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专题 05 数列求和
目录
题型一： 等差、等比数列性质求和..............................................................................................3
题型二： 倒序相加求和...................................................................................................................7
题型三： 错位相减法求和...............................................................................................................9
题型四： 裂项相消法求和.............................................................................................................14
题型五： “奇偶项”求和.............................................................................................................17
题型六： 与两数列“相同项”有关的求和................................................................................20
知识点总结
1．特殊数列的求和公式
(1)等差数列前n项和公式：
S＝＝na＋.
n 1
(2)等比数列前n项和公式：
S＝
n
2．数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的
前n项和可用错位相减法求解．
(4)倒序相加法
如果一个数列{a}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，
n
那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
常用结论与知识拓展
常见的裂项公式
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝
.
(4)＝(－).
(5)＝－.
(6)＝－.
例题精讲
题型一：等差、等比数列性质求和
【例1】已知等差数列 满足 ， ，公比不为 的等比数列 满足
， ．
（1）求 与 的通项公式；（2）设 ，求 的前 项和 ．
【解答】解：（1）由题意，不妨设等差数列的公差为 ，等比数列的公比为 ，
，解得 ，
，注意到 ， ，解得 ，
因此 的通项公式为 ， 的通项公式为 ；
（2）由（1）可知， ， ，
由题意有 ，
当 ， 时，有 ，
有 ，
以上两式作差得
，
当 时，有 ，
综上所述： 的前 项和为 ．
【变式训练1】设数列 是公差不为零的等差数列，其前 项和为 ， ．若 ， ，
成等比数列．
（1）求 及 ；（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【解答】解：（1）设数列 的公差为 ， ，且 ， ， 成等比数列，
，解得 ，
， ；
（2） ，
则数列 的前 项和
．
【变式训练2】记递增的等差数列 的前 项和为 ，已知 ，且 ．
（Ⅰ）求 和 ；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ．
【解答】解：（Ⅰ）设数列 的公差为 ，
因为 ，所以 ，
由 得， ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ， ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ，
所以 ．
【变式训练3】等差数列 的前 项和为 ，满足 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求证数列 为等比数列，并求其前 项和 ．
【解答】（1）解：由题意，设等差数列 的公差为 ，
则 ，
化简整理，得 ，
解得 ，
， ．
（2）证明：由（1）可得， ，
则 ，
，
数列 是以8为首项，4为公比的等比数列，
．
【变式训练4】已 知 数 列 为 等 比 数 列 ， 在 数 列 中 ， ， ， 且．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ， ，求数列 的前 项和 ．
【解答】解：（1）设数列 的公比为 ，
由 ，知 ，为常数，
所以数列 是等差数列，设其公差为 ，
由 ， ，知 ，
所以 ，且 ，
故数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）知 ，
若 ，则 ，
所以 ，
所 以
【变式训练5】已知等差数列 的公差不为零，其前 项和为 ，且 是 和 的等比
中项，且 ．
（1）求数列 的通项公式；（2）设数列 满足 ，求 的前 项和 ．
【解答】解：（1）设等差数列 的公差为 ，因为 是 和 的等比中项，
得 ，即 ，
化简得 ，
又 ，即 ，
化简得 ，则 ， ， ，
故 ．
（2）因为 ①，
则 时， ， ，
；
故当 时， ②，
① ②的得 ， ，而 不适合该式，
故 ，又 ，所以 ，
则数列 是从第二项起，公比为 的等比数列，
时， ，
故 ，
，，
经检验， 时， 符合 ，
综上： ，
题型二：倒序相加求和
【要点讲解】如果一个数列{a}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把
n
正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法
等差数列前n项和公式的推导便使用了此法. 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出
首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽.
