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1.2 常用逻辑用语
基础篇
考点 一 充分条件与必要条件 ｙ 是 ｘ ｙ ｙ２ 的必要不充分条件. 正
” “( － ) <０” Ｄ
确.故选
考向一 用定义法判定充分、必要条件 Ｃ.
３.( 北京文ꎬ ꎬ 分)设 ａ ｂ ｃ ｄ 是非零实
１.( 届福建漳州质检ꎬ )已知 ｐ ｘｙ ｑ ｘ ２０１８ ４ ５ ꎬ ꎬ ꎬ
２０２３ ３ : >０ꎬ :
数 则 ａｄ ｂｃ 是 ａ ｂ ｃ ｄ 成等比数列 的
ｙ 则 ｐ 是 ｑ 的 ꎬ “ ＝ ” “ ꎬ ꎬ ꎬ ”
>０ꎬ >０ꎬ ( )
充分不必要条件 ( )
Ａ.
充分而不必要条件
必要不充分条件 Ａ.
Ｂ. 必要而不充分条件
充要条件 Ｂ.
Ｃ. 充分必要条件
既不充分也不必要条件 Ｃ.
Ｄ. 既不充分也不必要条件
答案 Ｂ 由 ｘｙ 可得 ｘ ｙ 或 ｘ ｙ Ｄ.
>０ >０ꎬ >０ <０ꎬ < 答案 Ｂ 由ａ ｂ ｃ ｄ 成等比数列 可得 ａｄ
所以由ｘｙ 推不出ｘ ｙ 由ｘ ｙ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ＝
０ꎬ >０ >０ꎬ >０ꎬ >０ꎬ >０ ｂｃ 即必要性成立
可以推出ｘｙ 故ｐ 是ｑ 的必要不充分条件. ꎬ ꎻ
>０ꎬ 当 ａ ｂ ｃ ｄ 时 ａｄ ｂｃ 但 ａ
故选 ＝１ꎬ ＝－２ꎬ ＝－４ꎬ ＝８ ꎬ ＝ ꎬ ꎬ
Ｂ. ｂ ｃ ｄ 不成等比数列 即充分性不成立 故
２.( 届福建龙岩一中月考ꎬ )下列命题中 ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
２０２３ ３ ꎬ 选 .
Ｂ
错误的命题是
( ) ４.( 浙江ꎬ ꎬ 分)已知空间中不过同一点
２０２０ ６ ４
Ａ. 函数 ｆ ( ｘ )＝ ｘ 与 ｇ ( ｘ )＝ ( ｘ ) ２ 不是同一个 的三条直线 ｌ ｍ ｎ. ｌ ｍ ｎ 共面 是 ｌ ｍ ｎ
ꎬ ꎬ “ ꎬ ꎬ ” “ ꎬ ꎬ
函数
两两相交 的
” ( )
命题 ｘ ｘ２ ｘ 的否定为
充分不必要条件
Ｂ. “∃ ∈[０ꎬ１]ꎬ ＋ ≥１”
Ａ.
ｘ ｘ２ ｘ
必要不充分条件
“∀ ∈[０ꎬ１]ꎬ ＋ <１”
Ｂ.
{ ｘ ｘ 充分必要条件
设函数 ｆ ｘ ２ ＋２ꎬ <０ꎬ则 ｆ ｘ 在 Ｒ 上 Ｃ.
Ｃ. ( )＝ ｘ ｘ ( ) 既不充分也不必要条件
２ ꎬ ≥０ꎬ Ｄ.
单调递增 答案 Ｂ 当 ｍ ｎ ｌ 在同一平面内时 它们
ꎬ ꎬ ꎬ
设 ｘ ｙ Ｒ 则 ｘ ｙ 是 ｘ ｙ ｙ２ 的必 可能相互平行 所以充分性不成立.当 ｍ ｎ ｌ
Ｄ. ꎬ ∈ ꎬ “ < ” “( － ) <０” ꎬ ꎬ ꎬ
要不充分条件 两两相交时 因为三条直线 ｍ ｎ ｌ 不过同一
ꎬ ꎬ ꎬ
答案 Ｃ 对于 因为两个函数的定义域 点 所以它们必在同一平面内 必要性成立.
Ａꎬ ꎬ ꎬ
不同 所以两个函数不是同一个函数 故 故选 .
ꎬ ꎬ Ａ Ｂ
正确 ５.( 北京ꎬ ꎬ 分)已知α β Ｒ 则 存在ｋ
ꎻ ２０２０ ９ ４ ꎬ ∈ ꎬ “
对于 因为存在量词命题的否定是全称量 Ｚ 使得 α ｋ ｋβ 是 α β 的 专
Ｂꎬ ∈ ＝ π＋(－１) ” “ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ” 题
一
词命题 所以 正确
ꎬ Ｂ ꎻ ( )
集
对于 因为 . 但是 ｆ . . 充分而不必要条件 合
Ｃꎬ －０ １<０ꎬ (－０ １)＝ １ ８>１＝ Ａ. 与
ｆ 与增函数定义矛盾 所以 错误 必要而不充分条件 常
(０)ꎬ ꎬ Ｃ ꎻ Ｂ. 用
逻
对于
Ｄꎬ
当ｘ
<
ｙ 时
ꎬ
若ｙ
＝０ꎬ
则推不出
(
ｘ
－
ｙ
)
ｙ２
Ｃ.
充分必要条件
辑
用
当 ｘ ｙ ｙ２ 时 ｙ 且 ｘ ｙ 所以 ｘ 既不充分也不必要条件 语
<０ꎻ ( － ) <０ ꎬ ≠０ < ꎬ “ < Ｄ.
９
答案 Ｃ 充分性 已知存在 ｋ Ｚ 使得 α 的充分不必要条件 故 中命题是假命题.
: ∈ ＝ ꎬ Ｄ
ｋ ｋβ 故选 .
π＋(－１) ꎬ ＢＣ
若 ｋ 为奇数 则 ｋ ｎ ｎ Ｚ 此时 α 考向二 集合法判定充分、必要条件
(ｉ) ꎬ ＝２ ＋１ꎬ ∈ ꎬ ＝
ｎ β ｎ Ｚ α ｎ β １.( 浙江ꎬ ꎬ 分)设 ｘ Ｒ 则 ｘ
(２ ＋１)π－ ꎬ ∈ ꎬｓｉｎ ＝ｓｉｎ(２ π＋π－ )＝
２０２２ ４ ４ ∈ ꎬ “ｓｉｎ ＝１”
β β
ｓｉｎ(π－ )＝ ｓｉｎ ꎻ 是 ｘ 的
“ｃｏｓ ＝０” ( )
若 ｋ 为偶数 则 ｋ ｎ ｎ Ｚ 此时 α
充分不必要条件
(ｉｉ) ꎬ ＝ ２ ꎬ ∈ ꎬ ＝
Ａ.
ｎ β ｎ Ｚ α ｎ β β.由
必要不充分条件
２ π＋ ꎬ ∈ ꎬｓｉｎ ＝ｓｉｎ(２ π＋ )＝ ｓｉｎ
Ｂ.
知 充分性成立.
充分必要条件
(ｉ)(ｉｉ) ꎬ
Ｃ.
必要性 若 α β 成立 则角 α 与 β 的
既不充分也不必要条件
: ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ꎬ
Ｄ.
终边重合或角 α 与 β 的终边关于 ｙ 轴对称
ꎬ
答案 Ａ 根据 ｘ 解得 ｘ π ｋ ｋ
即 α β ｍ 或 α β ｍ ｍ Ｚ 即存 ｓｉｎ ＝１ ＝ ＋２ πꎬ
＝ ＋２ π ＋ ＝２ π＋πꎬ ∈ ꎬ ２
在 ｋ Ｚ 使得 α ｋ ｋβ 必要性也成 æ ö
∈ ＝ π＋(－１) ꎬ Ｚ 此时 ｘ çπ ｋ ÷ π .根
立 故选 .
∈ ꎬ ｃｏｓ ＝ｃｏｓè ＋２ πø ＝ｃｏｓ ＝０
２ ２
ꎬ Ｃ
６.(多选)( 河北武强中学月考ꎬ )下列
据 ｘ 解得 ｘ π ｋ ｋ Ｚ 此时 ｘ
２０２２ １０ ｃｏｓ ＝０ ＝ ＋ πꎬ ∈ ꎬ ｓｉｎ
命题中为真命题的是 ２
( ) æ ö
ａ çπ ｋ ÷ .故 ｘ 是 ｘ
ａ ｂ 的充要条件是 ＝ｓｉｎè ＋ πø ＝±１ “ｓｉｎ ＝１” “ｃｏｓ ＝０”
Ａ.“ － ＝０” “ ｂ ＝１” ２
的充分不必要条件 故选 .
ꎬ Ａ
ａ ｂ 是 １ １ 的既不充分也不必要条件 ２.( 福建龙岩一模ꎬ )已知 ａ Ｒ 若集合
Ｂ.“ > ” “ａ<ｂ”
２０２２ １ ∈ ꎬ
命题 ｘ Ｒ ｘ２ ｘ 的否定是 ｘ Ｍ
＝{１ꎬ
ａ
}ꎬ
Ｎ
＝{－１ꎬ０ꎬ１}ꎬ
则
“
Ｍ
⊆
Ｎ
”
是
“
ａ
Ｃ. “∃ ∈ ꎬ －２ <０” “∀ ∈
Ｒ ｘ２ ｘ
＝０”
的
( )
ꎬ －２ ≥０”
充分不必要条件
ａ ｂ 是 ａｂ 的必要条件
Ａ.
Ｄ.“ >２ꎬ >２” “ >４”
必要不充分条件
ａ
Ｂ.
答案 ＢＣ 对于 由 ａ ｂ 但 ａ
Ａꎬ ｂ ＝１⇒ － ＝０ꎬ － 充要条件
Ｃ.
ａ ａ 既不充分也不必要条件
ｂ / 所以 是 ａ ｂ 的充 Ｄ.
