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专题一 集合与常用逻辑用语
1.1 集合
基础篇
考点 一 集合及其关系 的元素 ｘ ｙ 有
( ꎬ ) (１ꎬ７)ꎬ(２ꎬ６)ꎬ(３ꎬ５)ꎬ(４ꎬ
共 个 故 Ａ Ｂ 中元素的个数为 故
考向一 集合元素个数问题 ４)ꎬ ４ ꎬ ∩ ４ꎬ
选 .
１.( 届福建漳州质检ꎬ )已知集合 Ａ Ｃ
２０２３ １ ＝{４ꎬ
５.( 山东聊城二模ꎬ )已知集合 Ａ
Ｂ 全集 Ｕ Ａ Ｂ 则集合 ２０２２ １ ＝{０ꎬ１ꎬ
５ꎬ６ꎬ７}ꎬ ＝{６ꎬ７ꎬ８}ꎬ ＝ ∪ ꎬ
Ｂ ａｂ ａ Ａ ｂ Ａ 则集合 Ｂ 中元素的
Ａ Ｂ 中的元素个数为 ２}ꎬ ＝{ ｜ ∈ ꎬ ∈ }ꎬ
∁Ｕ( ∩ ) ( )
个数为
( )
Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.４
答案 Ｃ 集合 Ａ Ｂ Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５
∵ ＝{４ꎬ５ꎬ６ꎬ７}ꎬ ＝{６ꎬ７ꎬ
答案 Ｃ 因为 Ａ ａ Ａ ｂ Ａ 所
全集 Ｕ Ａ Ｂ Ａ Ｂ ＝{０ꎬ１ꎬ２}ꎬ ∈ ꎬ ∈ ꎬ
８}ꎬ∴ ＝ ∪ ＝{４ꎬ５ꎬ６ꎬ７ꎬ８}ꎬ ∩ ＝
以 ａｂ 或 ａｂ 或 ａｂ 或 ａｂ 故 Ｂ
Ａ Ｂ 集合 Ａ ＝０ ＝１ ＝２ ＝４ꎬ ＝
{６ꎬ７}ꎬ∴ ∁Ｕ( ∩ )＝ {４ꎬ５ꎬ８}ꎬ∴ ∁Ｕ(
ａｂ ａ Ａ ｂ Ａ 即集合 Ｂ 中
Ｂ 中的元素个数为 .故选 { ｜ ∈ ꎬ ∈ } ＝{０ꎬ１ꎬ２ꎬ４}ꎬ
∩ ) ３ Ｃ.
有 个元素.故选 .
２.( 课标 ꎬ ꎬ 分)已知集合 Ａ ｘ ｙ ４ Ｃ
２０１７ Ⅲ １ ５ ＝{( ꎬ )｜
６.( 广东深圳光明二模ꎬ )已知集合 Ａ
ｘ２ ｙ２ Ｂ ｘ ｙ ｙ ｘ 则 Ａ Ｂ 中元 ２０２２ １ ＝
＋ ＝１}ꎬ ＝{( ꎬ ) ｜ ＝ }ꎬ ∩
ｘ Ｎ ｘ ｋ 若集合 Ａ 中至少有 个
素的个数为
( )
{ ∈ ｜１< <ｌｏｇ２ }ꎬ ２
元素 则
ꎬ ( )
Ａ.３ Ｂ.２ Ｃ.１ Ｄ.０
ｋ ｋ ｋ ｋ
答案 Ｂ 集合 Ａ 表示单位圆上的所有的
Ａ. ≥１６ Ｂ. >１６ Ｃ. ≥８ Ｄ. >８
答案 Ｄ 因为集合 Ａ 中至少有 个元素
点 集合 Ｂ 表示直线 ｙ ｘ 上的所有的点.Ａ
２ ꎬ
ꎬ ＝ ∩
所以 ｋ 解得 ｋ 故选 .
Ｂ 表示直线与圆的公共点 显然 直线 ｙ ｘ
ꎬ ꎬ ＝
ｌｏｇ２ >３ꎬ >８ꎬ Ｄ
经过圆 ｘ２ ｙ２ 的圆心 故共有两个 考向二 集合子集个数问题
＋ ＝１ (０ꎬ０)ꎬ
公共点 即 Ａ Ｂ 中元素的个数为 . １.( 届沈阳四中月考ꎬ )已知集合 Ａ
ꎬ ∩ ２ ２０２３ １ ＝
３.( 课标 文ꎬ ꎬ 分)已知集合 Ａ ｘ Ｎ ｘ ｋ 共有 个子集 则实数 ｋ
２０２０ Ⅲ １ ５ ＝{１ꎬ２ꎬ { ∈ ｜－１< <ｌｎ } ８ ꎬ
Ｂ ｘ ｘ 则Ａ Ｂ 中元素 的取值范围为
３ꎬ５ꎬ７ꎬ１１}ꎬ ＝{ ｜３< <１５}ꎬ ∩ ( )
的个数为 ３
( ) Ａ.(０ꎬ３] Ｂ.(ｅꎬｅ ]
２ ３ ３ ４
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５ Ｃ.(ｅ ꎬｅ ] Ｄ.(ｅ ꎬｅ ]
答案 Ｂ Ａ Ｂ ｘ 答案 Ｃ 因为集合 Ａ 有 个子集 所以集
∵ ＝{１ꎬ２ꎬ３ꎬ５ꎬ７ꎬ１１}ꎬ ＝{ ｜３< ８ ꎬ
ｘ Ａ Ｂ Ａ Ｂ 中元素 合 Ａ 有 个元素 即 Ａ 所以
<１５}ꎬ∴ ∩ ＝{５ꎬ７ꎬ１１}ꎬ∴ ∩ ３ ꎬ ＝{０ꎬ１ꎬ２}ꎬ ２<ｌｎ
的个数为 故选 . ｋ 即 ２ ｋ ３ 则 ２ ｋ ３.所以 专
３ꎬ Ｂ ≤３ꎬ ｌｎ ｅ <ｌｎ ≤ｌｎ ｅ ꎬ ｅ < ≤ｅ 题
一
４.( 课标 理ꎬ ꎬ 分)已知集合 Ａ ｘ ｋ 的取值范围是 ２ ３ .故选
２０２０ Ⅲ １ ５ ＝{( ꎬ (ｅ ꎬｅ ] Ｃ.
集
ｙ ｘ ｙ Ｎ∗ ｙ ｘ Ｂ ｘ ｙ ｘ ｙ ２.( 江苏苏州期初调研ꎬ )已知 Ｍ Ｎ 为 Ｒ 合
)｜ ꎬ ∈ ꎬ ≥ }ꎬ ＝{( ꎬ ) ｜ ＋ ＝８}ꎬ ２０２２ １ 、 与
则 Ａ Ｂ 中元素的个数为 的子集 若Ｍ Ｎ Ｎ 则满足题 常
∩ ( ) ꎬ ∩∁Ｒ ＝⌀ꎬ ＝{１ꎬ２}ꎬ 用
逻
意的 Ｍ 的个数为
辑
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.６ ( )
用
答案 Ｃ 满足 ｘ ｙ Ｎ∗ ｙ ｘ 且 ｘ ｙ 语
ꎬ ∈ ꎬ ≥ ꎬ ＋ ＝８ Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.４
１
答案 Ｄ 因为 Ｍ Ｎ 所以 Ｍ Ｎ 因 ｘ Ｒ Ｂ ｘ ｘ ｘ Ｎ 则满足
∩∁Ｒ ＝⌀ꎬ ⊆ ꎬ ２＝０ꎬ ∈ }ꎬ ＝{ ｜０< <５ꎬ ∈ }ꎬ
为 Ｎ 所以 Ｍ 或 Ｍ 或 Ｍ 条件 Ａ Ｃ Ｂ 的集合 Ｃ 的个数为
＝{１ꎬ２}ꎬ ＝{１} ＝{２} ＝ ⊆ ⊆ ( )
或 Ｍ 故满足题意的 Ｍ 的个数为
⌀ ＝{１ꎬ２}ꎬ Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.４
故选 . 答案 Ｄ 由题意可得 Ａ Ｂ
４ꎬ Ｄ ＝{１ꎬ２}ꎬ ＝{１ꎬ２ꎬ
３.( 重庆实验外国语学校入学考ꎬ )已知 Ａ Ｃ Ｂ 满足条件的集合 Ｃ 有
２０２２ １ ３ꎬ４}ꎬ∵ ⊆ ⊆ ꎬ∴
集合 Ａ ｘ Ｚ ｘ２ ｘ 集合 Ｂ 共
＝ { ∈ ｜ －４ －５<０}ꎬ ＝ {１ꎬ２}ꎬ{１ꎬ２ꎬ３}ꎬ{１ꎬ２ꎬ４}ꎬ{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４}ꎬ ４
ｘ ｘ 则 Ａ Ｂ 的子集个数为 个 故选
{ ｜ ｜ ｜<２}ꎬ ∩ ( ) ꎬ Ｄ.