【例2】德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学
史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对
的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对
应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数
，设数列 满足 ，则
．
【解答】解：由 ，可得 ，
所以 ，
由 ，
可得 （1） ，上面两式相加可得 （1） （1）
，
则 ．
故答案为： ．
【变式训练1】德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．19岁的高斯得到了一个数
学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对
的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对
应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也被称为高斯算法．现有函数
，则 （1） （2） 等于
A． B． C． D．
【解答】解： 函数 ，
则 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ）
．
故选： ．
【变式训练2】设 函 数 ， ，
． 则 数 列 的 前 项 和
．
【解答】解：函数 ， ，解得 ．，
， ．
，
相加可得： ，解得 ，
则数列 的前 项和 ．
故答案为： ．
【变式训练3】已知函数 为奇函数，且 ，若 ，则数列
的前2022项和为 202 2 ．
【解答】解：由于函数 为奇函数，则 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
所以
，
因此数列 的前2022项和为 ．
故答案为：2022．
题型三：错位相减法求和
【要点讲解】(1)如果数列{a}是等差数列，{b}是等比数列，求数列{a·b}的前n项和时，
n n n n
常采用错位相减法．
(2)错位相减法求和时，应注意：
①在写出“S”与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地
n n写出“S－qS”的表达式．
n n
②应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式S＝na.
n 1
【例3】已知数列 ， 的前 项和分别为 ， ，且满足 ， ，
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求 的取值范围．
【解答】解：（1）由已知 ，所以 ，
当 时， ，
两个等式相减得 ，
整理可得 ，
即 ， ， ， ， ，
等式左右分别相乘可得 ，
因为 ，所以 ，
（2）由（1）得 ，
所以 ，
，
上面两式相减可得 ，
即 ，所以 ，
则 ，
恒成立，
所以 是关于 的增函数，且 ，
所以 ，所以 ，即 ．
【变式训练1】记数列 的前 项和为 ，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）若对任意 ， ，求 的最小整数值．
【解答】解：（1）因为 ，
所以 ，
两式相减得 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以 是首项为3，公差为2的等差数列，
所以 ；
（2）因为 ，设 ，
所以 ， ，
两式相减得： ，
，所以 ，
因为 ，所以 的最小整数值是2．
【变式训练2】已知数列 满足 ，数列 满足
， ．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【解答】解：（1）依题意，当 时，
由 ，
可得 ，
两式相减，可得 ，
即 ，
当 时， ，解得 ，
也适合 ，
当 时，
，
当 时， 也满足上式，， ，
数列 满足 ，
数列 为等比数列，设公比为 ，
则 ，
，
即 ， ．
（2）由（1），可得 ，
，
，
两式相减，
可得
，
．
【变式训练3】已知数列 为递增的等差数列， 为 的前 项和， ，
， ．
（1）若数列 为等差数列，求非零常数 的值；（2）在（1）的条件下， ，求 的前 项和 ．
【解答】解：（1）由题意，设等差数列 的公差为 ，
则 ，
解得 （舍去），或 ，
公差 ，
首项 ，
，
，
数列 为等差数列，且 ，
．
（2）由（1），可知 ，
则 ， ，
，
，
两式相减，
可得，
．
题型四：裂项相消法求和
【要点讲解】利用裂项相消法求和的注意事项
(1)抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．
(2)将通项裂项后，一定要注意调整前面的系数，避免失误．
(3)掌握常见的裂项相消的公式．
【例4】已知数列 的前 项的和为 ，数列 是公差为1的等差数列．
（Ⅰ）证明：数列 是公差为2的等差数列；
