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【冲刺985/211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题30 计数原理与概率统计大题综合 （新高考通用）
1．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一
次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”．甲、
乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取
五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A中甲班每一局获
胜的概率为 ，在项目B中甲班每一局获胜的概率为 ，且每一局之间没有影响．
(1)求甲班在项目A中获胜的概率；
(2)设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）记“甲班在项目A中获胜”为事件A，利用独立事件的乘法公式求解即
可；
（2）先算出“甲班在项目B中获胜”的概率，然后利用独立事件的乘法公式得到X的
分布列，即可算出期望
【详解】（1）记“甲班在项目A中获胜”为事件A，
则 ，
所以甲班在项目A中获胜的概率为
（2）记“甲班在项目B中获胜”为事件B，
则 ，
X的可能取值为0，1，2，
则 ，
，．
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
．
所以甲班获胜的项目个数的数学期望为
2．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）某校为了合理配置校本课程资源，教务部门
对学生们进行了问卷调查．据统计，其中 的学生计划只选择校本课程一，另外 的
学生计划既选择校本课程一又选择校本课程二．每位学生若只选择校本课程一，则记
1分；若既选择校本课程一又选择校本课程二，则记2分．假设每位选择校本课程一的
学生是否计划选择校本课程二相互独立，视频率为概率．
(1)从学生中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从学生中随机抽取n人 ，记这n人的合计得分恰为 分的概率为 ，求
．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】(1)根据题意得出不选择校本课程二的概率为 ，选择校本课程二的概率为 ，
X的可能取值为3，4，5，6，分别求出对应的概率，由此能求出X的分布列和期望；
(2) 这n人的合计得分为 分，则其中只有1人计划选择校本课程二，
则 ，设 ，利用错位相
减法即可求解.【详解】（1）由题意知，每位学生计划不选择校本课程二的概率为 ，
选择校本课程二的概率为 ，
则X的可能取值为3，4，5，6，
， ，
， ，
所以X的分布列如下表所示：
X 3 4 5 6
P
所以 ．
（2）因为这n人的合计得分为 分，则其中只有1人计划选择校本课程二，
所以 ，
设 ，
则 ，
由两式相减得 ，
即 ，
所以 .
3．（2023秋·浙江宁波·高三期末）甲、乙两位棋手，与同一台智能机器人进行国际象
棋比赛，相互独立，互不影响，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则
甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得 分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.
设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率0.5.记甲在一轮比赛中的得分记为X，在两轮比赛中的得分为Y.
(1)若甲单独与机器人进行三次比赛，求甲恰有两次赢的概率；
(2)求X的分布列；
(3)求Y的均值.
【答案】(1)0.432
(2)分布列见解析
(3)
【分析】（1）利用独立重复试验求概率公式进行求解；
（2）写出X的可能取值及相应的概率，得到分布列；
（3）在第二问的基础上，写出Y的可能取值及相应的概率，得到分布列，得到均值.
【详解】（1）设甲恰有两次赢的概率为 ，
；
（2）X的可能取值为 ，0，1.
根据记分规则，得 ，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1
P 0.2 0.5 0.3
（3）两轮比赛甲的得分Y的可能取值为 .
由于两轮比赛的结果是独立的，所以
，
，
，
所以Y的分布列为Y 0 1 2
P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
故 .
4．（2023春·浙江·高三开学考试）第二十二届世界足球赛于2022年11月21日在卡塔
尔举行，是历史上首次在中东国家境内举行，也是第二次再亚洲举行的世界杯足球赛，
在此火热氛围中，某商场设计了一款足球游戏：场地上共有大、小2个球门，大门和
小门依次射门，射进大门后才能进行小门射球，两次均进球后可得到一个世界杯吉祥
物“拉伊卜”．已知甲、乙、丙3位顾客射进大门的概率均为 ，射进小门的概率依
次为 ， ， ，假设各次进球与否互不影响．
(1)求这3人中至少有2人射进大门的概率；
(2)记这3人中得到“拉伊卜”的人数为X，求X的分布列及期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为1
【分析】(1)根据二项分布求概率公式计算即可求解；
(2)分别求出甲和乙、丙获得“拉伊卜”的概率，再求出
，列出分布列，结合数学期望的求法即可求
解.
【详解】（1）设三人中射进大门的人数为Y，则 ，
；
（2）甲获得“拉伊卜”的概率 ，
乙、丙获得“拉伊卜”的概率
，，
的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
5．（2023·广东茂名·统考一模）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两
个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋
有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让
他们参加比赛.
(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；
(2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同
时输积 分.现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为 ，乙赢概率为 ，比赛共
进行二轮.
（i）在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列；
（ii）在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值.
【答案】(1)
(2)（i）分布列见解析（ii）分布列见解析，均值为0
【分析】（1）设 “抽到第一袋”， “抽到第二袋”，B＝“随机抽取2张，
恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，由条件概率公式结合全概率公式求解；
（2）（i） 的可能取值为－2，0，2，计算出相应概率，即得分布列；（ii） 的可
能取值为－4，－2，0，2，4，计算出相应概率，即得分布列和均值；
【详解】（1）设 “抽到第一袋”， “抽到第二袋”，
B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”由全概率公式得
（2）（i）设在一轮比赛中得分为 ，则 的可能取值为－2，0，2，则
得分为 的分布列用表格表示
－2 0 2
P
（ii）设在二轮比赛中得分为 ，则 的可能取值为－4，－2，0，2，4，则
得分为 的分布列用表格表示为
－4 －2 0 2 4
P6．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）近日，某芯片研发团队表
示已自主研发成功多维先进封装技术XDFOI，可以实现4nm手机SOC芯片的封装，
这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义．可以
说国产4nm先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所
说的先进技术是买不来的、求不来的，自主研发才是最终的出路．研发团队准备在国
内某著名大学招募人才，准备了3道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报
名参加测试，他们通过每道试题的概率均为 ，且相互独立，若甲选择了全
部3道试题，乙随机选择了其中2道试题，试回答下列问题．（所选的题全部答完后
再判断是否被录用）
(1)求甲和乙各自被录用的概率；
(2)设甲和乙中被录用的人数为 ，请判断是否存在唯一的 值 ，使得 ？
并说明理由．
【答案】(1)甲被录用的概率为 ，乙被录用的概率为
(2)不存在；理由见解析
【分析】(1)分析已知，甲被录用符合二项分布，乙被录用符合组合排列，分别利用对
应求概率公式计算即可.
