文档内容
2025新教材数学高考第一轮复习
7.4 数列求和
五年高考
考点1 公式法求和
1.(2020课标Ⅱ理,6,5分,中)数列{a }中,a =2,a =a a .若a +a +…+a =215-25,则k=(
n 1 m+n m n k+1 k+2 k+10
)
A.2 B.3 C.4 D.5
2.(2018课标Ⅱ理,17,12分,易)记S 为等差数列{a }的前n项和,已知a =-7,S =-15.
n n 1 3
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)求S ,并求S 的最小值.
n n
考点2 分组、并项求和
1.(2016课标Ⅱ,17,12分,中)S 为等差数列{a }的前n项和,且a =1,S =28.记b =[lg a ],其中
n n 1 7 n n
[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.
(1)求b ,b ,b ;
1 11 101
(2)求数列{b }的前1 000项和.
n{a +1,n为奇数,
2.(2021新高考Ⅰ,17,10分,中)已知数列{a }满足a =1,a = n
n 1 n+1 a +2,n为偶数.
n
(1)记b =a ,写出b ,b ,并求数列{b }的通项公式;
n 2n 1 2 n
(2)求{a }的前20项和.
n
3.(2020新高考Ⅰ,18,12分,中)已知公比大于1的等比数列{a }满足a +a =20,a =8.
n 2 4 3
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)记b 为{a }在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{b }的前100项和S .
m n m 100考点3 错位相减求和
1.(2021新高考Ⅰ,16,5分,难)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的
某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸,对折1次共可以得到10 dm×12
dm,20 dm×6 dm 两种规格的图形,它们的面积之和 S =240 dm2,对折 2 次共可以得到 5
1
dm×12 dm,10 dm×6 dm,20 dm×3 dm 三种规格的图形,它们的面积之和S =180 dm2,以此类
2
n
推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ;如果对折n次,那么∑❑S =
k
k=1
dm2.
2.(2020课标Ⅰ理,17,10分,中)设{a }是公比不为1的等比数列,a 为a ,a 的等差中项.
n 1 2 3
(1)求{a }的公比;
n
(2)若a =1,求数列{na }的前n项和.
1 n
3.(2020课标Ⅲ理,17,10分,中)设数列{a }满足a =3,a =3a -4n.
n 1 n+1 n
(1)计算a ,a ,猜想{a }的通项公式并加以证明;
2 3 n
(2)求数列{2na }的前n项和S .
n n考点4 裂项相消求和
n 1
1.(2017课标Ⅱ,15,5分,中)等差数列{a }的前n项和为S ,a =3,S =10,则∑❑ = .
n n 3 4 S
k=1 k
2.(2022新高考Ⅰ,17,10分,中)记S
n
为数列{a
n
}的前n项和,已知a
1
=1,{S
n
}
是公差为
1的等
a 3
n
差数列.
(1)求{a }的通项公式;
n
1 1 1
(2)证明: + +…+ <2.
a a a
1 2 n
三年模拟
综合基础练
1 2 1 1
1.(2024 届江苏盐城联考,6)已知数列{a }满足 a =1,a = , = + ,n∈N*,则数列
n 1 2 2 a a a
n+1 n n+2
{a a }的前10项和S =( )
n n+1 10
12 11 10 9
A. B. C. D.
13 12 11 10
2.(2024 届湖北武汉二中阶段测,4)已知函数 y=f(x)满足 f(x)+f(1-x)=1,若数列{a }满足
na
n
=f(0)+f (1)
+f
(2)
+…+f
(n−1)+f(1),则数列{a
n
}的前20项的和为 ( )
n n n
A.230 B.115 C.110 D.100
3.(2024 届浙江模拟预测)已知数列{a }的首项 a =3,前 n 项和为 S ,a =2S +3,n∈N*,设
n 1 n n+1 n
b n =log 3 a n ,则数列{b n }的前n项和T n 的范围为( )
a
n
A.[1 ] [1 )
,2 B. ,2
3 3
C.[1 3) (1 3]
, D. ,
3 4 4 4
4.(2024届福建宁德一中阶段练,6)已知数列{a }满足a =2,a = a ,则数列{a }
n 1 n+1 n n
3 2(2n+1)a +1
n
的前2 017项和S = ( )
