北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
专题检测练
一、单项选择题
1.(2024届河北沧州校考,5)如图,函数y=f(x)的图象在点P(2,y)处的切线是l,则f(2)+f '(2)=
( )
A.-3 B.-2 C.2 D.1
答案 D
lnx
2.(2024届福建厦门一中月考,4)函数f(x)=ax+ +1在x=1处取得极值0,则a+b= (
b
)
1
A.0 B. C.1 D.2
2
答案 A
3.(2023江苏常州联盟学校学情调研,7)已知直线2ax-2y-a=0与曲线y=ln(2x-1)相切,则实
数a为 ( )
2 √e √e
A. B. C.2eD.
e 2e 2
答案 A
1
4.(2023江苏苏州实验中学月考,6)已知f(x)=- x2+6x-8ln x在[m,m+1]上不单调,则实数m
2
的取值范围是 ( )
A.(1,2) B.(3,4)
C.(1,2]∪[3,4) D.(1,2)∪(3,4)
答案 D
5.(2024届广东广州统考阶段练,8)设a=0.1,b=sin 0.1,c=1.1ln 1.1,则a,b,c的大小关系正确
的是 ( )
A.b<c<a B.b<a<c
C.a<b<c D.a<c<b
答案 B北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
6.(2023福建福州一中阶段练,8)给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f '(x)存在,且导函数f
'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f ″(x)=(f '(x))',若f ″(x)<0在D上恒成
( π)
立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在 0, 上不是凸函数的是 ( )
2
A. f(x)=sin x+cos x B. f(x)=ln x-2x
C. f(x)=-x3+2x-1 D. f(x)=-xe-x
答案 D
7.(2024届浙江宁海中学月考,7)已知函数f(x)=ax-xln x与函数g(x)=ex-1的图象上恰有两对
关于x轴对称的点,则实数a的取值范围为 ( )
( 1−e]
A.(-∞,1-e] B. −∞,
2
( 1−e)
C.(-∞,1-e) D. −∞,
2
答案 C
二、多项选择题
8.(2024届湖南长沙雅礼中学阶段练,9)设函数f(x)在R上存在导函数f '(x),对于任意的实
1 5 1
数x,都有f(-x)=f(x),当x≤0时, f '(x)<0, f '(x)+ x<0,且f(-1)=1,若f(m)≤ − m2,则实数m的
2 4 4
可能取值为 ( )
1
A.-1 B.-
3
C.1 D.2
答案 ABC
1
9.(2024届浙江平湖高中联考,10)已知函数f(x)= x3-ax2-x(a∈R),则 ( )
3
2
A.当a=0时,函数f(x)的极小值为
3
B.若函数f(x)图象的对称中心为(1, f(1)),则a=1
C.若函数f(x)在R上单调递增,则a≥1或a≤-1
D.函数f(x)必有3个零点
答案 BD
三、填空题北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
10.(2024届湖北安陆一高月考,13)已知函数f(x)=4x+ax2,若曲线y=f(x)过点P(1,1)的切线有
两条,则实数a的取值范围为 .
答案 (-∞,-3)∪(0,+∞)
11.(2024届湖北武汉六中阶段练,15)已知e是自然对数的底数.若∀x∈(0,+∞),memx≥ln x成
立,则实数m的最小值是 .
1
答案
e
1+sinx [ π]
12.(2023湖北武汉武昌三模,14)已知函数f(x)= ,x∈ 0, ,则函数f(x)的最小
2cosx+sinx 2
值为 .
1
答案
2
四、解答题
13.(2024届山东济宁邹城一中月考,17)已知函数f(x)=x3-ax2-3x(a∈R).
(1)若x=3为y=f(x)的一个极值点,求f(x)在[1,4]上的最小值和最大值;
(2)若f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.