(2)先分析 的可能取值，然后分别求解对应概率，再利用离散型数学期望的公式表示
出数学期望，然后构造函数，利用求导分析函数单调性，进而判断即可.
【详解】（1）由题意，设甲答对题目的个数为 ，得 ，
则甲被录用的概率为 ，
乙被录用的概率为 ．
（2） 的可能取值为0，1，2，
则 ，，
，
∴
，
，
设 ，
则 ．
∴当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
又 ， ， ，
所以不存在 的值 ，使得 .
7．（2023·湖南·模拟预测）党的二十大胜利召开，某单位组织举办“百年党史”知识
对抗赛，组委会将参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，
组委会随机从百年党史题库抽取 道抢答试题，每位选手抢到每道试题的机会相等 比
赛细则为：选手抢到试题且回答正确得 分，对方选手得 分 选手抢到试题但回答
错误或没有回答得 分，对方选手得 分 道题目抢答完毕后得分多者获胜 已知甲、
乙两名选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为 ，乙回答正确
的概率为 ，两名选手每道试题回答是否正确相互独立．
(1)求乙同学得 分的概率
(2)记 为甲同学的累计得分，求 的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为【分析】（1）根据相互独立事件、互斥事件的判断与概率计算公式综合运算求解即可；
（2）由题意， 可能值为0，50，100，150，200，根据相互独立事件、互斥事件的
判断与概率计算公式分别求出对应取值的概率，即可得到离散型随机变量的分布列，
再由期望定义及公式求其期望值．
【详解】（1）由题意，乙同学得 分的基本事件有 乙抢到两题且一道正确一道错
误 、
甲乙各抢到一题都回答正确 、 甲抢到两题且回答错误 ，
所以乙同学得 分的概率为
（2）由题意，甲同学的累计得分 可能值为0，50，100，150，200，
，
，
，
，
，
分布列如下：
所以期望 ．
8．（2023春·广东·高三统考开学考试）2022年“五一”期间，为推动消费市场复苏，
补贴市民，深圳市各区政府发放各类消费券，其中某区政府发放了市内旅游消费券，
该消费券包含 ， ， ， ， ， 六个旅游项目，甲、乙、丙、丁四人每人计划
从中任选两个不同的项目参加，且他们的选择互不影响．
(1)求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择项目 的概率；
(2)记 为这四个人中选择项目 的人数，求 的分布列及数学期望；(3)如果将甲、乙、丙、丁四个人改为 个人 ，其他要求相同，问：这 个人中
选择项目 的人数最有可能是多少人？
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
(3)答案见解析.
【分析】（1）由题得到每个人选择项目 的概率，即可求解；
（2）根据题意可得到 服从二项分布： ，即可求其分布列和期望；
（3）设选择项目 的人数最有可能为 人，则通过 可得
，然后分 被3除余2， 被3除余1和 能整除3，三种情况进行讨论
【详解】（1）由题意可知，每个人选择项目 的概率为 ，则每个人不选择项
目 的概率为 ，
故甲、乙、丙、丁这4个人中至少有一人选择项目 的概率为
（2）由（1）可知，每个人选择项目 的概率为 ，且每个人是否选择项目 相
互独立，
故 服从二项分布： ，
所以 ，
， ，， ，
，
则 的概率分布列为：
0 1 2 4
的数学期望 ．
（3）设选择项目 的人数最有可能为 人，
则 ，
，
，即 ，
即 ，即 ，
解得 ，
又 ，
所以当 ， 时，则不等式为 ，
则当 或 ，即当 被3除余2时，选择项目 的人数最有可能是 人和
人；当 ， 且 时，则不等式为 ，
则 ，即当 被3除余1时，选择项目 的人数最有可能是 人；
当 ， 且 时，则不等式为 ，
，即当 被3整除时，选择项目 的人数最有可能是 人．
9．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）《夺冠》这部影片讲述的是中国女排从1981
年首夺世界冠军到2016年里约奥运会生死攸关的中巴大战，诠释了几代女排人历经浮
沉却始终不屈不挠、不断拼搏的传奇经历.现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜
局15分.前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局.在第
5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜.在一个回合中，赢的球队获得1分，
输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方.经过统计，甲、乙两支球队在每一
个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为 ；当乙队拥有
发球权时，甲队获胜的概率为 .
(1)假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2
分的概率；
(2)当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第i个回合
拥有发球权的概率为 .假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概
率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小.
【答案】(1)
(2) ，甲队开球的概率大于乙队开球的概率
【分析】（1）在前3个回合中甲队恰好获得2分对应的胜负情况为：胜胜负；胜负胜；
负胜胜共3种情况，求三种情况的概率之和即可.
（2）由 与 的关系式求得 的通项公式，进而得 ，比较 与 即可.
【详解】（1）在前3个回合中甲队恰好获得2分对应的胜负情况为：胜胜负；胜负胜；负胜胜共3种情况，对应的概率分别记为： 、 、 ，
；
；
，
所以甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率 .
（2）由全概率公式可得， ，
即 .
易知 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
故 .
又因为 ，所以 .
而在每一个回合中，甲、乙两队开球的概率之和为1，从而可得在此回合中甲队开球
的概率大于乙队开球的概率.
10．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先
取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽扰子样本里的遗传物质，如果有病毒，
样本检测会呈现阳性，否则为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为
，现有4例疑似病例，分别对其取样､检测，多个样本检测时，既可以逐个
化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化
验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合
样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验.现有以下三种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：四个样本混合在一起化验；
方案三：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验.在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.
(1)若 ，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一､二､三中哪个最“优”？
(2)若对4例疑似病例样本进行化验，且想让“方案二”比“方案一”更“优”，求p
的取值范围.
【答案】(1)方案一最优
(2)
【分析】（1）求得三个方案的检测次数的期望值，由此判断出最优的方案；
（2）记方案二的检测次数为 ，求出对于随机变量的概率，从而求出数学期望，由方
案二检测次数的期望值 ，即可求得 的取值范围.