３.( 湖北华中师大一附中模拟ꎬ )若集合
Ａ.４ Ｂ.５ Ｃ.７ Ｄ.１５ ２０２２ ３
答案 Ａ 集合 Ａ ｘ Ｚ ｘ２ ｘ ｘ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ 则
＝{ ∈ ｜ －４ －５<０}＝{ ∪ ＝ ∩ ꎬ ( )
Ｚ ｘ Ｂ ｘ ｘ Ａ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ
∈ ｜－１< <５} ＝{０ꎬ１ꎬ２ꎬ３ꎬ４}ꎬ ＝{ ｜ ｜ ｜< Ａ. ⊆ ⊆ Ｂ. ⊆ ⊆
ｘ ｘ 则 Ａ Ｂ 其子集 Ｃ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｃ
２}＝{ ｜－２< <２}ꎬ ∩ ＝{０ꎬ１}ꎬ Ｃ. ⊆ ⊆ Ｄ. ⊆ ⊆
个数为 故选 . 答案 Ａ 由于 Ａ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ 所以 Ａ
４ꎬ Ａ ⊆ ∪ ＝ ∩ ⊆ ꎬ
４.( 江苏扬州二中检测ꎬ )已知集合 Ａ Ｂ 同理知 Ｂ Ｃ 故 Ａ Ｂ Ｃ 故选 .
２０２１ ２ ＝ ⊆ ꎬ ⊆ ꎬ ⊆ ⊆ ꎬ Ａ
ｘ ｘ２ ｘ ｘ Ｒ 则满足 Ａ Ｂ ４.( 山东潍坊三模ꎬ )已知集合Ａ Ｂ 若Ａ
{ ｜ ＋ ＝０ꎬ ∈ }ꎬ ∪ ＝{０ꎬ－１ꎬ ２０２２ １ ꎬ ꎬ ＝
的集合 Ｂ 的个数是 Ａ Ｂ 则一定有
１} ( ) {－１ꎬ１}ꎬ ∪ ＝{－１ꎬ０ꎬ１}ꎬ ( )
Ａ Ｂ Ｂ Ａ
Ａ.４ Ｂ.３ Ｃ.２ Ｄ.１ Ａ. ⊆ Ｂ. ⊆
答案 Ａ 由题意得 Ａ 又 Ａ Ｂ
Ａ Ｂ Ｂ
＝{０ꎬ－１}ꎬ ∵ ∪ Ｃ. ∩ ＝⌀ Ｄ.０∈
集合Ｂ 中至少有一个元素 答案 Ｄ 对于 当集合 Ｂ 时 Ａ
＝{０ꎬ－１ꎬ１}ꎬ∴ １ꎬ ＡꎬＢꎬ ＝{０} ꎬ ⊈
因此 Ｂ 共
Ｂ Ｂ Ａ 错误
＝{１}ꎬ{０ꎬ１}ꎬ{－１ꎬ１}ꎬ{０ꎬ－１ꎬ１}ꎬ
ꎬ ⊈ ꎬＡꎬＢ ꎻ
有 种情况 故选 .
对于 当集合 Ｂ 时 Ａ Ｂ
４ ꎬ Ａ
Ｃꎬ ＝{０ꎬ１} ꎬ ∩ ＝{１}≠
５.( 石家庄二中模拟ꎬ )已知集合 Ａ 错误
２０２２ １ ＝ ⌀ꎬ ꎻ
ｘ ｙ ｙ ｘ２ Ｂ ｘ ｙ ｙ ｘ 则 Ａ Ｂ 对于 因为 Ａ Ｂ
{( ꎬ )｜ ＝ }ꎬ ＝{( ꎬ )｜ ＝ }ꎬ ∩ Ｄꎬ ∪ ＝{－１ꎬ０ꎬ１}ꎬ０∈{－１ꎬ０ꎬ
的真子集个数为 且 Ａ 所以 Ｂ 正确.故选
( ) １}ꎬ ０∉ ꎬ ０∈ ꎬ Ｄ.
Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.４
考点 二 集合的基本运算
{ｙ ｘ２ {ｘ {ｘ
答案 Ｃ 由 ＝ ꎬ得 ＝０ꎬ或 ＝１ꎬ Ａ
ｙ ｘ ｙ ｙ ∴ ∩ 考向一 求集合的交集、并集
＝ ＝０ ＝１ꎬ
１.( 届贵州遵义新高考协作体入学质量监
Ｂ 即 Ａ Ｂ 有 个元素
２０２３
＝{(０ꎬ０)ꎬ(１ꎬ１)}ꎬ ∩ ２ ꎬ
Ａ Ｂ 的真子集个数为 ２ .故选 测ꎬ )若集合 Ａ ｘ ｘ Ｂ ｘ
∴ ∩ ２ －１＝３ Ｃ. １ ＝{ ｜ｌｏｇ２( －２)<０}ꎬ ＝{ ｜
考向三 集合间基本关系的判定 ｘ２ ｘ 则 Ａ Ｂ
－３ ≤０}ꎬ ∪ ＝ ( )
5
１.( 江苏南通模拟检测ꎬ )设集合 Ａ ｘ
年 ２０２２ ２ ＝{ ｜ Ａ.(２ꎬ３] Ｂ.(－∞ꎬ３]
高
考 ｘ２ ｘ Ｂ ｘ ｘ 则
Ｃ.(２ꎬ３) Ｄ.[０ꎬ３]
3 －３ ＋２<０}ꎬ ＝{ ｜１< <３}ꎬ ( )
年 Ａ Ｂ Ａ Ｂ 答案 Ｄ 因为 Ａ ｘ ｘ ｘ
模 Ａ. ＝ Ｂ. ⊇ ＝{ ｜ｌｏｇ２( －２)<０}＝{ ｜０
拟
Ａ Ｂ Ａ Ｂ ｘ ｘ ｘ Ｂ ｘ ｘ２
A Ｃ. ⊆ Ｄ. ∩ ＝⌀ < －２<１} ＝{ ｜２< <３} ＝(２ꎬ３)ꎬ ＝{ ｜ －
版 答案 Ｃ 集合 Ａ ｘ ｘ２ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ 所以 Ａ Ｂ
∵ ＝{ ｜ －３ ＋２<０}＝{ ｜ ３ ≤０}＝{ ｜０≤ ≤３}＝[０ꎬ３]ꎬ ∪ ＝
高 ｘ Ｂ ｘ ｘ Ａ Ｂ.故选 .故选
考 １< <２}ꎬ ＝{ ｜１< <３}ꎬ∴ ⊆ Ｃ. [０ꎬ３] Ｄ.