解析 (1)f(x)的定义域为R, f '(x)=3x2-2ax-3, 因为x=3为y=f(x)的一个极值点,
所以f '(3)=0,即27-6a-3=0,解得a=4,故f '(x)=3x2-8x-3,
令f '(x)=0,即3x2-8x-3=(3x+1)(x-3)=0,
1
解得x= 或x=3,
3
f '(x), f(x)在[1,4]上的变化情况如表:
x 1 (1,3) 3 (3,4) 4
f '(x) - 0 +
f(x) -6 ↘ 极小值-18 ↗ -12
故f(x)在[1,4]上的最小值是f(3)=-18,最大值是f(1)=-6.
3( 1) 3( 1)
(2)由题意知f '(x)=3x2-2ax-3≥0在区间[1,+∞)上恒成立,故a≤ x− ,设g(x)= x−
2 x 2 x
,x≥1,
3( 1)
当x≥1时,g(x)= x− 是增函数,其最小值为g(1)=0,故a≤0,
2 x
即实数a的取值范围为(-∞,0].
1
14.(2023浙江镇海中学、河北衡水中学、山东历城二中等9校联考)已知函数f(x)=x-
x
+aln x.北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
(1)当a=-2时,求f(x)的单调区间;
(2)记曲线y=f(x)在P(x , f(x )),Q(x , f(x ))两点处的切线斜率分别为k ,k ,直线PQ的斜率为
1 1 2 2 1 2
k ,其中x ,x ∈(0,1].求证:当a≥-1时,有k +k >2k .
3 1 2 1 2 3
1
解析 (1)当a=-2时, f(x)=x- -2ln x,x∈(0,+∞),
x
1 2 (1 ) 2
f '(x)=1+ − = −1 ≥0,所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.
x2 x x
1 1 a
(2)证明:因为f(x)=x- +aln x,所以f '(x)=1+ + ,
x x2 x
1 a 1 a
所以k +k =f '(x )+f '(x )= + + + +2,
1 2 1 2 x2 x x2 x
1 1 2 2
1 1
x − +aln x −x + −aln x
k =f(x )−f(x ) 2 x 2 1 x 1
3 2 1 = 2 1
x −x x −x
2 1 2 1
1 ln x −ln x
=1+ +a· 2 1 ,
x x x −x
1 2 2 1
要证k +k >2k ,
1 2 3
1 a 1 a 2 ln x −ln x
只需证
+ + + > +2a· 2 1
,
x2 x x2 x x x x −x
1 1 2 2 1 2 2 1
1 1 2 ( 1 1 ln x −ln x )
即证 + − +a + −2· 2 1 >0,
x2 x2 x x x x x −x
1 2 1 2 1 2 2 1
不妨设x -x >0,两边同乘x -x ,
2 1 2 1
x x 3 3 ( x x x )
则只需证 2− 1+ − +a 2− 1−2ln 2 >0,
x2 x2 x x x x x
1 2 2 1 1 2 1
1 (x x2 3x ) ( x x x )
即证 2− 1+ 1−3 +a 2− 1−2ln 2 >0,
x x x2 x x x x
1 1 2 2 1 2 1
x
2
设 =t(t>1),
x
1
1 ( 1 3 ) ( 1 )
则只需证 t− + −3 +a t− −2lnt >0①,
x t2 t t
1
1
由(1)可知f(x)=x- -2ln x在(0,+∞)上单调递增,
x
1
则当x∈(1,+∞)时, f(x)>f(1)=0,所以t- -2ln t>0,
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1 3
设g(t)=t- + -3,t>1,
t2 t
2 3 t3−3t+2 (t−1) 2 (t+2)
则g'(t)=1+ − = = >0,
t3 t2 t3 t3
所以g(t)在(1,+∞)上单调递增,所以g(t)>g(1)=0,
又因为0<x <1,a≥-1,所以要证①式,
1
1 3 1 4 1
只需证t- + −3−t+ +2ln t=2ln t+ − -3>0,
t2 t t t t2
4 1
设h(t)=2ln t+ − -3,t>1,
t t2
2 4 2 2( 1) 2
则h'(t)= − + = 1− >0,
t t2 t3 t t
所以h(t)在(1,+∞)上单调递增.所以h(t)>h(1)=0,得证.