＝０⇒ ｂ ＝１ꎬ “ ｂ ＝１” “ － ＝０” 答案 Ｂ 若 Ｍ Ｎ 则 ａ 或 ａ 故由
⊆ ꎬ ＝０ ＝－１ꎬ
分非必要条件 故 中命题是假命题.对于
Ｍ Ｎ 推不出 ａ 反之 若 ａ 则 Ｍ Ｎ
ꎬ Ａ ⊆ ＝０ꎬ ꎬ ＝０ꎬ ⊆ ꎬ
故 Ｍ Ｎ 是 ａ 的必要不充分条件 故
取 ａ ｂ 满足 ａ ｂ 但１ １ 所以 ａ “ ⊆ ” “ ＝０” ꎬ
Ｂꎬ ＝２ꎬ ＝－１ꎬ > ꎬ ａ > ｂꎬ
选 .
Ｂ
ｂ / １ １ 同理 取 ａ ｂ 满足 １ ３.( 天津ꎬ ꎬ 分)设 ａ Ｒ 则 ａ 是 ａ２
> ⇒ ａ< ｂꎻ ꎬ ＝－１ꎬ ＝ ２ꎬ ａ < ２０２０ ２ ５ ∈ ꎬ “ >１” “
ａ 的
5 > ” ( )
年 １ 但 ａ ｂ 所以１ １ / ａ ｂ 所以 ａ ｂ 是 充分不必要条件
高 ｂꎬ < ꎬ ａ < ｂ ⇒ > ꎬ “ > ” Ａ.
考
必要不充分条件
3
Ｂ.
年 １ １ 的既不充分也不必要条件 故 中
模 “ ａ<ｂ” ꎬ Ｂ 充要条件
Ｃ.
拟
命题是真命题.对于 命题 ｘ Ｒ ｘ２ ｘ 既不充分也不必要条件
A Ｃꎬ “∃ ∈ ꎬ －２ < Ｄ.
版 的否定是 ｘ Ｒ ｘ２ ｘ 故 中命题 答案 Ａ 易知 ａ ａ２ ａ 而 ａ２ ａ ａ
０” ∀ ∈ ꎬ －２ ≥０”ꎬ Ｃ >１⇒ > ꎬ > ⇒ <０
高
考
是真命题.对于 因为 ａ ｂ ａｂ 但 或 ａ 所以 ａ 是 ａ２ ａ 的充分不必要
Ｄꎬ >２ꎬ >２⇒ >４ꎬ >１ꎬ “ >１” “ > ”
数
学 ａｂ / ａ ｂ 所以 ａ ｂ 是 ａｂ 条件.
>４⇒ >２ꎬ >２ꎬ “ >２ꎬ >２” “ >４”
１０
ｍ ｎ Ｎ 等比数列 ａ 中有 ａ
４.( 济南二模) ＡＢＣ 中 Ａ １ 是 Ａ Ｂ.∀ ꎬ ∈ ꎬ { ｎ} ｍ ＋ ｎ
２０２１ △ ꎬ“ｓｉｎ ＝ ” “
ａ ａ
２ ≠ ｍ ｎ
＝
π
”
的
( ) Ｃ.∃
ｍ
ꎬ
ｎ
∈
Ｎ
ꎬ
等比数列
{
ａ
ｎ}
中有 ａ
ｍ ＋ ｎ
６ ａ ａ
充要条件 ≠ ｍ ｎ
Ａ. ｍ ｎ Ｎ 等比数列 ａ 中不都有 ａ
充分不必要条件 Ｄ.∀ ꎬ ∈ ꎬ { ｎ} ｍ ＋ ｎ
Ｂ. ａ ａ
必要不充分条件 ＝ ｍ ｎ
Ｃ. 答案 Ｃ 因为全称量词命题的否定是存在
既不充分也不必要条件
Ｄ. 量词命题 所以命题 ｐ 的否定为 ｍ ｎ
ꎬ ∃ ꎬ ∈
答案 Ｃ 在 ＡＢＣ 中 若 Ａ １ 则 Ａ Ｎ 等比数列 ａ 中有 ａ ａ ａ .故选
△ ꎬ ｓｉｎ ＝ ꎬ ＝ ꎬ { ｎ} ｍ ＋ ｎ≠ ｍ ｎ Ｃ.
２
{ } { } ３.( 届安徽江淮名校质量检测ꎬ )命题
２０２３ １３ :
π或５π 因为 π π ５π 因此 Ａ
ꎬ ⫋ ꎬ ꎬ ꎬ“ｓｉｎ ＝ ｘ ｘ２ ｘ 的否定是 .
６ ６ ６ ６ ６ “∀ >０ꎬ ＋１>ｌｎ ”
答案 ｘ ｘ２ ｘ
１ 是 Ａ π 的必要不充分条件.故选 . ∃ >０ꎬ ＋１≤ｌｎ
” “ ＝ ” Ｃ
解析 因为全称量词命题的否定是存在量
２ ６
５.( 天津文ꎬ ꎬ 分)设 ｘ Ｒ 则 ｘ
２０１７ ２ ５ ∈ ꎬ “２－ ≥０”
词命题 所以 ｘ ｘ２ ｘ 的否定是
ꎬ “∀ >０ꎬ ＋１>ｌｎ ”
是
“｜
ｘ
－１｜≤１”
的
( ) “∃
ｘ
>０ꎬ
ｘ２
＋１≤ｌｎ
ｘ
”
.
充分而不必要条件
４.( 南京师大附中模拟ꎬ )命题 ｘ
Ａ.
２０２２ １３ “∀ >１ꎬ
必要而不充分条件
Ｂ.
ｘ２ 的否定是 .
≥１”
充要条件
Ｃ.
答案 ｘ ｘ２
“∃ >１ꎬ <１”
既不充分也不必要条件
Ｄ.
解析 因为命题 ｘ ｘ２ 是全称量词
“∀ >１ꎬ ≥１”
答案 Ｂ 由 ｘ 得 ｘ 由 ｘ
２－ ≥０ꎬ ≤２ꎻ ｜ －１｜≤１ꎬ 命题 所以其否定是存在量词命题 即 ｘ
ꎬ ꎬ “∃ >
得 ｘ 因为 所以
０≤ ≤２ꎬ [０ꎬ２]⫋(－∞ꎬ２]ꎬ “２－ ｘ２ .
１ꎬ <１”
ｘ 是 ｘ 的必要而不充分条件
≥０” “｜ －１｜≤１” ꎬ 考向二 存在量词命题的否定
故选 .
Ｂ １.( 浙江理ꎬ ꎬ 分)命题 ｘ Ｒ ｎ
２０１６ ４ ５ “∀ ∈ ꎬ∃ ∈
考点 二 全称量词与存在量词
Ｎ 使得 ｎ ｘ２ 的否定形式是
ꎬ ≥ ” ( )
考向一 全称量词命题的否定
ｘ Ｒ ｎ Ｎ 使得 ｎ ｘ２
Ａ.∀ ∈ ꎬ∃ ∈ ꎬ <
１.(
２０２２
福建厦门一中最后一卷ꎬ
２
)设命题 ｐ
: Ｂ.∀
ｘ
∈
Ｒ
ꎬ∀
ｎ
∈
Ｎ
ꎬ
使得 ｎ
<
ｘ２
ｘ ｘ２ 则¬ ｐ 为 ｘ Ｒ ｎ Ｎ 使得 ｎ ｘ２
∀ >０ꎬ >０ꎬ ( ) Ｃ.∃ ∈ ꎬ∃ ∈ ꎬ <
Ａ.∃
ｘ
>０ꎬ
ｘ２
≤０ Ｂ.∀
ｘ
≤０ꎬ
ｘ２
>０ Ｄ.∃
ｘ
∈
Ｒ
ꎬ∀
ｎ
∈
Ｎ
ꎬ
使得 ｎ
<
ｘ２
ｘ ｘ２ ｘ ｘ２ 答案 Ｄ 先将条件中的全称量词变为存在
Ｃ.∀ >０ꎬ ≤０ Ｄ.∃ ≤０ꎬ ≤０
答案 Ａ 根据全称量词命题的否定是存在 量词 存在量词变为全称量词 再否定结论.
ꎬ ꎬ
量词命题 知命题 ｐ ｘ ｘ２ 的否定 故选 .
ꎬ :“∀ >０ꎬ >０” Ｄ
¬ ｐ
:“∃
ｘ
>０ꎬ
ｘ２
≤０”
.故选
Ａ.
２.(
２０１５
课标
Ⅰ
ꎬ
３
ꎬ
５
分)设命题 ｐ
:∃
ｎ
∈
Ｎ
ꎬ
ｎ２ 专
题
２.( 届山东潍坊五县联考ꎬ ) 命题 ｐ ｎ 则¬ ｐ 为 一
２０２３ ２ :
>２ ꎬ ( )
集
“∀
ｍ
ꎬ
ｎ
∈
Ｎ
ꎬ
等比数列
{
ａ
ｎ}
中都有 ａ
ｍ ＋ ｎ ＝ Ａ.∀
ｎ
∈
Ｎ
ꎬ
ｎ２
>２
ｎ 合
与
ａ
ｍ
ａ
ｎ”
的否定是
( ) Ｂ.∃
ｎ
∈
Ｎ
ꎬ
ｎ２
≤２
ｎ 常
用
Ａ.∃
ｍ
ꎬ
ｎ
∈
Ｎ
ꎬ
等比数列
{
ａ
ｎ}
中都有 ａ
ｍ ＋ ｎ Ｃ.∀
ｎ
∈
Ｎ
ꎬ
ｎ２
≤２
ｎ 逻
辑
用
＝ ａ ｍ ａ ｎ Ｄ.∃ ｎ ∈ Ｎ ꎬ ｎ２ ＝２ ｎ 语
１１
答案 Ｃ 根据存在量词命题的否定为全称 词命题知 ｘ ｘ２ ｘ 的否定为 ｘ
∃ >０ꎬ －２｜ ｜<０ ∀ >
量词命题 知¬ ｐ ｎ Ｎ ｎ２ ｎ 故选 . ｘ２ ｘ .故选 .
