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10.2 二项式定理
基础篇
考点 二项式定理
２５
Ｃ.－５ Ｄ.－
考向一 求二项展开式的特定项 ２
æ ｘ ö ｘ
１.( 北京ꎬ ꎬ 分)在 ｘ ５ 的展开式 答案 Ｄ è ç － ｙ ø ÷ ( ｘ ＋ ｙ ) ６ ＝ ( ｘ ＋ ｙ ) ６ － ｙ ( ｘ ＋
２０２０ ３ ４ ( －２) ２ ２
中 ｘ２ 的系数为 ｙ ６ ｘ ｙ ６ 的展开式的通项是 Ｔ ｋｘ６－ ｋ
ꎬ ( ) ) ꎬ( ＋ ) ｋ ＋１ ＝Ｃ６
Ａ.－５ Ｂ.５ Ｃ.－１０ Ｄ.１０ ｙｋ ꎬ 令 ６－ ｋ ＝２ꎬ 则 ｋ ＝４ꎬ 则 ( ｘ ＋ ｙ ) ６ 的展开式中
答案 Ｃ ｘ ５ 的展开式的通项是 Ｔ ｘ２ｙ４ 的系数为 ４ 令 ｋ 则 ｋ 则
( －２) ｋ ＋１ Ｃ６ ＝１５ꎬ ６－ ＝３ꎬ ＝３ꎬ
ｋ ｘ ５－ ｋ ｋ ｋ ｋｘ５ ２ －ｋ 令５－ ｋ ( ｘ ＋ ｙ ) ６ 的展开式中 ｘ３ｙ３ 的系数为 Ｃ ３ ６ ＝２０ꎬ
＝Ｃ５( ) (－２) ＝(－２) Ｃ５ ꎬ ＝ æ ｘ ö
２ 故ç ｙ÷ ｘ ｙ ６ 的展开式中 ｘ３ｙ４ 的系数是
解得 ｋ 因此 ｘ２ 的系数为 １ １ è － ø( ＋ ) ꎬ
２ꎬ ＝ １ꎬ (－２) Ｃ５ ＝ ２
故选 .
－１０ꎬ Ｃ １ ２５.故选
×１５－２０＝－ Ｄ.
２.( 山东枣庄二模ꎬ )若 ｘ６ ａ ａ ｘ ２ ２
２０２１ ６ ＝ ０ ＋ １( ＋１)＋
２.(多选)( 届广东东莞四中月考ꎬ )已
ａ ｘ ２ ａ ｘ ３ ａ ｘ ６ 则 ａ ２０２３ １１
２( ＋１) ＋ ３( ＋１) ＋＋ ６( ＋１) ꎬ ３ ＝ æ ａö
７
知二项式ç ｘ ÷ 的展开式中各项系数的
( ) è２ －ｘ ø
Ａ.２０ Ｂ.－２０ 和为 则下列结论正确的是
１ꎬ ( )
Ｃ.１５ Ｄ.－１５ ａ
答案 Ｂ 因为 ｘ６ ｘ ６ 所以展开 Ａ. ＝１
＝[( ＋１)－１] ꎬ 展开式中二项式系数之和为
式的通项为 Ｔ ｋ ｘ ６－ ｋ ｋ 令 Ｂ. ２５６
ｋ ＋１ ＝Ｃ６( ＋１) (－１) ꎬ
展开式中第 项为２８０
ｋ 则 ｋ 所以 ａ ３ ３ Ｃ. ５ ｘ
６－ ＝３ꎬ ＝３ꎬ
３
＝Ｃ６(－１) ＝－２０ꎬ
故选 . 展开式中 ｘ－５ 的系数为
Ｂ Ｄ. －１４
３.( 课标 理ꎬ ꎬ 分) æ çｘ２ ２ ö ÷ ６ 的展开 答案 ＡＣ 对于 Ａꎬ 令 ｘ ＝１ꎬ 可得 (２－ ａ ) ７ ＝
２０２０ Ⅲ １４ ５ è ＋ｘ ø
解得 ａ 故 正确
１ꎬ ＝１ꎬ Ａ ꎻ
式中常数项是 用数字作答 .
( ) 对于 二项式系数和为 ７ 故 错误
Ｂꎬ ２ ＝１２８ꎬ Ｂ ꎻ
答案
æ ö
２４０ ７
对于 ç ｘ １÷ 的展开式的通项为 Ｔ
解析 展开式的通项为 Ｔ ｋ ＋１ ＝Ｃ６ ｋ ( ｘ２ ) ６－ ｋ Ｃꎬè２ －ｘ ø ｋ ＋１ ＝
æ öｋ ｋ ７－ ｋ ｋｘ７－２ ｋ 第 项即 ｋ 所以 Ｔ
ç２ ÷ ｋ ｋｘ１２－３ ｋ 令 ｋ 解得 ｋ 故 Ｃ７２ (－１) ꎬ ５ ＝４ꎬ ５ ＝
è ｘ ø ＝２ Ｃ６ ꎬ １２－３ ＝０ꎬ ＝４ꎬ
４ ３ ４ｘ－１ ２８０ 故 正确
常数项为 ４ ４ . Ｃ７２ (－１) ＝ ｘ ꎬ Ｃ ꎻ
２ Ｃ６ ＝２４０
考向二 二项式系数与项的系数问题 对于 令 ｋ 解得 ｋ 所以展开式
Ｄꎬ ７－２ ＝－５ꎬ ＝６ꎬ
１.( 届湖北应城第一高级中学热身考试ꎬ )
中ｘ－５ 的系数为
６ １ ６
故 错误.故
２０２３ ４
Ｃ７２ (－１) ＝１４ꎬ Ｄ
选
æ ｘ ö ＡＣ.