【详解】（1）方案二：记检测次数为 ，则随机变量 的可能取值为1，5，
所以 ， ，
所以方案二检测次数 的数学期望为 ；
方案三：每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为1次，其概率为 ，
若呈阳性则检测次数为3次，其概率为 ，
设方案三的检测次数为随机变量 ，则 的可能取值为2，4，6，
所以 ， ， ，
所以方案三检测次数Y的期望为 ，
因为 ，
所以方案一最优；
（2）方案二：记检测次数为 ，则随机变量 的可能取值为1，5，
所以 ， ，所以随机变量 的数学期望为 ，
由于“方案二”比“方案一”更“优”，则 ，
可得 ，即 ，解得 ，
所以当 时，方案二比方案一更“优”.
11．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）3月14日为国际数学日，也称为 节，为庆
祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，初赛
采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比
赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（7）班派出甲､乙两个小组参
赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是 ，通过第二轮比赛的概
率分别是 ，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.
(1)若三（7）获得决赛资格的小组个数为X，求X的数学期望；
(2)已知甲､乙两个小组在决赛中相遇.决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得
10分，答错一题扣10分，得分高的获胜：假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的
概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是 ，
假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得10分的情况下甲获胜的
概率.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）先算出甲乙通过两轮制的初赛的概率， 的取值有 分三种情况解
决.
(2)先分别算出甲，乙抢到并答对一题的概率，然后再算出乙已得10分，甲若想获胜的
3种情况，最后由分类加法计数原理求解即可.
【详解】（1）设甲乙通过两轮制的初赛分别为事件 ，则，
由题意可得， 的取值有 ，
.
所以
（2）依题意甲，乙抢到并答对一题的概率为 ，
乙已得10分，甲若想获胜情况有：
①甲得20分：其概率为
②甲得10分，乙再得-10分，其概率为 ；
③甲得0分，乙再得-20分，其概率为 .
故乙先得10分后甲获胜的概率为 .
12．（2023·湖南邵阳·统考二模）为响应习近平总书记“全民健身”的号召，促进学生
德智体美劳全面发展，某校举行校园足球比赛．根据比赛规则，淘汰赛阶段，参赛双
方有时需要通过“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：
①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；
②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则
不需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为 ，则不需要
再踢第5轮）；
③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点
球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，
进球方胜出．
假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1)假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等
可能地选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确，左右两边将球扑出的可能性为 ，中间方向扑出的可能性为 ．若球员射门均在门内，在
一次“点球大战”中，求门将在前4次扑出点球的个数 的分布列和数学期望．
(2)现有甲、乙两队在淘汰赛中相遇，需要通过“点球大战”来决定胜负．设甲队每名
队员射进点球的概率均为 ，乙队每名队员射进点球的概率均为 ，若甲队先踢，求
甲队恰在第4轮取得胜利的概率．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 ；
(2)
【分析】（1）根据二项分布的概率计算公式即可求解
（2）根据前3轮比分为 ， ， ， ， 时，结合相互独立事件的概率乘
法计算公式即可逐一求解.
【详解】（1） （每次扑出点球） ．
的所有可能取值为0，1，2，3，4．∴ ．
．
．
．
．
∴ 的分布列
0 1 2 3 4∴ ．
（2）若甲队恰在第4轮取得胜利，则前3轮结束时比分可能为 ， ， ， ，
．分别记前3轮比分为 ， ， ， ， 且甲队恰在第4轮取得胜利，
事件分别为A，B，C，D，E．
．
．
．
．
．
故 （甲队恰在第4轮取得胜利） ．
∴甲队恰在第4轮取得胜利的概率为 ．
13．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）雅礼中学是三湘名校，学校每
年一届的社团节是雅礼很有特色的学生活动，几十个社团在一个月内先后开展丰富多
彩的社团活动，充分体现了雅礼中学为学生终身发展奠基的育人理念.2022年雅礼文学
社举办了诗词大会，在选拔赛阶段，共设两轮比赛.第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花
令.第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出
诗词的上句，若选手正确回答出下句可得10分，若不能正确回答出下可得0分.
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲､乙､丙､丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个
回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团体有相
同的机会抢答下一问题.记第 次回答的是甲的概率是 ，若 .
①求 和 ；②证明：数列 为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可
能性的大小.
【答案】(1)12
(2)① ；
②证明见解析，第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大
【分析】（1）设该选手答对的题目个数为 ，该选手在第一轮的得分为 ，根据题意
得出 的所有可能取值，然后求出每一个变量对应的概率，列出分布列，进而求解；
（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，进而求解；
②由第 次回答的是甲的概率为 ，得当 时，第 次回答的是甲的概率为 ，
第 次回答的不是甲的概率为 ，得到 ，利用递推公式得到
是以 为首项， 为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式求出则
，进而计算即可求解.
【详解】（1）设该选手答对的题目个数为 ，该选手在第一轮的得分为 ，则 ，
易知 的所有可能取值为 ，
则 ，
，
，
故 的分布列为
0 1 2，则 .
（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，
，则 .
②由第 次回答的是甲的概率为 ，得当 时，第 次回答的是甲的概率为 ，
第 次回答的不是甲的概率为 ，
则 ，即 ，又 ，
是以 为首项， 为公比的等比数列，则
，
第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大..
14．（2023春·江苏扬州·高三统考开学考试）云计算是信息技术发展的集中体现，近
年来，我国云计算市场规模持续增长.从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书
（2022年）》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：
年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
年份代码x 1 2 3 4 5
云计算市场规模y/亿元 692 962 1334 2091 3229
经计算得： =36.33， =112.85.
(1)根据以上数据，建立y关于x的回归方程 （ 为自然对数的底数）.
(2)云计算为企业降低生产成本､提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算
前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差 ，其中m为单件产品的成本（单位：元），且 =0.6827；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差
.若保持单件产品的成本不变，则 将会变成多少？若保持产品
质量不变（即误差的概率分布不变），则单件产品的成本将会下降多少？
附：对于一组数据 其回归直线 的斜率和截距的最
小二乘估计分别为 = ， .
若 ，则 ， ，
【答案】(1)
(2) ，成本下降3元.
【分析】(1)将非线性回归模型转化为线性回归模型求解；
(2)利用真态分布的概率模型求解，并结合特殊概率值求解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
（2）未引入云算力辅助前， ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 .引入云算力辅助后， ，所以 ，
若保持产品成本不变，则 ，
所以
若产品质量不变，则 ，所以 ，
所以单件产品成本可以下降 元.