ꎬ :∀ ∈ ꎬ ≤２ ꎬ Ｃ ０ꎬ －２｜ ｜≥０ Ｃ
３.( 辽宁名校联盟联考一ꎬ )命题 ｘ 名师点睛
２０２２ ３ “∃ >
ｘ２ ｘ 的否定是 全称量词命题与存在量词命题的否定
０ꎬ －２｜ ｜<０” ( )
ｘ ｘ２ ｘ
.改写量词:确定命题所含量词的类型ꎬ省去量
Ａ.∃ >０ꎬ －２｜ ｜≥０ １
ｘ ｘ２ ｘ
词的要结合命题的含义加上量词ꎬ再对量词进
Ｂ.∃ ≤０ꎬ －２｜ ｜≥０
ｘ ｘ２ ｘ
行改写.
Ｃ.∀ >０ꎬ －２｜ ｜≥０
ｘ ｘ２ ｘ
.否定结论:对原命题的结论进行否定.
Ｄ.∀ ≤０ꎬ －２｜ ｜≥０ ２
答案 Ｃ 由存在量词命题的否定为全称量
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
１２
综合篇
考法 一 充分条件与必要条件的判断方法 ｍ 是 两不同直线 ｌ ｍｘ ｙ 与
“ ＝－２” “ １: ＋４ ＋２＝０
ｌ ｘ ｍｙ 平行 的
考向一 充分、必要条件的判断 ２: ＋ ＋１＝０ ” ( )
充要条件
１.( 江苏连云港二模ꎬ )已知 ｘ Ｒ 则 Ａ.
２０２２ ２ ∈ ꎬ
必要不充分条件
ｘ 是 ｘ２ ｘ 的 Ｂ.
“－３≤ ≤４” “ｌｇ( － －２)≤１” ( )
充分不必要条件
充分不必要条件 Ｃ.
Ａ.
既不充分也不必要条件
必要不充分条件 Ｄ.
Ｂ.
答案 Ａ 因为 ｍ 所以直线 ｌ ｘ ｙ
充要条件 ＝－２ꎬ １: －２ －１
Ｃ.
直线 ｌ ｘ ｙ ｌ 与 ｌ 平行 故充分
既不充分又不必要条件 ＝０ꎬ ２: －２ ＋１＝０ꎬ １ ２ ꎬ
Ｄ.
性成立.
答案 Ｂ 由题意得 ｘ２ ｘ 解得
０< － －２≤１０ꎬ －３
当直线 ｌ ｍｘ ｙ 与直线 ｌ ｘ ｍｙ
≤
ｘ
<－１
或
２<
ｘ
≤４ꎬ
故选
Ｂ
. １: ＋４ ＋２＝０ ２: ＋ ＋１＝
２.( 北京理ꎬ ꎬ 分)设点 Ａ Ｂ Ｃ 不共线 ０
平行时
ꎬ
ｍ２
＝４ꎬ
解得ｍ
＝２
或ｍ
＝－２ꎬ
当ｍ
＝
２０１９ ７ ５ ꎬ ꎬ ꎬ
时 直线ｌ ｘ ｙ 与直线ｌ ｘ ｙ
则 Ａ→Ｂ与Ａ→Ｃ的夹角为锐角 是 Ａ→Ｂ Ａ→Ｃ ２ ꎬ １: ＋２ ＋１＝０ ２: ＋２ ＋１＝
“ ” “ ｜ ＋ ｜ > 重合 不合题意 当ｍ 时 直线ｌ ｘ ｙ
Ｂ→Ｃ 的
０ ꎬ ꎻ ＝－２ ꎬ １: －２
｜ ｜” ( ) 直线 ｌ ｘ ｙ 两直线平行 故
充分而不必要条件
－１＝０ꎬ ２: －２ ＋１＝０ꎬ ꎬ
Ａ. 必要性成立.故选 .
Ａ
必要而不充分条件
Ｂ. ４.( 届山东潍坊五县联考ꎬ )祖暅原理
充分必要条件 ２０２３ ６ :
Ｃ. 幂势既同 则积不容异 .意思是说 两个同
既不充分也不必要条件 “ ꎬ ” :
Ｄ. 高的几何体 如在等高处的截面积恒相等
ꎬ ꎬ 答案 Ｃ Ａ→Ｂ Ａ→Ｃ Ｂ→Ｃ Ａ→Ｂ Ａ→Ｃ Ａ→Ｃ
｜ ＋ ｜>｜ ｜⇔｜ ＋ ｜>｜ 则体积相等.设Ａ Ｂ 为两个同高的几何体 ｐ
、 ꎬ :
Ａ→Ｂ Ａ→Ｂ２ Ａ→Ｃ２ Ａ→Ｂ Ａ→Ｃ Ａ→Ｂ２ Ａ→Ｃ２ Ａ→Ｂ Ａ Ｂ 的体积不相等 ｑ Ａ Ｂ 在等高处的截面
－ ｜⇔ ＋ ＋２ > ＋ －２ 、 ꎬ : 、
Ａ→Ｃ Ａ→Ｂ Ａ→Ｃ 由点 Ａ Ｂ Ｃ 不共线 得 积不恒相等.根据祖暅原理可知 ｐ 是 ｑ 的
⇔ >０ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
æ ö
Ａ→Ｂ Ａ→Ｃ ç π÷ 故Ａ→Ｂ Ａ→Ｃ Ａ→Ｂ Ａ→Ｃ的 ( )
‹ ꎬ ›∈è０ꎬ øꎬ >０⇔ ꎬ 充分不必要条件
２ Ａ.
夹角为锐角.故选 . 必要不充分条件
Ｃ Ｂ.
３.( 长沙长郡中学等十五校联盟联考ꎬ ) 充要条件
２０２２ ４ Ｃ.
既不充分也不必要条件 充分而不必要条件
Ｄ. Ａ.
答案 Ａ 由题意 若Ａ Ｂ 的体积不相等 则 必要而不充分条件
ꎬ 、 ꎬ Ｂ.
Ａ Ｂ 在等高处的截面积不恒相等 充分性成 充要条件
、 ꎬ Ｃ.
立 反之 Ａ Ｂ 在等高处的截面积不恒相等 既不充分也不必要条件
ꎻ ꎬ 、 ꎬ Ｄ.
但 Ａ Ｂ 的体积可能相等 例如 Ａ 是一个正放
、 ꎬ 答案 Ａ θ π π θ π
∵ － < ⇔０< < ꎬ
的正四面体 Ｂ 一个倒放的正四面体 必要
１２ １２ ６
ꎬ ꎬ
æ ö
性不成立 所以 ｐ 是 ｑ 的充分不必要条件.故
又 θ １ θ ç ｋ ７π ｋ π÷ ｋ
ꎬ
∵ ｓｉｎ < ⇔ ∈ è２ π－ ꎬ２ π＋ øꎬ
选 ２ ６ ６
Ａ.
Ｚ
５.( 浙江ꎬ ꎬ 分)已知非零向量 ａ ｂ ｃ 则 ∈ ꎬ
２０２１ ３ ４ ꎬ ꎬ ꎬ
æ ö æ ö
ａ ｃ ｂ ｃ 是 ａ ｂ 的 且ç π÷ ç ｋ ７π ｋ π÷ ｋ Ｚ
“ ＝ ” “ ＝ ” ( ) è０ꎬ ø⫋è２ π－ ꎬ２ π＋ øꎬ ∈ ꎬ
６ ６ ６
充分不必要条件
Ａ.
θ π π 是 θ １ 的充分而不必
必要不充分条件 ∴ “ － < ” “ｓｉｎ < ”
Ｂ. １２ １２ ２
充分必要条件 要条件.
Ｃ.
既不充分也不必要条件 名师点睛
Ｄ.
答案 Ｂ 若ｃ 与向量ａ ｂ 都垂直 则由ａ 判断充分、必要条件的两种方法
ꎬ ꎬ
ｃ ｂ ｃ 不一定能得到 ａ ｂ 若 ａ ｂ 则由平 .定义法:根据 ｐ ｑꎬｑ ｐ 进行判断ꎬ适用于定
＝ ＝ ꎻ ＝ ꎬ １ ⇒ ⇒
面向量的数量积的定义知 ａ ｃ ｂ ｃ 成立 义、定理判断性问题.
＝ ꎬ
故 ａ ｃ ｂ ｃ 是 ａ ｂ 的必要不充分条 .集合法:根据 ｐꎬｑ 成立的对象的集合之间的
“ ＝ ” “ ＝ ” ２
件.故选 . 关系进行判断ꎬ多适用于命题中涉及字母范围
Ｂ
６.(多选)( 湖南怀化一诊ꎬ )下列命题为 的推断问题.
２０２２ ９
真命题的是
( )
ａ ｂ 是 ａｃ２ ｂｃ２ 的必要不充分条件 考向二 已知充分、必要条件求参数范围
Ａ.“ > ” “ > ”
１.( 吉林东北师范大学附中摸底ꎬ )设 ｐ
ａ ｂ 是 １ １ 的充要条件
２０２２ ７ :
Ｂ.“ > ” “ ａ<ｂ”
ｘ２ ｘ ｑ ｘ２ ａ ｘ ａ ａ 若
２ －３ ＋１<０ꎬ : －(２ ＋１) ＋ ( ＋１)<０ꎬ
ａ Ｐ Ｑ 是 ａ Ｐ 的充分不必要条件
Ｃ.“ ∈ ∩ ” “ ∈ ” ｑ 是 ｐ 的必要不充分条件 则实数 ａ 的取值
ꎬ
ｘ 或 ｙ 为有理数 是 ｘｙ 为有理数 的既
Ｄ.“ ” “ ” 范围是
( )
不充分又不必要条件
é ù
ê ú
答案 ＡＣＤ 对于
Ａꎬ
由 ａ
>
ｂ
⇒
/ ａｃ２
>
ｂｃ２
ꎬ
由
Ａ.ë
ê
０ꎬ
１
û
ú
２
ａｃ２ ｂｃ２ ａ ｂ 则 ａ ｂ 是 ａｃ２ ｂｃ２ 的必要
æ ö
> ⇒ > ꎬ “ > ” “ > ”
ç １ ÷
不充分条件 中命题是真命题 对于 若 Ｂ.è０ꎬ ø
ꎬＡ ꎻ Ｂꎬ ２
é ö
ａ ｂ 则由 ａ ｂ 得不到１ １ 中命题 ê １ ÷
>０ꎬ <０ꎬ > ａ < ｂꎬＢ Ｃ.(－∞ꎬ０]∪ë ê ꎬ＋∞ø
２ 专
是假命题 易知 中命题是真命题 故 æ ö 题
ꎻ Ｃ、Ｄ ꎬ ç１ ÷ 一
选 .