在ç ｙ÷ ｘ ｙ ６ 的展开式中 ｘ３ｙ４ 的系数是
è － ø( ＋ ) ꎬ ３.(多选)( 辽宁六校协作体期中ꎬ )已知 专
２ ２０２２ ９ 题
十
æ ö
８
( ) ｆ ｘ çｘ３ １÷ 则
计
( )＝ è －ｘ ø ꎬ ( )
数
１５ 原
Ａ.２０ Ｂ. ｆ ｘ 的展开式中的常数项是 理
２ Ａ. ( ) ５６
４２３
ｆ ｘ 的展开式中的各项系数之和为 ｘ ６ ａ ａ ｘ ａ ｘ ２ ａ ｘ
Ｂ. ( ) ０ (２ ＋１) ＝ ０ ＋ １( ＋１)＋ ２( ＋１) ＋＋ ６( ＋
ｆ ｘ 的展开式中的二项式系数的最大值 下列结论正确的是
６
Ｃ. ( ) １) ꎬ ( )
是 ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ６
７０ Ａ. ０ － １ ＋ ２ － ３ ＋ ４ － ５ ＋ ６ ＝３
ｆ ｘ 的展开式中不含 ｘ４ 的项 ａ ａ
Ｄ. ( ) Ｂ. ２ ＋ ３ ＝１００
答案 ＢＣ ｆ ｘ 的展开式的通项为 Ｔ ａ ａ ａ ａ
( ) ｋ ＋１ ＝ Ｃ. １ ＋２ ２ ＋３ ３ ＋＋６ ６ ＝１２
æ öｋ 当 ｘ 时 ｘ ６ 除以 的余数
ｋ ｘ３ ８－ ｋç １÷ ｋ ｋｘ２４－４ ｋ Ｄ. ＝９９９ ꎬ(２ ＋１) ２ ０００
Ｃ８ ( ) è－ｘ ø ＝(－１) Ｃ８ ꎬ
是
１
令 ｋ 则 ｋ 常数项为 Ｔ ６ ６ 答案 ＡＣＤ 在展开式中 令 ｘ 即 ｘ
２４－４ ＝０ꎬ ＝６ꎬ ７ ＝(－１) Ｃ８ ꎬ ＋１＝－１ꎬ
错
＝２８ꎬＡ ꎻ 得 ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ６
＝－２ꎬ
０
－
１
＋
２
－
３
＋
４
－
５
＋
６
＝(－４＋１) ＝
令 ｋ 则 ｋ 第 项是含 ｘ４ 的项
正确
２４－４ ＝４ꎬ ＝５ꎬ ６ ꎬ ６
３ ꎬＡ ꎻ
错
Ｄ ꎻ ｘ ６ ｘ ６ 所 以 ａ ２
(２ ＋１) ＝ [－１＋２( ＋１)] ꎬ ２ ＝ Ｃ６
令 ｘ 得 ｆ 即各项系数之和为
＝１ꎬ (１)＝ ０ꎬ ０ꎬＢ ４ ２ ａ ３ ３ ３ ａ
(－１) ２ ＝６０ꎬ ３ ＝Ｃ６ (－１) ２ ＝－１６０ꎬ ２
正确
ꎻ ａ 错
＋ ３ ＝－１００ꎬＢ ꎻ
ｎ 因此二项式系数的最大值为 ４
＝８ꎬ Ｃ８ ＝７０ꎬＣ 令 ｔ ｘ 则 ｔ ６ ａ ａ ｔ ａ ｔ２ ａ ｔ６
正确.故选 ＝ ＋１ꎬ (２ －１) ＝ ０ ＋ １ ＋ ２ ＋＋ ６ ꎬ
ＢＣ. 两边对 ｔ 求导得 ｔ ５ ａ ａ ｔ ａ ｔ２
４.( 浙江ꎬ ꎬ 分)二项展开式 ｘ ５ １２(２ －１) ＝ １ ＋２ ２ ＋３ ３ ＋
２０２０ １２ ６ (１＋２ ) ＝ ａ ｔ５
ａ ａ ｘ ａ ｘ２ ａ ｘ３ ａ ｘ４ ａ ｘ５ 则ａ ＋６ ６ ꎬ
０ ＋ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５ ꎬ ４ ＝ ꎬ 令 ｔ 得 ａ ａ ａ 正确
＝１ꎬ １ ＋２ ２ ＋＋６ ６ ＝１２ꎬＣ ꎻ
ａ ａ ａ .
１ ＋ ３ ＋ ５ ＝ ｘ 时 ｘ ６ ６ ６
＝９９９ ꎬ(２ ＋１) ＝１ ９９９ ＝(２ ０００－１) ＝
答案
８０ １２２ ６ １ ５ ５
解析 二项展开式的通项 Ｔ ｋ ｘ ｋ ｋ
２ ０００ －Ｃ６２ ０００ ＋－Ｃ６ ×２ ０００＋１ꎬ
ｋ ＋１ ＝Ｃ５(２ ) ＝Ｃ５ 展开式右边共 项 前 项都是 的整
７ ꎬ ６ ２ ０００
ｋｘｋ
２ ꎬ
数倍 因此它除以 的余数是 正确.
ꎬ ２ ０００ １ꎬＤ
∴ ａ ４ ＝Ｃ ４ ５２ ４ ＝８０ꎻ ａ １ ＋ ａ ３ ＋ ａ ５ ＝Ｃ １ ５ ×２＋Ｃ ３ ５ ×２ ３ ＋ 故选
ＡＣＤ.
Ｃ ５ ５ ×２ ５ ＝１０＋８０＋３２＝１２２ . ２.( ２０２２ 湖北十一校联考二ꎬ １４ ) ８ １１ 除以 ９ 的余
５.(
２０２３
届浙江新高考研究测试ꎬ
１３
)多项式ｘ２
数是 .
ｘ８ ａ ａ ｘ ａ ｘ ７ ａ ｘ ８ 答案
＋ ＝ ０ ＋ １( ＋１)＋＋ ７( ＋１) ＋ ８( ＋１) ꎬ ８
则 ａ . 解析 的展开式的
３
＝
８
１１
＝(－１＋９)
１１
ꎬ(－１＋９)
１１
答案
－５６ 通项为 Ｔ ｋ ＋１ ＝Ｃ１ ｋ １(－１) １１－ ｋ ９ ｋ ꎬ 当 ｋ ＝０ 时 ꎬ
解析 ｘ２ ＋ ｘ８ ＝ ( ｘ ＋１－１) ２ ＋ ( ｘ ＋１－１) ８ ＝ Ｔ ０ １１ ０ .所以 １１ 除以 的
１ ＝Ｃ１１(－１) ９ ＝－１ ８ ９
( ｘ ＋１) ２ －２( ｘ ＋１)＋１＋( ｘ ＋１－１) ８ ꎬ 余数是 .