15．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）糟蛋是新鲜鸭蛋（或鸡蛋）用优质糯米糟制而成，
是中国别具一格的特色传统美食，以浙江平湖糟蛋、陕州糟蛋和四川宜宾糟蛋最为著
名.平湖糟蛋采用优质鸭蛋、上等糯米和酒糟糟渍而成，经过糟渍蛋壳脱落，只有一层
薄膜包住蛋体，其蛋白呈乳白色，蛋黄为橘红色，味道鲜美.糟蛋营养丰富，每百克中
约含蛋白质15.8克、钙24.8克、磷11.1克、铁0.31克，并含有维持人体新陈代谢必须
的18种氨基酸.现有平湖糟蛋的两家生产工厂，产品按质量分为特级品、一级品和二级
品，其中特级品和一级品都是优等品，二级品为合格品.为了比较两家工厂的糟蛋质量，
分别从这两家工厂的产品中各选取了200个糟蛋，产品质量情况统计如下表：
优等品 合格品
合计
一级
特级品 二级品
品
工厂
100 75 25 200
甲
工厂
120 30 50 200
乙
合计 220 105 75 400
(1)从400个糟蛋中任取一个，记事件 表示取到的糟蛋是优等品，事件 表示取到的
糟蛋来自于工厂甲.求 ；(2)依据小概率值 的独立性检验，从优等品与合格品的角度能否据此判断两家
工厂生产的糟蛋质量有差异？
附：参考公式： ，其中 .
独立性检验临界值表：
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)
(2)认为两家工厂生产的糟蛋质量有差异
【分析】（1）根据条件概率的知识求得 .
（2）先绘制 列联表，然后计算 的值，从而作出判断.
【详解】（1） .
（2） 列联表：
优等
合格品 合计
品
工厂甲 175 25 200
工厂乙 150 50 200
合计 325 75 400
零假设为 ：两家工厂生产的糟蛋质量没有差异.
，
依据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为两家工厂生产的糟
蛋质量有差异.16．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）新能源汽车作为战略性新兴产业，代表汽车
产业的发展方向，发展新能源汽车，对改善能源消费结构、减少空气污染、推动汽车
产业和交通运输行业转型升级具有积极意义，经过十多年的精心培育，我国新能源汽
车产业取得了显著成绩，产销量连续四年全球第一，保有量居全球首位．
(1)已知某公司生产的新能源汽车电池的使用寿命 （单位：万公里）服从正态分布
，问：该公司每月生产的2万块电池中，大约有多少块电池的使用寿命可以
超过68万公里？
参考数据：若随机变量 ，则 ，
， ．
(2)下表给出了我国2017~2021年新能源汽车保有量y（单位：万辆）的数据．
年份 2017 2018 2019 2020 2021
年份代码x 1 2 3 4 5
新能源汽车保有量y 153 260 381 492 784
经计算，变量 的样本相关系数 ，变量 与 的样本相关系数 ．
①试判断 与 哪一个更适合作为 与 之间的回归方程模型？
②根据①的判断结果，求出 关于 的回归方程（精确到0.1），并预测2023年我国新
能源汽车保有量．
参考数据：令 （ ），计算得 ， ，
， ．
参考公式：在回归方程 中， ， ．
【答案】(1)450块
(2)① 更适合作为y与x之间的回归方程模型；② .
【分析】（1）根据正态分布计算概率；（2）相关系数绝对值越大相关性越强，根据给出公式，代入数据计算可得回归方程.
【详解】（1）因为新能源汽车电池的使用寿命 ，
所以 ，
所以 块．
答：每月生产的 万块电池中，使用寿命超过 万公里的大约有 块；
（2）①因为 ，所以 更适合作为y与x之间的回归方程模型．
②因为 ，
，
，
所以 ．
当 时， 万辆．
答： 年我国新能源汽车保有量约为 万辆．
17．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，
某企业特举办了一次“反诈”知识竞赛，规定：满分为100分，60分及以上为合格.该
企业从甲､乙两个车间中各抽取了100位职工的竞赛成绩作为样本.对甲车间100位职工
的成绩进行统计后，得到了如图所示的成绩频率分布直方图.
(1)估算甲车间职工此次“反诈”知识竞赛的合格率；
(2)若将频率视为概率，以样本估计总体.从甲车间职工中，采用有放回的随机抽样方法
抽取3次，每次抽1人，每次抽取的结果相互独立，记被抽取的3人次中成绩合格的
人数为 .求随机变量 的分布列；(3)若乙车间参加此次知识竞赛的合格率为 ，请根据所给数据，完成下面的 列
联表，并根据列联表判断是否有 的把握认为此次职工“反计”知识竞赛的成绩与
其所在车间有关?
2×2列联表
乙车
甲车间 合计
间
合格人数
不合格人数
合计
附参考公式：① ，其中 .
②独立性检验临界值表
【答案】(1)
(2)分布列见解析
(3)表格见解析，有
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，可得答案；
（2）根据二项分布的分布列的解题步骤，可得答案；
（3）由题意，补全列联表，利用独立性检验的解题步骤，可得答案.
【详解】（1）根据频率分布直方图可求得甲车间此次参加“反诈”知识竞赛的合格率
，即 .
（2）由题意可知 ，由于每次抽取的结果是相互独立的，故 ，
所以 ，故随机变量 的分布列为
0 1 2 3
（3）根据题中统计数据可填写 列联表如下，
乙车
甲车间 合计
间
合格人数 80 60 140
不合格人数 20 40 60
合计 100 100 200
所以有 的把握认为“此次职工‘反计’知识竞赛的成绩与职工所在车间有关系”.