数
学 ２.( 武汉模拟ꎬ )已知集合 Ａ ｘ ｘ２ ｘ ２.( 届福建龙岩一中月考ꎬ )已知集合
２０２２ ２ ＝{ ｜ －３ ＋ ２０２３ １
２
{ ｘ } ６.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)设集合Ａ ｘ ｘ
Ａ ｘ ｙ ｘ２ Ｂ ｘ －２ 则Ａ Ｂ ２０２１ Ⅰ １ ５ ＝{ ｜－２<
＝{ ｜ ＝ ２－ }ꎬ ＝ ｘ ≤０ ꎬ ∩ ＝
＋１ Ｂ 则 Ａ Ｂ
<４}ꎬ ＝{２ꎬ３ꎬ４ꎬ５}ꎬ ∩ ＝ ( )
( )
Ａ.{２} Ｂ.{２ꎬ３}
Ａ.(－１ꎬ ２] Ｂ.[－１ꎬ ２] Ｃ.{３ꎬ４} Ｄ.{２ꎬ３ꎬ４}
答案 Ｂ 在数轴上表示出集合 Ａ 如图 由
Ｃ.[－１ꎬ２] Ｄ.[－ ２ꎬ２] ꎬ ꎬ
图知 Ａ Ｂ .
答案 Ａ 因为 Ａ ｘ ｘ２ ｘ ∩ ＝{２ꎬ３}
＝{ ｜２－ ≥０} ＝{ ｜－ ２
ｘ Ｂ ｘ ｘ ｘ 且 ｘ
≤ ≤ ２}ꎬ ＝{ ｜( －２)( ＋１)≤０ ＋１≠
ｘ ｘ 所以 Ａ Ｂ .故 ７.( 浙江ꎬ ꎬ 分)设集合 Ａ Ｂ
０}＝{ ｜－１< ≤２}ꎬ ∩ ＝(－１ꎬ ２] ２０２２ １ ４ ＝{１ꎬ２}ꎬ ＝
选 则 Ａ Ｂ
Ａ. {２ꎬ４ꎬ６}ꎬ ∪ ＝ ( )
３.( 届山西长治质量检测ꎬ )已知集合
２０２３ ２ Ａ.{２} Ｂ.{１ꎬ２}
Ａ ｘ ｘ２ ｘ Ｒ Ｂ ｘ ｘ ｘ Ｃ.{２ꎬ４ꎬ６} Ｄ.{１ꎬ２ꎬ４ꎬ６}
＝{ ｜ ≤９ꎬ ∈ }ꎬ ＝{ ｜ －１≤２ꎬ ∈
答案 Ｄ 由题意得 Ａ Ｂ .故
Ｚ 则 Ａ Ｂ ∪ ＝{１ꎬ２ꎬ４ꎬ６}
}ꎬ ∩ ＝ ( )
选 .
Ｄ
Ａ.(１ꎬ３) Ｂ.[１ꎬ３]
８.( 新高考 ꎬ ꎬ 分) 已知集合 Ａ
２０２２ Ⅱ １ ５ ＝
Ｃ.(１ꎬ３] Ｄ.{１ꎬ２ꎬ３}
Ｂ ｘ ｘ 则 Ａ Ｂ
答案 Ｄ 因为 Ａ ｘ ｘ２ ｘ Ｒ ｘ {－１ꎬ１ꎬ２ꎬ４}ꎬ ＝{ ｜ ｜ －１｜≤１}ꎬ ∩ ＝
＝{ ｜ ≤９ꎬ ∈ } ＝{ ｜－
ｘ ｘ Ｒ Ｂ ｘ ｘ ｘ Ｚ ( )
３≤ ≤３ꎬ ∈ }ꎬ ＝{ ｜ －１≤２ꎬ ∈ } ＝
ｘ ｘ ｘ Ｚ 所以 Ａ Ａ.{－１ꎬ２} Ｂ.{１ꎬ２}
{ ｜１≤ ≤５ꎬ ∈ } ＝{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５}ꎬ
Ｂ 故选 Ｃ.{１ꎬ４} Ｄ.{－１ꎬ４}
∩ ＝{１ꎬ２ꎬ３}ꎬ Ｄ. 答案 Ｂ 由 ｘ 得 ｘ 则Ｂ ｘ
｜ －１｜≤１ ０≤ ≤２ꎬ ＝{
４.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)若集合 Ｍ ｘ ｘ
２０２２ Ⅰ １ ５ ＝{ ｜ < ｘ
｜０≤ ≤２}ꎬ
Ｎ ｘ ｘ 则 Ｍ Ｎ
４}ꎬ ＝{ ｜３ ≥１}ꎬ ∩ ＝ ( ) Ａ Ｂ 故选 .
∴ ∩ ＝{１ꎬ２}ꎬ Ｂ
{ }
ｘ ｘ ｘ １ ｘ ９.( 全国甲文ꎬ ꎬ 分)设集合 Ｍ
Ａ.{ ｜０≤ <２} Ｂ. ≤ <２ ２０２１ １ ５ ＝{１ꎬ３ꎬ
３ Ｎ ｘ ｘ 则 Ｍ Ｎ
{ } ５ꎬ７ꎬ９}ꎬ ＝{ ｜２ >７}ꎬ ∩ ＝ ( )
ｘ ｘ ｘ １ ｘ
Ｃ.{ ｜３≤ <１６} Ｄ. ≤ <１６ Ａ.{７ꎬ９} Ｂ.{５ꎬ７ꎬ９}
３
答案 Ｄ 由题意知 Ｍ ｘ ｘ Ｎ Ｃ.{３ꎬ５ꎬ７ꎬ９} Ｄ.{１ꎬ３ꎬ５ꎬ７ꎬ９}
＝{ ｜０≤ <１６}ꎬ ＝ { }
{ } { } 答案 Ｂ Ｎ ｘ ｘ ｘ ｘ ７ Ｍ
ｘ ｘ １ 所以 Ｍ Ｎ ｘ １ ｘ 故 ＝{ ｜２ >７} ＝ > ꎬ ＝
≥ ꎬ ∩ ＝ ≤ <１６ ꎬ ２
３ ３
选 . {１ꎬ３ꎬ５ꎬ７ꎬ９}ꎬ
Ｄ
故 Ｍ Ｎ 故选 .
５.( 全国甲文ꎬ ꎬ 分)设集合 Ａ ∩ ＝{５ꎬ７ꎬ９}ꎬ Ｂ
２０２２ １ ５ ＝{－２ꎬ １０.( 全国甲理ꎬ ꎬ 分)设集合 Ｍ ｘ
{ } ２０２１ １ ５ ＝{ ｜０<
Ｂ ｘ ｘ ５ 则 Ａ Ｂ { }
－１ꎬ０ꎬ１ꎬ２}ꎬ ＝ ０≤ < ꎬ ∩ ＝ ｘ Ｎ ｘ １ ｘ 则 Ｍ Ｎ
２ <４}ꎬ ＝ ≤ ≤５ ꎬ ∩ ＝( )
３ 专
( ) { } { } 题
ｘ ｘ １ ｘ １ ｘ 一
Ａ.{０ꎬ１ꎬ２} Ｂ.{－２ꎬ－１ꎬ０} Ａ. ０< ≤ Ｂ. ≤ <４
３ ３ 集
合
ｘ ｘ ｘ ｘ
Ｃ.{０ꎬ１} Ｄ.{１ꎬ２} 与
Ｃ.{ ｜４≤ <５} Ｄ.{ ｜０< ≤５}
答案 Ａ 集合 Ａ 中的元素只有 属于 常
０ꎬ１ꎬ２ ì ï ｘ 用
ï０< <４ꎬ
逻
集合 Ｂ 答案 Ｂ 由í 得１ ｘ 故选 . 辑
ꎬ ï１ ｘ ≤ <４ꎬ Ｂ 用
所以 Ａ Ｂ .故选 . î ï ≤ ≤５ ３ 语
∩ ＝{０ꎬ１ꎬ２} Ａ ３
３
１１.( 山东临沂二模ꎬ )设集合 Ａ ｘ 解法二 因为 Ｂ 所以 Ｂ 所以 Ａ
２０２２ ２ ＝{ ｜－２ : ３∈ ꎬ ３∉∁Ｕ ꎬ ３∉(
ｘ Ｂ ｙ ｙ ｘ ｘ Ａ 则Ａ Ｂ Ｂ 故排除 因为 Ａ 所以 Ａ
≤ ≤１}ꎬ ＝{ ｜ ＝２ ꎬ ∈ }ꎬ ∩ ＝ ∩∁Ｕ )ꎬ Ａ、Ｄꎻ ５∉ ꎬ ５∉(
Ｂ 故排除 故选 .
