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11.3 二项分布、超几何分布和正态分布
五年高考
考点1 二项分布
1.(2018课标Ⅲ理,8,5分,中)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支
付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,
D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p= ( )
A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
答案 B
2.(2017课标Ⅱ理,13,5分,易)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,
有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)= .
答案 1.96
2
3.(2019天津理,16,13分,中)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为 .
3
假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数
学期望;
(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前
到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.
解析 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率
均为 2 ,故X~B ( 3, 2) ,从而P(X=k)=Ck· (2) k (1) 3−k ,k=0,1,2,3.
3 3 3 3 3
所以,随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
1 2 4 8
P
27 9 9 27
2
随机变量X的数学期望E(X)=3× =2.
3
( 2)
(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B 3, ,且M={X=3,Y=1}
3
∪{X=2,Y=0}.
由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独
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从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}
∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=
8 2 4 1 20
× + × = .
27 9 9 27 243
4.(2018课标Ⅰ理,20,12分,难)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付
用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中
任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不
合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是不是不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p ;
0
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p 作为p的值.已知
0
每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付
25元的赔偿费用.
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
解析 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C2 p2(1-p)18.
20
因此f '(p)=C2 [2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2C2 p(1-p)17·(1-10p).
20 20
令f '(p)=0,得p=0.1,当p∈(0,0.1)时, f '(p)>0;
当p∈(0.1,1)时, f '(p)<0.所以f(p)的最大值点为p =0.1.
0
(2)由(1)知,p=0.1,
(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即
X=40+25Y,
所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.
(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于EX>400,故应该对这箱余下的所有产品作检验.
考点2 超几何分布
1.(2022浙江,15,6分,易)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽
取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)= ,E(ξ)= .
16 12
答案 ;
35 7
2.(2018天津理,16,13分,中)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.
现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步
的身体检查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;
(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发
生的概率.
解析 (1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,
由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分
别抽取3人,2人,2人.
(2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
Ck·C3−k
P(X=k)= 4 3 (k=0,1,2,3).
C3
7
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
1 12 18 4
P
35 35 35 35
1 12 18 4 12
随机变量X的数学期望E(X)=0× +1× +2× +3× = .
35 35 35 35 7
(ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C
为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与
C互斥.
由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),
6
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)= .
7
6
所以事件A发生的概率为 .
7
考点3 正态分布
1.(2021新高考Ⅱ,6,5分,易)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不
正确的是 ( )
A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大
B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5
C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等
D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等
答案 D北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
2.(2015湖北,4,5分,中)设X~N(μ ,σ2 ),Y~N(μ ,σ2 ),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列
1 1 2 2
结论中正确的是( )
A.P(Y≥μ )≥P(Y≥μ )
2 1
B.P(X≤σ )≤P(X≤σ )
2 1
C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
答案 C
3.(2022新高考Ⅱ,13,5分,易)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则
P(X>2.5)= .
答案 0.14
三年模拟
综合基础练
1.(2024届湖北荆州沙市中学月考,5)已知随机变量ξ~B(7,0.5),则概率P(ξ=k)最大时,k的取
值为 ( )
A.3 B.4
C.3或4 D.4或5
答案 C
2.(多选)(2024届江苏常州华罗庚中学期中,9)随机变量X~N(μ,σ2)且P(X≤2)=0.5,随机变量
Y~B(3,p),若E(Y)=E(X),则 ( )
A.μ=2 B.D(X)=2σ2
2
C.p= D.D(3Y)=2
3
答案 AC
3.(多选)(2023福建厦门二模,10)李明每天7:00从家里出发去学校,有时坐公交车,有时骑
自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
均用时30分钟,样本方差为36,骑自行车平均用时34分钟,样本方差为4.假设坐公交车用
时X和骑自行车用时Y都服从正态分布,则 ( )
A.P(X>32)>P(Y>32)
B.P(X≤36)=P(Y≤36)
C.李明计划7:34前到校,应选择坐公交车
D.李明计划7:40前到校,应选择骑自行车
答案 BCD
4.(2024届山西部分学校月考,19)某企业举行“猜灯谜,闹元宵”趣味竞赛活动,每个员工
从8道谜语中一次性抽出4道作答.小张有6道谜语能猜中,2道不能猜中;小王每道谜语
能猜中的概率均为p(0<p<1),且猜中每道谜语与否互不影响.
(1)分别求小张,小王猜中谜语道数的分布列;
(2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数,求p的取值范围.
解析 (1)设小张猜中谜语的道数为X,可知随机变量X服从超几何分布,X的可能取值分
别为2,3,4.
C2C2
15 3
C3C1
40 4
P(X=2)= 6 2= = ,P(X=3)= 6 2= = ,
C4 70 14 C4 70 7
8 8
C4C0
15 3
P(X=4)= 6 2= = ,
C4 70 14
8
故小张猜中谜语道数X的分布列为
X 2 3 4
3 4 3
P
14 7 14
设小王猜中谜语的道数为Y,可知随机变量Y服从二项分布Y~B(4,p),Y的取值分别为
0,1,2,3,4,
P(Y=0)=(1-p)4,
P(Y=1)=C1(1-p)3p=4p(1-p)3,
4
P(Y=2)=C2(1-p)2p2=6p2(1-p)2,
4
P(Y=3)=C3(1-p)p3=4p3(1-p),
4
P(Y=4)=p4.