18．（2023秋·浙江·高三期末）第二十二届世界杯足球赛，即2022年卡塔尔世界杯
（FIFA World Cup Qatar．2022）足球赛，于当地时间11月20日19时（北京时间11月
21日0时）至12月18日在卡塔尔境内5座城市中的8座球场举行，赛程28天，共有
32支参赛球队，64场比赛．它是首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚
洲举行的世界杯足球赛．除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、首次
由从未进过世界杯决赛圈的国家举办的世界杯足球赛．某高校为增进师生对世界杯足
球赛的了解，组织了一次知识竞赛，在收回的所有竞赛试卷中，抽取了100份试卷进
行调查，根据这100份试卷的成绩（满分100分），得到如下频数分布表：
成绩（分）
频数 2 5 15 40 30 8
(1)求这100份试卷成绩的平均数；
(2)假设此次知识竞赛成绩X服从正态分布 ．其中， 近似为样本平均数，
近似为样本方差 ．已知s的近似值为5.5，以样本估计总体，假设有 的学生
的知识竞赛成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？(3)知识竞赛中有一类多项选择题，每道题的四个选项中有两个或三个选项正确，全部
选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分．小明同学在做多项选择题时，
选择一个选项的概率为 ，选择两个选项的概率为 ，选择三个选项的概率为 ．已
知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，
只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为 ，求 的分布
列及数学期望．
参考数据：若 ，则： ；
； ．
【答案】(1) ；
(2)71；
(3)分布列见解析，1.2.
【分析】（1）根据平均数的运算公式进行计算即可；
（2）根据正态分布的对称性进行求解即可；
（3）根据概率的乘法和加法公式，结合数学期望公式进行求解即可.
【详解】（1）依题意，设这100份试卷成绩的平均数为 ，
则 （分）；
（2）由 ，
又 ，
所以该校预期的平均成绩大约是 （分）；
（3）设事件 表示“小明选择了i个选项” ，事件B表示“选择的选项是正
确的”．由题知， 可取5，2，0．
因为 ，
，，
所以随机变量 的分布列为：
5 2 0
P
于是， ．
19．（2022秋·浙江绍兴·高三统考期末）为深入学习党的二十大精神，某学校团委组
织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷
进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如下.
(1)用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值
为代表）.
(2)可以认为这次竞赛成绩 近似地服从正态分布 （用样本平均数 和标准差
分别作为 ， 的近似值），已知样本标准差 ，如有 的学生的竞赛成绩
高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少（结果取整数）？
(3)从 的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测
份试卷（抽测的份数是随机的），若已知抽测的 份试卷都不低于90分，求
抽测2份的概率.
参考数据：若 ，则
.
【答案】(1)80.5
(2)72分(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图，结合平均数的公式，即可求解；
（2）首先确定 ，再根据参考公式，即可求解；
（3）根据全概率公式，和条件概率，列式求解.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，
平均分 ；
（2）由（1）可知， ,
设学校期望的平均分约为 ，则 ，
因为 ， ，
所以 ，即 ，
所以学校的平均分约为72分；
（3）由频率分布直方图可知，分数在 和 的频率分别为 和 ，
那么按照分层抽样，抽取10人，其中分数在 ，应抽取 人，
分数在 应抽取 人，
记事件 ：抽测 份试卷 ，事件 取出的试卷都不低于90分，
则 , ，
，
则 .
20．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）中国共产党第二十次全国代表大会报告
指出：坚持精准治污、科学治污、依法治污，持续深入打好蓝天、碧水、净土保卫战，
加强污染物协同控制，基本消除重污染天气、每年的《中国生态环境状态公报》都会
公布全国339个地级及以上城市空气质量检测报告，以下是2017-2021五年339个城市空气质量平均优良天数占比统计表．
年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
1 2 3 4 5
年份代码
78 79.3 82 87 87.5
百分比
并计算得： ， ．
(1)求2017年—2021年年份代码与339个城市空气质量平均优良天数的百分比的样本相
关系数（精确到0.01）；
(2)请用相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求
出y关于x的回归直线方程（精确到0.01）和预测2022年（ ）的空气质量优良天
数的百分比；
(3)试判断用所求回归方程是否可预测2026年（ ）的空气质量优良天数的百分比，
并说明理由．
（回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ，
）
附：相关系数 ， ， ．
【答案】(1)0.97；
(2) ; ．
(3)答案见解析.
【分析】（1）由表中数据结合题中数据，求出相关数值，代入相关系数
，即可得出答案；（2）由（1）知， 接近1，即可说明线性相关关系极强.根据（1）中求出的数
据，即可求出 ， ，进而得到回归直线方程.代入 ，即可预测2022
年的空气质量优良天数的百分比；
（3）将 代入（2）中的回归直线方程，可得 ，显然不合常理，
可根据回归直线的意义及其局限性说明.
【详解】（1）由已知可得， ，
.
所以，
.
又 ，
所以 .
又 ，
所以， ．
（2）由（1）知， 与 的相关系数 接近1，所以 与 之间具有极强的线性
相关关系，可用线性回归模型进行拟合．
因为 ， ，
故回归直线方程为 .
当 时， ，
故2022年的空气质量优良天数的百分比为 ．（3）由（2）知，当 时， ，显然不合常理.
其原因如下：
根据该组数据的相关系 ，是可以推断2017年—2021年间 与 两个变量正线
性相关，且相关程度很强，由此来估计2022年的空气质量优良天数的百分比有一定的
依据.但由于经验回归方程的时效性，随着国家对生态环境的治理，空气质量优良天数
的百分比增加幅度会变缓，且都会小于1，故用该回归直线方程去预测今后几年的空
气优良天数会误差较大，甚至出现不合情理的数据．
21．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）为了检测某种抗病毒疫苗的免
疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段
时间后测量小白鼠的某项指标值，按 分组，绘
制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项
指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．
指标值
小于 不小
抗体 合计
60 于60
有抗
体
没有
抗体
合计
(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及 的独立性检验，判断能否认为注
射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．（单位：只）
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体．
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；
（ii）以（i）中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种
试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示，
当X =99时，P（X）取最大值，求参加人体接种试验的人数n．
参考公式： （其中 为样本容量）
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
【答案】(1)表格见解析，可以认为
(2)（i） ；（ii）109或110．
【分析】(1)根据独立性检验的方法求解即可；
(2)根据二项分布的概率公式列出不等式即可求解.
