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专题 03 等比数列
目录
题型一： 等比数列的基本运算.......................................................................................................4
题型二： 等比数列中的最值问题..................................................................................................9
题型三： 等比数列实际应用.........................................................................................................10
题型四： 等比数列的证明与判断................................................................................................12
题型五： 等比数列求通项与求和................................................................................................14
题型六： 等比数列的最值和范围问题........................................................................................17
知识点总结
1．等比数列的概念
(1)等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同
一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母
q表示(q≠0)，即＝q(n∈N*)，或＝q(n∈N*，n≥2).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与
b的等比中项，此时，G2＝ab.
2．等比数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：a ＝a q n － 1 . 该式又可以写成a ＝ · q n ，这表明q≠1时，a 是常数与指数函数(关
n 1 n n
于n)的乘积.
(2)前n项和公式：
S＝
n
当q≠1时，该式又可以写成S＝－·qn，这表明q≠1时，S 的图象是指数型函数y＝－Aqx＋A
n n图象上一群孤立的点.
3．等比数列的性质
(1)与项有关的性质
①在等比数列{a}中，a＝a qn－m(n，m∈N*).
n n m
②在等比数列{a}中，若m＋n＝p＋q＝2k，m，n，p，q，k∈N*，则a a＝aa＝a.
n m n p q
③在公比为q的等比数列{a}中，取出项数成等差数列的项a，a ，a ，…，仍可组成
n k k＋d k＋2d
一个等比数列，公比是qd.
④m个等比数列，由它们的各对应项之积组成一个新数列，仍然是等比数列，公比是原来
每个等比数列对应的公比之积.
⑤若{a}，{b}均为等比数列，公比分别为q ，q ，则{ka}(k≠0)仍为等比数列，且公比为
n n 1 2 n
q；{ab}仍为等比数列，且公比为qq；仍为等比数列，且公比为.
1 n n 1 2
⑥当{a}是公比为q(q>0)的正项等比数列时，数列{lg a}是等差数列，首项为lg a ，公差
n n 1
为lg q.
(2)与和有关的性质
①等比数列连续k项的和仍为等比数列，即S，S －S，S －S ，…，仍为等比数列，且
k 2k k 3k 2k
公比为qk(q≠－1，或q＝－1且k为奇数).
②在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则＝q.
③在等比数列中，当qm≠1时，＝，n，m∈N*.
④在等比数列中，S ＝S＋qnS ，n，m∈N*.
n＋m n m
4．等比数列的单调性(1)当a>0，q>1或a＜0,00,01时，等比数列{a}是递减数列．
1 1 n
(3)当q＝1时，它是一个常数列．
(4)当q<0时，它是一个摆动数列.
常用结论与知识拓展
1．若数列{a}，{b}(项数相同)是等比数列，则数列{c·a}(c≠0)，{|a|}，{a}，，{a·b}，也
n n n n n n
是等比数列．
2．等比数列{a}的通项公式可以写成a＝cqn，这里c≠0，q≠0.
n n
3．等比数列{a}的前n项和S 可以写成S＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．
n n n
即若S＝Aqn＋B(AB≠0，q≠0,1)，则{a}是等比数列⇔A＋B＝0.
n n
例题精讲
题型一：等比数列的基本运算
【要点讲解】方程的思想：等比数列中有五个量a ，n，q，a ，S ，一般可以“知三求
1 n n
二”，通过列方程(组)求关键量a 和q，问题可迎刃而解．
1
分类讨论的思想：当q＝1时，{a}的前n项和S＝na；当q≠1时，{a}的前n项和S＝＝.