－１＋９＝８
( ｘ ＋１－１) ８ 的通项为 Ｔ ｋ ＋１ ＝ Ｃ８ ｋ (１＋ ｘ ) ８－ ｋ ３.( 届长沙雅礼实验中学入学考ꎬ )设 ａ
5 ２０２３ １５
ｋ
年 (－１) ꎬ Ｚ 且 ａ 若 ２０２１ ａ 能被 整除
高 ∈ ꎬ ０≤ <１３ꎬ ５１ ＋ １３ ꎬ
考 3 因为 ｘ２ ＋ ｘ８ ＝ ａ ０ ＋ ａ １( ｘ ＋１)＋＋ ａ ７( ｘ ＋１) ７ ＋ ａ ８ 则 ａ ＝ .
年 ｘ ８ 答案
模 ( ＋１) ꎬ
１
拟 所以令 ｋ ｋ 因此 ａ ５ ５ 解析
A
８－ ＝３⇒ ＝５ꎬ
３
＝Ｃ８(－１) ＝
∵ ５１ ＝ ５２－１ꎬ(５２－１)
２０２１
＝ Ｃ
０
２０２１
.
版
－５６ ２０２１ １ ２０２０ ２０２０ １
５２ －Ｃ２０２１５２ ＋＋Ｃ２０２１５２ －１ꎬ
高 考向三 余数问题 又 能被 整除 只需 ａ 能被
考
∵ ５２ １３ ꎬ∴ －１＋ １３
数
学 １.(多选)( 湖北黄冈中学三模ꎬ ) 设 整除 ａ Ｚ ａ ａ .
２０２２ １０ ꎬ∵ ∈ ꎬ０≤ <１３ꎬ∴ ＝１
４２４
综合篇
考法 一 求二项展开式中的特定项或特定项 ２ ２ ｘ２ ｘ３ 所以 ｘ３ 的系数为 .
Ｃ５(－１) ＝－３０ ꎬ －３０
故选
的系数
Ｄ.
æ ｙ ö
考向一 二项展开式中的特定项 ２.( 届辽宁丹东阶段测ꎬ )ç ÷ ｘ ｙ ８
２０２３ ４ è１－ｘ ø( ＋ )
１.( ２０２３ 届湖南岳阳月考ꎬ ６ ) ( ｘ － ｙ ＋２) ５ 的展开 的展开式中 ｘ２ｙ６ 的系数为
( )
式中 ｘ３ｙ 的系数为
ꎬ ( ) Ａ.－５６ Ｂ.－２８ Ｃ.２８ Ｄ.５６
æ ｙ ö ｙ
Ａ.８０ Ｂ.４０ Ｃ.－８０ Ｄ.－４０ 答案 Ｂ ç ÷ ｘ ｙ ８ ｘ ｙ ８
答案 Ｄ ｘ ｙ ５ ｘ ｙ ５ 的展开 è１－ｘ ø( ＋ ) ＝ ( ＋ ) － ｘ
( － ＋２) ＝[ －( －２)]
式中含 ｘ３ 的项为 Ｃ ２ ５ ｘ３ ( ｙ －２) ２ ꎬ( ｙ －２) ２ 的展 ( ｘ ＋ ｙ ) ８ ꎬ( ｘ ＋ ｙ ) ８ 的展开式的通项为 Ｔ ｋ ＋１ ＝
开式中含 ｙ 的项为 Ｃ １ ２ ｙ (－２)ꎬ 所以 ( ｘ － ｙ ＋２) ５ Ｃ８
ｋｘ８－ ｋｙｋ
ꎬ
ｙ
的展开式中 ꎬ ｘ３ｙ 的系数为 Ｃ ２ ５Ｃ １ ２(－２) 将含 ｘ２ｙ６ 的项记为 Ｍ ꎬ 则 Ｍ ＝ Ｃ ６ ８ ｘ２ｙ６ － ｘ
故选
＝－４０ꎬ Ｄ. ５ｘ３ｙ５ ｘ２ｙ６ ｘ２ｙ６ ｘ２ｙ６ 故含 ｘ２ｙ６
æ ö
５
Ｃ８ ＝ ２８ －５６ ＝ －２８ ꎬ
２.( 天津ꎬ ꎬ 分)在ççｘ ２÷÷ 的展开式 项的系数为 .故选 .
２０２０ １１ ５ è ＋ｘ２ø －２８ Ｂ
æ ｙ２ ö
中 ｘ２ 的系数是 . ３.( 课标 理ꎬ ꎬ 分)çｘ ÷ ｘ ｙ ５ 的展
ꎬ ２０２０ Ⅰ ８ ５ è ＋ｘ ø( ＋ )
答案
１０ 开式中 ｘ３ｙ３ 的系数为
æ öｋ ( )
解析 展开式的通项为 Ｔ ｋｘ５－ ｋçç２ ÷÷
ｋ ＋１ ＝Ｃ５ èｘ２ø ＝ Ａ.５ Ｂ.１０ Ｃ.１５ Ｄ.２０
答案 Ｃ 由二项式定理可得 ｘ ｙ ５ 的展
ｋ ｋ ｘ５－３ ｋ 令 ｋ ｋ Ｔ １ ( ＋ )
Ｃ５ ×２ × ꎬ ５－３ ＝２ꎬ∴ ＝１ꎬ∴ ２ ＝Ｃ５ × 开式中 ｘ２ｙ３ 的系数为 ３ ｘ４ｙ 的系数为
１ ｘ２ ｘ２ ｘ２ 的系数是 .
Ｃ５ ＝１０ꎬ
２ × ＝１０ ꎬ∴ １０ æ ｙ２ ö
３.( 届长沙市明德中学入学考ꎬ ) Ｃ １ ５ ＝５ꎬ 故 è çｘ ＋ｘ ø ÷ ( ｘ ＋ ｙ ) ５ 的展开式中 ｘ３ｙ３ 的
２０２３ １４
ｘ ｙ ｚ ４ 的展开式中 ｘ２ｙｚ 的系数是 . 系数为 .故选 .