( ) ∩∁Ｕ )ꎬ Ｃꎬ Ｂ
é ù ４.( 全国乙文ꎬ ꎬ 分)已知全集 Ｕ
ê １ ú ２０２１ １ ５ ＝{１ꎬ２ꎬ
ê ú
Ａ.⌀ Ｂ.ë ꎬ１û 集合 Ｍ Ｎ 则
４ ３ꎬ４ꎬ５}ꎬ ＝ {１ꎬ２}ꎬ ＝ {３ꎬ４}ꎬ
Ｍ Ｎ
Ｃ.[－２ꎬ０) Ｄ.(０ꎬ＋∞) ∁Ｕ( ∪ )＝ ( )
答案 Ｂ 因为 Ａ ｘ ｘ 且 Ｂ ｙ
＝{ ｜－２≤ ≤１}ꎬ ＝{ Ａ.{５} Ｂ.{１ꎬ２}
ｙ ｘ ｘ Ａ 指数函数 ｙ ｘ 在区间
｜ ＝２ ꎬ ∈ }ꎬ ＝２ [－２ꎬ Ｃ.{３ꎬ４} Ｄ.{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４}
é ù 答案 Ａ 由题意得 Ｍ Ｎ 则
１] 上单调递增 ꎬ 所以Ｂ ＝ ë ê ê １ ꎬ２û ú ú ꎬ 所以Ａ ∩ Ｂ ＝ ∪ ＝{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４}ꎬ
４ Ｍ Ｎ 故选 .
∁Ｕ( ∪ )＝ {５}ꎬ Ａ
é ù
ê １ ú 故选 ５.( 福建宁化一中月考ꎬ )设集合 Ａ ｘ
ë ê ꎬ１û ú ꎬ Ｂ. ２０２２ １ ＝{ ｜
４ ｘ２ ｘ Ｂ ｘ ｘ Ｕ Ｒ 则
考向二 集合的交、并、补混合运算
－３ －４≤０}ꎬ ＝{ ｜ ｌｏｇ２ >１}ꎬ ＝ ꎬ
Ａ Ｂ
(∁Ｕ )∪ ＝ ( )
１.( 届浙南名校联盟联考一ꎬ )设全集 Ｕ
２０２３ ５ ｘ ｘ ｘ ｘ 或 ｘ
Ａ.{ ｜ >４} Ｂ.{ ｜ >２ <－１}
＝
Ｒ
ꎬ
集合 Ａ
＝{
ｘ
｜
ｘ２
－２
ｘ
－８<０}ꎬ
Ｂ
＝{２ꎬ３ꎬ４ꎬ ｘ ｘ 或 ｘ ｘ ｘ
Ｃ.{ ｜ >４ <－１} Ｄ.{ ｜ <－１}
则 Ａ Ｂ
５}ꎬ (∁Ｕ )∩ ＝ ( ) 答案 Ｂ Ａ ｘ ｘ２ ｘ ｘ
∵ ＝{ ｜ －３ －４≤０}＝{ ｜－１≤
ｘ Ｂ ｘ ｘ ｘ ｘ Ａ
Ａ.{２} Ｂ.{２ꎬ３} ≤４}ꎬ ＝{ ｜ｌｏｇ２ >１} ＝{ ｜ >２}ꎬ∴ ∁Ｕ ＝
ｘ ｘ 或 ｘ Ａ Ｂ ｘ ｘ 或
Ｃ.{４ꎬ５} Ｄ.{３ꎬ４ꎬ５} { ｜ <－１ >４}ꎬ∴ (∁Ｕ )∪ ＝{ ｜ >２
答案 Ｃ 由题意得 Ａ 所以 Ａ
＝(－２ꎬ４)ꎬ ∁Ｕ ＝ ｘ .故选 .
<－１} Ｂ
又 Ｂ 所
(－∞ꎬ－２]∪[４ꎬ＋∞)ꎬ ＝{２ꎬ３ꎬ４ꎬ５}ꎬ ６.( 天津理ꎬ ꎬ 分)设集合Ａ Ｂ
２０１７ １ ５ ＝{１ꎬ２ꎬ６}ꎬ
以 Ａ Ｂ .故选
(∁Ｕ )∩ ＝{４ꎬ５} Ｃ. Ｃ ｘ Ｒ ｘ 则 Ａ Ｂ
＝{２ꎬ４}ꎬ ＝{ ∈ ｜－１≤ ≤５}ꎬ ( ∪ )
２.( 全国甲理ꎬ ꎬ 分)设全集 Ｕ
２０２２ ３ ５ ＝{－２ꎬ Ｃ
∩ ＝ ( )
集合 Ａ Ｂ ｘ
－１ꎬ０ꎬ１ꎬ２ꎬ３}ꎬ ＝ {－１ꎬ２}ꎬ ＝ { ｜
Ａ.{２}
ｘ２ ｘ 则 Ａ Ｂ
－４ ＋３＝０}ꎬ ∁Ｕ( ∪ )＝ ( )
Ｂ.{１ꎬ２ꎬ４}
Ａ.{１ꎬ３} Ｂ.{０ꎬ３} Ｃ.{１ꎬ２ꎬ４ꎬ６}
ｘ Ｒ ｘ
Ｃ.{－２ꎬ１} Ｄ.{－２ꎬ０} Ｄ.{ ∈ ｜－１≤ ≤５}
答案 Ｄ 因为 Ｂ ｘ ｘ２ ｘ 答案 Ｂ 因为 Ａ Ｂ 所
＝{ ｜ －４ ＋３＝０} ＝{１ꎬ ＝{１ꎬ２ꎬ６}ꎬ ＝{２ꎬ４}ꎬ
所以 Ａ Ｂ 所以 Ａ Ｂ 以 Ａ Ｂ 又 Ｃ
３}ꎬ ∪ ＝{－１ꎬ１ꎬ２ꎬ３}ꎬ ∁Ｕ( ∪ ) ∪ ＝ { １ꎬ ２ꎬ ４ꎬ ６ }ꎬ ＝
故选 . ｘ Ｒ ｘ 所以 Ａ Ｂ Ｃ
＝ {－２ꎬ０}ꎬ Ｄ { ∈ ｜－１≤ ≤５}ꎬ ( ∪ )∩ ＝{１ꎬ２ꎬ
３.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)若全集 Ｕ .故选 .
２０２１ Ⅱ ２ ５ ＝{１ꎬ２ꎬ３ꎬ ４} Ｂ
5
年 集合 Ａ Ｂ 则 Ａ ７.( 重庆二模ꎬ )已知集合 Ａ ｘ ｘ
高 ４ꎬ５ꎬ６}ꎬ ＝{１ꎬ３ꎬ６}ꎬ ＝{２ꎬ３ꎬ４}ꎬ ２０２１ １ ＝{ ｜－２< ≤
考 Ｂ Ｂ ｘ ｘ 则下列结论正确的是
3 ∩∁Ｕ ＝ ( ) ２}ꎬ ＝{ ｜－１< ≤１}ꎬ
年
模 Ａ.{３} Ｂ.{１ꎬ６} ( )
拟
Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ
A Ｃ.{５ꎬ６} Ｄ.{１ꎬ３} Ａ. ∩ ＝ Ｂ. ⊆(∁Ｒ )
版 答案 Ｂ 解法一 因为集合 Ｕ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ｒ
: ＝{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ Ｃ. ∩(∁Ｒ )＝ ⌀ Ｄ. ∪(∁Ｒ )＝
高 Ｂ 所以 Ｂ 又 Ａ 答案 Ｄ 由题意得 Ａ Ｂ ｘ ｘ
考 ５ꎬ６}ꎬ ＝{２ꎬ３ꎬ４}ꎬ ∁Ｕ ＝{１ꎬ５ꎬ６}ꎬ ∩ ＝{ ｜－１< ≤１}＝
数
所以 Ａ Ｂ 故选 . Ｂ 错误 Ａ ｘ ｘ 或 ｘ 则 错
学 ＝{１ꎬ３ꎬ６}ꎬ ∩∁Ｕ ＝{１ꎬ６}ꎬ Ｂ ꎬＡ ꎻ∁Ｒ ＝ { ｜ ≤－２ >２}ꎬ Ｂ
４
误 Ｂ ｘ ｘ 或 ｘ Ａ Ｂ ｘ 答案
ꎻ∁Ｒ ＝{ ｜ ≤－１ >１}ꎬ ∩(∁Ｒ )＝ { ｜ (－∞ꎬ０]∪[４ꎬ＋∞)
ｘ 或 ｘ 错误 Ａ Ｂ 解析 由 ｘ 得 ｘ 且 ｘ
－２< ≤－１ １< ≤２}ꎬＣ ꎻ ∪(∁Ｒ )＝ ｌｏｇ２ <２ꎬ ｌｏｇ２ <２＝ｌｏｇ２４ꎬ >０ꎬ
Ｒ 正确.故选 . 所以 ｘ 故 Ａ 则 Ａ
ꎬＤ Ｄ ０< <４ꎬ ＝(０ꎬ４)ꎬ ∁Ｒ ＝(－∞ꎬ０]
８.( 届福建龙岩一中月考ꎬ )已知集合 Ａ .