n n 1 n n
【例1】若1， ， ，4成等差数列；1， ， ， ，4成等比数列，则 的值等于
A． B． C． D．
【解答】解： ， ， ，4成等差数列，；
， ， ， ，4成等比数列，
，又 ，
；
．
故选： ．
【变式训练1】等比数列 为递减数列，若 ， ，则
A． B． C． D．6
【解答】解：由 为等比数列，得 ，又 ，
， 为方程 的两个根，
解得 ， 或 ， ，
由 为递减数列得 ， ， ，
，
则 ．
故选： ．
【变式训练2】等 比 数 列 的 各 项 均 为 正 数 ， 且 ， 则A．20 B．15 C．8 D．
【解答】解： 是等比数列，
，
又 ，
，
．
故选： ．
【变式训练3】设数列 为等比数列，若 ， ，则数列 的
前6项和为
A．18 B．16 C．9 D．7
【解答】解：因为数列 为等比数列， ， ，
所以 ，
所以 ， ，
则数列 的前6项和为 ．
故选： ．
【变式训练4】若各项均为正数的等比数列 满足 ，则公比
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：根据题意，设等比数列 的公比为 ，
若 ，则 ，
变形可得： ，解可得： 或 （舍 ；
故选： ．
【变式训练5】已知等比数列 为递减数列，若 ， ，则
A． B． C． D．6
【解答】解：由 为等比数列，得 ，又 ，
， 为方程 的两个根，
解得 ， 或 ， ，
由 为递减数列得 ， ， ，
，
则 ．
故选： ．
【变式训练6】已知等比数列 的各项均为正数，若 ， ，则
A． B． C．27 D．
【解答】解：设 的公比为 ，则 ， ， ．
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．因为 的各项均为正数，
所以 ，
因为 ，所以 ．
故选： ．
【变式训练7】已知等比数列 的前 项和为 ， ，且 ，则
A．3 B．5 C．30 D．45
【解答】解：等比数列 中， ，且 ，
所以 ， ，
解得 ， ，
则 ．
故选： ．
【变式训练8】已知等比数列 的前2项和为2，前4项和为8，则它的前6项和为
A．12 B．22 C．26 D．32
【解答】解：设等比数列 的前 项和为 ，公比为 ，
则 ， ，则 ，
而 ， ， ，
故 ，
所以数列前6项和为 ．
故选： ．【例2】已知正项等比数列 中， ，则
A．1012 B．2024 C． D．
【解答】解： 是等比数列，且 ，
，
．
故选： ．
【变式训练1】已 知 是 等 比 数 列 的 前 项 和 ， 且 ， 则
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，所以 ， ，
，
又 是等比数列，所以 ，即 ，解得 ，所以 ．
当 时， ，又 满足 ，
对任意的 ， ，故数列 是公比为2的等比数列，
所以， ，故数列 是公比为4，首项为 的等比数
列，
所以 ．
故选： ．【例3】已知等比数列 各项均为正数， ， 的前 项和为 ，则
A．3 B． C． D．13
【解答】解：等比数列 各项均为正数， ， 的前 项和为 ，
，
解得 ，
则 ．
故选： ．
【变式训练1】记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则
A．120 B．85 C． D．
【解答】解：等比数列 中， ， ，显然公比 ，
设首项为 ，则 ①， ②，
化简②得 ，解得 或 （不合题意，舍去），
代入①得 ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练2】记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则A．6 B． C． D．18
【解答】解：设等比数列 的公比为 ，
若 ，则由 得 ， ，不合题意；
故 ，则由 得 ，
则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练3】在 等 比 数 列 中 ， ， ， 则
A． B． C．32 D．64
【解答】解：设等比数列 的公比为 ，
则 ，
即 ，解得 ，
所以 ．
故选： ．
题型二：等比数列中的最值问题
【例4】已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最小值为
A．8 B． C． D．10【解答】解：由正项等比数列 可知 ， ， 成等比数列，
则 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
故 的最小值为 ．
故选： ．
【变式训练1】在等比数列 中， ，则 的最小值是
A．12 B．24 C．36 D．48
【解答】解： 的公比是 ，则 ， ．
因为 ，所以 ， ．