( ＋２ － ) １０＋５＝１５ Ｃ
答案 ４.( 课标 理ꎬ ꎬ 分) ｘ２ ｘ ４ 的
－２４ ２０１９ Ⅲ ４ ５ (１＋２ )(１＋ )
解析 ｘ ｙ ｚ ４ 的展开式中含 ｘ２ 的项为 展开式中 ｘ３ 的系数为
( ＋２ － ) ( )
２ｘ２ ｙ ｚ ２ ｘ２ ｙ ｚ ２ 而 ｙ ｚ ２ 的展
Ｃ４ (２ － ) ＝６ (２ － ) ꎬ (２ － ) Ａ.１２ Ｂ.１６ Ｃ.２０ Ｄ.２４
开式中含 ｙｚ 的项为 Ｃ １ ２２ ｙ (－ ｚ )＝ －４ ｙｚ ꎬ 所以 答案 Ａ (１＋ ｘ ) ４ 的展开式的通项为 Ｔ ｋ ＋１ ＝
ｘ２ｙｚ 的系数为 . ｋｘｋ ｋ 故 ｘ２ ｘ ４ 的
－２４ Ｃ４ ( ＝０ꎬ１ꎬ２ꎬ３ꎬ４)ꎬ (１＋２ )(１＋ )
考向二 两个二项式相乘问题 展开式中 ｘ３ 的系数为 ３ １ .故选 .
Ｃ４ ＋２Ｃ４ ＝１２ Ａ
１.( 届辽宁六校期初考试ꎬ )在 ｘ ５.( ２０２３ 届江苏泰州中学调研ꎬ ５ ) ( ｘ ＋１) ５
２０２３ ４ (１－２ )(１
æ ö
ｘ ５ 的展开式中 ｘ３ 的系数为 ç２ ÷的展开式中 一次项的系数与常数项
－ ) ꎬ ( ) è ｘ ＋１ø ꎬ
Ａ.１０ Ｂ.－１０ Ｃ.３０ Ｄ.－３０ 之和为
答案 Ｄ ｘ ｘ ５ ｘ ５ ｘ ( )
(１－２ )(１－ ) ＝(１－ ) －２ (１－ 专
题
ｘ ５ 其中 ｘ ５ 的展开式的通项为 Ｔ ｋ Ａ.３３ Ｂ.３４ Ｃ.３５ Ｄ.３６ 十
) ꎬ (１－ ) ｋ ＋１ ＝Ｃ５ 答案 Ｄ 因为 ｘ ５ 的通项为 Ｔ
ｘ ｋ ｋ ｋ ｘｋ 所以 ｘ ｘ ５ ( ＋１) ｋ ＋１ ＝ 计
(－ ) ＝Ｃ５(－１) ꎬ (１－２ )(１－ )
ｋｘ５－ ｋ ｋ ｋｘ５－ ｋ 所以 ｘ ５
æ
ç２
ö
÷的展开
数
原
的展开式中含 ｘ３ 的项为 ３ ３ ｘ３ ｘ Ｃ５ １ ＝Ｃ５ ꎬ ( ＋１) è ｘ ＋１ø 理
Ｃ５(－１) －２
４２５
式中 一次项的系数为 ３ ４ 常数项 为 .
ꎬ ２Ｃ５ ＋Ｃ５ ＝２５ꎬ ２６
为 ５ ４ 所以一次项的系数与常数项 ９.( 届广西北海一模ꎬ ) ｘ ２ ｘ ４
Ｃ５ ＋２Ｃ５ ＝１１ꎬ ２０２３ １４ (２ ＋１) ( －１)
之和为
２５＋１１＝３６
.故选
Ｄ.
的展开式中 ｘ４ 的系数为 .
æ ö ６ 答案
６.( 广州二模ꎬ ) ｘ２ ç ｘ １÷ 的展开 ９
２０２２ ４ ( ＋１)è２ －ｘ ø
解析 ｘ ２ ｘ ４ ｘ２ ｘ
(２ ＋１) ( －１) ＝ (４ ＋ ４ ＋ １)
式的常数项是
( ) ｘ ４ 其展开式中 ｘ４ 的系数为 ２ １
( －１) ꎬ ４Ｃ４ ＋４Ｃ４ ×
Ａ.１６０ Ｂ.１００ Ｃ.－１００ Ｄ.－１６０ ０ .
æ ö (－１)＋Ｃ４ ＝９
６
答案 Ｃ 由题意得ç ｘ １÷ 的展开式的通 １０.( 届山西长治质量检测ꎬ ) ｘ２
è２ －ｘ ø ２０２３ １３ ( －３)
æ ö
项为 Ｔ ｋ ＋１ ＝Ｃ６ ｋ (－１) ｋ ２ ６－ ｋ ｘ６－２ ｋ ( ｋ ＝０ꎬ１ꎬ è çｘ ＋ １ ｘ ø ÷ ６ 的展开式中的常数项为 .
令 ｋ 则 ｋ ３ ３
２ꎬꎬ６)ꎬ ６－２ ＝０ꎬ ＝３⇒(－１) ２ 答案
３ 令 ｋ 则 ｋ ４ ２ －４５
Ｃ６ ＝－１６０ꎬ ６－２ ＝－２ꎬ ＝４⇒(－１) ２ æ ö
６
æ ö 解析 çｘ １÷ 的展开式的通项为 Ｔ
４ ｘ２ ç ｘ １÷ ６ 的展开式的常 è ＋ｘ ø ｋ ＋１ ＝
Ｃ６ ＝６０ꎬ∴ ( ＋１)è２ －ｘ ø
æ öｋ
数项为 . ｋｘ６－ ｋç１ ÷ ｋｘ６－２ ｋ 令 ｋ 则 ｋ 令
－１６０＋６０＝－１００ Ｃ６ è ｘ ø ＝Ｃ６ ꎬ ６－２ ＝０ꎬ ＝３ꎬ
７.( 辽宁名校联盟二轮复习联考一ꎬ )已
２０２２ ７ ｋ 则 ｋ
６－２ ＝－２ꎬ ＝４ꎬ
æ ö
５
知 ａｘ２ çｘ ２÷ 的展开式中各项系数的 所以所求常数项为 ３ ４ .