（Ⅱ）设数列 的前 项的和为 ，若 ．证明 ．
【解答】证明：（Ⅰ）依题意，由数列 是公差为1的等差数列，
可知 ，
故 ， ，
则当 时，
，
当 时， 也满足上式，
， ，
数列 是公差为2的等差数列．
（Ⅱ）由题意及（Ⅰ），可知 ，解得 ，
则 ，
，
，
故不等式 对任意 恒成立．
【变式训练1】在等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，数列 的前 项和为 ，求不等式 的解集．
【解答】解：（1）设数列 的公比为 ，
， ， 成等差数列，
，即 ，
又 ，
则 ，即 ， ，解得 ，数列 的通项公式为 ；
（2）由（1）得 ，则 ，
，
又 ，则 ，即 ， ，
即 ， ，解得 ，2，3，4，5，
不等式的解集为 ，2，3，4， ．
【变式训练2】在公差不为0的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求 的通项公式和前 项和 ；
（2）设 ，求数列 的前 项和公式 ．
【解答】解：（1）在公差 不为零的等差数列 中， ，又 ， ， 成等比数
列，
则 ，即 ，解得 ， ，
则 ，
；
（2）由（1）得 ，则 ，
可 得 数 列 的 前 项 和．
【变式训练3】数列 中， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，证明 ．
【解答】解：（1） ，即 ，
当 时， ， ， ， ，
由累加法得 ，
，
又当 时，也符合上式，
故 ；
（2）证明：由（1）得 ，
则 ，
．
题型五：“奇偶项”求和
【要点讲解】数列“奇偶项”的求和常常采用的策略：“奇偶分组”分别求和、“奇偶并
项”求和．
【例5】已知等差数列 满足 ， ．
（1）求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【解答】解：（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
设等差数列 的公差为 ，则 ，
又 ， ，
即有 ，可得 ，
当 时， ，可得 ，
所以 ．
（2）当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，
所以
．
【变式训练1】已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，
的前 项和， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．【解答】（1）设等差数列 的公差为 ，而
则 ， ， ，
于是 ，解得 ， ， ，
所以数列 的通项公式是 ；
（2）由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
，
，
当 为奇数时， ，
则 ．
【变式训练2】已知数列 的首项 ，且满足 ．
（1）证明： 为等比数列；
（2）已知 为 的前 项和，求 ．
【解答】解：（1）证明： ，
变形为 ，
，为等比数列，首项为1，公比为 ．
（2）由（1）可得： ，
，
为奇数时， ；
为偶数时， ．
【变式训练3】已知 为等差数列， ，记 ， 为 ， 的前
项和， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明：当 时， ．
【解答】解：（1）设等差数列 的公差为 ，
， 为 的前 项和， ， ，
则 ，即 ，解得 ，
故 ；
（2）证明：由（1）可知， ，
，
当 为偶数时， ，，
，
当 为奇数时， ， ，
，
故原式得证．
题型六：与两数列“相同项”有关的求和
【要点讲解】与两个数列“相同项”有关的问题的解题关键：确定好两个数列的“相同
项”，再进行下一步研究，一类是去掉“相同项”后，构成新数列；一类是由“相同项”
构成的新数列．
【例6】已知正项数列 和 ， 为数列 的前 项和，且满足 ，
．
（1）分别求数列 和 的通项公式；
（2）将数列 中与数列 相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列 ，记数列
的前 项和为 ，求 ．
【解答】解：（1）正项数列 ， 为数列 的前 项和，且满足 ，
可得 时， ，解得 ；
当 时，由 ，可得 ，
两式相减可得 ，化为 ，
因为 ，所以 ，
则 ；
又 ，可得 ，则 ；
（2）由数列 中与数列 相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列 ，
可得数列 的前100项为 中的前107项中去掉 中的前7项后所得的项，
则
．
【变式训练1】已知正项等差数列 和正项等比数列 ， 为数列 的前 项和，且
满足 ， ， ， ．
（1）分别求数列 和 的通项公式；
（2）将数列 中与数列 相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列 ，记数列
的前 项和为 ，求 ．
【解答】解：（1）设正项等差数列 的公差为 ，
， ，
，解得 ，
，
设正项等比数列 的公比为 ，， ，
，解得 ，
；
