2025年高考数学一轮专题复习--数列专题十三（含解析）_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_专项复习_2025高考总复习专项复习-数列（含答案）（完结）

人教A版数学--数列专题十三 知识点一 写出等比数列的通项公式,由递推关系证明等比数列,求等比数列前n项和, 分组（并项）法求和 典例1、在数列 中， ，数列 的前 项和为 ． （1）证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式； （2）求 ． 随堂练习：已知数列 各项均为正数，且 （1）求 的通项公式； （2）设 ，求 ．典例2、已知数列 的前n项和分别是 ，若 （1）求 的通项公式； （2）定义 ，记 ，求数列 的前n项和 ． 随堂练习：已知数列 满足 ． （1）求数列 的通项公式； （2）当 时，求数列 的前n项和为 ．典例3、数列 满足 ， ． （1）求 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前20项和 ． 随堂练习：已知数列 满足 ， （1）令 ，求 ， 及 的通项公式； （2）求数列 的前2n项和 .知识点一等差数列通项公式的基本量计算,等比数列通项公式的基本量计算,数列不等式 能成立（有解） 典例4、已知数列 的前n项和为 ，正项等比数列 的首项为 ，且 ． （1）求数列 和 的通项公式； （2）求使不等式 成立的所有正整数n组成的集合． 随堂练习：已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为 ． （1）若 ，求 ； （2）若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的 取值范围．典例5、已知数列 的首项 ，且满足 N*）． （1）求证：数列 为等比数列； （2）若 ＜100，求满足条件的最大正整数n． 随堂练习：已知数列 和 满足 ， ，且 .（1）求数列 和 的通项公式； （2）设数列 的前 项和为 ，求满足 的正整数 的值. 典例6、已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且 ． （1）求数列 的通项公式 和 ； （2）若数列 的通项公式为 ，记数列 的前 项和为 ，若存在 ， 使得对任意 ，总有 成立，求实数 的取值范围．随堂练习：已知 是公差不为0的等差数列， 为其前n项和， ， . （1）数列 的通项公式； （2）试求所有的正整数m，使得 为数列 中的项. 人教A版数学--数列专题十三答案 典例1、答案： （1）证明见解析， （2） 解：（1）因为 ，所以 即数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列 故 ，即 （2） 随堂练习：答案： （1） ； （2）20.解：（1）由 得： ，而 ， 因此 ，即数列 是首项 ， 公差 的等差数列， ， 所以数列 的通项公式是 . （2）由（1）知， ，则有 ， 所以 . 典例2、答案：（1） ， （2） 解：（1）由 ，可得 所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列 所以 ，即 又 ，所以 所以 （2） 满足上式，所以 由 当 时， ；当 时， 所以 ，所以 当 时， 当 时，综上， 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）当 时， ，则 ，令 ，则 ， 又因为 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 所以 ，即 ，从而 ； （2）因为 ， 所以 ． 典例3、答案： （1） （2） 解：（1） ，两式相除得： ， 当 时， ， 当 时， ，综上所述， 的通项公式为： （2）由（1）知： 数列 的前20项和： 随堂练习：答案： （1） ， ， （2） 解：（1）由题意得 ， ， ， ， ， ， ， ， 当 时， ， 又 ，所以 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以 . （2）由（1）知 ，所以 ， 所以 . 典例4、答案： （1） , （2） 解：（1）因为数列 的前n项和为 ， 所以当 时， ； 当 时， ， 满足上式，故 .所以 ，从而 ,化为 ， 又因为数列 为正项等比数列且 ，设公比为 ，且 ， 又 ，解得 或 （舍），从而 . （2）不等式 转化为 ，即 ， 记 ， ， 当 时， ，从而 单调递减，所以 . 因此使不等式 成立的所有正整数 组成的集合为 . 随堂练习：答案： （1） （2） 解：（1）因为 ， 所以 ， 所以 ，又 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， （2）因为 ， ， 成等比数列， 所以 ， ， ， 由已知方程 的判别式大于等于0， 所以 ， 所以 对于任意的 恒成立， 所以 对于任意的 恒成立， 当 时， ， 当 时，由 ，可得 当 时， ， 又 所以典例5、答案： （1）证明见解析 （2） 解：（1） ， ， 又 ， ∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列． （2）由（1）可知， ， ， 若 ，则 ， 令 ，所以 在 上单调递增， 且 ， 所以满足条件的最大正整数 ． 随堂练习：答案： （1） ， ；（2） 或 . 详解:（1）对任意的 ， ，则 ，且 ， 所以，数列 是等比数列，且首项和公比均为 ， 故 ， ， 因为 ， 所以， ； （2）设数列 的前 项和为 ， 则 ， 所以， ， 上式 下式，得 ， 所以， ，， 则 ， 由 可得 ， 整理可得 ，解得 ， 因为 ，故 或 . 典例6、答案： （1） ， （2） 解：（1） 为等差数列，且 ， ，即 ， 又 公差 ， ． ， 所以， ． （2） ， ， ，① ，② ① ②得 ， ， ， ， ，且 ， 时， ， 又 ， 时， ， 存在 ，使得对任意 ，总有 成立． ， ， 实数 的取值范围为 . 随堂练习：答案： （1） ； （2） .解：（1）由题设， ，可得 ， 所以 . （2）由（1）知： ， 若使 为数列 中的项，则 必须为整数且m为正整数， 因此得 或 ， 当 时， ，而 是数列的最小项，故不符合题意，舍去； 当 时， ，符合题意， 所以 .