( ＋１)è －ｘ ø －３×Ｃ６ ＋Ｃ６ ＝－４５
１１.( 届浙江嘉兴基础测试ꎬ ) ｘ ｙ
和为 则该展开式中 ｘ 的系数为 ２０２３ １４ ( ＋ )
－３ꎬ ( )
ｘ ｙ ６ 的展开式中 ｘ３ｙ４ 的系数是 .
( － )
Ａ.４０ Ｂ.－４０ Ｃ.－１２０ Ｄ.－２４０
用数字作答
答案 Ｃ 令 ｘ 可得展开式各项系数和 ( )
＝１ꎬ ꎬ
答案
即 ａ ５ 解得 ａ . －５
( ＋１)(１－２) ＝－３ꎬ ＝２
æ çｘ ２ ö ÷ ５ 的展开式的通项为 Ｔ ｋｘ５－ ｋ 解析 ( ｘ － ｙ ) ６ 的展开式的通项为 Ｔ ｋ ＋１ ＝
è －ｘ ø ｋ ＋１ ＝ Ｃ５ ｋｘ６－ ｋ ｙ ｋ
Ｃ６ (－ ) ꎬ
æ ç ２ ö ÷ ｋ ｋ ｋｘ５－２ ｋ 令 ｋ 解得 ｋ 所以 ( ｘ ＋ ｙ )( ｘ － ｙ ) ６ 的展开式中 ｘ３ｙ４ 的系
è－ｘ ø ＝(－２) Ｃ５ ꎬ ５－２ ＝－１ꎬ ＝
数是 ４ ３ ３ .
即 ｘ２ ３ ３ｘ－１ ｘ 令 ｋ
Ｃ６ ＋(－１) Ｃ６ ＝－５
３ꎬ ２ (－２) Ｃ５ ＝－１６０ ꎻ ５－２ ＝１ꎬ １２.( 届武汉部分学校检测ꎬ ) ｘ ｙ ｘ
２０２３ １４ ( ＋２ )(
解得 ｋ 即 ２ ２ｘ ｘ 所以展开式中
＝２ꎬ (－２) Ｃ５ ＝４０ ꎬ ｙ ５ 的展开式中 ｘ２ｙ４ 的系数为 .
ｘ 的系数为 故选 . － )
－１６０＋４０＝－１２０ꎬ Ｃ 答案
æ ö －１５
８.( 届江苏百校联考ꎬ )çç １÷÷ ｘ ６ 解析 ｘ ｙ ｘ ｙ ５ ｘ ｙ ０ ｘ５
２０２３ １３ è１＋ｘ２ø(１＋ ) ( ＋２ )( － ) ＝( ＋２ )(Ｃ５ －
１ ｘ４ｙ ２ ｘ３ｙ２ ３ ｘ２ｙ３ ４ ｘ１ｙ４ ５
5
的展开式中 ｘ３ 的系数为 . Ｃ５ ＋Ｃ５ －Ｃ５ ＋Ｃ５ －Ｃ５
年 答案 ｙ５
高 )ꎬ
２６
考 年
模
3 解析 ｋｘ ｋ (１＋ ｘ ) ６ 的展开式的通项为 Ｔ ｋ ＋１ 故
－１
它
５
. 的展开式中 ｘ２ｙ４ 的系数为 Ｃ ４ ５ －２Ｃ ３ ５ ＝
拟 ＝Ｃ６ ꎬ
A 当 ｋ ＝ ３ 时 ꎬＣ ３ ６ ｘ３ ＝ ２０ ｘ３ ꎬ 当 ｋ ＝ ５ 时 ꎬＣ ５ ６ ｘ５
１３.(
２０２３
届海南中部六市县模拟ꎬ
１４
)
(
ｘ２
＋３
ｘ
版 ｘ５
＋ ２)
５ 的 展 开 式 中 ｘ３ 的 项 的 系 数 是
＝６ ꎬ
高
考 æ ö .
数 çç １÷÷ ｘ ６ 的展开式中 ｘ３ 的系数
学 ∴ è１＋ｘ２ø (１＋ ) 答案
１ ５６０
４２６
解 析 由 题 意 ｘ２ ｘ ５ ａ ａ ａ ａ ａ
ꎬ ( ＋３ ＋２) ＝ Ｂ. １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５ ＝１
ｘ ５ ｘ ５ ａ ａ ａ
(１＋ ) (２＋ ) ꎬ Ｃ. ０ ＋ ２ ＋ ４ ＝－１２１
因为 ｘ ５ 的展开式的通项为 Ｔ ｒｘｒ ａ ａ ａ
(１＋ ) ｒ ＋１ ＝Ｃ５ ꎬ Ｄ. １ ＋ ３ ＋ ５ ＝１２２
ｘ ５ 的展开式的通项为 Ｔ ｋ ５－ ｋｘｋ 所 答案 ＣＤ 令 ｘ 则 ５ ａ 即 ａ
(２＋ ) ｋ ＋１ ＝Ｃ５２ ꎬ ＝０ꎬ (－１) ＝ ０ꎬ ０ ＝－
以 ｘ２ ｘ ５ 的展开式中 ｘ３ 的项的系数是 错误
( ＋３ ＋２) １ꎬＡ ꎻ
Ｃ ３ ５Ｃ ０ ５２ ５ ＋Ｃ ２ ５Ｃ １ ５２ ４ ＋Ｃ １ ５Ｃ ２ ５２ ３ ＋Ｃ ０ ５Ｃ ３ ５２ ２ ＝３２０＋８００＋ 令 ｘ ＝１ꎬ 则 １ ５ ＝ ａ ０ ＋ ａ １ ＋ ａ ２ ＋ ａ ３ ＋ ａ ４ ＋ ａ ５ꎬ 即 ａ ０ ＋ ａ １
. ａ ａ ａ ａ 则 ａ ａ ａ ａ ａ
４００＋４０＝１ ５６０ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５ ＝１①ꎬ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５ ＝２ꎬ
æ ｙ ö 错误
１４.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)ç ÷ ｘ ｙ ８ 的 Ｂ ꎻ
２０２２ Ⅰ １３ ５ è１－ｘ ø( ＋ ) 令 ｘ 则 ５ ａ ａ ａ ａ ａ ａ 即
＝－１ꎬ (－３) ＝ ０ － １ ＋ ２ － ３ ＋ ４ － ５ꎬ
展开式中 ｘ２ｙ６ 的系数为 用数字 ａ ａ ａ ａ ａ ａ
(
０
－
１
＋
２
－
３
＋
４
－
５
＝－２４３②ꎬ
作答 . 由 得 ａ ａ ａ 由 得 ａ
) ①＋② ０ ＋ ２ ＋ ４ ＝－１２１ꎬ ①－② １ ＋
答案 ａ ａ 正确.故选
－２８ ３ ＋ ５ ＝１２２ꎬＣ、Ｄ ＣＤ.