Ｄ.(－∞ꎬ０)∪è ꎬ＋∞ø
２ 集
ＡＣＤ
合
７.( 天津ꎬ ꎬ 分)设 θ Ｒ 则 θ π 答案 Ａ ( 集合法 ) 易知 ꎬ ｐ : １ < ｘ <１ꎬ ｑ : ａ < ｘ 与 常
２０１７ ４ ５ ∈ ꎬ “ － <
２ 用
１２
逻
ａ .
辑
< ＋１
π 是 θ １ 的 用
” “ｓｉｎ < ” ( ) ｑ 是 ｐ 的必要不充分条件 语
１２ ２ ∵ ꎬ
１３
æ ö ｘ Ｂ.
ç１ ÷ ａ ａ ∈
∴ è ꎬ１ø⫋( ꎬ ＋１)ꎬ 若 ａ 则 ｐ 是 ｑ 的什么条件
２
(１) ＝０ꎬ ?
ì ì
ï ï 若ｐ 是ｑ 的充分不必要条件 求实数ａ 的
ïａ １ ïａ １
(２) ꎬ
í ≤ ꎬ或 í < ꎬ 解得 ａ １. 故
∴ ï ２ ï ２ ０≤ ≤ 取值范围.
î ï ａ î ï ａ ２
＋１>１ ＋１≥１ꎬ æ ö
选 .
解析 令ｔ ｘ ｘ çｘ π÷ 则
Ａ
＝ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ ２ｓｉｎè ＋ øꎬ ｓｉｎ
４
２.( 山东日照二模ꎬ )若不等式 ｘ ａ ２ æ ö
２０２１ １３ ( － ) < ｘ ｔ２ 因为 ｘ ç π÷ 所以 ｔ
成立的充分不必要条件是 ｘ 则实数ａ ２ ＝ －１ꎬ ∈è０ꎬ øꎬ ∈(１ꎬ ２]ꎬ
１ １< <２ꎬ ２
的取值范围是 . 函数 ｆ ｘ 的值域就是函数 ｙ ｔ２ ｔ ｔ
( ) ＝ ＋ －１ꎬ ∈(１ꎬ
答案 的值域 根据二次函数的性质可知 函数
[１ꎬ２] ２] ꎬ ꎬ
解析 由
(
ｘ
－
ａ
)
２
<１
得 ａ
－１<
ｘ
<
ａ
＋１ꎬ
因为
１<
ｙ ｔ２ ｔ 在 上单调递增 于是可求
＝ ＋ －１ (１ꎬ ２] ꎬ
ｘ 是不等式 ｘ ａ ２ 成立的充分不必要
<２ ( － ) <１ 得 Ａ . 要使函数 ｇ ｘ
{ａ {ａ ＝ (１ꎬ ２ ＋ １] ( ) ＝ ｌｎ
条件 所以满足 －１≤１ꎬ或 －１<１ꎬ 解得 ｘ ａ２ ｘ ａ２
ꎬ ａ ａ １ － － ２有意义 则有 － － ２ 即 ｘ ａ２
＋１>２ ＋１≥２ꎬ ａ ｘ ꎬ ａ ｘ >０ꎬ [ －(
－ －
ａ .
≤ ≤２ æ ö２
３.( 届福建龙岩一中月考ꎬ )设函数ｆ ｘ ＋ ２)](
ｘ
－
ａ
)<０
.因为 ａ２
＋ ２－
ａ
＝è
çａ
－
１
ø
÷
＋
２０２３ １７ ( ) ２
ｘ ｘ 的定义域为 Ａ 集合 Ｂ
＝ ２＋ ＋ｌｎ(４－ ) ꎬ ＝ １
２－ >０ꎬ
ｘ ｍ ｘ ｍ ｍ . ４
{ ｜ ＋１≤ ≤２ －１}( ≥２)
求集合 Ａ 所以 Ｂ ａ ａ２ .
＝( ꎬ ＋ ２)
(１) ꎻ
若 ｐ ｘ Ａ ｑ ｘ Ｂ 且 ｐ 是 ｑ 的必要不充 若 ａ 则 Ｂ 又 Ａ
(２) : ∈ ꎬ : ∈ ꎬ (１) ＝０ꎬ ＝(０ꎬ ２)ꎬ ＝(１ꎬ ２ ＋
分条件 求实数 ｍ 的取值范围. 所以可得 ｐ 是 ｑ 的既不充分也不必要
ꎬ １]ꎬ
解析 要使函数 ｆ ｘ 有意义 则有 条件.
(１) ( ) ꎬ
{ ｘ 若ｐ 是ｑ 的充分不必要条件 则Ａ Ｂ 即
２＋ ≥０ꎬ解得 ｘ 所以集合 Ａ ｘ (２) ꎬ ⫋ ꎬ
ｘ －２≤ <４ꎬ ＝{ ｜－２ {ａ
４－ >０ꎬ ≤１ꎬ 解得 ａ .
≤
ｘ
<４}
. ａ２
＋ ２> ２＋１ꎬ
<－１
因为 ｐ 是 ｑ 的必要不充分条件 所以 当 名师点睛
(２) ꎬ ꎬ
Ｂ 时 ｍ ｍ 解得 ｍ 舍去 . 根据充分、必要条件求解参数范围的方法及误
＝⌀ ꎬ ＋１>２ －１ꎬ <２( )
ì ï ｍ ｍ 区警示
＋１≤２ －１ꎬ
ï
当 Ｂ 时 íｍ 解得 ｍ ５. .把充分条件、必要条件或充要条件转化为集
≠⌀ ꎬï ＋１≥－２ꎬ ２≤ < １
ï ２
î ｍ 合之间的关系ꎬ然后根据集合之间的关系列出
２ －１<４ꎬ
年
5
综上可知 实数 ｍ 的取值范围是
é
ê ê ５ ÷
ö
.
关于参数的不等式(组)求解.
高 ꎬ ë２ꎬ
２
ø .要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个
考 ２
3 ４.( 广东湛江一中、深圳实验学校联考ꎬ
年 ２０２２
集合之间的关系求解参数的取值范围时ꎬ不等
模 )函数 ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
拟 １８ ( ) ＝ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ２ ꎬ ∈
式是否能够取等号决定端点值的取舍ꎬ处理不
A æ
ç π
ö
÷的 值 域 为 集 合 Ａ 函 数 ｇ ｘ
当容易出现漏解或增解的现象.
版 è０ꎬ ø ꎬ ( ) ＝
２
高
考 ｘ ａ２
数 － － ２的定义域为集合Ｂ 记ｐ ｘ Ａ ｑ
学 ｌｎ ａ ｘ ꎬ : ∈ ꎬ :
－
１４
考向三 求充分、必要条件 对于 当 ａｂ 时 ａ２ ｂ２ 成立 反之 不
Ｂꎬ ≠０ ꎬ ＋ ≠０ ꎬ ꎬ
１.( 届沈阳四中月考ꎬ )已知 ａ ｘ ａ 成立 故 ａ２ ｂ２ 是 ａｂ 的必要条件 故
ꎬ ＋ ≠０ ≠０ ꎬ
２０２３ ３ >０ꎬ“ > ”
正确
是 ｘ２ ａ 的一个充分不必要条件 则
Ｂ ꎻ
“ > ” ꎬ ( )
ａ ａ
对于
Ｃꎬ
当 ａ
＝３ꎬ
ｂ
＝－３
时
ꎬ
ａｂ
≠０ꎬ
但此时 ａ３
＋
Ａ. ≥１ Ｂ.０< ≤１
ｂ３ 故 ａ３ ｂ３ 不是 ａｂ 的必要条件
ａ ａ ＝０ꎬ ＋ ≠０ ≠０ ꎬ
Ｃ.０< ≤ ２ Ｄ.１≤ ≤ ２
故 错误
答案 Ａ 依题意 ａ ｘ２ ａ ｘ ａ或 ｘ Ｃ ꎻ
ꎬ >０ꎬ > ⇔ <－ >
对于 当 ａ ｂ 时 ａｂ 但此时１
ａ 由于 ｘ ａ 是 ｘ２ ａ 的一个充分不必要 Ｄꎬ ＝３ꎬ ＝－３ ꎬ ≠０ꎬ ａ ＋
ꎬ “ > ” “ > ”
条件 所以 ａ ａ 则 ａ ａ ａ ａ
ꎬ ≤ ꎬ － ＝ ( －１)≥ １ 故１ １ 不是 ａｂ 的必要条件
ｂ ＝０ꎬ ａ ＋ ｂ ≠０ ≠０ ꎬ
ａ ａ ａ .故选
０ꎬ －１≥０ꎬ ≥１ꎬ ≥１ Ａ.
故 错误.故选 .