２０２３ １３ ∪[４ꎬ＋∞)
ｘ ｘ 则 Ａ .
＝{ ｜ｌｏｇ２ <２}ꎬ ∁Ｒ ＝
专
题
一
集
合
与
常
用
逻
辑
用
语
５
综合篇
考法 一 集合间基本关系的求解方法 满足 Ｂ Ａ 即 Ｂ 结合选项可知 Ｂ
⫋ ꎬ ⫋[－２ꎬ２]ꎬ
考向一 借助 Venn 图或数轴判断两集合关系 ＝[－１ꎬ１]
.故选
Ｃ.
考向二 由集合的关系求参数的值（取值范围）
１.( 全国乙理ꎬ ꎬ 分)已知集合 Ｓ ｓ ｓ
２０２１ ２ ５ ＝{ ｜ ＝
１.( 湖南新高考教学教研联盟联考ꎬ )已
ｎ ｎ Ｚ Ｔ ｔ ｔ ｎ ｎ Ｚ 则Ｓ Ｔ
２０２２ ２
２ ＋１ꎬ ∈ }ꎬ ＝{ ｜ ＝４ ＋１ꎬ ∈ }ꎬ ∩ ＝
知集合 Ａ ｘ ｘ 集合 Ｂ ｘ ｍ ｘ
＝{ ｜－２< <１}ꎬ ＝{ ｜－ ≤
( )
Ｓ Ｔ Ｚ ｍ 若 Ａ Ｂ 则 ｍ 的取值范围是
Ａ.⌀ Ｂ. Ｃ. Ｄ. ≤ }ꎬ ⊆ ꎬ ( )
答案 Ｃ 任取 ｔ Ｔ 则 ｔ ｎ ｎ
∈ ꎬ ＝４ ＋１＝２(２ ) Ａ.(０ꎬ１) Ｂ.(０ꎬ２]
ｎ Ｚ 所以 ｔ Ｓ 故 Ｔ Ｓ 因此 Ｓ Ｔ
＋１( ∈ )ꎬ ∈ ꎬ ⊆ ꎬ ꎬ ∩ ＝ Ｃ.[１ꎬ＋∞) Ｄ.[２ꎬ＋∞)
Ｔ.故选 ì ï ｍ
Ｃ. ï ≥０ꎬ
２.( 广州一模ꎬ )若集合 Ｍ ｘ ｘ 答案 Ｄ 由题意得í ｍ 解得 ｍ
２０２１ １ ＝{ ｜ ｜ ｜≤１}ꎬ ï－ ≤－２ꎬ ≥２ꎬ
ï
Ｎ ｙ ｙ ｘ２ ｘ 则
îｍ
≥１ꎬ
＝{ ｜ ＝ ꎬ｜ ｜≤１}ꎬ ( )
故选 .
Ｍ Ｎ Ｍ Ｎ
Ｄ
Ａ. ＝ Ｂ. ⊆
Ｎ Ｍ Ｍ Ｎ ２.( 杭州高级中学期中ꎬ )已知集合 Ｍ
Ｃ. ⊆ Ｄ. ∩ ＝⌀ ２０２１ １ ＝
答案 Ｃ 集合 Ｍ ｘ ｘ ｘ ｘ ｙ ｘ ｘ２ Ｎ ｘ ｘ ａ 若 Ｍ
∵ ＝{ ｜ ｜ ｜≤１} ＝{ ｜－１ { ｜ ＝ｌｎ(３＋２ － )}ꎬ ＝{ ｜ > }ꎬ ⊆
ｘ 集合 Ｎ ｙ ｙ ｘ２ ｘ ｙ Ｎ 则实数 ａ 的取值范围是
≤ ≤１}ꎬ ＝{ ｜ ＝ ꎬ｜ ｜≤１} ＝{ ｜０ ꎬ ( )
ｙ Ｎ Ｍ 故选
≤ ≤１}ꎬ∴ ⊆ ꎬ Ｃ. Ａ.[３ꎬ＋∞) Ｂ.(３ꎬ＋∞)
３.( 山东济宁二模ꎬ ) 设集合 Ａ ｘ
２０２２ １ ＝ { ｜ Ｃ.(－∞ꎬ－１] Ｄ.(－∞ꎬ－１)
ｘ Ｂ ｘ ｘ 则 答案 Ｃ 集合 Ｍ ｘ ｙ ｘ ｘ２ 表
ｌｏｇ０ . ５( －１)>０}ꎬ ＝{ ｜２ <４}ꎬ ( ) ＝{ ｜ ＝ｌｎ(３＋２ － )}
Ａ Ｂ Ａ Ｂ 示函数ｙ ｘ ｘ２ 的定义域 由 ｘ ｘ２
Ａ. ＝ Ｂ. ⊇ ＝ｌｎ(３＋２ － ) ꎬ ３＋２ － >
Ａ Ｂ Ｂ Ａ Ｂ Ｂ 得 ｘ 即Ｍ ｘ ｘ .若Ｍ Ｎ 则ａ
Ｃ. ∩ ＝ Ｄ. ∪ ＝ ０ －１< <３ꎬ ＝{ ｜－１< <３} ⊆ ꎬ
答案 Ｄ 由 ｘ 得 ｘ 解 因此实数ａ的取值范围是 .
ｌｏｇ０ . ５( －１)>０ ０< －１<１ꎬ ≤－１ꎬ (－∞ꎬ－１]
得 ｘ 则 Ａ ｘ ｘ .由 ｘ 得 ｘ ３.( 河北张家口宣化一中模拟ꎬ )已知集
１< <２ꎬ ＝{ ｜１< <２} ２ <４ ２ < ２０２１ １
２ 则 ｘ 则 Ｂ ｘ ｘ 合 Ａ ｘ ｘ２ ａｘ ａ２ Ｂ ｘ ｘ２ ｘ
２ ꎬ <２ꎬ ＝{ ｜ <２}ꎬ ＝{ ｜ ＋２ －３ ＝０}ꎬ ＝{ ｜ －３ >
Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ｂ Ａ Ｂ Ａ 故选 若 Ａ Ｂ 则实数 ａ 的取值范围为
∴ ⊆ ꎬ ∪ ＝ ꎬ ∩ ＝ ꎬ Ｄ. ０}ꎬ ⊆ ꎬ ( )
４.( 山东枣庄一模ꎬ )已知集合 Ａ ｙ ｙ
２０２２ ２ ＝{ ｜ ＝ Ａ.{０}
ｘ ｘ Ｒ 则满足Ｂ Ａ的集合Ｂ 可以是
２ｃｏｓ ꎬ ∈ }ꎬ ⫋ Ｂ.{－１ꎬ３}
( ) Ｃ.(－∞ꎬ０)∪(３ꎬ＋∞)
Ｒ
Ａ.[－２ꎬ２] Ｂ.[－２ꎬ３] Ｃ.[－１ꎬ１] Ｄ. Ｄ.(－∞ꎬ－１)∪(３ꎬ＋∞)
答案 Ｃ 由题意知 Ａ ｙ ｙ 要 答案 Ｄ 由 ｘ２ ｘ 解得 ｘ 或 ｘ 即
＝{ ｜－２≤ ≤２}ꎬ －３ >０ꎬ <０ >３ꎬ
Ｂ .由ｘ２ ａｘ ａ２ ｘ ｂ 则 ａ２０２１ ｂ２０２２ .