2 017
2 016 2 017 4 034 4 033
A. B. C. D.
2 017 2 018 4 035 4 034
5.(2023湖南长沙一中月考,5)下列命题正确的是 ( )
A.对于n∈N*,都有 1 ( 1 1 )
=2 −
(2n−1)(2n+1) 2n−1 2n+1
B.数列{ 1 } 1
的前n项和等于1−
n(n+2) n+2
1−m20
C.1+m+m2+…+m20=
1−m
D.若数列{a }的通项公式为a =(-1)n(3n-1),则其前30项的和等于45
n n
6.(多选)(2024届湖北武汉二中联考,9)在公差不为零的等差数列{a }中,已知其前n项和为
n
S ,S =81,且a ,a ,a 成等比数列,则下列结论正确的是 ( )
n 9 2 5 14
A.a =2n+1
n
B.(-1)1a +(-1)2a +…+(-1)100a =100
1 2 100
C.S =n2
n
D.设数列{2n·a }的前n项和为T ,则T =n·2n+1+2
n+1 n n
7.(2023广东二模,13)已知公比大于 1的等比数列{a }满足a +a =12,a =16,则{a }的公比
n 2 3 4 nq= .
8.(2024 届江苏省灌南高级中学检测一,17)已知等差数列{a }的前 n 项和为 S ,且
n n
a +a =24,S =15.
5 6 3
(1)求数列{a }的通项公式;
n
(2)设b = 1 ,求数列{b }的前n项和T .
n n n
a2−1
n综合拔高练
1.(多选)(2023福建厦门、福州等市质检一,9)记正项等比数列{a }的前n项和为S ,则下列
n n
数列为等比数列的有 ( )
A.{a +a } B.{a a }
n+1 n n+1 n
C.{S n } D.{S n S n+1 }
a
n
2.(2023湖南长沙雅礼中学二模,17)已知等差数列{a }满足a =4,2a -a =7,公比不为-1的等
n 2 4 5
比数列{b }满足b =4,b +b =8(b +b ).
n 3 4 5 1 2
(1)求{a }与{b }的通项公式;
n n
3
(2)设c = +b ,求{c }的前n项和S .
n a a n n n
n n+1
3.(2024届山东烟台一中月考,19)记等差数列{a }的公差为d,前n项和为S ;等比数列{b }
n n n
的公比为q,前n项和为T ,已知b =4a ,S =b +6,T =7a .
n 3 1 4 3 3 1
(1)求d和q;
(2)若a 1 =1,q>0,c n ={−a n b n+1 ,n为奇数,求{c n }的前2n项和.
a b ,n为偶数,
n n4.(2024届广东珠海一中月考,17)已知等差数列{a }的公差d>0,且满足a =1,a ,a ,a 成等比
n 1 1 2 4
数列.
(1)求数列{a }的通项公式;
n
{ 2a n,n为奇数,
(2)若数列{b }满足b = 求数列{b }的前2n项和T .
n n 1 n 2n
,n为偶数,
a a
n n+2
5.(2024 届 江 苏 无 锡 一 中 月 考 ,18) 已 知 数 列 {a } 为 非 零 数 列 , 且 满 足
n
n(n+1)
( 1+ 1 )( 1+ 1 ) ·…· ( 1+ 1 ) =2 2 .
a a a
1 2 n
(1)求数列{a }的通项公式;
n
(2)求数列{n }的前n项和S .
n
a
n7.4 数列求和
五年高考
考点1 公式法求和
1.(2020课标Ⅱ理,6,5分,中)数列{a }中,a =2,a =a a .若a +a +…+a =215-25,则k=(
n 1 m+n m n k+1 k+2 k+10
)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 C
2.(2018课标Ⅱ理,17,12分,易)记S 为等差数列{a }的前n项和,已知a =-7,S =-15.
n n 1 3
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)求S ,并求S 的最小值.
n n
解析 (1)设{a }的公差为d,由题意得3a +3d=-15.
n 1
由a =-7得d=2.
1
所以{a }的通项公式为a =2n-9.
n n
(2)由(1)得S =n2-8n=(n-4)2-16.
n
所以当n=4时,S 取得最小值,最小值为-16.
n
考点2 分组、并项求和
1.(2016课标Ⅱ,17,12分,中)S 为等差数列{a }的前n项和,且a =1,S =28.记b =[lg a ],其中
n n 1 7 n n
[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.