２.( 河北唐山玉田一中模拟ꎬ )二次函数 Ｄ Ｂ
２０２１ ４
５.(多选)( 辽宁省实验中学二模ꎬ )下列
ｆ ｘ ａｘ２ ｘ 在区间 上单调递增 ２０２１ ４
( )＝ ＋２ －１ (－∞ꎬ１)
四个选项中 ｑ 是 ｐ 的充分必要条件的是
的一个充分不必要条件为 ꎬ
( )
ａ ａ ( )
Ａ. >１ Ｂ. <－２
{ａ {ａ ｂ
ｐ ＝０ꎬｑ ＋ ＝０
１ ａ ａ
Ｃ.－ < <０ Ｄ.０< <１ Ａ. : ｂ : ａｂ
２ ＝０ꎬ ＝０
答案 Ｃ 因为二次函数 ｆ
(
ｘ
)＝
ａｘ２
＋２
ｘ
－１ ｐ
{ａ
＝１ꎬｑ
{ａ
＋
ｂ
＝２
在 区 间 上 单 调 递 增 所 以 Ｂ. : ｂ : ａｂ
( － ∞ꎬ １) ꎬ ＝１ꎬ ＝１
ìａ {ａ {ａ ｂ
ï ï <０ꎬ ｐ >０ꎬｑ ＋ >０
í 解得 ａ .因为只有 是其真 Ｃ. : ｂ : ａｂ
ï １ －１≤ <０ Ｃ >０ꎬ >０
î ï －ａ≥１ꎬ {ａ {ａ ｂ
ｐ >１ꎬｑ ＋ >２
子集 故选 . Ｄ. : ｂ : ａｂ
ꎬ Ｃ >１ꎬ >１
３.( 南京六校联考ꎬ )命题 ｘ ｘ２ 答案 ＡＢＣ 对于 由 ａ ｂ 可得 ａ
２０２１ ６ “∀ ∈[１ꎬ２]ꎬ Ａꎬ ＝０ꎬ ＝０ꎬ ＋
ａ 为真命题的一个充分不必要条件是 ｂ ａｂ 反之也成立 ｑ 是 ｐ 的充分必
－ ≤０” ＝０ꎬ ＝０ꎻ ꎬ∴
要条件
( ) ꎻ
ａ ａ ａ ａ 对于 由 ａ ｂ 可得 ａ ｂ ａｂ 反
Ａ. ≥４ Ｂ. ≥５ Ｃ. ≤４ Ｄ. ≤５ Ｂꎬ ＝１ꎬ ＝１ꎬ ＋ ＝２ꎬ ＝１ꎻ
答案 Ｂ 因为 ｘ ｘ２ ａ 所以 之也成立 ｑ 是 ｐ 的充分必要条件
∀ ∈[１ꎬ２]ꎬ － ≤０ꎬ ꎬ∴ ꎻ
ａ ｘ２ ｘ 所以 ａ .所以所求 对于 由ａ ｂ 可得ａ ｂ ａｂ 反之
≥( )ｍａｘꎬ ∈[１ꎬ２]ꎬ ≥４ Ｃꎬ >０ꎬ >０ꎬ ＋ >０ꎬ >０ꎻ
范围一定是 的真子集 因为 也成立 ｑ 是 ｐ 的充分必要条件
[４ꎬ＋∞) ꎬ [５ꎬ＋ ꎬ∴ ꎻ
所以 ａ 故选 对于 由ａ ｂ 可得ａ ｂ ａｂ 反之
∞)⫋[４ꎬ＋∞)ꎬ ≥５ꎬ Ｂ. Ｄꎬ >１ꎬ >１ꎬ ＋ >２ꎬ >１ꎻ
４.( 山东淄博模拟ꎬ )已知 ａ ｂ Ｒ 则 ａｂ
２０２１ ５ ꎬ ∈ ꎬ “ 不成立 例如取 ａ ｂ １. ｑ 是 ｐ 的必要
ꎬ ＝６ꎬ ＝ ∴
的一个必要条件是 ２
≠０” ( )
不充分条件.故选 专
ａ ｂ ａ２ ｂ２ ＡＢＣ. 题
Ａ. ＋ ≠０ Ｂ. ＋ ≠０ 一
ａ３ ｂ３ １ １ 考法 二 与全称（存在）量词命题有关的参 集
Ｃ. ＋ ≠０ Ｄ.ａ＋ｂ≠０ 合
数的求解方法 与
答案 Ｂ 对于 当 ａ ｂ 时 ａｂ 常
Ａꎬ ＝３ꎬ ＝－３ ꎬ ≠０ꎬ 用
此时 ａ ｂ 故 ａ ｂ 不是 ａｂ 的必要 考向一 全称（存在）量词命题的真假判断 逻
辑
＋ ＝０ꎬ ＋ ≠０ ≠０
用
条件 故 错误 １.( 山东莱芜实验中学开学考ꎬ )下列命 语
ꎬ Ａ ꎻ ２０２２ ３
１５
题中的假命题是 ａ ａ
Ａ.－４< ≤０ Ｂ.－４≤ <０
ｘ Ｒ ｘ ａ ａ
Ａ.∃ ∈ ꎬｌｇ ＝０ Ｃ.－３≤ ≤０ Ｄ.－４≤ ≤０
ｘ Ｒ ｘ 答案 Ａ 命题ｐ ｘ Ｒ ａｘ２ ａｘ 为
Ｂ.∃ ∈ ꎬｔａｎ ＝１ :∃ ∈ ꎬ ＋２ －４≥０
ｘ Ｒ ｘ３ 假命题 即命题¬ ｐ ｘ Ｒ ａｘ２ ａｘ
Ｃ.∀ ∈ ꎬ >０ ꎬ :∀ ∈ ꎬ ＋２ －４<０
ｘ Ｒ ｘ 为真命题.
Ｄ.∀ ∈ ꎬ２ >０
答案 Ｃ 对于 ｘ Ｒ ｘ 当 ｘ 当 ａ 时 恒成立 符合题意
Ａꎬ∃ ∈ ꎬｌｇ ＝０ꎬ ＝１ ＝０ ꎬ－４<０ ꎬ ꎻ
时成立. 当 ａ 时 则 ａ 且 Δ ａ ２ ａ 即
≠０ ꎬ <０ ＝(２ ) ＋１６ <０ꎬ －
ａ .
对于 ｘ Ｒ ｘ 当 ｘ ｋ π ｋ Ｚ ４< <０
Ｂꎬ∃ ∈ ꎬｔａｎ ＝１ꎬ ＝ π＋ ꎬ ∈
综上可知 ａ .故选
４
ꎬ－４< ≤０ Ａ.
时成立.
２.( 河北唐山玉田一中模拟ꎬ )若 ｘ
２０２１ ５ “∃ ∈
对于 ｘ Ｒ ｘ３ 当 ｘ 时不成立 故
Ｃꎬ∀ ∈ ꎬ >０ꎬ <０ ꎬ Ｒ ｘ ｘ ａ 为真命题 则实数 ａ 的
为假命题. ꎬｓｉｎ － ３ｃｏｓ ＝ ” ꎬ
取值范围是
对于 ｘ Ｒ ｘ 成立 故选 ( )
Ｄꎬ∀ ∈ ꎬ２ >０ ꎬ Ｃ.
２.(多选)( 海南海口四中期中ꎬ )下列关
Ａ.[－２ꎬ２]
２０２２ ６
Ｂ.(－２ꎬ２)
于二次函数 ｙ ｘ ２ 的说法正确的是
＝( －２) －１
Ｃ.(－∞ꎬ－２]∪[２ꎬ＋∞)
( )
Ｄ.(－∞ꎬ－２)∪(２ꎬ＋∞)
ｘ Ｒ ｙ ｘ ２
Ａ.∀ ∈ ꎬ ＝( －２) －１≥１ 答案 Ａ 若 ｘ Ｒ ｘ ｘ ａ 则
ａ ｘ Ｒ ｙ ｘ ２ ａ “∃ ∈ ꎬｓｉｎ － ３ｃｏｓ ＝ ꎬ
Ｂ.∀ >－１ꎬ∃ ０∈ ꎬ ＝( ０ －２) －１< æ ö
Ｃ.∀ ａ <－１ꎬ∃ ｘ ０∈ Ｒ ꎬ ｙ ＝( ｘ ０ －２) ２ －１＝ ａ ｓｉｎ ｘ － ３ｃｏｓ ｘ ＝２ｓｉｎè çｘ － π ３ ø ÷ ＝ ａ 有解 ꎬ∵ ２ｓｉｎ
ｘ ｘ ｘ ２ ｘ ２ æ ö
Ｄ.∃ １≠ ２ꎬ( １ －２) －１＝( ２ －２) －１ çｘ π÷ ａ 故选
答案 ＢＤ 二次函数 ｙ ｘ ２ 的图象 è － ø∈[－２ꎬ２]ꎬ∴ ∈[－２ꎬ２]ꎬ Ａ.
＝( －２) －１ ３
的开口向上 对称轴为直线 ｘ 最小值为 ３.(多选)( 鄂东南三校适应考ꎬ )给定
ꎬ ＝２ꎬ ２０２２ １０
. 命题 ｐ ｘ ｍ 都有 ｘ２ .若命题 ｐ 为假命
－１ :∀ > ꎬ >８
对于 ｘ Ｒ ｙ ｘ ２ 所以 题 则实数 ｍ 可以是
Ａꎬ∀ ∈ ꎬ ＝( －２) －１≥－１ꎬ Ａ ꎬ ( )
错误
ꎻ Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.４
对于 ａ ｘ Ｒ ｙ ｘ ２ ａ 答案 ＡＢ 因为命题 ｐ 为假命题 所以命题
Ｂꎬ∀ >－１ꎬ∃ ０∈ ꎬ ＝( ０ －２) －１< ꎬ
正确 ｐ 的否定 ｘ ｍ ｘ２ 是真命题.当 ｍ
ꎻ :∃ > ꎬ ≤８ ＝ １
对于 Ｃꎬ∀ ａ <－１ꎬ∃ ｘ ０∈ Ｒ ꎬ ｙ ＝( ｘ ０ －２) ２ －１＝ ａ 时 ꎬ ｘ >１ꎬ 取 ｘ ＝ ２ꎬ２ ２ <８ꎬ 所以选项 Ａ 符合
错误 题意
ꎻ ꎻ
对于 Ｄꎬ 由于二次函数的图象关于直线 ｘ ＝２ 当 ｍ ＝２ 时 ꎬ ｘ >２ꎬ 取 ｘ ＝２ . ５ꎬ２ . ５ ２ <８ꎬ 所以选项
5
年 对称 因此 ｘ ｘ ｘ ２ ｘ ２ 符合题意
高 ꎬ ∃ １≠ ２ꎬ( １ －２) －１＝( ２ －２) －１ Ｂ ꎻ
考 正确.因此选 当 ｍ 时 ｘ ｘ２ ｘ２ 不成立 所以选
3 ＢＤ. ＝３ ꎬ >３ꎬ >９ꎬ ≤８ ꎬ
年 考向二 已知全称（存在）量词命题的真 项 不符合题意
模 Ｃ ꎻ
拟
假，求参数范围 当 ｍ 时 ｘ ｘ２ ｘ２ 不成立 所以
A ＝４ ꎬ >４ꎬ >１６ꎬ ≤８ ꎬ
版 １.( 届长沙长郡中学月考ꎬ )命题 ｐ ｘ 选项 不符合题意.故选 .