＝(－∞ꎬ０)∪(３ꎬ＋∞) ＋２ －３ ＝( ＋ ꎬ０}ꎬ ＋ ＝
ａ ｘ ａ 解得 ｘ ａ 或 ｘ ａ 当 ａ 答案
３ )( － )＝ ０ꎬ ＝ ＝－３ ꎬ ＝０ －１
时 集合 Ａ 此时不满足 Ａ Ｂ 当 ａ { ｂ }
ꎬ ＝{０}ꎬ ⊆ ꎻ ≠０ 解析 由 ａ ａ２ ａ ｂ 知 ａ
ꎬａꎬ１ ＝{ ꎬ ＋ ꎬ０}ꎬ ≠０ꎬ
时 集合 Ａ ａ ａ 若 ａ 要使得 Ａ Ｂ
ꎬ ＝{ ꎬ－３ }ꎬ >０ꎬ ⊆ ꎬ
需
{
－３
ａ
<０ꎬ解得 ａ 若 ａ 要使得 Ａ Ｂ
故
ａ
ｂ
＝０ꎬ
即 ｂ
＝０ꎬ
此时
{
ａ
ꎬ０ꎬ１} ＝{
ａ２
ꎬ
ａ
ꎬ０}ꎬ
ａ >３ꎻ <０ꎬ ⊆ ꎬ
>３ꎬ 故 ａ２ 且 ａ 即 ａ .所以 ａ２０２１ ｂ２０２２
{ａ ＝１ꎬ ≠１ꎬ ＝－１ ＋
需 <０ꎬ 解得 ａ .综上所述 实数 ａ 的 ２０２１ ２０２２ .
ａ <－１ ꎬ ＝(－１) ＋０ ＝－１
－３ >３ꎬ ７.( 福建厦门二模ꎬ )集合 Ａ
取值范围是 故选 . ２０２２ １３ ＝[１ꎬ６]ꎬ
(－∞ꎬ－１)∪(３ꎬ＋∞)ꎬ Ｄ
Ｂ ｘ ｙ ｘ ａ 若 Ａ Ｂ 则实数 ａ 的取值
４.(多选)( 广东肇庆统测三ꎬ )已知集 ＝{ ｜ ＝ － }ꎬ ⊆ ꎬ
２０２１ １０
范围是 .
合 Ａ ｘ Ｒ ｘ２ ｘ Ｂ ｘ Ｒ ｘ２
＝{ ∈ ｜ －３ －１８<０}ꎬ ＝{ ∈ ｜ ＋
答案
ａｘ ａ２ 则下列命题中正确的是 (－∞ꎬ１]
＋ －２７<０}ꎬ
解析 由 ｘ ａ 得 ｘ ａ 所以 Ｂ ａ
－ ≥０ꎬ ≥ ꎬ ＝[ ꎬ＋
( )
因为 Ａ 且 Ａ Ｂ 所以 ａ 所
若 Ａ Ｂ 则 ａ ∞)ꎬ ＝[１ꎬ６]ꎬ ⊆ ꎬ ≤１ꎬ
Ａ. ＝ ꎬ ＝－３
以实数 ａ 的取值范围是 .
若 Ａ Ｂ 则 ａ (－∞ꎬ１]
Ｂ. ⊆ ꎬ ＝－３
８.( 届江苏南京、镇江学情调查ꎬ )集合
若 Ｂ 则 ａ 或 ａ ２０２３ １７
Ｃ. ＝⌀ꎬ ≤－６ ≥６
Ａ ｘ ｘ２ ｘ Ｂ ｘ ｍ ｘ ｍ .
若 Ｂ Ａ 则 ａ 或 ａ ＝{ ｜ －６ －７≤０}ꎬ ＝{ ｜ ＋１< <２ －１}
Ｄ. ⫋ ꎬ －６< ≤－３ ≥６
若 ｍ 求 Ａ Ｂ
答案 ＡＢＣ 结合题意得到 Ａ ｘ Ｒ (１) ＝５ꎬ ∪ ꎻ
＝{ ∈ ｜－３<
若 Ａ Ｂ Ｂ 求实数 ｍ 的取值范围.
ｘ .若Ａ Ｂ 则ａ 且ａ２ 故ａ (２) ∩ ＝ ꎬ
<６} ＝ ꎬ ＝－３ －２７＝－１８ꎬ ＝
解析 Ａ ｘ ｘ２ ｘ ｘ ｘ
故 正确 ａ 时 Ａ Ｂ 故 不正确 ＝{ ｜ －６ －７≤０} ＝{ ｜ －１≤ ≤
－３ꎬ Ａ ꎻ ＝－３ ꎬ ＝ ꎬ Ｄ ꎻ
.
若 Ａ Ｂ 则 ２ ａ ａ２ 且 ７}
⊆ ꎬ (－３) ＋ (－３)＋ －２７≤０
当ｍ 时 Ｂ ｘ ｘ 所以 Ａ Ｂ ｘ
２ ａ ａ２ 解得 ａ 故 正确 若 (１) ＝５ ꎬ ＝{ ｜６< <９}ꎬ ∪ ＝{
６ ＋６ ＋ －２７≤０ꎬ ＝－３ꎬ Ｂ ꎻ
ｘ .
Ｂ 则 ａ２ ａ２ 解得 ａ 或 ａ ｜－１≤ <９}
＝⌀ꎬ －４( －２７)≤０ꎬ ≤－６
若 Ａ Ｂ Ｂ 则 Ｂ Ａ.
故 正确.故选 . (２) ∩ ＝ ꎬ ⊆
≥６ꎬ Ｃ ＡＢＣ 当 Ｂ 时 ｍ ｍ 即 ｍ Ｂ Ａ 符
５.( 浙江舟山中学模拟ꎬ )若集合Ａ ｘ ａ ＝⌀ ꎬ ＋１≥２ －１ꎬ ≤２ꎬ ⊆ ꎬ
２０２２ ４ ＝{ ｜２ 合题意
ｘ ａ Ｂ ｘ ｘ 则能使 ꎻ
＋１≤ ≤３ －５}ꎬ ＝{ ｜５≤ ≤１６}ꎬ ìｍ ｍ
ï
＋１<２ －１ꎬ
Ａ Ｂ 成立的所有ａ 组成的集合为 ï
⊆ ( ) 当 Ｂ 时 则有íｍ 解得 ｍ
ａ ａ ａ ａ ≠⌀ ꎬ ï ＋１≥－１ꎬ ２<
ï
Ａ.{ ｜２≤ ≤７} Ｂ.{ ｜６≤ ≤７} î ｍ
２ －１≤７ꎬ
ａ ａ
Ｃ.{ ｜ ≤７} Ｄ.⌀ .
答案 Ｃ 当 Ａ 时 ａ ａ 解得 ａ ≤４
5 ＝⌀ ꎬ２ ＋１>３ －５ꎬ < 综上所述 ｍ .故 ｍ 的取值范围是 ｍ ｍ
年 ì ａ ａ ꎬ ≤４ { ｜ ≤
高 ï ２ ＋１≤３ －５ꎬ .
考 ï ４}
当 Ａ 时 有í ａ 解得 ａ
3
６ꎻ ≠⌀ ꎬ ï３ －５≤１６ꎬ ６≤ ≤ 考法 二 集合运算问题的求解方法
年 ï
模 î ａ
２ ＋１≥５ꎬ
拟 考向一 利用Venn图、数轴解决集合的运算问题
.综上所述 ａ .故选
A ７ ꎬ ≤７ Ｃ.