由等比数列的性质可得 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立．
故选： ．
【变式训练2】在正项等比数列 中， ，则 的最小值是
A．12 B．18 C．24 D．36
【解答】解：在正项等比数列 中， ，所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，即 的最小值是24．故选： ．
题型三：等比数列实际应用
【例5】《将夜》中宁缺参加书院的数科考试，碰到了这样一道题目：那年春，夫子游桃山，
一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒
故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，如是而行，终夫子切六斤桃
花而醉卧桃山．问：夫子切了五斤桃花一共饮了几壶酒？
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知，数列前2项都是1，从第二项开始，构成公比为 的等比数列，
所以前5项和为 ．
故选： ．
【变式训练1】在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为
难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则第五天走的路程为 里．
A．6 B．12 C．24 D．48
【解答】解：根据题意： ， ，
所以 ，
故 ．
故选： ．
【变式训练2】如图，正方形 的边长为5，取正方形 各边的中点 ， ， ，
，作第2个正方形 ，然后再取正方形 各边的中点 ， ， ， ，作第3
个正方形 ，依此方法一直继续下去．则从正方形 开始，连续10个正方形的面
积之和等于A． B． C． D．
【解答】解：依题意，将正方形面积按作法次序排成一列得数列 ， ，
因为后一个正方形边长是相邻前一个正方形边长的 ，
因此 ，即数列 是等比数列，公比 ，
所以前10个正方形的面积之和 ．
故选： ．
题型四：等比数列的证明与判断
【要点讲解】等比数列的四种常用判定方法
若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{a}是等比数
定义法 n
列
中项
若数列{a}中，a≠0且a＝a·a (n∈N*)，则{a}是等比数列
n n n n＋2 n
公式法
通项 若数列{a}的通项公式可写成a ＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{a}
n n n
公式法 是等比数列
前n项
若数列{a}的前n项和S＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{a}是等比数列
n n n
和公式法
【例6】已知数列 为等差数列， ， ，前 项和为 ，数列 满足
．
求证：（1）数列 为等差数列；
（2）数列 中的任意三项均不能构成等比数列．
【解答】（1）证明：因为数列 为等差数列， ， ，
所以 ，
，
则 ，
则 ， ，
故数列 是以1为首项，以 为公差的等差数列；
（2）假设数列 中的任意不同的三项 ， ， 构成等比数列，
则 ，
即 ，
则 ，
故 ，即 ，与假设矛盾，
故数列 中的任意三项均不能构成等比数列．
【变式训练1】已知等差数列 的前 项和为 ， ， ．
（1）求数列 的通项公式 ；（2）设 ，问：数列 中是否存在互不相同的三项 ， ， 构成等比数列？若
存在，求出一组符合题意的项；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设等差数列 的公差为 ，
由题意得 ， ，
，
故 ．
（2）由（1）得 ， ，
假设数列 中存在互不相同的三项 ， ， 构成等比数列，
则 ，即 ，
，
， ， ， ，
， ，
，与 矛盾，
故数列 中不存在互不相同的三项 ， ， 构成等比数列．
【变式训练2】已知数列 的前 项和为 ， ，对任意的正整数 ，点 ，
均在函数 图像上．
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）证明： 中任何不同三项不构成等差数列．
【解答】证明：（1）点 ， 均在函数 图像上，则 ，
故 ，
，
故 是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）因为 ，
当 时， ，
时， ，
故 ， ，且从第二项起 严格增，
假设存在 使得 ， ， 成等差数列，则 ，
即 ，等式左边为偶数，右边为奇数，故假设不成立．
故 中任何不同三项不构成等差数列．
题型五：等比数列求通项与求和
