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人教A版数学--数列专题十
知识点一 等比中项的应用,裂项相消法求和,分组（并项）法求和,等差数列通项公式的
基本量计算
典例1、记 为数列 的前 项和，已知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 ，记 ，求数列 的前 项和 ．
随堂练习：已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．典例2、已知等差数列 是单调递增数列， ，且 ， ， 成等比数列，
是数列 的前 项和.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ， 是数列 的前 项和，求 .
随堂练习：已知数列 的前 项和为 ， ， ， ．
（1）求 ；
（2）设 是数列 的前 项和，求 ．典例3、已知数列 的前 项和为 ， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
随堂练习：已知数列 为公差不为0的等差数列， ，且 ， ， 成
等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前n项和．知识点二 由递推关系证明数列是等差数列,由递推关系证明等比数列,裂项相消法求和
典例4、已知数列 满足 .
（1）求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）若__________，求数列 的前 项和 .
（在① ；② ；③ 这三个条件中选择一个补充在第（2）
问中，并对其求解）
随堂练习：已知数列 的首项为1，前 项和为 ，且满足______.① ， ；② ；③ . 从上述三个条件中选一个
填在横线上，并解决以下问题：
（1）求 ； （2）求数列 的前 项和 .
典例5、在① 是 与 的等比中项：② ；③ 这三个条件中任选两个补
充到下面的横线中并解答．
问题：已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，且满足______．
（1）求 ； （2）若 ，求数列 的前 项和 ．
注：如果选择多个组合分别作答，按第一个解答计分．
随堂练习：设首项为2的数列 的前n项和为 ，前n项积为 ，且满足______________．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题：
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
（1）求数列 的通项公式；（2）求证：数列 的前n项和 ．
参考公式： ．
典例6、在①数列 的前n项和 ；② 且 ， ，这两
个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：
（1）已知数列 满足__________，求 的通项公式；
（2）已知正项等比数列 满足 ， ，求数列 的前n项和
．随堂练习：已知 为等差数列 的前 项和，且 ，___________.在① ， ，
成等比数列，② ，③数列 为等差数列，这三个条件中任选一个填入横
线，使得条件完整，并解答：
（1）求 ； （2）若 ，求数列 的前 项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
人教A版数学--数列专题十答案
典例1、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）当 且 时， ，整理可得： ， ，
数列 是公差为 的等差数列.
（2）由（1）得： ，
，
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）设等差数列 的公差为 ，则 ，解得： ，
.
（2）由（1）得： ，
典例2、答案： （1） ； （2） .
解：（1）设 的公差为 ，则
∴ ，∵ ，∴ ，
∴ 的通项公式为 .（2）由（1）得 ，
.
随堂练习：答案： （1） ； （2） .
解：（1）由题 ，可得 ，
又知 ，所以数列 是首项为1，公差为 的等差数列，
所以 ，即 ．
（2）由（1）可得 ，
∴ ．
典例3、答案： （1） ， （2）
解：（1）由题意，当 时， ，
当 时，由 ， 可得 ，
两式相减， 可得 ，
化简整理，得 ， 也满足上式，
数列 是以2为首项，2为公差的等差数列，， ．
（2）由（1），可得 ，
则
．
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）∵ ， ， 成等差数列，
∴ ， ∴ ，
设数列 的公差为 ， ∴ ， ∴ ，
∵ ，解得： ，
∵ ， ∴ ， ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴数列 的前n项和为 ．
典例4、答案： （1） （2）答案见解析
解：（1）∵ ，则 ，即
故数列 是首项和公差都为2的等差数列， ∴ ，即（2）选①：
∵ ，
∴ .
选②：
∵ ，则有：
当 时， ；
当 时， ； ∴ .
选③：
∵ ，
∴ .
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）选①
因为 ，所以当 为奇数时， ；
同理，当 为偶数时， . 所以 .
选②因为 ，（*）所以当 时， ，（**）
（*）-（**），得 ，即 ，
所以数列 是首项为1的常数列， 所以 .
选③
因为 ，所以 ，
所以数列 是首项为 的常数列，
所以 ，所以当 时， .
当 时，也符合上式.所以 .
（2）由（1）得， ，
所以
典例5、答案： （1） （2）
解：（1）方法1：选①和③
，整理得 ，
设等差数列 的公差为 ， 则有： ，
整理得 , ，解得 ，
又由 ，可得 ，解得 ，故 ，所以，
方法2：选①和②， ，所以， ，
设等差数列 的公差为 ，则有 ，
化简得 ，解得 ， ，则 ，
方法3：选②和③，
， 可得， ，
设等差数列 的公差为 ，则有 ，得到方程 ，解
得 ，
故 ，所以等差数列 的通项公式为： .
（2）
，
随堂练习：答案： （1） ； （2）证明见解析.
解：（1）若选择条件①：因为 ，所以 ，又 ，
所以数列 是首项为2，公差为1的等差数列．
所以 ，所以 ．
若选择条件②：因为 ，所以 ．当 时， ，整理得， ，
所以 ， 累乘得， ，
当 时， ，符合上式， 所以 ．
若选择条件③：因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以数列 为常数列，
又 ，所以 ，即 ．
（2）由（1）知： ，结合参考公式
可得
所以
所以
.
典例6、答案： （1） ； （2） .
解：（1）若选①：数列 的前n项和 .当 时， ，
当 时， ，上式仍成立， ∴ 的通项公式为 ．
若选②： 且 ， .
由 可得 ，所以 是 和 的等差中项，
所以 是等差数列.
设 公差为 ，则由 ， 可得 ，所以 .
所以 的通项公式为 ．
（2）设 的公比为 . 由（1）知 ，
又 ，所以 ， 即 ，又 ，所以 ，
所以， 的通项公式为 .
则 ，
所以
．
随堂练习：答案：（1） （2）
解：（1）设等差数列 的公差为
选择①：由题意得 ，
故 ，解得 ， 所以 .选择②：由题意得 ，即
解得 ， 所以 .
选择③：由题意得 ，
故 ，解得 ， 所以 .
（2）由当 为奇数时， ，得数列 的前 项中奇数项的和为
，
由当 为偶数时， ，
得数列 的前 项中偶数项的和为：
，
故 .