（2）由（1）得数列 的前8项依次为2、4、8、16、3264、128、256，对应数列 第
1、2、4、8、16、32、64、128项，
故数列 的前100项为数列 的前107项，剔除数列 的前7项的数列，
设数列 的前 项和为 ，
则 ．
【变式训练2】记等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，等比数列 的公比为
，已知 ， ， ．
（1）求 ， 的通项公式；
（2）将 ， 中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列，构成
数列 ，求 的前100项和．
【解答】解：（1）由 ，得 ，
， ，又 ，
，又 ，
解得 ， ，
，；
（2）由（1）可知，当 时， ．又 ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
数列 的前100项中与数列 中相同的项共有4项，即4，16，64，256，
即为 的前8项中的偶数项．
将 ， 中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列构成数列
，
则 的前100项为数列 的前100项中剔除与数列 相同的4项后剩余的96项与
的前8项中剔除与数列 相同的4项后剩余的4项，
的前100项和为 ．课后练习
一．选择题（共6小题）
1．已知正项等比数列 的前 项和为 ，且满足 ，设 ，
将数列 中的整数项组成新的数列 ，则
A．2022 B．2023 C．4046 D．4048
【解答】解：已知正项等比数列 的前 项和为 ，且满足 ，
当 时， ，
则 ，
当 时， ，
即 ，
又 ，
则 ，
即等比数列 的首项为1，公比为2，
则 ，
则 ，
又数列 中的整数项组成新的数列 ，
则 ，
则 ．故选： ．
2．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则
A．130 B．169 C．200 D．230
【解答】解：依题意，由 ，
可得
．
故选： ．
3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他名字
定义的函数称为高斯函数 ，其中 表示不超过 的最大整数．已知正项数列
的前 项和为 ，且 ，令 ，则
A．7 B．8 C．17 D．18
【解答】解：由题意可得 ，解得 ，
当 ，由 得 ，
化简得 ，
又 ，所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以 ，
又数列 为正向数列，
所以 ，即 ，
所以 ，
所 以
，
由于 ，所以 ，
所以 ．
故选： ．
4．已知数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，若
的最大值仅为 ，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，可得
，
， ，构造数列 ：令 ，
则 ，
，
，而 为一个常数，
数列 是以 为公差的等差数列，
又 数列 的前 项和 的最大值仅为 ，
数列 是递减的等差数列，即 ，
且有 ，
整理，得 ，
解得 ，
实数 的取值范围为 ， ．
故选： ．
5．如图所示的数阵称为杨辉三角．斜线 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：
1，2，3，3，6，4，10， ，记这个数列的前 项和为 ，则 等于A．128 B．144 C．155 D．164
【解答】解：根据题意，解：由题意可得锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10， ，
即组合数 、 、 、 、 、 、 、 、
故
．
故选： ．
6．已知数列 的每一项均为0或1，其前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，
则下列结论中正确的是
A．数列 ， ， ， ， 的所有可能情况共有 种
B．若 为定值，则 恒为0
C．若 为定值，则 为常数列
D．数列 可能为等比数列
【解答】解：对于选项 ，由分步乘法计数原理可知 ，2， ， 的值为0或1，
共2种情况，
所以数列 ， ， ， ， 的所有可能情况共有 种，
故选项 错误；
对于选项 ，已知 为定值，
即 为定值，
由题可知 或 ，
当 时， ，当 时， ，故选项 错误；
对于选项 ，已知 为定值，
即当 时， 为定值，
不妨取 ， ， ，
则 ，
则 ，
此时 不为常数列，
故选项 错误；
对于选项 ，当 为1，0，0， 时， ，
则 是公比为1的等比数列，
故选项 正确．
故选： ．
二．多选题（共2小题）
7．设等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，记 为数列 的前 项和，
若 恒成立，则 的值可以是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解： ， ，
整理得 ，即 ，
由 ，可得 ，
即 ， ，，
，
．
恒成立， ．