【要点讲解】判断数列{a}是等比数列的常用方法与证明数列{a}是等比数列的方法基本一
n n
致，通常有四种方法：定义法、中项公式法、通项公式法和前 n项和公式法，值得注意的
是，若要判断的数列不是等比数列，往往通过特殊验证(举反例)来进行否定即可．
【例7】等比数列 中， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和，若 ，求 ．
【解答】解：（1）设 的公比为 ，由题设得 ，由已知得 ，即 ，
解得 （舍去）， 或 ，
故 或 ；
（2）若 ，则 ，
由 得 ，此方程没有正整数解．
若 ，则 ，
由 得 ，解得 ，
综上所述， ．
【变式训练1】已知等比数列 的前 项和为 ， ， ．
（1）求等比数列 的通项公式；
（2）求 的值．
【解答】解：（1）由已知可知 ．
因为 ， ，所以 ，
即 ，解得 ，
则有： ；
（2）由（1）知 ，则 ，所以 ，且 ，
所以数列 是以1为首项，公比为 的等比数列，
所以 ．
【变式训练2】已知等比数列 的前 项和为 ， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）已知数列 中，满足 ，求数列 的前 项和 ．
【解答】解：（1）记等比数列 的公比为 ，由 可知 ，
， ，
解得 ， ，所以数列 的通项公式为 ．
（2） ，
．
【变式训练3】等差数列 中， ， ， 分别是如表第一、二、三行中的某一
个数，且其中的任何两个数不在如表的同一列．
第一列 第二列 第三列
第一行 5 8 2
第二行 4 3 12
第三行 16 6 9
（1）请选择一个可能的 ， ， 组合，并求数列 的通项公式；（2）记（1）中您选择的 的前 项和为 ，判断是否存在正整数 ，使得 ， ，
成等比数列，若有，请求出 的值；若没有，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意可知：有两种组合满足条件：
① ， ， ，此时等差数列 ， ， ，
所以其通项公式为 ．
② ， ， ，此时等差数列 ， ， ，
所以其通项公式为 ．
（2）若选择①， ．
则 ．
若 ， ， 成等比数列，则 ，
即 ，整理，得 ，
此方程无正整数解，故不存在正整数 ，使 ， ， 成等比数列．
若选择②， ，
则 ，
若 ， ， 成等比数列，则 ，
即 ，整理得 ，因为 为正整数，所以， ．
故存在正整数 ，使 ， ， 成等比数列．题型六：等比数列的最值和范围问题
【要点讲解】等比数列中的最值(范围)问题，要抓住基本量a ，q等，充分运用方程、函数、
1
转化等数学思想，合理调用相关知识构造函数，再用基本不等式法、单调性法等求值域.
【例8】已知正项等比数列 满足条件 ， ．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求 的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）设正项等比数列 的公比为 ，
， ，
， ，
， ，
．
（Ⅱ） 随着 的增大而减小，
最大时，需要 是最后一项为大于1的数，
当 时，即 ， ，
当 时， 有最大值 ．
【变式训练1】已知数列 为等比数列，其前 项和为 ，且 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求使 成立的正整数 的最大值．【解答】解：（1）由题意得：等比数列 的公比 ，
又 ，所以 ，解得 ，
所以 ；
（2） ，
令 ，解得 ，
所以使得 成立的正整数 的最大值为3．
【变式训练2】设正项等比数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 的前 项积为 ，求使得 取得最大值的 的值．
【解答】解：（1）正项等比数列 中， ， ，
所以 ，
所以 ，
解得 或 （舍 ，
则 ，
故 ；
（2）因为 ， ，
故当 时， 取得最大值．课后练习
一．选择题（共6小题）
1．等比数列 为递减数列，若 ， ，则
A． B． C． D．6
【解答】解：由 为等比数列，得 ，又 ，
， 为方程 的两个根，
解得 ， 或 ， ，
由 为递减数列得 ， ， ，
，
则 ．
故选： ．
2．已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，若 ， ，则
A．90 B．135 C．150 D．180
【解答】解：由等比数列前 项和的性质可得 ， ， ， 成等比数
列，
，即 ，
整理可得 ，解得 （舍 或 ，
，
有 ，
解得 ．
故选： ．
3．已知等比数列 的各项均为正数，公比 ， ，则
A．12 B．15 C．18 D．21
【解答】解：因为等比数列 的各项均为正数，公比 ，
， ，
又 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