解析 ｘ ｙ ８ 的展开式中 ｘ２ｙ６ 的系数为 ６ ３.(多选) ( 江苏百校联考ꎬ ) 设
( ＋ ) Ｃ８ ２０２１ １１ (１－
æ ｙ ö ｘ ２９ ａ ａ ｘ ａ ｘ２ ａ ｘ２９ 则下列结论
ｘ３ｙ５ 的系数为 ５ 因此ç ÷ ｘ ２ ) ＝ ０ ＋ １ ＋ ２ ＋＋ ２９ ꎬ
＝２８ꎬ Ｃ８ ＝５６ꎬ è１－ｘ ø( ＋
正确的是
( )
ｙ ) ８ 的展开式中 ｘ２ｙ６ 的系数为 Ｃ ６ ８ －Ｃ ５ ８ ＝－２８ . Ａ. ａ １５ ＋ ａ １６>０
ａ ａ ａ ａ
考法 二 二项式系数的和与各项的系数和 Ｂ. １ ＋ ２ ＋ ３ ＋＋ ２９ ＝－１
２９
ａ ａ ａ ａ １＋３
考向一 赋值法解求和问题
Ｃ. １ ＋ ３ ＋ ５ ＋＋ ２９ ＝－
２
１.( 福建漳州一模ꎬ )已知二项式 ａｘ ｙ ５ ａ ａ ａ ａ
２０２２ ５ ( ＋ ) Ｄ. １ ＋２ ２ ＋３ ３ ＋＋２９ ２９ ＝－５８
ａ Ｒ 的展开式的所有项的系数和为 答案 ＡＣＤ 对于 ａ ａ １５ １５
( ∈ ) ３２ꎬ Ａꎬ １５ ＋ １６ ＝Ｃ２９(－２) ＋
则 æ ççｘ２ － ａ ö ÷÷ １０ 的展开式中的常数项为 Ｃ １ ２ ６ ９(－２) １６ >０ꎬ 故 Ａ 正确 ꎻ 对于 Ｂꎬ 令 ｘ ＝０ꎬ 可
è ｘø 得 ａ 令ｘ 得ａ ａ ａ 所以
０
＝１ꎬ ＝１ꎬ
０
＋
１
＋＋
２９
＝－１ꎬ
ａ ａ ａ 故 错误 对于 令 ｘ
( ) １ ＋ ２ ＋＋ ２９ ＝－２ꎬ Ｂ ꎻ Ｃꎬ ＝
Ａ.４５ Ｂ.－４５ Ｃ.１ Ｄ.－１ －１ꎬ 得 ａ ０ － ａ １ ＋ ａ ２ － ａ ３ ＋－ ａ ２９ ＝３ ２９ ꎬ 则 ２( ａ １ ＋ ａ ３
答案 Ａ 令 ｘ ＝１ꎬ ｙ ＝１ꎬ 得 ( ａｘ ＋ ｙ ) ５ 的展开 ａ ２９ 故 正确 对于
＋＋ ２９)＝ －１－３ ꎬ Ｃ ꎻ Ｄꎬ[(１－
式的所有项系数之和为 ( ａ ＋１) ５ ＝３２ꎬ 得 ａ ＝ ｘ ２９ ′ ｘ ２８ 令 ｘ 可得 ａ ａ
２ ) ] ＝－５８(１－２ ) ꎬ ＝１ꎬ １ ＋２ ２
１ꎬ 所以 æ è ççｘ２ － ａ ｘ ö ø ÷÷ １０ ＝ æ è ççｘ２ － １ ｘ ö ø ÷÷ １０ ꎬ 其通项为 Ｔ ｋ ＋１ ＝ ＋＋２９ ａ ２９ ＝－５８ꎬ 故 Ｄ 正确.故选 ＡＣＤ .