(1)求b ,b ,b ;
1 11 101
(2)求数列{b }的前1 000项和.
n
解析 (1)设{a }的公差为d,据已知有7+21d=28,
n
解得d=1.所以{a }的通项公式为a =n.
n n
b =[lg 1]=0,b =[lg 11]=1,b =[lg 101]=2.
1 11 101
0,1≤n<10,
{
1,10≤n<100,
(2)因为b =
n 2,100≤n<1 000,
3,n=1 000,
所以数列{b }的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.
n2.(2021新高考Ⅰ,17,10分,中)已知数列{a }满足a =1,a ={a +1,n为奇数,
n 1 n+1 n
a +2,n为偶数.
n
(1)记b =a ,写出b ,b ,并求数列{b }的通项公式;
n 2n 1 2 n
(2)求{a }的前20项和.
n
解析 (1)由题设可得a =a +1,a =a +2(k∈N*),故a =a +3,即b =b +3,
2k+2 2k+1 2k+1 2k 2k+2 2k n+1 n
即b -b =3,b =a =a +1=2,b =b +3=5,
n+1 n 1 2 1 2 1
所以{b }是首项为2,公差为3的等差数列,
n
故b =2+(n-1)×3=3n-1.
n
(2)当n为奇数时,a =a -1.
n n+1
设数列{a }的前n项和为S ,
n n
则S =a +a +…+a
20 1 2 20
=(a +a +…+a )+(a +a +…+a )
1 3 19 2 4 20
=[(a -1)+(a -1)+…+(a -1)]+(a +a +…+a )
2 4 20 2 4 20
=2(a +a +…+a )-10
2 4 20
=2(b
1
+b
2
+…+b
10
)-10=2×(
10×2+
9×10
×3
)-10=300,
2
即{a }的前20项和为300.
n
3.(2020新高考Ⅰ,18,12分,中)已知公比大于1的等比数列{a }满足a +a =20,a =8.
n 2 4 3
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)记b 为{a }在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{b }的前100项和S .
m n m 100
解析 (1)已知数列{a }是公比大于 1 的等比数列,设公比为 q(q>1),依题意有
n
{a 1 q+a 1 q3=20, 解得a =2,q=2或a =32,q= 1 (舍去),
1 1
a q2=8, 2
1
所以a =2n,所以数列{a }的通项公式为a =2n. (5分)
n n n
(2)由于21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,
所以b 对应的区间为(0,1],则b =0;
1 1
b ,b 对应的区间分别为(0,2],(0,3],
2 3
则b =b =1,即有2个1;
2 3
b ,b ,b ,b 对应的区间分别为(0,4],(0,5],(0,6],(0,7],则b =b =b =b =2,即有22个2;
4 5 6 7 4 5 6 7
b ,b ,…,b 对应的区间分别为(0,8],(0,9],…,(0,15],则b =b =…=b =3,即有23个3;
8 9 15 8 9 15
b ,b ,…,b 对应的区间分别为(0,16],(0,17],…,(0,31],则b =b =…=b =4,即有24个4; (8
16 17 31 16 17 31分)
b ,b ,…,b 对应的区间分别为(0,32],(0,33],…,(0,63],则b =b =…=b =5,即有25个5;
32 33 63 32 33 63
b ,b ,…,b 对应的区间分别为(0,64],(0,65],…,(0,100],则 b =b =…=b =6,即有 37 个 6.
64 65 100 64 65 100
(10分)
所以S =1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×37=480.
100
(12分)
考点3 错位相减求和
1.(2021新高考Ⅰ,16,5分,难)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的
某条对称轴把纸对折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸,对折1次共可以得到10 dm×12
dm,20 dm×6 dm 两种规格的图形,它们的面积之和 S =240 dm2,对折 2 次共可以得到 5
1
dm×12 dm,10 dm×6 dm,20 dm×3 dm 三种规格的图形,它们的面积之和S =180 dm2,以此类
2
n
推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ;如果对折n次,那么∑❑S =
k
k=1
dm2.
答案 5;240×( n+3)
3−
2n
2.(2020课标Ⅰ理,17,10分,中)设{a }是公比不为1的等比数列,a 为a ,a 的等差中项.
n 1 2 3
(1)求{a }的公比;
n
(2)若a =1,求数列{na }的前n项和.