解得 或 （舍去），
所以 ．
故选： ．
4．在等比数列 中，且 ，则
A．16 B．8 C．4 D．2
【解答】解：等比数列 中，且 ，由等比中项的性质可得： ，
可得 ，
故选： ．
5．已知 是等比数列 的前 项和，且 ，则A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，所以 ， ，
，
又 是等比数列，所以 ，即 ，解得 ，所以 ．
当 时， ，又 满足 ，
对任意的 ， ，故数列 是公比为2的等比数列，
所以， ，故数列 是公比为4，首项为 的等比数
列，
所以 ．
故选： ．
6．已知数列 是等比数列，则下列结论：①数列 是等比数列；②若 ，
，则 ；③若数列 的前 项和 ，则 ；④若 ，
则数列 是递增数列；其中正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解： 是等比数列，设公比为 ，
对于①，可得 ，故数列 是等比数列，①正确；
对于②， ，故 ， ，则 ，②错误；对于③， ，若 得 ，不符合等比数列的性质，③错误；
对于④， ，
若 ，此时 ，即 是递增数列，
若 ，此时 ，即 是递增数列，
故④正确．
故选： ．
二．多选题（共2小题）
7．记 为等比数列 的前 项和，则
A． 是等比数列
B． 是等比数列
C． ， ， 成等比数列
D． ， ， 成等比数列
【解答】解： 为等比数列 的前 项和，设公比为 ，则 ，
是以 为首项，以 为公比的等比数列，故 正确；
， 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
故 正确；
， ， ，
当 时， ， ， ，， ， 不成等比数列，故 错误；
对于数列1， ，1， ，1， ， ，
， ， ，显然， ， ， ，
不能构成等比数列，故 ， ， 不一定成等比数列，故 错误，
故选： ．
8．等比数列 的公比为 （常数），其前 项的和为 ，则下列说法正确的是
A．数列 是等比数列 B．数列 是等比数列
C． 是等差数列 D． ， ， 成等差数列
【解答】解：设数列 首项为 ， ， ．
选项，因 ，则当且仅当 ，即 为常数列时，数列 是等比数列，
故 错误；
选项，因 为常数，则数列 是等比数列，故 正确；
选项，因 ，则 为常
数，即 是等差数列，故 正确；
选项，若 ，则 ，此时 ， ， 成等差数列；
若 ， ， ．
令 ，则 ．综上，当且仅当 时， ， ， 成等差数列，故 错误．
故选： ．
三．填空题（共4小题）
9．设等比数列 的前 项和为 ，写出一个满足下列条件的 的公比 2 （答案
不唯一） ．
① ，② 是递增数列，③ ．
【解答】解：由等比数列的通项公式可得 ，则 ，
因为 ，且 是递增数列，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
综上 ．
故答案为：2（答案不唯一）．
10．在等比数列 中， ， ，则公比 为 2 ．
【解答】解：当 时， ，无实数解；
当 时，由题知， ，
两式相除得 ，即 ，解得 ．
综上， ．
故答案为：2．
11．88键钢琴从左到右各键的音的频率组成一个递增的等比数列．若中音 （左起第49个键）的频率为 ，钢琴上最低音的频率为 ，则左起第61个键的音的频率为
880 ．
【解答】解；设等比数列的公比为 ，
则 ，所以 ，
则左起第61个键的音的频率为 ．
故答案为：880．
12．已知等比数列 满足 ．能说明“若 ，则 ”为假命题的数列
的通项公式 （写出一个即可）
【解答】解： ， 时，满足 ，则 ”为假命题，
故 ．
故答案为： ．
四．解答题（共4小题）
13．在递增的等比数列 中， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
【解答】解：（1）根据题意，设等比数列 的公比为 ，
则有 ，
解可得 ， ，
故 ，（2）由（1）可得 ，则 ，
故 ．
14．（1）已知 是等比数列， ， ．求 的通项公式；
（2）已知数列 的前 项和为 ，若 ， 求 ．
【解答】解：（1）设等比数列 的公比为 ，
则 ，
即 ，
故 ，
故数列 的通项公式 ；
（2）当 时，
，
当 时，
，
也满足 ，
故 ．
15．已知等比数列 的各项均为正数，前 项和为 ，若 ，证明：数列
是等比数列．
【解答】证明：设等比数列 的公比为 ，则 ，，
，
， ， ，
，
，
，
数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列．
16．在等比数列 中，
（1）已知 ，求前4项和 ；
（2）已知公比 ，前5项和 ，求 ， ．
【解答】解：（1）设公比为 ，由 ，
的 ，所以 ，
所以 ；
（2）由 ，得 ，
所以 ．