故小王猜中谜语道数Y的分布列为
Y 0 1 2 3 4
P (1-p)4 4p(1-p)3 6p2(1-p)2 4p3(1-p) p4北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
3 4 3
(2)由(1)可知E(X)=2× +3× +4× =3,E(Y)=4p,
14 7 14
若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数,
3
则3>4p,可得0<p< .
4
综合拔高练
1.(2024届四川成都田家炳中学第一次月考,6)下列说法中正确的是 ( )
( 1) 5
①设随机变量X服从二项分布B 6, ,则P(X=3)= ;
2 16
②已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)且P(X<4)=0.9,则P(0<X<2)=0.4;
③2023年7月28日第31届成都大学生运动会在成都隆重开幕,将5名大运会志愿者分
配到游泳、乒乓球、篮球和排球4个项目进行志愿者服务,每名志愿者只分配到1个项
目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有180种;
④E(2X+3)=2E(X)+3,D(2X+3)=4D(X).
A.②③ B.②③④ C.①②④ D.①②
答案 C
2.(2024届浙江杭州期中,20)第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行,某学校
为持续营造全民参与亚运、服务亚运、奉献亚运的浓厚氛围,举办“心心相融·爱答亚
运”知识挑战赛.挑战者向守擂者提出挑战,规则为挑战者和守擂者轮流答题,直至一方答
不出或答错,则另一方自动获胜.若赛制要求挑战者先答题,守擂者和挑战者每次答对问题
的概率都是0.5,且每次答题互不影响.
(1)若在不多于两次答题的情况下就决出胜负,则挑战者获胜的概率是多少?
(2)在此次比赛中,挑战者获胜的概率是多少?
(3)现赛制改革,挑战者需要按上述方式连续挑战8位守擂者,每次挑战之间相互独立,当战
胜三分之二以上的守擂者时,则称该挑战者胜利.若再增加1位守擂者时,试分析该挑战者
胜利的概率是否增加?并说明理由.
解析 (1)设事件A为挑战者获胜,事件B为不多于两次答题比赛结束.
P(AB) 0.5×0.5 0.25 1
P(A|B)= = = = .
P(B) 0.5+0.5×0.5 0.75 3
1 1
(2)设p为先答题者获胜的概率,则p=0.5×(0.5+0.5p),解得p= ,所以挑战者获胜的概率是 .
3 3
(3)设随机变量X为挑战者连续挑战8人时战胜的守擂者人数,P 为此时挑战者获胜的概
1
率;
Y为挑战者连续挑战9人时战胜的守擂者人数,P 为此时挑战者获胜的概率.
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P
=P(X≥6)=C6(1) 6 (2) 2 +C7(1) 7 (2) 1 +C8(1) 8
=
129
,
1 8 3 3 8 3 3 8 3 38
P
=P(X≥7)=C7(1) 7 (2) 2 +C8(1) 8 (2) 1 +C9(1) 9
=
163
,
2 9 3 3 9 3 3 9 3 39
显然,P >P ,即该挑战者胜利的概率没有增加.
1 2
3.(2024届江苏徐州沛县二中期初测试,21)第22届国际足联世界杯于2022年11月21日
到12月18日在卡塔尔举办.在决赛中,阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军.
(1)扑点球的难度一般比较大,假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右
三个方向射门,门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球,而且门
2
将即使方向判断正确也有 的可能性扑不到球.不考虑其他因素,在一次点球大战中,求门
3
将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望.
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练,甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练
中,球从甲脚下开始,等可能地随机传向另外2人中的1人,接球者接到球后再等可能地随
机传向另外2人中的1人,如此不停地传下去,假设传出的球都能接住.记第n次传球之前
球在甲脚下的概率为p ,易知p =1,p =0.
n 1 2
{ 1}
①证明: p − 为等比数列;
n 3
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为q ,比较p 与q 的大小.
n 10 10
1 1 1
解析 (1)依题意可得,门将每次可以扑到点球的概率为 × = ,
3 3 9
( 1)
门将在前三次扑到点球的个数X可能的取值为0,1,2,3,易知X~B 3, ,所以P(X=k)=
9
Ck×
(1) k
×
(8) 3−k
,k=0,1,2,3,
3 9 9
故X的分布列为
X 0 1 2 3
512 64 8 1
P
729 243 243 729北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
1 1
所以X的期望E(X)=3× = .
9 3
(2)①第n次传球之前球在甲脚下的概率为p ,
n
则当n≥2时,第n-1次传球之前球在甲脚下的概率为p ,第n-1次传球之前球不在甲脚下
n-1
的概率为1-p ,
n-1
1 1 1
则p =p ×0+(1-p )× =− pn−1+ ,
n n-1 n-1 2 2 2
1 1( 1)
即p - =− p − ,
n 3 2 n−1 3
1 2
又p - = ,
1 3 3
{ 1} 2 1
所以 p − 是以 为首项,- 为公比的等比数列.
n 3 3 2
2( 1) n−1 1 2( 1) 9 1 1 1
②由①可知p = − + ,所以p = − + < ,所以q = (1-p )=
n 3 2 3 10 3 2 3 3 10 2 10
1[2 2 ( 1) 9] 1
− × − > ,
2 3 3 2 3
故p <q .
10 10