４.(多选)( 届河北河间一中开学考ꎬ )
２０２３ １０
æ öｋ
Ｃ１ ｋ ０( ｘ２ ) １０－ ｋ è çç － １ ｘø ÷÷ ＝(－１) ｋ Ｃ１ ｋ ０ ｘ２０－ ５ ２ ｋ ꎬ 令 ２０－ 若 (１－２ ｘ ) ２０２１ ＝ ａ ０ ＋ ａ １ ｘ ＋ ａ ２ ｘ２ ＋ ａ ３ ｘ３ ＋＋ ａ ２０２１
ｘ２０２１ ｘ Ｒ 则
( ∈ )ꎬ ( )
ｋ
５ 得 ｋ 所以展开式中的常数项为 ａ
＝０ꎬ ＝ ８ꎬ Ａ. ０ ＝１
２
２０２１
８ ８ 故选 . ａ ａ ａ ａ ３ ＋１
(－１) Ｃ１０ ＝４５ꎬ Ａ Ｂ. １ ＋ ３ ＋ ５ ＋＋ ２０２１ ＝
２.(多选)( 届广东佛山顺德教学质量检 ２
专
２０２３ ２０２１ 题
ａ ａ ａ ａ ３ －１
测一ꎬ ９ )设 (２ ｘ －１) ５ ＝ ａ ０ ＋ ａ １ ｘ ＋＋ ａ ５ ｘ５ ꎬ 则下 Ｃ. ０ ＋ ２ ＋ ４ ＋＋ ２０２０ ＝ ２ 十
列说法正确的是 计
ａ ａ ａ ａ
( ) 数
１ ２ ３ ２０２１ 原
ａ Ｄ. ＋ ２ ＋ ３ ＋＋ ２０２１ ＝－１ 理
Ａ. ０ ＝１ ２ ２ ２ ２
４２７
答案 ＡＣＤ 由题意 当 ｘ 时 ａ ２０２１ 开式中所有项系数的和与二项式系数的和
ꎬ ＝０ ꎬ ０ ＝１
相等
＝１ꎬ ꎬ
当 ｘ 时 ａ ａ ａ ａ ａ ２０２１ æ ö ５
＝１ ꎬ ０ ＋ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋＋ ２０２１ ＝(－１) 所以 ａ ５ ５ 解得 ａ 所以ççａ ｘ １ ÷÷
( －１) ＝２ ꎬ ＝３ꎬ è － ３ｘø
＝－１ꎬ
当 ｘ 时 ａ ａ ａ ａ ａ ２０２１ æ ö ５
＝－１ ꎬ ０ － １ ＋ ２ － ３ ＋－ ２０２１ ＝３ ꎬ çç ｘ １ ÷÷ 其展开式的通项为 Ｔ ｋ
＝è３ － ３ｘø ꎬ ｋ ＋１ ＝ Ｃ５
２０２１
所以 ａ ａ ａ ａ ３ ＋１ ａ ａ
１ ＋ ３ ＋ ５ ＋＋ ２０２１ ＝－ ２ ꎬ ０ ＋ ２ ＋ ｘ ５－ ｋ æ çç １ ö ÷÷ ｋ ｋ ５－ ｋ ｋｘ１５－ ６ ５ｋ 令
(３ ) è － ３ｘø ＝Ｃ５３ (－１) ꎬ
２０２１
ａ ａ ３ －１
４ ＋＋ ２０２０ ＝ ꎬ ｋ
２ １５－５ 得 ｋ 所以该展开式中的常数
ａ ａ ａ æ ö
＝０ꎬ ＝３ꎬ
２ ６
１ ２ ２０２１ ａ １ ａ ç １÷ ａ
＋ ２ ＋＋ ２０２１ ＝ １ × ＋ ２ ×è ø ＋＋ ２０２１ 项为 ３ ５－３ ３ 故选 .
２ ２ ２ ２ ２ Ｃ５３ (－１) ＝－９０ꎬ Ａ
æ ö ２.( 届湖北摸底联考ꎬ )若 ｘ ｎ 的展开
２０２１
ç １÷ ２０２３ ５ (２ ＋１)
×è ø ꎬ
２
式中ｘ３ 项的系数为 则正整数ｎ 的值为
１６０ꎬ
æ ö
２
当 ｘ １时 ａ ａ １ ａ ç １÷ ａ
( )
＝ ꎬ０＝ ０ ＋ １ × ＋ ２ ×è ø ＋＋ ２０２１
２ ２ ２
Ａ.４ Ｂ.５ Ｃ.６ Ｄ.７
æ ö
ç １÷ ２０２１ 答案 Ｃ 由二项式定理知含 ｘ３ 的项为 ｎ －３
×è ø ꎬ Ｃｎ
２ ｎ ｎ ｎ
æ ö ２ æ ö ２０２１ ｘ ３ ｎ －３ ( －１)( －２) ｘ３ 由
所以 ａ １ ａ ç １÷ ａ ç １÷ (２ ) １ ＝８× ꎬ
１ × ＋ ２ ×è ø ＋＋ ２０２１ ×è ø ＝－ ３×２×１
２ ２ ２
ａ .故选 题意知４ ｎ ｎ ｎ 即 ｎ ｎ
０ ＝－１ ＡＣＤ. × ( －１)( －２)＝ １６０ꎬ ( －１)
３
５.( 届湖北“宜荆荆恩”起点考ꎬ )已知
ｎ 解得 ｎ .故选
２０２３ １４
( －２)＝ １２０ꎬ ＝６ Ｃ.
ｘ ｙ ｎ 的展开式中各项系数和为 则 ３.( 五省新高考联考ꎬ )已知 ｘ ｘ
(２ ＋ ) ２４３ꎬ
２０２１ ６ (２ －１)( ＋
展开式中的第 项为 .
３ ａ ６ ａ Ｒ 的展开式的各项系数之和为
) ( ∈ ) ６４ꎬ
答案
８０
ｘ３ｙ２
则展开式中 ｘ３ 的系数为
( )
解析 令 ｘ ｙ 得 ｎ 解得 ｎ
或 或
＝ ＝１ꎬ (２＋１) ＝２４３ꎬ ＝
Ａ.１０ ２ ９７０ Ｂ.１０ １ ８９０
所以 ｘ ｙ ５ 的展开式的通项为 Ｔ ｋ
５ꎬ (２ ＋ ) ｋ ＋１ ＝Ｃ５ Ｃ.１０ Ｄ.１ ８９０
ｘ ５－ ｋｙｋ ５－ ｋ ｋｘ５－ ｋ ｙｋ 则展开式的第 项 答案 Ａ 令 ｘ 由各项系数之和为 得
(２ ) ＝２ Ｃ５ ꎬ ３ ＝１ꎬ ６４
为Ｔ ３ ２ｘ３ｙ２ ｘ３ｙ２. ａ ６ 解得 ａ 或 .所以
３ ＝２ Ｃ５ ＝８０ (２×１－１)×(１＋ ) ＝６４ꎬ ＝１ －３
考向二 二项式系数、奇数项与偶数项系数 ｘ ｘ ａ ６ ｘ ｘ ６ 或 ｘ
(２ －１)( ＋ ) ＝(２ －１)( ＋１) (２ －１)
和问题 ｘ ａ ６ ｘ ｘ ６.其展开式中 ｘ３ 的系
( ＋ ) ＝(２ －１)( －３)
æ ö 数为 ４ ３ 或 ４ ４ ３
5 １.( 届福建漳州质检ꎬ )已知ççａ ｘ １ ÷÷ ５ ａ ２Ｃ６ ＋(－１)Ｃ６ ＝１０ ２Ｃ６(－３) ＋(－１)Ｃ６
年 ２０２３ ６ è － ３ｘø ( ３ .故选 .