版 ６.( 河北邯郸模拟ꎬ )含有三个实数的集 １.( 届长沙长郡中学月考ꎬ )已知全集 Ｕ
２０２３ １
２０２２ １３
高
考 { ｂ } ＝ Ｒ ꎬ 集合 Ａ ＝{２ꎬ３ꎬ４}ꎬ 集合 Ｂ ＝{０ꎬ２ꎬ４ꎬ５}ꎬ
数 合既可表示成 ａ 又可表示成 ａ２ ａ
学 ꎬａꎬ１ ꎬ { ꎬ ＋ 则图中的阴影部分表示的集合为
( )
６
ｘ 故选 .
１≤ ≤１}ꎬ Ｂ
６.( 重庆涪陵实验中学期中ꎬ )已知集合
２０２２ ３
Ｍ ｘ ｘ２ ｘ Ｎ ｘ ｘ 且
＝{ ｜ －３ －１０<０}ꎬ ＝{ ｜－３≤ ≤３}ꎬ
Ｍ Ｎ 都是全集 Ｒ 的子集 则如图所示的韦恩
Ａ.{２ꎬ４} Ｂ.{０} Ｃ.{５} Ｄ.{０ꎬ５}
、 ꎬ
答案 Ｄ 依题意 图中的阴影部分表示的
图中阴影部分所表示的集合为
ꎬ
( )
集合是 Ａ Ｂ 因为全集 Ｕ Ｒ Ａ
(∁Ｕ )∩ ꎬ ＝ ꎬ ＝{２ꎬ３ꎬ
Ｂ
４}ꎬ ＝{０ꎬ２ꎬ４ꎬ５}ꎬ
所以 Ａ Ｂ .故选
(∁Ｕ )∩ ＝{０ꎬ５} Ｄ.
２.( 届湖北摸底联考ꎬ )已知全集 Ｕ Ａ ｘ ｘ ｘ ｘ 或 ｘ
２０２３ ２ ＝ ∪ Ａ.{ ｜３< ≤５} Ｂ.{ ｜ <－３ >５}
Ｂ Ａ Ｂ 则 Ｂ ｘ ｘ ｘ ｘ
＝(０ꎬ２]ꎬ ∩∁Ｕ ＝(１ꎬ２]ꎬ ＝ ( ) Ｃ.{ ｜－３≤ ≤－２} Ｄ.{ ｜－３≤ ≤５}
答案 Ｃ Ｍ ｘ ｘ２ ｘ ｘ ｘ
Ａ.(０ꎬ１] Ｂ.(０ꎬ２) Ｃ.(０ꎬ１) Ｄ.⌀ ＝{ ｜ －３ －１０<０}＝{ ｜( －５)
答案 Ａ 由 Ｕ Ａ Ｂ Ａ Ｂ ｘ ｘ ｘ 则 Ｍ ｘ ｘ
＝ ∪ ＝(０ꎬ２]ꎬ ∩∁Ｕ ＝ ( ＋２)<０}＝{ ｜－２< <５}ꎬ ∁Ｒ ＝{ ｜ ≤－
得 Ｂ .故选 或 ｘ 由题图知阴影部分所表示的集合
(１ꎬ２]ꎬ ＝(０ꎬ１] Ａ.
２ ≥５}ꎬ
３.( 山东泰安三模ꎬ )已知集合 Ｍ ｘ 为Ｎ Ｍ ｘ ｘ 故选
２０２２ １ ＝{ ｜ ∩(∁Ｒ )＝{ ｜－３≤ ≤－２}ꎬ Ｃ.
ｘ Ｎ ｘ ｘ 则 Ｍ Ｎ ７.(多选)( 长沙一中 月模拟ꎬ )图中阴
ｌｇ( －１)≤０}ꎬ ＝{ ｜ ｜ －１｜<１}ꎬ ∩ ＝
２０２２ ４ ９
影部分用集合符号可以表示为
( )
( )
Ａ.(０ꎬ２] Ｂ.(０ꎬ２) Ｃ.(１ꎬ２) Ｄ.(１ꎬ２]
答案 Ｃ 不等式 ｘ 的解集为 ｘ
ｌｇ( －１)≤０ { ｜
ｘ
１< ≤２}ꎬ
不等式 ｘ 的解集为 ｘ ｘ 故 Ｍ
｜ －１｜<１ { ｜０< <２}ꎬ
Ｂ Ａ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ
ｘ ｘ Ｎ ｘ ｘ 所以 Ｍ Ｎ Ａ. ∩( ∪ ) Ｂ.∁Ｕ ∩( ∪ )
＝{ ｜１< ≤２}ꎬ ＝{ ｜０< <２}ꎬ ∩ ＝
Ｂ Ａ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ
故选 Ｃ. ∩∁Ｕ( ∪ ) Ｄ.( ∩ )∪( ∩ )
(１ꎬ２)ꎬ Ｃ.
答案 ＡＤ 在阴影部分内任取一个元素 ｘ
４.( 湖北荆州中学三模ꎬ )设集合 Ａ Ｂ 均 ꎬ
２０２２ ２ 、
则 ｘ Ａ Ｂ 或 ｘ Ｂ Ｃ 故阴影部分所表示
为 Ｕ 的子集 如图 Ａ Ｂ 表示区域 ∈ ∩ ∈ ∩ ꎬ
ꎬ ꎬ ∩(∁Ｕ )
的集合为 Ｂ Ａ Ｃ 或 Ａ Ｂ Ｂ Ｃ .
∩( ∪ ) ( ∩ )∪( ∩ )
( )
故选
ＡＤ.
考向二 由集合的基本运算求参数值（范围）
１.( 届重庆南开中学月考ꎬ )设集合 Ａ
２０２３ ３ ＝
ｘ ｘ ｘ Ｂ ｘ ｘ ａ 且 Ａ Ｂ
Ａ.Ⅰ Ｂ.Ⅱ Ｃ.Ⅲ Ｄ.Ⅳ { ｜( －１)( ＋２)≥０}ꎬ ＝{ ｜ > }ꎬ ∪
答案 Ｂ 由题意可知 Ａ Ｂ 表示区域 Ｒ 则 ａ 的取值范围是
ꎬ ∩(∁Ｕ ) ＝ ꎬ ( )
.故选 ａ ａ ａ ａ
ＩＩ Ｂ. Ａ. >－２ Ｂ. >１ Ｃ. ≤１ Ｄ. ≤－２
５.( 山东日照三模ꎬ )集合 Ａ ｘ ｘ 答案 Ｄ 因为 Ａ ｘ ｘ ｘ 专
２０２２ １ ＝{ ｜－１≤ < ＝{ ｜( －１)( ＋２)≥０} ＝ 题
Ｂ ｘ ｘ 则 Ａ Ｂ ｘ ｘ 或 ｘ Ｂ ｘ ｘ ａ Ａ Ｂ Ｒ 一
２}ꎬ ＝{ ｜ >１}ꎬ ∩(∁Ｒ )＝ ( ) { ｜ ≤－２ ≥１}ꎬ ＝{ ｜ > }ꎬ ∪ ＝ ꎬ
集
ｘ ｘ ｘ ｘ 所以 ａ 故选 合
Ａ.{ ｜－１≤ <１} Ｂ.{ ｜－１≤ ≤１} ≤－２ꎬ Ｄ. 与
ｘ ｘ ｘ ｘ ２.( 湖南师大附中三模ꎬ )已知集合 Ａ 常
Ｃ.{ ｜１≤ <２} Ｄ.{ ｜ <２} ２０２２ １ ＝ 用
答案 Ｂ
∵
Ｂ
＝{
ｘ
｜
ｘ
>１}ꎬ∴ ∁Ｒ
Ｂ
＝{
ｘ
｜
ｘ
≤ {１ꎬ２ꎬ３}ꎬ
Ｂ
＝{
ｘ
｜
ｘ２
－６
ｘ
＋
ｍ
＝０}ꎬ
若 Ａ
∩
Ｂ
＝
逻
辑
用
１}ꎬ 又 Ａ ＝{ ｘ ｜－１≤ ｘ <２}ꎬ∴ Ａ ∩(∁Ｒ Ｂ )＝ { ｘ ｜－ {２}ꎬ 则 Ｂ ＝ ( ) 语
７
Ａ.{２ꎬ８} Ｂ.{２ꎬ４} Ｃ.{２ꎬ３} Ｄ.{２ꎬ１} Ｄ.[－１ꎬ２]∪[４ꎬ＋∞)
答案 Ｂ 由题意知 是 ｘ２ ｘ ｍ 的一 答案 Ｄ Ａ ｘ ｘ２ ｘ .因
２ －６ ＋ ＝０ ＝{ ｜ －３ －４＝０}＝{－１ꎬ４}
个根 所以 ２ ｍ 则 ｍ 故 Ｂ ｘ 为 Ａ Ｂ
ꎬ ２ －１２＋ ＝０ꎬ ＝８ꎬ ＝{ ｜ ∩ ＝⌀ꎬ
ｘ２ ｘ ｘ ｘ .故选 所以 当 Ｂ ｘ ａ ｘ ａ２ 时 ａ ａ２ 解得
－６ ＋８＝( －２)( －４)＝ ０}＝{２ꎬ４} Ｂ. ꎬ ＝{ ｜ < < }＝⌀ ꎬ ≥ ꎬ
３.( 山东威海模拟ꎬ )设集合Ａ ｘ ｘ２ ｘ ａ
２０２２ １ ＝{ ｜ －２ ０≤ ≤１ꎬ
Ｂ ｘ ｘ ａ 且 Ａ Ｂ ｘ ｘ ì ï ａ２
－３<０}ꎬ ＝{ ｜２ － <０}ꎬ ∩ ＝{ ｜－１< ï ≤４ꎬ
则 ａ 当 Ｂ ｘ ａ ｘ ａ２ 时 íａ 或
<１}ꎬ ＝ ( ) ＝ { ｜ < < } ≠⌀ ꎬ ï ≥－１ꎬ
ï
îａ２ ａ
Ａ.－１ Ｂ.－２ Ｃ.１ Ｄ.２ >
答案 Ｄ Ａ ｘ ｘ Ｂ ｘ ｘ ａ {ａ
＝{ ｜－１< <３}ꎬ ＝{ ｜２ － <０} ≥４ꎬ解得 ａ .