【详解】（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：
在 内有 （只）；
在 内有 （只）；
在 内有 （只）；
在 内有 （只），
在 内有 （只）．
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；
而指标值小于60的小白鼠共有 只，
所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，
同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，
故列联表如下：单位：只
指标值
抗体 合计
小于 不小
60 于60
有抗
50 110 160
体没有
20 20 40
抗体
合计 70 130 200
零假设为 :注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联．
根据列联表中数据，得 ，
根据 的独立性检验，推断 不成立，
即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，
此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）（i）令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，
事件B=“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体’’，
事件C=“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”，
记事件A，B，C发生的概率分别为 ，
则 ， ，
，
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率 ，
（ii）由题意，知随机变量 ，
，
因为 最大，
所以 ，
解得
是整数，所以 或 ，
接受接种试验的人数为109或110．
22．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）为了促进健康保险的发展，规范健康保险
的经营行为，保护健康保险活动当事人的合法权益，提升人民群众健康保障水平，我国制定了《健康保险管理办法》．为了解某一地区中年居民（年龄在 岁）购买
健康保险的情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到健康保险购买量 （单位：
万单）关于 （年份）的线性回归方程为 ，且购买量 的方差为
，年份x的方差为 ．
(1)求 与x的相关系数 ，并据此判断健康保险购买量 与年份 的相关性强弱；
(2)该机构还调查了该地区 位居民的性别与是否购买健康保险的情况，得到的数据如
下表：
性
没有购买健康保险 购买健康保险 总计
别
男
性
女
性
总
计
依据小概率值 的独立性检验，能否认为购买健康保险与居民性别有关；
(3)在上述购买健康保险的居民中按照性别进行分层抽样抽取 人，再从这 人中随机抽
取 人，记这 人中，男性的人数为 ，求 的分布列和数学期望．
参考公式：（ⅰ）线性回归方程： ，其中 ， ；
（ⅱ）相关系数： ，若 ，则可判断 与 线性相关
较强．
（ⅲ） ，其中 ．
附表：【答案】(1) ， 与 线性相关性较强
(2)能，理由见解析
(3)分布列答案见解析，
【分析】（1）根据相关系数公式可计算出 的值，即可判断出 与 线性相关性的强
弱；
（2）计算出 的观测值，并比较 的观测值与 的大小，即可得出结论；
（3）分析可知随机变量 的可能取值有 、 、 ，计算出随机变量 在不同取值下
的概率，可得出随机变量 的分布列，进一步可求得 的值.
【详解】（1）相关系数为
，
故 与 线性相关性较强.
（2）零假设为 购买健康保险与居民性别相互独立，即购买健康保险与居民性别无
关，所以， ，
所以，依据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为购买健康保险与居民性别有关，此推断错误概率不大于 .
（3）购买健康保险的居民男、女之比为 ，所以 人中男性居民选取 人，女性
居民选取 人，
所以，随机变量 的可能取值有 、 、 ，
， ， ，
故随机变量 的分布列为：
.
23．（2023·广东·高三校联考阶段练习）为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次
国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生参加知识竞赛，
(1)两个年级各派50名学生参加国防知识初赛，成绩均在区间 上，现将成绩制
成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点），估计学生
的成绩的平均分（若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：①决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，
分数持平，则并列为冠军；②如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另
一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答
对题目数量比为 ，则不需再答第4轮了；③设高一年级的学生代表甲答对比赛题
目的概率是 ，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是 ，每轮答题比赛中，
答对与否互不影响，各轮结果也互不影响
（i）在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记 为
答对题目的数量，求 的分布列及数学期望
（ii）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率
【答案】(1)学生的成绩的平均分的估计值为73.8分
(2)（i）分布列见解析， （ii） .
【分析】（1）利用频率之和为1列出方程，求出a=0.018，进而利用中间值求出平均
分的估计值；
（2）（i）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，根据二项分布求概率，写出分布列
进而求期望即可；（ii）将在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的事件
分拆成乙答对0道与1道两个事件，再利用互斥事件的概率公式计算而得.
【详解】（1）解：由频率分布直方图可知：
可得
∴平均分的估计值为
∴学生的成绩的平均分的估计值为73.8分
（2）（i）由题可得 ， 的可能取值为0，1，2，3
∴∴ 的分布列为
0 1 2 3
∴
（ii）将“在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出”记为事件 ，
“在第4轮结束时，学生代表乙答对0道题”记为事件 ，
“在第4轮结束时，学生代表乙答对1道题”记为事件
∴ ，
，
∴ .
∴在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率为 .
24．（2023·湖南·模拟预测）2020年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫
攻坚取得决定性胜利．某脱贫县实现脱贫奔小康的目标，该县经济委员会积极探索区
域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效
益和经济效益的双丰收．
(1)该县经济委员会为精准了解本地特产广告宣传的导向作用，在购买该县特产的客户
中随机抽取300人进行广告宣传作用的调研，对因广告宣传导向而购买该县特产的客
户统计结果是：客户群体中青年人约占 ，其中男性为 ；中年人约占 ，其
中男性为 ；老年人约占 ，其中男性为 ．以样本估计总体，视频率为概率．
（ⅰ）在所有购买该县特产的客户中随机抽取一名客户，求抽取的客户是男性的概率；（ⅱ）在所有购买该县特产的客户中随机抽取一名客户是男客户，求他是中年人的概
率（精确到0.0001）
(2)该县经济委员会统计了2021年6～12月这7个月的月广告投入x（单位：万元）；y
（单位：万件）的数据如表所示：
月广告投入x/万元 1 2 3 4 5 6 7
月销量y/万件 28 32 35 45 49 52 60
已知可用线性回归模拟拟合y与x的关系，得到y关于x的经验回归方程为
，请根据相关系数r说明相关关系的强弱．（若 ，则认为两个变
量有很强的线性相关性，r值精确到0.001）
参考数据： ， ， ．
参考公式：相关系数 ．
【答案】(1)（ⅰ）0.3975；（ⅱ）0.4403；
(2)两个变量有很强的线性相关性.
【分析】（1）根据全概率公式即可得出（ⅰ）的答案，进而根据条件概率公式可得出
（ⅱ）的答案；
（2）由已知可求得 ， ， ，然后代入公式即可求出相关系
数 的值，进而得出两个变量线性相关性的强弱.
【详解】（1）（ⅰ）分别设抽取的客户为青年人、中年人、老年人为 、 、 ，
抽到男性为事件 .
由已知可得， ， ， ， ，
， ，
由已知可得，抽取的客户是男性的概率为.
（ⅱ）由（ⅰ）可得， .
（2）由已知可得， ， ，
，
所以，
.
所以，两个变量有很强的线性相关性.