1 n
解析 (1)设{a }的公比为q,由题设得2a =a +a ,
n 1 2 3
即2a =a q+a q2.所以q2+q-2=0,解得q =1(舍去),q =-2.
1 1 1 1 2
故{a }的公比为-2.
n
(2)记 S 为{na }的前 n 项和.由(1)及题设可得,a =(-2)n-1.所以 S =1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1,-
n n n n
1−(−2) n
2S =-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n.可得3S =1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n×(-2)n= -
n n
3
1 (3n+1)(−2) n
n×(-2)n.所以S = − .
n
9 9
3.(2020课标Ⅲ理,17,10分,中)设数列{a }满足a =3,a =3a -4n.
n 1 n+1 n
(1)计算a ,a ,猜想{a }的通项公式并加以证明;
2 3 n
(2)求数列{2na }的前n项和S .
n n
解析 (1)a =5,a =7.
2 3
猜想a =2n+1.由已知可得,
na -(2n+3)=3[a -(2n+1)],
n+1 n
a -(2n+1)=3[a -(2n-1)],
n n-1
……
a -5=3(a -3).
2 1
因为a =3,所以a =2n+1.
1 n
(2)由(1)得2na =(2n+1)2n,
n
所以S =3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n. ①
n
从而2S =3×22+5×23+7×24+…+(2n+1)×2n+1. ②
n
①-②得-S =3×2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n+1)×2n+1.
n
所以S =(2n-1)2n+1+2.
n
考点4 裂项相消求和
n 1
1.(2017课标Ⅱ,15,5分,中)等差数列{a }的前n项和为S ,a =3,S =10,则∑❑ = .
n n 3 4 S
k=1 k
2n
答案
n+1
2.(2022新高考Ⅰ,17,10分,中)记S
n
为数列{a
n
}的前n项和,已知a
1
=1,{S
n
}
是公差为
1的等
a 3
n
差数列.
(1)求{a }的通项公式;
n
1 1 1
(2)证明: + +…+ <2.
a a a
1 2 n
解析 (1)依题意得,S =a =1,
1 1
S 1+(n-1)×1 n+2,∴3S =(n+2)a ,
n= = n n
a 1 3 3
n
则3S =(n+1+2)a =(n+3)a ,
n+1 n+1 n+1
∴3S -3S =(n+3)a -(n+2)a ,
n+1 n n+1 n
即3a =(n+3)a -(n+2)a ,
n+1 n+1 n
∴na =(n+2)a ,即a n+2,
n+1 n n+1=
a n
n
由累乘法得a (n+1)(n+2),
n+1=
a 1×2
1(n+1)(n+2)
又a =1,∴a = ,
1 n+1
2
n(n+1)
∴a = (n≥2),又a =1满足上式,
n 1
2
n(n+1)
∴a = (n∈N*).
n
2
(2)证明:由(1)知 1 2 (1 1 ),
= =2 −
a n(n+1) n n+1
n
∴ 1 1 1 (1 1) (1 1) (1 1 ) ( 1 ) 2 <2.(应用裂
+ +…+ =2 − +2 − +…+2 − =2 1− =2−
a a a 1 2 2 3 n n+1 n+1 n+1
1 2 n
项相消法)
三年模拟
综合基础练
1 2 1 1
1.(2024 届江苏盐城联考,6)已知数列{a }满足 a =1,a = , = + ,n∈N*,则数列
n 1 2 2 a a a
n+1 n n+2
{a a }的前10项和S =( )
n n+1 10
12 11 10 9
A. B. C. D.
13 12 11 10
答案 C
2.(2024 届湖北武汉二中阶段测,4)已知函数 y=f(x)满足 f(x)+f(1-x)=1,若数列{a }满足
n
a
n
=f(0)+f (1)
+f
(2)
+…+f
(n−1)+f(1),则数列{a
n
}的前20项的和为 ( )
n n n
A.230 B.115 C.110 D.100
答案 B
3.(2024 届浙江模拟预测)已知数列{a }的首项 a =3,前 n 项和为 S ,a =2S +3,n∈N*,设
n 1 n n+1 n
b n =log 3 a n ,则数列{b n }的前n项和T n 的范围为( )
a
n
A.[1 ] [1 )
,2 B. ,2
3 3C.[1 3) (1 3]
, D. ,
3 4 4 4
答案 C
4.(2024届福建宁德一中阶段练,6)已知数列{a }满足a =2,a = a ,则数列{a }
n 1 n+1 n n
3 2(2n+1)a +1
n
的前2 017项和S = ( )