{ ａ} ａ２ ａ ∈[－１ꎬ０)∪(１ꎬ２]∪[４ꎬ＋∞)
ｘ ｘ . > ꎬ
＝ <
综上 实数 ａ 的取值范围是
２
ꎬ [－１ꎬ２]∪[４ꎬ＋
ａ
.故选 .
由 Ａ Ｂ ｘ ｘ 可得 解得 ａ
∩ ＝{ ｜－１< <１}ꎬ ＝１ꎬ ＝
∞) Ｄ
２ ６.( 广东潮州三模ꎬ ) 已知集合 Ａ
.故选 ２０２２ １３ ＝
２ Ｄ. { }
４.(
２０２２
武汉模拟ꎬ
１
)集合 Ａ
＝{
ｘ
｜
ｘ２
＋４
ｘ
＝０}ꎬ －１ꎬ
１
ꎬ
Ｂ
＝{
ｘ
｜
ｍｘ
－１＝０}ꎬ
若 Ａ
∩
Ｂ
＝
Ｂ
ꎬ
则
２
Ｂ ｘ ｘ２ ａ ｘ ａ２ 如果 Ａ Ｂ
所有实数 ｍ 组成的集合是 .
＝{ ｜ ＋２( ＋１) ＋ －１＝０}ꎬ ∪ ＝
Ａ 则实数 ａ 的取值范围为 答案
ꎬ ( )
{－１ꎬ０ꎬ２}
ａ ａ 解析 Ａ Ｂ Ｂ Ｂ Ａ.
Ａ.{ ｜ ≤１}
∵ ∩ ＝ ꎬ∴ ⊆
ａ ａ 或 ａ { }
Ｂ.{ ｜ <－１ ＝１}
Ｂ 或 Ｂ 或 Ｂ １ ｍ 或 ｍ
ａ ａ ∴ ＝⌀ ＝{－１} ＝ ꎬ∴ ＝０
Ｃ.{ ｜ ≤－１} ２
ａ ａ 或 ａ 或 ｍ 所有实数 ｍ 组成的集合是
Ｄ.{ ｜ ≤－１ ＝１} ＝－１ ＝２ꎬ∴
答案 Ｄ 由 Ａ Ｂ Ａ 得 Ｂ Ａ 易知 Ａ .
∪ ＝ ⊆ ꎬ ＝{－ {－１ꎬ０ꎬ２}
方程 ｘ２ ａ ｘ ａ２ 的判别式 ７.( 天津联考ꎬ )已知集合 Ａ ｘ ｘ２ ｘ
４ꎬ０}ꎬ ＋２( ＋１) ＋ －１＝０ ２０２１ １６ ＝{ ｜ －５
Δ ａ ２ ａ２ ａ .当 Δ ａ Ｂ ｘ ｍ ｘ ｍ ｍ Ｒ .
＝４( ＋１) －４( －１)＝ ８ ＋８ ＝８ ＋８< －６<０}ꎬ ＝{ ｜ ＋１≤ ≤２ －１ꎬ ∈ }
即ａ 时 Ｂ 符合Ｂ Ａ 当Δ ａ 若 ｍ 求集合 Ａ 集合 Ａ Ｂ
０ꎬ <－１ ꎬ ＝⌀ꎬ ⊆ ꎻ ＝８ ＋８ (１) ＝４ꎬ ∁Ｒ ꎬ ∪∁Ｒ ꎻ
即 ａ 时 Ｂ 符合 Ｂ Ａ 当 Δ 若 Ａ Ｂ Ａ 求实数 ｍ 的取值范围.
＝０ꎬ ＝－１ ꎬ ＝{０}ꎬ ⊆ ꎻ ＝ (２) ∪ ＝ ꎬ
ａ 即 ａ 时 Ｂ 中有两个元素 要满 解析 Ａ ｘ ｘ 则 Ａ ｘ ｘ
８ ＋８>０ꎬ >－１ ꎬ ꎬ (１) ＝{ ｜－１< <６}ꎬ ∁Ｒ ＝{ ｜ ≤－１
足 Ｂ Ａ Ｂ 则 ａ 或ｘ .又 Ｂ ｘ ｘ 或ｘ 因此Ａ Ｂ
⊆ ꎬ∴ ＝{－４ꎬ０}ꎬ －４＋０＝－２( ＋１)ꎬ ≥６} ∁Ｒ ＝{ ｜ <５ >７}ꎬ ∪∁Ｒ
解得 ａ .综上 ａ 的取值范围是 ａ ａ 或 ｘ ｘ 或ｘ .
＝１ ꎬ { ｜ ＝１ ＝{ ｜ <６ >７}
ａ . 因为 Ａ Ｂ Ａ 所以 Ｂ Ａ.当 Ｂ 时 ｍ
≤－１} (２) ∪ ＝ ꎬ ⊆ ＝⌀ ꎬ
5 ５.( 西安检测ꎬ )已知集合 Ａ ｘ ｘ２ ｘ ｍ 则 ｍ 当 Ｂ 时 由题意得
年 ２０２２ ２ ＝{ ｜ －３ － ＋１>２ －１ꎬ <２ꎻ ≠⌀ ꎬ
高 Ｂ ｘ ａ ｘ ａ２ 若 Ａ Ｂ 则实数 ì
ï
ｍ ｍ
考 ４＝０}ꎬ ＝{ ｜ < < }ꎬ ∩ ＝⌀ꎬ ２ －１≥ ＋１ꎬ
ï
3 ａ 的取值范围是 í ｍ 解得 ｍ ７.综上 实数 ｍ
年 ( ) ï２ －１<６ꎬ ２≤ < ꎬ
模 ï ２
îｍ
拟 Ａ.(－∞ꎬ－１] ＋１>－１ꎬ
A æ ö
版 Ｂ.[４ꎬ＋∞) 的取值范围是ç ７ ÷.
è－∞ꎬ ø
２
高 Ｃ.(－∞ꎬ－１)∪(２ꎬ４)
考
数
学
８