25．（2022秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）某市为了传承发展中华优秀传
统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在
内的学生获三等奖，得分在 内的学生获二等奖，得分在 内的学
生获得一等奖，其他学生不得奖，为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100
名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．
(1)现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的
概率；
(2)若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布 ，其中 ， 为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（i）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数
（结果四舍五入到整数）；
（ii）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机取3名学生进行访谈，设其
中竞赛成绩在64分以上的学生数为 ，求随机变量 的分布列和期望．
附参考数据，若随机变量X服从正态分布 ，则 ，
， ．
【答案】(1) ；
(2)（i）1587；（ii）分布列见解析，数学期望为 .
【分析】（1）根据样本频率分布直方图确定获奖人数，再求得从该样本中随机抽取的
两名学生的竞赛成绩基本事件总数，与“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”情况
数，利用古典概型计算概率即可；
（2）由样本频率分布直方图得，求解样本平均数的估计值，即可得正泰分布的均值，
按照正态分布的性质求解参赛学生中成绩超过79分的学生数；由样本估计总体可知随
机变量 服从二项分布 ，根据二项分布确定概率分布列与数学期望即可.
【详解】（1）由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有6人，获二等奖的有8
人，获三等奖的有16人，共有30人获奖，70人没有获奖．
从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为 ，
设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件A，则事件A包含的基本事件的个
数为 ，
因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以 ，
即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为 ．（2）由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值
，
则所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布 ．
（ⅰ）因为 ，所以 ．
故参赛学生中成绩超过79分的学生数为 ．
（ⅱ）由 ，得 ，
即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为 ．
所以随机变量 服从二项分布 ，
所以 ， ，
， ．
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
P
均值 ．
26．（2023·湖北·统考模拟预测）某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和
复试，初试通过后参加复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试
成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；(2)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布 ，其中 为样本平均数的估计
值， ，试估计初试成绩不低于88分的人数；
(3)复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得
10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复
试，他在复试中第一题答对的概率为 ，后两题答对的概率均为 ，且每道题回答正
确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及均值．
附：若随机变量X服从正态分布 ，则： ，
， ．
【答案】(1)
(2) 人
(3)分布列见解析，均值为
【分析】(1)根据频率分布直方图的平均数的估算公式即可求解；
(2)由 可知 即可求解；
(3)根据题意确定Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，利用独立性可求得分布列，
进而求得均值.
【详解】（1）样本平均数的估计值为
．
（2）因为学生初试成绩X服从正态分布 ，其中 ， ，
则 ，
所以 ，
所以估计初试成绩不低于88分的人数为 人．
（3）Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，
则 ，，
，
，
，
，
故Y的分布列为：
Y 0 5 10 15 20 25
P
所以数学期望为 ．
27．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）长沙某中学发现越来越多的学生就餐时间不
去食堂，而是去面包房或校园商店 考虑到学生的饮食健康及身体营养问题，校领导要
求教育处就学生对食堂的菜品及服务质量等问题进行满意程度调查.教育处从三个年级
中随机选取了 人进行了问卷调查，并将这 人根据其满意度得分分成以下 组：
， ， ， ，统计结果如图所示．
(1)由直方图可认为学生满意度得分 单位：分 近似地服从正态分布 ，其中
近似为样本平均数 ， 近似为样本的标准差 ，并已求得 若该学校有名学生，试估计该校学生中满意度得分位于区间 内的人数 每组数据
以区间的中点值为代表
(2)为吸引学生就餐时间去食堂，教育处协同后勤处举行为期一周的活动，每天每位学
生可去食堂，领取一盒早餐奶券 价值 元 或参加抽奖活动 只能二选一 ，其中抽奖
活动规则如下：每人最多有 轮抽奖，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为 ，每一轮
抽奖，若中奖，可获用餐券一张 价值 元，用餐时抵扣 若未中奖，则抽奖活动结束.
李同学参与了此次活动．
①若李同学选择抽奖，求他获得 元用餐券的概率；
②李同学选择哪种活动更合算 请说明理由．
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
．
【答案】(1)
(2)① ；②李同学选领取早餐奶券更合算，理由见解析
【分析】（1）根据正态分布的概率求得 内的概率，即可求得答案；
（2）①确定李同学获得6元用餐券的抽奖中奖情况，根据独立事件的概率公式可得答
案；
②确定李同学参加抽奖活动获得用餐券金额的可能情况，求出每种情况对应的概率，
计算其期望，进行比较可得答案.
【详解】（1）由题意知样本平均数为
，
所以 ，
又 ，
故该校得分位于区间 内的人数约为 .（2）①由题意可得李同学连续三次都抽中奖，第四次不中奖，李同学会获得 元用餐
券，
故他获得 元用餐券的概率为 ；
②设李同学参加抽奖活动获得用餐券金额为 ， 的可能取值为 ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
， ，
所以 的分布列为
所以 ，
所以李同学选领取早餐奶券更合算．
28．（2023·江苏南通·统考模拟预测）随着科技的发展，手机的功能已经非常强大，各
类APP让用户的生活质量得到极大的提升，但是大量的青少年却沉迷于手机游戏，极
大地毒害了青少年的身心健康.为了引导青少年抵制不良游戏，适度参与益脑游戏，某
游戏公司开发了一款益脑游戏APP，在内测时收集了玩家对每一关的平均过关时间，
如下表：
关卡x 1 2 3 4 5 6
平均过关时间y（单位：秒） 50 78 124 121 137 352
(1)通过散点图分析，可用模型 拟合y与x的关系，试求y与x的经验回归方程；
(2)甲和乙约定举行对战赛，每局比赛通关用时少的人获胜（假设甲､乙都能通关），两
人约定先胜4局者赢得比赛.已知甲每局获胜的概率为 ，乙每局获胜的概率为 ，若
前3局中甲已胜2局，乙胜1局，求甲最终赢得比赛的概率.
参考公式：对于一组数据（xi，yi）（i=1，2，3，…，n），其经验回归直线ŷ=x+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 .
参考数据： ，其中 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先对 两边取对数，将其转化为线性回归方程，再利用最小二乘
法及参考数据即可得解；
（2）利用独立事件概率的乘法公式，结合接下去的对局情况求解即可.
【详解】（1）令 ，由 ，即 ，
， ，
，
，
.