结合选项可知， 的值可以是2或3或4．
故选： ．
8．已知集合 ， ， ， ，集合 ，将集
合 中所有元素从小到大依次排列为一个数列 ， 为数列 的前 项和，则
A．
B． 或2
C．
D．若存在 使 ，则 的最小值为26
【解答】解：对于选项 ，由题意 的前8项为1，2，3，4，5，7，8，9， ，故
正确；
对于选项 ，集合 为奇数集，集合 中的元素都是偶数，按照从小到大排列，
若连续的两个数是奇数，则 ，
若连续的两个数是一个奇数，一个偶数，则 ，故 正确；
对于选项 ，令 ， 比 小1，
的前 项中，来自集合 的有 个，来自集合 的有 个，即 ，故 正确；
对 于 选 项 ， 设 ， 则
．
由 得 ．
， ．
所以只需研究 是否有满足条件的解，
此时 ，
， 为等差数列项数，且 ．
由 得 ，
， ，
故满足条件的 最小值为27．故 错误．
故选： ．
三．填空题（共4小题）
9．已知数列 满足 ，若 ，则
数列 的前 项和 ．
【解答】解：由题意得 ，与原式作差可得 ，
化简得 ，所以 ，
所以 ，
．
故答案为： ．
10．对于数列 ，令 ，给出下列四个结论：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③存在各项均为整数的数列 ，使得 对任意的 都成立；
④若对任意的 ，都有 ，则有 ．
其中所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【 解 答 】 解 ： 对 于 ① ， 利 用 并 项 法 得 ：
，故①对；
对 于 ② ， ， 令 ， 则 ， 故 ， 所 以
，故 ，故 ，故②对；
对于③，假设存在各项均为整数的数列 ，使得 对任意的 都成立，则必
有 ，且都是正整数，令 ，则必有 ， ， ，
， ， ，则与 矛盾，故③错；对于④，由已知 ，可知 ，当 时，
有 ，
两式联立解得 时， ， ，
故 ， ，
特别的当 时， ，
故对任意的 ，都有 成立，即④成立．
故答案为：①②④．
11．已知 ， ，将数列 与数列 的公共项从小到大排列得到新数列
，则 ．
【解答】解：数列 为正奇数列，
对于数列 ，设 时， 为偶数，
当 为偶数时， ，则 为奇数，
故 ，
所以 ，
故 ．
故答案为： ．
12．已知数列 的前 项和为 且 ， ， 成等差数列，，数列 的前 项和为 ，则满足 的最小正整数 的值
为 1 0 ．
【解答】解：由题意，当 时， ．
当 时， ．
则 ， ．
， ， 成等差数列，
，即 ，
解得 ．
．
， ．
．
．
， ．
即 ，
，即 ，
， ，，即 ．
满足 的最小正整数 的值为10．
故答案为：10．
四．解答题（共4小题）
13．已知等差数列 的前 项和为 ， ，且 ， ， 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）当数列 的公差不为0时，记数列 的前 项和为 ，求证： ．
【解答】（1）解：由题意，设等差数列 的公差为 ，
则 ， ， ，
， ， 成等比数列，
，即 ，
化简整理，得 ，
解得 ，或 ．
当 时， ， ，
当 时， ， ，
综上所述，可得 或 ， ．
（2）证明：由（1）可知，当数列 的公差不为0时， ， ，
此时 ，
则 ，，
，
不等式 对任意 恒成立．
14．设数列 的前 项之积为 ，满足 ．
（1）设 ，求数列 的通项公式 ；
（2）设数列 的前 项之和为 ，证明： ．
【解答】解：（1）因为数列 的前 项之积为 ，满足 ，
所以当 时， ，解得 ．
当 时， ，
化为 ，
变形为 ，
又 ，所以 ，即 且 ，
则数列 是以 为首项，2为公比的等比数列所以 ．
（2）证明：由（1）可得： ，解得 ，
当 时， ．
，
需要证明 ，
即证明 ，
设 ， ，
则 ，
设 ， ，
，
则函数 在 上单调递增，
所以 （1） ，
即 ，
所以 ．
15．已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ， ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，且数列 的前 项和为 ，求 的取值范围．
【解答】解：（1）由 ， ，且 ，
可得 ，
即 ，
则 ，解得 ，
当 时，由 ，可得 ，
上面两式相减可得 ，
即为 ，
因为 ，所以 ，
且 ，
所以 是首项和公差均为1的等差数列，即有 ；
（2）证明： ，
，
，
上面两式相减可得
，
化简可得 ．因为 ，所以 ，
由于 ， ，
则数列 在 上单调递增，
故 ．
16．数列 的满足 ， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）将数列 中去掉数列 的项后余下的项按原来的顺序组成数列 ，求数列
的前50项和 ．
【解答】解：（1）因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ， ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
则 ，即 ；
（2）由 得， ，
因为 ， ， ，
所以 中要去掉数列 的项有5项，
所以．