2 017
2 016 2 017 4 034 4 033
A. B. C. D.
2 017 2 018 4 035 4 034
答案 C
5.(2023湖南长沙一中月考,5)下列命题正确的是 ( )
A.对于n∈N*,都有 1 ( 1 1 )
=2 −
(2n−1)(2n+1) 2n−1 2n+1
B.数列{ 1 } 1
的前n项和等于1−
n(n+2) n+2
1−m20
C.1+m+m2+…+m20=
1−m
D.若数列{a }的通项公式为a =(-1)n(3n-1),则其前30项的和等于45
n n
答案 D
6.(多选)(2024届湖北武汉二中联考,9)在公差不为零的等差数列{a }中,已知其前n项和为
n
S ,S =81,且a ,a ,a 成等比数列,则下列结论正确的是 ( )
n 9 2 5 14
A.a =2n+1
n
B.(-1)1a +(-1)2a +…+(-1)100a =100
1 2 100
C.S =n2
n
D.设数列{2n·a }的前n项和为T ,则T =n·2n+1+2
n+1 n n
答案 BC
7.(2023广东二模,13)已知公比大于 1的等比数列{a }满足a +a =12,a =16,则{a }的公比
n 2 3 4 n
q= .
答案 2
8.(2024 届江苏省灌南高级中学检测一,17)已知等差数列{a }的前 n 项和为 S ,且
n n
a +a =24,S =15.
5 6 3
(1)求数列{a }的通项公式;
n(2)设b = 1 ,求数列{b }的前n项和T .
n n n
a2−1
n
解析 (1)设等差数列{a }的公差为d,由a +a =24,S =15,可得{2a +9d=24,解得a =3,d=2,
n 5 6 3 1 1
3a +3d=15,
1
∴a =3+2(n-1)=2n+1.
n
(2)b = 1 1 1 1(1 1 ),
n = = = −
a2−1 (2n+1) 2−1 2n(2n+2) 4 n n+1
n
∴数列{b }的前n项和
n
T =1[( 1) (1 1) (1 1) (1 1 )]
n 1− + − + − +…+ −
4 2 2 3 3 4 n n+1
=1( 1 ) n .
1− =
4 n+1 4(n+1)综合拔高练
1.(多选)(2023福建厦门、福州等市质检一,9)记正项等比数列{a }的前n项和为S ,则下列
n n
数列为等比数列的有 ( )
A.{a +a } B.{a a }
n+1 n n+1 n
C.{S n } D.{S n S n+1 }
a
n
答案 AB
2.(2023湖南长沙雅礼中学二模,17)已知等差数列{a }满足a =4,2a -a =7,公比不为-1的等
n 2 4 5
比数列{b }满足b =4,b +b =8(b +b ).
n 3 4 5 1 2
(1)求{a }与{b }的通项公式;
n n
3
(2)设c = +b ,求{c }的前n项和S .
n a a n n n
n n+1
解析 (1)设{a }的公差为d,因为a =4,2a -a =7,
n 2 4 5
所以2(4+2d)-(4+3d)=7,解得d=3,从而a =1,
1
所以a =3n-2(n∈N*).
n
设{b }的公比为q,q≠-1,
n
因为b +b =8(b +b ),所以b +b =q3=8,解得q=2,
4 5 1 2 4 5
b +b
1 2
4
因为b =4,所以b = =1,所以b =2n-1(n∈N*).
3 1 22 n
3
(2)由(1)可知:c = +2n-1,
n (3n−2)(3n+1)
1 1
所以c = − +2n-1,
n 3n−2 3n+1
所以S
n
=(
1−
1
+
1
−
1
+…+
1
−
1 )+(1+2+…+2n-1)
4 4 7 3n−2 3n+1
=( 1 ) 1−2n 1 (n∈N*).
