即
（3）对 ， 表示 ， ，…， 中大于等于 的个数
由已知得 ， ，…， 一共有 项，每一项都大于等于1，
故 ，由于 故由于 ，故当 时， 即
.
接下来证明对 ，
，则 ，即1,2，…， ，从而 故
，
从而1,2，…， ，故 ，从而 ，故有
设 ，即 ，根据集合 的定义，有 .
由 知，1,2，…， ，由 的定义可得 ，
而由 ，故 因此，对 ，
随堂练习：答案： （1）① ；②数列 ： ， ， ， ， ；
（2）证明见解析； （3）不存在，证明见解析.
【试题解析】 分析:
解：（1）因为 ， ， ， ， ， ，
所以集合 ， .
因为 ： ， ， ， ，且 ，所以 ， ， 均不相等，
所以 ， ， 都是集合 中的元素，因为 ，
所以 ，可得： ， ， 所以数列 ： ， ， ， ，
.
（2）充分性： 是递增数列，若 为等差数列，则 ，设 的公差为 ， ，当 时， ，
所以 ，所以 ，故充分性成立.
必要性：若 是递增数列， ，则 为等差数列，
因为 是递增数列，所以 ，
所以 ，且互不相等， 所以
，
又因为 ， 所以
且互不相等，
所以 ， ， ， ，
所以 ，所以 为等差数列，必要性成立.
所以若 是递增数列，“ ”的充要条件是“ 为等差数列”.
（3）假设 存在最大值为 ，即 中有 个元素，
分别为 ，且 ，
不妨设 ，其中 且 与 均是正整数，
则 ，且 也是正整数，所以 ，
所以 中有 个元素，与假设 中有 个元素矛盾，
所以假设不成立，所以 不存在最大值.
典例3、答案：（1）数列 为2019，2019，2019，2018，2017（2） （3）满足题
意的数列 ： .所以对应的“新型数列” 分别为：.
解：（1）数列 为2019，2019，2019，2018，2017；
（2）由已知得：当 时， 关于n递减；当 时， 关于n递减，
又 时， 关于n递减. ， .
又 ， . 共21项且各项分别与 中各项相同，
其和为
.
（3）先不妨设数列 单调递增， 当 时， ， ，
，此时无解，不满足题意；
当 时，由 得 ，
，又 ， ，代入原式得 .
当 时， ， 而 ，矛盾，
所以不存在满足题意的数列 .
综上，满足题意的数列 ： .
所以对应的“新型数列” 分别为： .
随堂练习：答案（1）数列 不具有性质 ；数列 具有性质 （2） 的最小值为
（3）证明见解析
解: （1）数列 不具有性质 ；数列 具有性质 .
（2）由题可知 ， ， ， ， ， 所以 .若 ，因为 且 ，所以 .
同理，
因为数列各项均为正整数，所以 .所以数列前三项为 .
因为数列 具有性质 ， 只可能为 之一，而又因为 ， 所以
.
同理，有 . 此时数列为 .
但数列中不存在 使得 ，所以该数列不具有性质 . 所以
.
当 时，取 .（构造数列不唯一）
经验证，此数列具有性质 . 所以， 的最小值为 .
（3）反证法：假设结论不成立，即对任意 都有：若正整数 ，
则 .
否则，存在 满足：存在 ， 使得 ，此时，从 中取出
：
当 时， 是一个具有性质 的数列；
当 时， 是一个具有性质 的数列；
当 时， 是一个具有性质 的数列.
（i）由题意可知，这 个集合中至少有一个集合的元素个数不少于 个，不妨设此集合为 ，从 中取出 个数，记为 ，且 .
令集合 .
由假设，对任意 ， ，所以 .
（ii）在 中至少有一个集合包含 中的至少 个元素，不妨设这个集
合为 ，
从 中取出 个数，记为 ，且 .
令集合 .
由假设 .对任意 ，存在 使得 .
所以对任意 ， ，
由假设 ，所以 ，所以 ，所以 .
（iii）在 中至少有一个集合包含 中的至少 个元素，不妨设这个集
合为 ，
从 中取出 个数，记为 ，且 .
令集合 .
由假设 .对任意 ，存在 使得 .
所以对任意 ， ，
同样，由假设可得 ，所以 ，所以 .
（iv）类似地，在 中至少有一个集合包含 中的至少 个元素，不妨设这
个集合为 ，从 中取出 个数，记为 ，且 ， 则
.
（v）同样，在 中至少有一个集合包含 中的至少 个元素，不妨设这个集合
为 ，
从 中取出 个数，记为 ，且 ，同理可得 .
（vi）由假设可得 .
同上可知， ，
而又因为 ，所以 ，矛盾.所以假设不成立. 所以原命题得证.
典例4、答案： （1） ， ； （2） .
解：（1）设等差数列 公差为d， ∵ ，∴ ，
∵公差 ，∴ .
由 得 ，即 ，
∴数列 是首项为 ，公比为2的等比数列，∴ ；
（2）∵ ，∴ ，
随堂练习：答案： （1） ；（2） .解: （1）设数列 的首项为 ，公差为 ，且 .
则由题意，得 ， 解之得 或 （舍）， ∴
.
（2）由 得： ； ；； ；
以上等式左右相加得 ，
又 ，∴ ， 当 时， 也满足上式，
.
∴
.
典例5、答案： （1） （2）
解：（1）由 得 ，
从而数列 是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以 ；
（2）由（1）得，
由 得 又 ，所以 .
随堂练习：答案：（1）证明见解析， ；（2） 的最大值为 .
解:（1） . 当 时， ，解得 ；
当 时，由 ，可得 ，
上述两式相减得 ，即 ，
等式 的两边同时乘以 ，得 ，即 ，
所以， 且 ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，则 ，
即 ， ；
（2）由（1）可
，
所以， ，由 可得 ，即 ， . 因此，正整数 的最大值为 .
典例6、答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）若选择①，因为 ， ， ， ， 解得
， ，
设公差为d，则有 ， ， 解得 ， ， 所以
．
若选择②，设公差为d， ， 即 ，
结合 ，解得 ， ， 所以 ．
若选择③，当 时， ； 当 时，
，
当 时亦满足上式， 所以 ．
（2）证明：由（1）得 ，
所以 ，
因为 ，（ ），所以 ， 所以 ．
随堂练习：答案： （1） （2）答案见解析解：（1）设等比数列 的公比为 ，由 得： ， ，又 ，
因此有 ，即 ，解得 ， (舍去)，则
，
所以数列 的通项公式 .
（2）若选①：设等差数列 公差为d，则 ， ，解得 ，
于是得： ， ，
则有 ，
由 ，解得 ，而 为正整数，则 的最小值为 ，
所以存在正整数 满足要求， 的最小值为 .
若选②：设等差数列 公差为d，则 ， ，解得
，
于是得 ， ，
则有 ，
由 ，解得 ，而 为正整数，则 的最小值为 ，所以存在正整数 满足要求， 的最小值为 .
若选③：设等差数列 公差为d，则 ， ，解得
，
于是得： ， ，
，
令 ，得 ，显然数列 ( )是递减的，
当 时， ，当 时， ，
即由 得 ，则 的最小值为
所以存在正整数 满足要求， 的最小值为 .