２０２３ ４ :“∃ Ｄ ＡＢ
高
考 ∈
Ｒ
ꎬ
ａｘ２
＋２
ａｘ
－４≥０”
为假命题
ꎬ
则 ａ 的取值 ４.(
２０２１
江苏阜宁中学二模ꎬ
１５
)已知命题 ｐ
:
数
学 范围是 ｘ ａｘ ｘ .若命题 ｐ 的否定是真命
( ) ∀ >０ꎬ２ －ｌｎ ≥０
１６
题 则实数 ａ 的取值范围是 . ５.( 河北衡水中学二调ꎬ ) 已知命题
ꎬ ２０２２ １４
答案
æ
ç １
ö
÷ “∃
ｘ
∈
Ｒ
ꎬ
ｍｘ２
－
ｍｘ
＋１≤０”
是假命题
ꎬ
则实数
è－∞ꎬ ø
２ｅ ｍ 的取值范围是 .
解析 命题 ｐ 的否定是 ｘ ａｘ ｘ
∃ >０ꎬ２ －ｌｎ <０ꎬ 答案
[０ꎬ４)
ｘ ｘ
所以 ａ ｌｎ 能成立 令 ｆ ｘ ｌｎ ｘ 则 ｆ ′ 解析 由题意得 ｘ Ｒ ｍｘ２ ｍｘ 为
< ｘ ꎬ ( )＝ ｘ ꎬ >０ꎬ “∀ ∈ ꎬ － ＋１>０”
２ ２ 真命题.当 ｍ 时 符合题意
ｘ ＝０ ꎬ１>０ꎬ ꎻ
ｘ １－ｌｎ 令 ｆ ′ ｘ 得 ｘ 则ｆ ｘ 在 {ｍ
( )＝ ｘ２ ꎬ ( )＝ ０ꎬ ＝ｅꎬ ( ) 当 ｍ 时 有 >０ꎬ 解得 ｍ .
２ ≠０ ꎬ ｍ ２ ｍ ０< <４
上单调递增 在 上单调递减 (－ ) －４ <０ꎬ
(０ꎬｅ) ꎬ (ｅꎬ＋∞) ꎬ
综上 ｍ .
所以 ｆ ｘ 的极大值也是最大值 为 ｆ ꎬ０≤ <４
( ) ꎬ (ｅ)＝
１ 所以 ａ １.
ꎬ <
２ｅ ２ｅ
专
题
一
集
合
与
常
用
逻
辑
用
语
１７
专题综合检测
一、单项选择题 故选
{２ꎬ３ꎬ４}ꎬ Ｃ.
１.( 辽宁大连一模ꎬ )已知全集 Ｕ Ｒ 集 ５.( 石家庄二中月考ꎬ )已知全集 Ｕ Ｒ
２０２２ ２ ＝ ꎬ ２０２２ １ ＝ ꎬ
合 Ａ Ｂ ｘ ｘ 则图中 集合 Ｍ ｘ ｘ２ ｘ 集合 Ｎ ｙ ｙ
＝{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５}ꎬ ＝{ ｜０< <４}ꎬ ＝{ ｜ ＋ －２≤０}ꎬ ＝{ ｜ ＝
阴影部分表示的集合为
ｘ 则 Ｍ Ｎ 等于
( ) ３－ }ꎬ (∁Ｕ )∪ ( )
ｘ ｘ 或 ｘ
Ａ.{ ｜ <－２ ≥０}
ｘ ｘ
Ｂ.{ ｜ >１}
ｘ ｘ 或 ｘ
Ｃ.{ ｜ <－１ １< ≤３}
Ａ.{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４} Ｂ.{１ꎬ２ꎬ３}
Ｒ
Ｄ.
Ｃ.{４ꎬ５} Ｄ.{５}
答案 Ａ 解不等式 ｘ２ ｘ 得 ｘ
答案 Ｃ 图中阴影部分表示的集合为 Ａ ＋ －２≤０ －２≤ ≤
∩
则 Ｍ 又 Ｎ ｙ
Ｂ 又 Ｂ ｘ ｘ 或ｘ 所以Ａ Ｂ １ꎬ ∁Ｕ ＝(－∞ꎬ－２)∪(１ꎬ＋∞)ꎬ ＝{ ｜
∁Ｕ ꎬ ∁Ｕ ＝{ ｜ ≥４ ≤０}ꎬ ∩∁Ｕ
ｙ ｘ 所以 Ｍ Ｎ ｘ ｘ
＝{４ꎬ５}
.故选
Ｃ.
＝ ３－ }＝[０ꎬ＋∞)ꎬ (∁Ｕ )∪ ＝{ ｜
或 ｘ .故选
２.( 重庆云阳江口中学期末ꎬ )已知集合
<－２ ≥０} Ａ.
２０２２ １
Ａ ｘ ｙ ｘ Ｂ ｙ ｙ ｜ ｘ ｜ 则 Ａ ６.( ２０２２ 重庆七中期中ꎬ １ )已知集合 Ｍ ＝{－２ꎬ
＝{ ｜ ＝ｌｏｇ２(２－ )}ꎬ ＝{ ｜ ＝２ }ꎬ
Ｂ Ｎ 下列结论成立的是
∩ ＝ ( ) １ꎬ２ꎬ３}ꎬ ＝{－２ꎬ２}ꎬ
Ａ.(０ꎬ２) Ｂ.(１ꎬ２) ( )
Ｍ Ｎ Ｍ Ｎ
Ｃ.[１ꎬ２) Ｄ.(－∞ꎬ２) Ａ. ⊆ Ｂ. ∩ ＝⌀
答案 Ｃ ∵ ｜ ｘ ｜≥０ꎬ∴ ｙ ＝２ ｜ ｘ ｜ ≥２ ０ ＝１ꎬ 故 Ｂ Ｃ. Ｍ ∪ Ｎ ＝ Ｍ Ｄ.∁Ｍ Ｎ ＝{１}
答案 Ｃ 对于 集合 Ｍ Ｎ
＝[１ꎬ＋∞)ꎬ Ａꎬ ＝{－２ꎬ１ꎬ２ꎬ３}ꎬ
又 Ａ ｘ ｙ ｘ ｘ ｘ 不满足 Ｍ Ｎ 则 不成立
＝{ ｜ ＝ｌｏｇ２(２－ )} ＝{ ｜２－ >０} ＝(－ ＝{－２ꎬ２}ꎬ ⊆ ꎬ Ａ ꎻ
Ａ Ｂ .故选 对于 Ｍ Ｎ 则 不成立
∞ꎬ２)ꎬ∴ ∩ ＝[１ꎬ２) Ｃ. Ｂꎬ ∩ ＝{－２ꎬ２}ꎬ Ｂ ꎻ
３.(
２０２２
石家庄二中月考ꎬ
２
)命题
“∃
ｘ
∈
Ｒ
ꎬ
ｘ２ 对于
Ｃꎬ
Ｍ
∪
Ｎ
＝
Ｍ
ꎬ
则
Ｃ
成立
ꎻ
的否定是 对于 Ｎ 则 不成立.故选
＋１<０” ( ) Ｄꎬ∁Ｍ ＝{１ꎬ３}ꎬ Ｄ Ｃ.
ｘ Ｒ ｘ２ ｘ Ｒ ｘ２ ７.( 山东烟台三模ꎬ )若集合 Ａ ｘ ｘ
Ａ.∀ ∈ ꎬ ＋１<０ Ｂ.∀ ∈ ꎬ ＋１≥０ ２０２２ １ ＝{ ｜ ≥
ｘ Ｒ ｘ２ ｘ Ｒ ｘ２ Ｂ ｘ ｘ２ ｘ 则 Ａ Ｂ
Ｃ.∃ ∈ ꎬ ＋１≤０ Ｄ.∃ ∈ ꎬ ＋１≥０ ２}ꎬ ＝{ ｜ －２ <３}ꎬ (∁Ｒ )∩ ＝ ( )
答案 Ｂ 根据存在量词命题的否定是全称量 ｘ ｘ ｘ ｘ
Ａ.{ ｜２≤ <３} Ｂ.{ ｜－１< <２}
词命题 可知命题 ｘ Ｒ ｘ２ 的否定是 ｘ ｘ ｘ ｘ
ꎬ “∃ ∈ ꎬ ＋１<０” Ｃ.{ ｜２< <３} Ｄ.{ ｜－１< ≤２}
ｘ Ｒ ｘ２ .故选 答案 Ｂ 由 ｘ２ ｘ 即 ｘ ｘ
5 “∀ ∈ ꎬ ＋１≥０” Ｂ. －２ <３ꎬ ( －３)( ＋１)<０ꎬ
年 ４.( 广东江门陈经纶中学月考ꎬ )设集合 解得 ｘ 所以 Ｂ ｘ ｘ 因为 Ａ
高 ２０２２ １ －１< <３ꎬ ＝{ ｜－１< <３}ꎬ
考 Ａ ｘ ｘ Ｂ 则Ｂ Ａ ｘ ｘ 所以 Ａ ｘ ｘ 所以 Ａ
3 ＝{ ｜－２< <２}ꎬ ＝{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４}ꎬ ∩∁Ｒ ＝ ＝{ ｜ ≥２}ꎬ ∁Ｒ ＝{ ｜ <２}ꎬ (∁Ｒ )
年 Ｂ ｘ ｘ .故选
模 ( ) ∩ ＝{ ｜－１< <２} Ｂ.