（2）记“甲最终赢得比赛”为事件 ，
则事件 包含三种情况：
一是接下去进行两局比赛，甲都赢了；
二是接下去进行三局比赛，乙在前两局胜了其中一局，甲赢了剩余两局；
三是接下去进行四局比赛，乙在前三局胜了其中两局，甲赢了剩余两局；
故 ，
所以甲最终赢得比赛的概率为 .
29．（2023·浙江·模拟预测）2022年卡塔尔世界杯决赛圈共有32队参加，其中欧洲球队有13支，分别是德国、丹麦、法国、西班牙、英格兰、克罗地亚、比利时、荷兰、
塞尔维亚、瑞士、葡萄牙、波兰、威尔士．世界杯决赛圈赛程分为小组赛和淘汰赛，
当进入淘汰赛阶段时，比赛必须要分出胜负．淘汰赛规则如下：在比赛常规时间90分
钟内分出胜负，比赛结束，若比分相同，则进入30分钟的加时赛．在加时赛分出胜负，
比赛结束，若加时赛比分依然相同，就要通过点球大战来分出最后的胜负．点球大战
分为2个阶段．第一阶段：前5轮双方各派5名球员，依次踢点球，以5轮的总进球数
作为标准（非必要无需踢满5轮），前5轮合计踢进点球数更多的球队获得比赛的胜
利．第二阶段：如果前5轮还是平局，进入“突然死亡”阶段，双方依次轮流踢点球，
如果在该阶段一轮里，双方都进球或者双方都不进球，则继续下一轮，直到某一轮里，
一方罚进点球，另一方没罚进，比赛结束，罚进点球的一方获得最终的胜利．
下表是2022年卡塔尔世界杯淘汰赛阶段的比赛结果：
淘汰赛 比赛结果 淘汰赛 比赛结果
荷兰 美国 克罗地亚 巴西
阿根廷 澳大利亚 荷兰 阿根廷
1/4决赛
法国 波兰 摩洛哥 葡萄牙
英格兰 塞内加尔 英格兰 法国
1/8决赛
日本 克罗地亚 阿根廷 克罗地亚
半决赛
巴西 韩国 法国 摩洛哥
摩洛哥 西班牙 季军赛 克罗地亚 摩洛哥
葡萄牙 瑞士 决赛 阿根廷 法国
注：“阿根廷 法国”表示阿根廷与法国在常规比赛及加时赛的比分为 ，
在点球大战中阿根廷 战胜法国．
(1)请根据上表估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率．
(2)根据题意填写下面的 列联表，并通过计算判断是否能在犯错的概率不超过0.01
的前提下认为“32支决赛圈球队闯人8强”与是否为欧洲球队有关．
欧洲球
其他球队 合计
队
闯入8强未闯入8强
合计
(3)若甲、乙两队在淘汰赛相遇，经过120分钟比赛未分出胜负，双方进入点球大战．
已知甲队球员每轮踢进点球的概率为p，乙队球员每轮踢进点球的概率为 ，求在点球
大战中，两队前2轮比分为 的条件下，甲队在第一阶段获得比赛胜利的概率（用p
表示）．
参考公式：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)
(2)分布列见解析，不能
(3)
【分析】(1)根据古典概型概率公式求解；
(2)由条件数据填写列联表，提出零假设，计算 ，比较其与临界值的大小，确定是否
接受假设；
(3)根据实际比赛进程，根据独立重复试验概率公式，独立事件概率公式和互斥事件概
率公式求概率.
【详解】（1）由题意知卡塔尔世界杯淘汰赛共有16场比赛，其中有5场比赛通过点
球大战决出胜负，
所以估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率 ；
（2）下面为 列联表：
欧洲球
其他球队 合计
队进入8强 5 3 8
未进入8强 8 16 24
合计 13 19 32
零假设 支决赛圈球队闯入8强与是否为欧洲球队无关．
．
根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，
即不能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“决赛圈球队闯入8强”与是否为欧洲
球队有关．
（3）根据实际比赛进程，假定点球大战中由甲队先踢．两队前2轮比分为 的条件
下，甲在第一阶段获得比赛胜利，则后3轮有5种可能的比分， ．
当后3轮比分为 时，甲乙两队均需踢满5轮， ．
当后3轮比分为 时，有如下3种情况：
3 4 5 3 4 5 3 4 5
甲 √ √ 甲 √ × √ 甲 × √ √
乙 × × 乙 × × 乙 × ×
则 ．
当后3轮比分为 时，有如下6种情况：
3 4 5 3 4 5 3 4 5
甲 √ √ × 甲 √ √ × 甲 √ × √
乙 √ × × 乙 × √ × 乙 √ × ×
3 4 5 3 4 5 3 4 5
甲 √ × √ 甲 × √ √ 甲 × √ √乙 × √ × 乙 √ × × 乙 × √ ×
则 ．
当后3轮比分为 时，有如下2种情况：
3 4 5 3 4 5
甲 √ √ √ 甲 √ √ √
乙 √ × 乙 × √
则
当后3轮比分为 时，有如下1种情况：
3 4 5
甲 √ √ √
乙 √ √ ×
则 ．
综上，在点球大战中两队前2轮比分为 的条件下，甲在第一阶段获得比赛胜利的
概率
.
【点睛】方法点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求
事件包含的基本事件数．
（1）基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不
遗漏，可借助“树状图”列举；
（2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
30．（2023·福建莆田·统考二模）互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高
的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月
24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比
例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量 ，样本平均数 ，样本
方差 ；乙镇的样本容量 ，样本平均数 ，样本方差 ．
(1)求由两镇样本组成的总样本的平均数 及其方差 ；
(2)为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草
除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛
规则：
每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2
分的代表队获胜，比赛结束．
当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为 ，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表
队获胜的概率为 ．假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X，求
．
参考数据：
．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用平均数的计算公式求得 ，再利用方差的计算公式进行转化求解即
可得解；
（2）先根据题意得到 的所有可能取值，再利用独立事件的概率公式分别求得 各
个取值的概率，从而利用数学期望的计算公式即可得解.
【详解】（1）根据题意，得 ，
因为
，同理 ，
所以
，
所以总样本的平均数为 ，方差 .
（2）依题意可知， 的所有可能取值为 ，
设“第 场比赛在甲镇举行，甲镇代表队获胜”为事件 ，“第 场比赛在乙镇举行，
甲镇代表队获胜”为事件 ，
则 ，
所以 ，
，
，
所以 .
