北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
8.2 空间点、线、面的位置关系
五年高考
考点 空间点、线、面的位置关系
1.(2019上海春,15,5分,中)已知平面α、β、γ两两垂直,直线a、b、c满足:a α,b β,c γ,则
直线a、b、c不可能满足以下哪种关系 ( )
⊂ ⊂ ⊂
A.两两垂直 B.两两平行
C.两两相交 D.两两异面
答案 B
2.(2018课标Ⅱ理,9,5分,中)在长方体ABCD-A B C D 中,AB=BC=1,AA =√3,则异面直线
1 1 1 1 1
AD 与DB 所成角的余弦值为 ( )
1 1
1 √5 √5 √2
A. B. C. D.
5 6 5 2
答案 C
3.(2018课标Ⅰ理,12, 5分,难)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角
都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为 ( )
3√3 2√3 3√2 √3
A. B. C. D.
4 3 4 2
答案 A
4.(多选)(2021新高考Ⅰ,12,5分,难)在正三棱柱ABC-A B C 中,AB=AA =1,点P满足
1 1 1 1
⃗BP=λ⃗BC+μ⃗BB ,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则( )
1
A.当λ=1时, AB P的周长为定值
1
B.当μ=1时,△ 三棱锥P-A
1
BC的体积为定值
1
C.当λ= 时,有且仅有一个点P,使得A P⊥BP
2 1
1
D.当μ= 时,有且仅有一个点P,使得A B⊥平面AB P
2 1 1
答案 BD
5.(2023全国甲理,15,5分,难)在正方体ABCD-A B C D 中,E,F分别为AB,C D 的中点.以
1 1 1 1 1 1
EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点.
答案 12
6.(2020新高考Ⅰ,16,5分,难)已知直四棱柱ABCD-A B C D 的棱长均为2,∠BAD=60°.以
1 1 1 1
D 为球心,√5为半径的球面与侧面BCC B 的交线长为 .
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√2π
答案
2
三年模拟
综合基础练
1.(2024届河南焦作博爱第一中学月考,4)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.若直
线l满足l⊥m,l⊥n,l α,l β,则 ( )
A.α∥β,l∥α
⊄ ⊄
B.α与β相交,且交线平行于l
C.α⊥β,l⊥β
D.α与β相交,且交线垂直于l
答案 B
2.(2023江西九江二模,5)正方体ABCD-A B C D 中,M是BC 的中点,则直线DM与A C的
1 1 1 1 1 1
位置关系是 ( )
A.异面垂直 B.共面垂直
C.异面不垂直 D.相交不垂直
答案 B
3.(2023广东汕头二模,7)已知α,β,γ是三个平面,α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c,且a∩b=O,则下列结
论正确的是 ( )
A.直线b与直线c可能是异面直线
B.直线a与直线c可能平行
C.直线a,b,c必然交于一点(即三线共点)
D.直线c与平面α可能平行
答案 C
4. (2023安徽“江南十校”3月一模)安徽徽州古城与四川阆中古城、山西平遥古城、
云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑,其底层部分可近似看作一个
正方体ABCD-A B C D .已知该正方体中,点E,F分别是棱AA ,CC 的中点,过D ,E,F三点
1 1 1 1 1 1 1
的平面与平面ABCD的交线为l,则直线l与直线AD 所成角为 ( )
1
π π π π
A. B. C. D.
3 6 4 2北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
答案 A
5.(多选)(2024届山西大同一中月考,9)已知正方体ABCD-A B C D 中,O为B D 的中点,直
1 1 1 1 1 1
线A C交平面AB D 于点M,则下列结论正确的是 ( )
1 1 1
A.A,M,O三点共线
B.A,M,O,A 四点共面
1
C.A,O,C,M四点共面
D.B,B ,O,M四点共面
1
答案 ABC
综合拔高练
1.(2023河南新乡三模,9)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A B C D 中,E是棱CC 的中点,
1 1 1 1 1
过A,D ,E三点的截面把正方体ABCD-A B C D 分成两部分,则该截面多边形的周长为
1 1 1 1 1
( )
A.3√2+2√5B.2√2+√5+3
9
C. D.2√2+2√5+2
2
答案 A
2.(2023内蒙古赤峰二模,11)如图所示,在长方体ABCD-A B C D 中,点E是棱CC 上的一
1 1 1 1 1
个动点,若平面BED 与棱AA 交于点F,给出下列命题:
1 1
①四棱锥B -BED F的体积恒为定值;
1 1
②四边形BED F是平行四边形;
1
③当截面四边形BED F的周长取得最小值时,满足条件的点E至少有两个;
1
④直线D E与直线DC交于点P,直线D F与直线DA交于点Q,则P、B、Q三点共线.
1 1
其中真命题是 ( )北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④
答案 C
3.(多选)(2024届广东深圳实验中学等五校期中联考,10)如图,在棱长为2的正方体ABCD-
A B C D 中,点E,F分别为CC ,B C 的中点,点P为棱A D 上的动点,则 ( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1
A.在平面CBP内不存在与平面AB D 垂直的直线
1 1
B.三棱锥A-PCD的体积为定值
C.A F∥平面AED
1 1
D.过A ,F,E三点所确定的截面为梯形
1
答案 BCD
4.(2023山西运城二模,15)在正三棱柱ABC-A B C 中,D为棱AB的中点,BC 与B C交于点
1 1 1 1 1
E,若AB=AA ,则CD与A E所成角的余弦值为 .
1 1
√3
答案
4
5.(2024届山西大同一中月考,15)已知正方体ABCD-A B C D 的棱长为3,点E,F分别在棱
1 1 1 1
D E D F 1
D A ,D C 上,且满足 1 = 1 = ,O为底面ABCD的中心,过E,F,O作截面,则所得截
1 1 1 1 D A D C 3
1 1 1 1
面的面积为 .
答案 2√22
6.(2023贵州六校联盟联考(四),19)如图,已知正方体ABCD-A B C D 的棱长为2,E,F分别
1 1 1 1
为AD,CC 的中点.
1
(1)已知点G满足⃗DD =4⃗DG,求证:B,E,G,F四点共面;
1
(2)求点C 到平面BEF的距离.
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解析 (1)证明:如图,取DD 的中点H,连接AH,HF,EG,因为HFCD,CDAB,所以
1
ABHF,所以四边形ABFH是平行四边形,所以BF∥AH.
在△AHD中,EG为中位线,故EG∥AH,所以EG∥BF,故B,E,G,F四点共面.
(2)连接EC .设C 到平面BEF的距离为h,由题意知点E到平面BCC B 的距离为AB=2,
1 1 1 1
√21
在△BEF中,BE=BF=√5,EF=√6,故S = .
BEF
2
△
易得S =1,由V =V ,
△BC F C −BEF E−BC F
1 1 1
1 1 4√21
得 S△BEF·ℎ = S ·2,解得h= .
3 3 △BC 1 F 21
4√21
故C 到平面BEF的距离为 .
1 21