拟
８.( 辽宁省部分中学期末ꎬ )设 Ａ Ｂ 是非
A Ａ.{１} Ｂ.{１ꎬ２} Ｃ.{２ꎬ３ꎬ４} Ｄ.{３ꎬ４} ２０２２ １ ꎬ
版 答案 Ｃ 因为 Ａ ｘ ｘ 所以 Ａ 空集合 定义 Ａ Ｂ ｘ ｘ Ａ Ｂ 且 ｘ
＝{ ｜－２< <２}ꎬ ∁Ｒ ＝ ꎬ ∗ ＝{ ｜ ∈( ∪ ) ∉
高 ｘ ｘ 或 ｘ 又 Ｂ 所以 Ａ Ｂ .已知 Ａ ｘ ｘ Ｂ ｘ ｘ
考 { ｜ ≤－２ ≥２}ꎬ ＝{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４}ꎬ ( ∩ )} ＝{ ｜０≤ ≤３}ꎬ ＝{ ｜ ≥
数
学 Ｂ ∩∁Ｒ Ａ ＝{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４}∩{ ｘ ｜ ｘ ≤－２ 或 ｘ ≥２}＝ １}ꎬ 则 Ａ ∗ Ｂ ＝ ( )
１８
ｘ ｘ ìｆ
ï
Ａ.{ ｜１≤ <３} (１)>０ꎬ
ï
ｘ ｘ ï ｍ
Ｂ.{ ｜１≤ ≤３} 不同的零点均大于 所以 í － 即
ｘ ｘ 或 ｘ
１ꎬ ï－ >１ꎬ
２
Ｃ.{ ｜０≤ <１ >３} ï
ï
ｘ ｘ 或 ｘ
îΔ
>０ꎬ
Ｄ.{ ｜０≤ ≤１ ≥３}
答案 Ｃ 因为Ａ ｘ ｘ Ｂ ｘ ｘ ì ï ｍ
＝{ ｜０≤ ≤３}ꎬ ＝{ ｜ ≥ ï
１－ ＋９>０ꎬ
所以Ａ Ｂ ｘ ｘ Ａ Ｂ ｘ ｘ ï ｍ
１}ꎬ ∪ ＝{ ｜ ≥０}ꎬ ∩ ＝{ ｜１≤ ≤ í － 解得 ｍ .
ï－ >１ꎬ ６< <１０
则Ａ Ｂ ｘ ｘ Ａ Ｂ 且ｘ Ａ Ｂ ２
ï
３}ꎬ ∗ ＝{ ｜ ∈( ∪ ) ∉( ∩ )} ï
îｍ２
ｘ ｘ 或 ｘ .故选 －３６>０ꎬ
＝{ ｜０≤ <１ >３} Ｃ.
９.( 河北邢台期末ꎬ )若 ｘ ｙ ｚ 为非零实
所以选项
Ａ
是函数 ｆ
(
ｘ
)＝
ｘ２
－
ｍｘ
＋９
的两个
２０２２ ３ ꎬ ꎬ
不同的零点均大于 的既不充分也不必要
数 则 ｘ ｙ ｚ 是 ｘ ｙ ｚ 的 １
ꎬ “ < < ” “ ＋ <２ ” ( )
条件 选项 是函数 ｆ ｘ ｘ２ ｍｘ 的两个
充分不必要条件 ꎻ Ｂ ( )＝ － ＋９
Ａ.
不同的零点均大于 的充分不必要条件 选
必要不充分条件 １ ꎻ
Ｂ.
项 是函数 ｆ ｘ ｘ２ ｍｘ 的两个不同的
充要条件 Ｃ ( )＝ － ＋９
Ｃ.
零点均大于 的充要条件 选项 是函数 ｆ
既不充分也不必要条件 １ ꎻ Ｄ
Ｄ.
答案 Ａ 因为 ｘ ｚ ｙ ｚ 所以 ｘ ｙ ｚ 故充 (
ｘ
)＝
ｘ２
－
ｍｘ
＋９
的两个不同的零点均大于
１
< ꎬ < ꎬ ＋ <２ ꎬ
的必要不充分条件.
分性成立
ꎻ
二、多项选择题
当 ｘ ｙ ｚ . 时 满足 ｘ ｙ ｚ 但不满
＝３ꎬ ＝１ꎬ ＝２ ５ ꎬ ＋ <２ ꎬ
１２.( 石家庄二中月考ꎬ )已知 ａ ｂ ｃ
足 ｘ ｙ ｚ 故必要性不成立.故选
２０２２ １０ ꎬ ꎬ ∈
< < ꎬ Ａ.
Ｒ 则使得 ａ ｂ 成立的充分不必要条件可为
１０.( 石家庄二中月考ꎬ )已知 ｐ ｘ
ꎬ >
２０２２ ８ :－３< <
ｑ ｘ２ ａ ｘ ａ 若 ｑ 是 ｐ 的必要而 ( )
５ꎬ : ＋( ＋３) ＋３ <０ꎬ
不充分条件
ꎬ
则 ａ 的取值范围是
( ) Ａ.
ａ２
>
ｂ２
Ｂ.
１
ａ<
１
ｂ Ｃ.
ａｃ２
>
ｂｃ２
Ｄ.
ａ
>
ｂ
＋１
Ａ.(５ꎬ＋∞) Ｂ.[５ꎬ＋∞)
答案 ＣＤ 对于 若 ａ２ ｂ２ 不一定有 ａ
Ａꎬ > ꎬ >
Ｃ.(－∞ꎬ－５) Ｄ.(－∞ꎬ－５]
ｂ 如 ａ ｂ
答案 Ｃ 设 ｐ ｘ 对应的集合为 Ａ ꎬ ＝－２ꎬ ＝０ꎬ
:－３< <５ ＝
ａ２ ｂ２ 不是 ａ ｂ 的充分条件 错误
由ｑ 是ｐ 的必要而不充分条件 得ｐ > > ꎬＡ ꎻ
(－３ꎬ５)ꎬ ꎬ
ｑ 而 ｑ / ｐ.设不等式 ｘ２ ａ ｘ ａ ｘ 对于 当 ａ ｂ 时 １ １ 但是 ａ ｂ 不
⇒ ꎬ ⇒ ＋( ＋３) ＋３ ＝( ＋ Ｂꎬ <０ꎬ >０ ꎬａ < ｂꎬ >
ｘ ａ 的解集为 Ｂ 则 Ａ Ｂ ａ
３)( ＋ )<０ ꎬ ⫋ ꎬ∴ － >５ꎬ 成立
即 ａ ａ 的取值范围是 .故 ꎬ
<－５ꎬ∴ (－∞ꎬ－５)
选 则１ １不是 ａ ｂ 的充分条件 错误
Ｃ.
ａ<ｂ > ꎬＢ ꎻ
１１.(
２０２２
福建龙岩三模ꎬ
６
)函数 ｆ
(
ｘ
)＝
ｘ２
－
ｍｘ
对于 若 ａｃ２ ｂｃ２ 必有 ａ ｂ 反之若 ａ ｂ 则
Ｃꎬ > ꎬ > ꎬ > ꎬ
的两个不同的零点均大于 的一个充分
＋９ １
ａｃ２ ｂｃ２
≥ ꎬ
不必要条件是
( )
则 ａｃ２
>
ｂｃ２ 是 ａ
>
ｂ 成立的充分不必要条件
ꎬＣ
专
题
ｍ ｍ 一
正确
Ａ. ∈(２ꎬ６) Ｂ. ∈(６ꎬ８)
ꎻ
集
ｍ ｍ
Ｃ. ∈(６ꎬ１０) Ｄ. ∈(６ꎬ＋∞) 对于 若 ａ ｂ 而 ｂ ｂ 必有 ａ ｂ 合
Ｄꎬ > ＋１ꎬ ＋１> ꎬ > ꎬ 与
答案 Ｂ 因为函数 ｆ
(
ｘ
)＝
ｘ２
－
ｍｘ
＋９
的两个
反之 若 ａ ｂ 不一定有 ａ ｂ 则 ａ ｂ 是 常
ꎬ > ꎬ > ＋１ꎬ > ＋１ 用
逻
ａ ｂ 成立的充分不必要条件 正确.故
辑
> ꎬＤ
用
选 语
ＣＤ.
１９
１３.( 石家庄二中月考ꎬ )下列说法错误 三、填空题
２０２１ １０
的是 １４.( 广东江门陈经纶中学月考ꎬ )已知
( ) ２０２２ １４
已知ａ ｂ 为正实数 且ａｂ ａ ｂ 则 ａ ｐ ｍ ｘ ｍ ｑ ｘ 若 ｑ 是 ｐ 的必要
Ａ. ꎬ ꎬ ＋２ ＋ ＝６ꎬ ２ : －１< < ＋１ꎬ :２< <６ꎬ
ｂ 的最小值为 不充分条件 则实数 ｍ 的取值范围为
＋ ４ ꎬ
.
当 ｘ 时 ｘ ２的最小值是
Ｂ. >２ ꎬ ＋ ｘ ２ ２ 答案
[３ꎬ５]
设集合 Ａ ｘ ｘ２ ｘ Ｂ ｍ 且 解析 ｑ 是 ｐ 的必要不充分条件
Ｃ. ＝{ ｜ － －６<０}ꎬ ＝{１ꎬ }ꎬ ∵ ꎬ
Ａ Ｂ 有 个子集 则实数 ｍ 的取值范围 由 ｐ 能得到 ｑ 而由 ｑ 得不到 ｐ
∩ ４ ꎬ ∴ ꎬ ꎬ ∴
是 {ｍ
(－２ꎬ３) －１≥２ꎬ解得 ｍ ｍ 的取值范围是
已知集合 Ａ ｘ ｘ Ｂ ｘ ｍ ｍ ３≤ ≤５ꎬ∴
Ｄ. ＝{ ｜－２≤ ≤７}ꎬ ＝{ ｜ ＋１ ＋１≤６ꎬ
ｘ ｍ 则使 Ｂ Ａ Ｂ 成立的 ｍ .
< <２ －１}ꎬ ⊆( ∩ ) [３ꎬ５]
的范围是 ｍ 四、解答题
－３≤ ≤４
答案 ＢＤ 对于 由 ａｂ ａ ｂ ａ ｂ １５.( 海南联考ꎬ )已知集合 Ａ ｘ ｘ
Ａꎬ ＋２ ＋ ＝( ＋１)( ２０２２ １７ ＝{ ｜１≤
可得 ａ ｂ 因为 ａ Ｂ ｘ ｘ ａ ｘ ａ Ｒ .