1− + =2n−
3n+1 1−2 3n+1
3.(2024届山东烟台一中月考,19)记等差数列{a }的公差为d,前n项和为S ;等比数列{b }
n n n
的公比为q,前n项和为T ,已知b =4a ,S =b +6,T =7a .
n 3 1 4 3 3 1
(1)求d和q;(2)若a 1 =1,q>0,c n ={−a n b n+1 ,n为奇数,求{c n }的前2n项和.
a b ,n为偶数,
n n
解析 (1)由已知条件可得:b q2=4a ①,
1 1
4a +6d=b q2+6②,b +b q+b q2=7a ③,
1 1 1 1 1 1
由①②消去b q2得d=1,由①③得 q2 4,
1 =
1+q+q2 7
2 2
所以3q2-4q-4=0,得q=2或q=- ,所以d=1,q=2或- .
3 3
(2)当q>0时,q=2,则b =a =1,所以a =n,b =2n-1,
1 1 n n
所以c ={−n·2n,n为奇数,
n
n·2n−1,n为偶数,
c +c =-(2n-1)·22n-1+2n·22n-1=22n-1,
2n-1 2n
则{c }的前2n项和为c +c +c +c +…+c +c =(c +c )+(c +c )+…+(c +c )
n 1 2 3 4 2n-1 2n 1 2 3 4 2n-1 2n
2(1−4n
) 2
=2+23+25+…+22n-1= = (4n-1).
1−4 3
4.(2024届广东珠海一中月考,17)已知等差数列{a }的公差d>0,且满足a =1,a ,a ,a 成等比
n 1 1 2 4
数列.
(1)求数列{a }的通项公式;
n
{ 2a n,n为奇数,
(2)若数列{b }满足b = 求数列{b }的前2n项和T .
n n 1 n 2n
,n为偶数,
a a
n n+2
解析 (1)因为a ,a ,a 成等比数列,所以 =a a ,
1 2 4 a2 1 4
2
即(1+d)2=1×(1+3d),解得d=0或d=1.
因为d>0,所以d=1,所以a =1+1×(n-1)=n.
n
{
2n,n为奇数,
(2)由(1)得b =
n 1
,n为偶数,
n(n+2)
{
2n,n为奇数,
所以b =
n 1(1 1 )
− ,n为偶数,
2 n n+2
所以T =b +b +b +…+b +b
2n 1 2 3 2n-1 2n=(b +b +…+b )+(b +b +…+b )
1 3 2n-1 2 4 2n
=(21+23+…+22n-1)+ 1(1 − 1) + (1 − 1) +…+ ( 1 − 1 )
2 2 4 4 6 2n 2n+2
=21−22n−1·22 1(1 1 ) 22n+1 1 5 ,
+ − = − −
1−22 2 2 2n+2 3 4n+4 12
22n+1 1 5
所以数列{b }的前2n项和T = − − .
n 2n 3 4n+4 12
5.(2024 届 江 苏 无 锡 一 中 月 考 ,18) 已 知 数 列 {a } 为 非 零 数 列 , 且 满 足
n
n(n+1)
( 1+ 1 )( 1+ 1 ) ·…· ( 1+ 1 ) =2 2 .
a a a
1 2 n
(1)求数列{a }的通项公式;
n
(2)求数列{n }的前n项和S .
n
a
n
1
解析 (1)当n=1时,1+ =2,解得a =1,
a 1
1
n(n+1)
当n≥2时,由( 1+ 1 )( 1+ 1 ) … ( 1+ 1 ) =2 2 ,
a a a
1 2 n
(n−1)n
得( 1+ 1 )( 1+ 1 ) … ( 1+ 1 ) =2 2 ,
a a a
1 2 n−1
1 1 1
两式相除得 +1=2n,即a = ,当n=1时,a =1也满足,所以a = ,n∈N*.
a n 2n−1 1 n 2n−1
n
1 n
(2)由(1)可知, =2n-1,所以 =n·2n-n,
a a
n n
所以S =(1×21-1)+(2×22-2)+(3×23-3)+…+(n·2n-n)
n
=(1×21+2×22+3×23+…+n·2n)-(1+2+3+…+n),
令A =1×21+2×22+3×23+…+n·2n,B =1+2+3+…+n,
n n
n(n+1)
则B =1+2+3+…+n= ,
n
2
A =1×21+2×22+3×23+…+n·2n,
n
2A =1×22+2×23+3×24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,
n2(1−2n
)
-A =21+22+23+…+2n-n·2n+1= -n·2n+1,
n
1−2
∴A =(n-1)·2n+1+2,
n
n(n+1)
∴S =A -B =(n-1)·2n+1+2- .
n n n
2
