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专练 33 高考大题专练(三) 数列的综合运用
1．[2022·全国甲卷(理)，17]记S 为数列{a}的前n项和．已知＋n＝2a＋1.
n n n
(1)证明：{a}是等差数列；
n
(2)若a，a，a 成等比数列，求S 的最小值．
4 7 9 n
2．[2020·全国卷Ⅲ]设数列{a}满足a＝3，a ＝3a－4n.
n 1 n＋1 n
(1)计算a，a，猜想{a}的通项公式并加以证明；
2 3 n
(2)求数列{2na}的前n项和S.
n n
3.[2021·全国新高考Ⅰ卷]已知数列{a}满足a＝1，a ＝
n 1 n＋1
(1)记b＝a ，写出b，b，并求数列{b}的通项公式；
n 2n 1 2 n
(2)求{a}的前20项和．
n
4．[2022·新高考Ⅰ卷，17]记S 为数列的前n项和，已知a＝1，是公差为的等差数列．
n 1
(1)求的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<2.
5.[2020·全国卷Ⅰ]设{a}是公比不为1的等比数列，a 为a，a 的等差中项．
n 1 2 3
(1)求{a}的公比；
n
(2)若a＝1，求数列{na}的前n项和．
1 n6．[2021·全国乙卷]记S 为数列{a}的前n项和，b 为数列{S}的前n项积，已知＋＝2.
n n n n
(1)证明：数列{b}是等差数列；
n
(2)求{a}的通项公式．
n
7．[2021·全国甲卷]已知数列{a}的各项均为正数，记S 为{a}的前n项和，从下面
n n n
①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{a}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a＝3a.
n 2 1
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
8．[2021·全国乙卷，文]设{a}是首项为1的等比数列，数列{b}满足b ＝.已知a ，
n n n 1
3a，9a 成等差数列．
2 3
(1)求{a}和{b}的通项公式；
n n
(2)记S 和T 分别为{a}和{b}的前n项和．证明：T<.
n n n n n