＋２)－２＝６ꎬ (２ ＋２)( ＋２)＝ １６ꎬ ２ ≤５}ꎬ ＝{ ｜( － )( －３)>０}( ∈ )
ｂ 所以 ａ ｂ 若 ａ 求 Ａ Ｂ
＋２>０ꎬ ＋２>０ꎬ (２ ＋２) ＋( ＋２)≥２ (１) ＝－１ꎬ ∪ ꎻ
ａ ｂ 当且仅当 ａ ｂ 即 若 Ａ Ｂ Ｒ 求 ａ 的取值范围.
(２ ＋２)( ＋２)＝ ８ꎬ ２ ＋２＝ ＋２ꎬ (２) ∪ ＝ ꎬ
ｂ ａ 时等号成立 所以 ａ ｂ 即 ａ ｂ 解析 当 ａ 时 Ｂ ｘ ｘ ａ ｘ
＝２ ꎬ ２ ＋ ＋４≥８ꎬ ２ ＋ (１) ＝－１ ꎬ ＝{ ｜( － )( －３)
ìａｂ ａ ｂ ｘ ｘ 或 ｘ 又 Ａ ｘ ｘ
ï
＋２ ＋ ＝６ꎬ >０} ＝ { ｜ <－１ >３}ꎬ ＝{ ｜１≤ ≤
ï
联立íｂ ａ 解得 ａ ｂ 所以 所以 Ａ Ｂ ｘ ｘ 或 ｘ .
≥４ꎬ ï ＝２ ꎬ ＝１ꎬ ＝２ꎬ ５}ꎬ ∪ ＝{ ｜ <－１ ≥１}
î ï ａ ｂ 当 ａ 时 Ｂ ｘ ｘ ａ ｘ ｘ
>０ꎬ >０ꎬ (２) >３ ꎬ ＝{ ｜( － )( －３)>０} ＝{
ａ ｂ 的最小值为 .故 正确 ｘ 或 ｘ ａ 因为 Ａ Ｂ Ｒ 所以 ａ .
２ ＋ ４ Ａ ꎻ ｜ <３ > }ꎬ ∪ ＝ ꎬ ３< ≤５
当 ａ 时 Ｂ ｘ ｘ ａ ｘ ｘ ｘ ａ
<３ ꎬ ＝{ ｜( － )( －３)>０}＝{ ｜ <
对于 因为 ｘ 所以 ｘ ２ ｘ ２
Ｂꎬ >０ꎬ ＋ ｘ ≥２ ｘ ＝ 或 ｘ
>３}ꎬ
因为 Ａ Ｂ Ｒ 所以 ａ .
当且仅当 ｘ ２ 即 ｘ 时等号成立 ∪ ＝ ꎬ １≤ <３
２ ２ꎬ ＝ ｘ ꎬ ＝２ ꎬ 当 ａ 时 Ｂ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
＝３ ꎬ ＝{ ｜( －３)( －３)>０} ＝{ ｜
因为 ｘ 所以等号取不到.故 错误 此时 Ａ Ｂ Ｒ 满足题意.
>２ꎬ Ｂ ꎻ ≠３}ꎬ ∪ ＝ ꎬ
对于 集合 Ａ ｘ ｘ２ ｘ ｘ ｘ 综上所述 ａ 故 ａ 的取值范围为
Ｃꎬ ＝{ ｜ － －６<０} ＝{ ｜－２< < ꎬ１≤ ≤５ꎬ [１ꎬ
由 Ａ Ｂ 有 个子集 可得 Ａ Ｂ 中有 .
３}ꎬ ∩ ４ ꎬ ∩ ２ ５]
个元素 因为集合 Ｂ ｍ 有 个元素 所 １６.( 湖北襄阳四中考试ꎬ )已知命题 ｐ
ꎬ ＝{１ꎬ } ２ ꎬ ２０２２ １７ :
以 Ｂ Ａ 所以 Ａ ｍ Ａ 故 ｍ 故 ｘ Ｒ ｘ２ ｘ ａ２ 命题ｐ 为真命题时实
5 ⊆ ꎬ １∈ ꎬ ∈ ꎬ －２< <３ꎬ Ｃ ∃ ∈ ꎬ －２ ＋ ＝０ꎬ
年 正确 数 ａ 的取值集合为 Ａ.
高 ꎻ
考
对于 因为 Ｂ Ａ Ｂ 所以 Ａ Ｂ Ｂ 即 求集合 Ａ
3 Ｄꎬ ⊆( ∩ )ꎬ ∩ ＝ ꎬ (１) ꎻ
年
Ｂ Ａ. 若集合 Ｂ 则 ｍ ｍ 即 ｍ 设集合 Ｂ ａ ｍ ａ ｍ 若 ｘ Ｂ
模
⊆ ① ＝⌀ꎬ ＋１≥２ －１ꎬ (２) ＝{ ｜２ －３< < ＋１}ꎬ ∈
拟
ìｍ ｍ 是 ｘ Ａ 的必要不充分条件 求实数 ｍ 的取
ï
A ＋１<２ －１ꎬ ∈ ꎬ
ï
版 若集合Ｂ 则íｍ 解得 值范围.
≤２ꎻ② ≠⌀ꎬ ï ＋１≥－２ꎬ ２
高
考
î ï
２
ｍ
－１≤７ꎬ
解析
(１)
命题 ｐ 为真命题
ꎬ
则 Δ
＝４－４
ａ２
≥
数
学 ｍ .综上 可得 ｍ .故 错误 故选 得 ａ Ａ ａ ａ .
< ≤４ ꎬ ≤４ Ｄ ꎬ ＢＤ. ０ꎬ －１≤ ≤１ꎬ∴ ＝{ ｜－１≤ ≤１}
２０
ｘ Ｂ 是 ｘ Ａ 的必要不充分条件 Ａ }
(２)∵ ∈ ∈ ꎬ∴ ｘ .
<３
Ｂ.
⫋
{ æ ö２
ì ï ｍ 若 ａ ａ 即 ａ １ 则 Ｂ ｘ çｘ ３÷
ï ２ －３<－１ꎬ ① ３ ＝ ＋１ꎬ ＝ ꎬ ＝ è － ø <
í ｍ 解得 ｍ . ２ ２
∴ ï１< ＋１ꎬ ０< <１ }
ï 满足 Ｂ Ａ
î ２ ｍ －３< ｍ ＋１ꎬ ０ ＝⌀ꎬ ⊆∁Ｒ ꎻ
故实数 ｍ 的取值范围是 ｍ ｍ .
{ ｜０< <１} 若 ａ ａ 即 ａ １ 则 Ｂ ｘ ａ ｘ
１７.( 石家庄二中月考ꎬ )设全集为 Ｒ Ａ ② ３ > ＋１ꎬ > ꎬ ＝{ ｜ ＋１< <
２０２２ １７ ꎬ ２
ｘ ｘ２ ｘ Ｂ ｘ ｘ２ ａ ｘ ａ
＝{ ｜２ －５ －３≥０}ꎬ ＝{ ｜ －(４ ＋１) ＋ ３ }ꎬ
ａ２ ａ . ì ï
３ ＋３ <０} ａ １
ï ＋１≥－ ꎬ
(１) 当 ａ ＝－１ 时 ꎬ 求 Ａ ∩ Ｂ ꎬ(∁Ｒ Ａ )∪ Ｂ ꎻ { } ï ï ２
Ｂ ｘ １ ｘ í ａ 解得１
(２)
若
(∁Ｒ
Ａ
)∩
Ｂ
＝
Ｂ
ꎬ
求实数 ａ 的取值范围. ∵ ⊆ －
２
< <３ ꎬ∴ ï３ ≤３ꎬ
２
ï
{
解析
(１)
Ａ
＝{
ｘ
｜２
ｘ２
－５
ｘ
－３≥０} ＝
ｘ ｘ
≥ î
ï ï ａ
>
１
ꎬ
２
ａ
或 ｘ
< ≤１ꎻ
３ ≤
} { }
若 ａ ａ 即 ａ １ 则 Ｂ ｘ ａ ｘ ａ
１ 则 Ａ ｘ １ ｘ .
－ ꎬ ∁Ｒ ＝ － < <３ ③ ３ < ＋１ꎬ < ꎬ ＝{ ｜３ < < ＋
２
２ ２
ａ Ｂ ｘ ｘ２ ｘ ｘ ｘ
１}ꎬ
∵ ＝－１ꎬ∴ ＝{ ｜ ＋３ <０}＝{ ｜－３< <０}ꎬ
{ } ì ï
ａ １
∴ Ａ ∩ Ｂ ＝ ｘ ｘ ≥３ 或 ｘ ≤－ １ ∩{ ｘ ｜－３< ｘ < ï３ ≥－ ꎬ
２ { } ï ï ２
{ } { Ｂ ｘ １ ｘ íａ 解得 １
ｘ ｘ １ Ａ Ｂ ｘ １ ∵ ⊆ － < <３ ꎬ∴ ï ＋１≤３ꎬ －
０}＝ －３< ≤－ ꎬ(∁Ｒ )∪ ＝ － ２ ï ６
２ ２ ïａ １
ï
} î < ꎬ
ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ . ２
< <３ ∪{ ｜－３< <０}＝{ ｜－３< <３}
ａ １.
Ｂ ｘ ｘ２ ａ ｘ ａ２ ａ ｘ ｘ ≤ <
(２) ＝{ ｜ －(４ ＋１) ＋３ ＋３ <０}＝{ ｜( ２
{ {
ａ ｘ ａ .由 知 Ａ ｘ １ ｘ 综上所述 实数 ａ 的取值范围是 ａ １ ａ
－３ )( － －１)<０} (１) ∁Ｒ ＝ － < ꎬ － ≤
２ ６
} }
. .
<３ ≤１
{
Ａ Ｂ Ｂ Ｂ Ａ 即 Ｂ ｘ １
∵ (∁Ｒ )∩ ＝ ꎬ∴ ⊆∁Ｒ ꎬ ⊆ － <
２
专
题
一
集
合
与
常
用
逻
辑
用
语
２１
