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人教A版数学--数列专题十三
知识点一 写出等比数列的通项公式,由递推关系证明等比数列,求等比数列前n项和,
分组（并项）法求和
典例1、在数列 中， ，数列 的前 项和为 ．
（1）证明：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）求 ．
随堂练习：已知数列 各项均为正数，且
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求 ．典例2、已知数列 的前n项和分别是 ，若
（1）求 的通项公式；
（2）定义 ，记 ，求数列 的前n项和 ．
随堂练习：已知数列 满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）当 时，求数列 的前n项和为 ．典例3、数列 满足 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前20项和 ．
随堂练习：已知数列 满足 ，
（1）令 ，求 ， 及 的通项公式；
（2）求数列 的前2n项和 .知识点一等差数列通项公式的基本量计算,等比数列通项公式的基本量计算,数列不等式
能成立（有解）
典例4、已知数列 的前n项和为 ，正项等比数列 的首项为 ，且
．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求使不等式 成立的所有正整数n组成的集合．
随堂练习：已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的
取值范围．典例5、已知数列 的首项 ，且满足 N*）．
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）若 ＜100，求满足条件的最大正整数n．
随堂练习：已知数列 和 满足 ， ，且
.（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求满足 的正整数 的值.
典例6、已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式 和 ；
（2）若数列 的通项公式为 ，记数列 的前 项和为 ，若存在 ，
使得对任意 ，总有 成立，求实数 的取值范围．随堂练习：已知 是公差不为0的等差数列， 为其前n项和， ，
.
（1）数列 的通项公式；
（2）试求所有的正整数m，使得 为数列 中的项.
人教A版数学--数列专题十三答案
典例1、答案： （1）证明见解析， （2）
解：（1）因为 ，所以
即数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列
故 ，即
（2）
随堂练习：答案： （1） ； （2）20.解：（1）由 得： ，而 ，
因此 ，即数列 是首项 ，
公差 的等差数列， ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）由（1）知， ，则有 ，
所以 .
典例2、答案：（1） ， （2）
解：（1）由 ，可得
所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列
所以 ，即
又 ，所以
所以
（2） 满足上式，所以
由
当 时， ；当 时，
所以 ，所以
当 时，
当 时，综上，
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）当 时， ，则 ，令 ，则 ，
又因为 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ，从而 ；
（2）因为 ，
所以
．
典例3、答案： （1） （2）
解：（1） ，两式相除得： ，
当 时，
，
当 时，
，综上所述， 的通项公式为：
（2）由（1）知：
数列 的前20项和：
随堂练习：答案： （1） ， ， （2）
解：（1）由题意得 ， ， ， ， ，
， ， ，
当 时， ，
又 ，所以 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以 .
（2）由（1）知 ，所以 ，
所以
.
典例4、答案： （1） , （2）
解：（1）因为数列 的前n项和为 ， 所以当 时， ；
当 时， ，
满足上式，故 .所以 ，从而 ,化为 ，
又因为数列 为正项等比数列且 ，设公比为 ，且 ，
又 ，解得 或 （舍），从而 .
（2）不等式 转化为 ，即 ，
记 ， ，
当 时， ，从而 单调递减，所以 .
因此使不等式 成立的所有正整数 组成的集合为 .
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）因为 ， 所以 ，
所以 ，又 ， 所以 ， 所以 ，
所以 ，
（2）因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，
， ，
由已知方程 的判别式大于等于0，
所以 ，
所以 对于任意的 恒成立，
所以 对于任意的 恒成立，
当 时， ，
当 时，由 ，可得
当 时， ，
又 所以典例5、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1） ， ，
又 ，
∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
（2）由（1）可知， ，
，
若 ，则 ，
令 ，所以 在 上单调递增，
且 ， 所以满足条件的最大正整数
．
随堂练习：答案： （1） ， ；（2） 或 .
详解:（1）对任意的 ， ，则 ，且 ，
所以，数列 是等比数列，且首项和公比均为 ，
故 ， ，
因为 ，
所以， ；
（2）设数列 的前 项和为 ，
则 ，
所以， ，
上式 下式，得 ，
所以， ，，
则 ，
由 可得 ，
整理可得 ，解得 ， 因为 ，故 或 .
典例6、答案： （1） ， （2）
解：（1） 为等差数列，且 ， ，即 ，
又 公差 ， ． ，
所以， ．
（2） ， ，
，①
，②
① ②得
，
， ， ，
，且 ， 时， ，
又 ， 时， ，
存在 ，使得对任意 ，总有 成立．
， ， 实数 的取值范围为 .
随堂练习：答案： （1） ； （2） .解：（1）由题设， ，可得 ，
所以 .
（2）由（1）知： ，
若使 为数列 中的项，则 必须为整数且m为正整数，
因此得 或 ，
当 时， ，而 是数列的最小项，故不符合题意，舍去；
当 时， ，符合题意， 所以 .