高 (－３) ＝２ ９７０ Ａ
考 为常数 的展开式中所有项系数的和与二项 ４.(多选)( 广东茂名五校联考一ꎬ )在二
3 ) ２０２２ ９
年
模 式系数的和相等 则该展开式中的常数项为 项式 ｘ ８ 的展开式中 下列结论正确的是
ꎬ (１－４ ) ꎬ
拟
A ( ) ( )
版 第 项的系数最大
Ａ.－９０ Ｂ.－１０ Ｃ.１０ Ｄ.９０ Ａ. ５
高
æ ö 所有项的系数和为
考 ５ ８
数 答案 Ａ 因为ççａ ｘ １ ÷÷ ａ 为常数 的展 Ｂ. ３
学 è － ３ｘø ( ) 所有奇数项的二项式系数和为 ７
Ｃ. －２
４２８
所有偶数项的二项式系数和为 理项
７
Ｄ. ２ ꎬ
答案 ＢＤ 因为第 项系数大于第 项系 当 ｋ 时 展开式为有理项 故有理
９ ５ ＝０ꎬ２ꎬ４ꎬ６ ꎬ ꎬ
数 所以 中结论错误 令 ｘ 可知所有项 项共有 项 故 中说法错误.故选 .
ꎬ Ａ ꎬ ＝１ꎬ ４ ꎬ Ｄ ＡＢ
的系数和为 ８ 中结论正确 因为 ｘ ８ ６.( 届山东高密三中月考ꎬ ) 已知
３ ꎬＢ ꎬ (１－４ ) ２０２３ １４
的展开式的各二项式系数的和为 ８ 奇数项 æ öｎ
２ ꎬ ç ｘ １÷ 的展开式中二项式系数之和为
的二项式系数的和等于偶数项的二项式系 è２ －ｘ ø ６４ꎬ
数的和 所以所有奇数项的二项式系数和与 则展开式中的常数项为 .
ꎬ
所有偶数项的二项式系数和均为 所以 答案
７
２ ꎬ Ｃ －１６０
中结论错误 中结论正确.故选 . 解析 由已知可得 ｎ 解得 ｎ
ꎬＤ ＢＤ ２ ＝ ６４ꎬ ＝ ６ꎬ
５.(多选)( 山东济宁一中开学考ꎬ )在 æ ö ６
２０２２ ９ ç ｘ １÷ 的展开式的通项为 Ｔ ｋ
è２ －ｘ ø ｋ ＋１ ＝ Ｃ６
æ ö
７
çç ｘ １÷÷ 的展开式中 下列说法正确的有 æ öｋ
è２ － ｘø ꎬ ｘ ６－ ｋ ç １÷ ｋ ｋ ６－ ｋ ｘ６－２ ｋ
(２ ) è－ｘ ø ＝Ｃ６(－１) ２ ꎬ
( ) 令 ｋ 可得 ｋ 因此 展开式中的常
所有项的二项式系数和为 ６－２ ＝０ꎬ ＝３ꎬ ꎬ
Ａ. １２８ 数项为 ３ ３ ３ .
所有项的系数和为 Ｃ６(－１) ２ ＝－１６０
Ｂ. １ ７.( 浙江ꎬ ꎬ 分)已知多项式 ｘ ３ ｘ
二项式系数最大的项为第 项 ２０２１ １３ ６ ( －１) ＋(
Ｃ. ４
４ ｘ４ ａ ｘ３ ａ ｘ２ ａ ｘ ａ 则 ａ ａ
有理项共 项 ＋１) ＝ ＋ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ꎬ １ ＝ ꎻ ２
Ｄ. ３
ａ ａ .
æ ö
７
＋
３
＋
４
＝
答案 ＡＢ 在çç ｘ １÷÷ 的展开式中 所有 答案
è２ － ｘø ꎬ ５ １０
解析 ｘ ３ 的展开式的通项为 Ｔ
项的二项式系数和为 ７ 故 中说法 ( －１) ｋ ＋１ ＝
２ ＝１２８ꎬ Ａ
ｋｘ３－ ｋ ｋ ｋ
正确. Ｃ３ (－１) ( ＝０ꎬ１ꎬ２ꎬ３)ꎬ
令 ｘ ＝１ꎬ 可得所有项的系数和为 １ꎬ 故 Ｂ 中说 ( ｘ ＋１) ４ 的展开式的通项为 Ｔ ｒ ＋１ ＝Ｃ４ ｒｘ４－ ｒ ( ｒ ＝
.
法正确.
０ꎬ１ꎬ２ꎬ３ꎬ４)
令 ｋ ｒ 得 ｋ ｒ
由于展开式共有 项 故二项式系数最大的 ３－ ＝３ꎬ４－ ＝３ꎬ ＝０ꎬ ＝１ꎬ
８ ꎬ
项为第
４
项和第
５
项
ꎬ
故
Ｃ
中说法错误. 所以 ａ
１
＝Ｃ ０ ３(－１) ０ ＋Ｃ １
４
＝５ .
æ ö 令 ｘ 则 ４ ａ ａ ａ ａ
由于çç ｘ １÷÷ ７ 的通项为 Ｔ ｋ ７－ ｋ ＝１ꎬ ２ ＝１＋ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ꎬ
è２ － ｘø ｋ ＋１ ＝Ｃ７２ (－ 所以 ａ ａ ａ ４ ａ .
２
＋
３
＋
４
＝２ －
１
－１＝１６－６＝１０
ｋ
ｋ ｘ７－ ３
２
ｋ 当 ３ 为整数时展开式为有
１) ꎬ ７－
２
专
题
十
计
数
原
理
４２９
专题综合检测
一、单项选择题 依据分步乘法计数原理可知 不同的支援方
ꎬ
１.( 重庆涪陵实验中学期中ꎬ )有五名学 法的种数是 故选 .
２０２２ ５ ６×３×２＝３６ꎬ Ａ
生站成一排照毕业纪念照 其中甲不排在乙 ４.( 江苏苏州 月模拟ꎬ )举世瞩目的第
ꎬ ２０２２ ３ ４
的左边 则不同的站法共有 届冬奥会于 年 月 日至 月 日
ꎬ ( ) ２４ ２０２２ ２ ４ ２ ２０
种 种 种 种 在北京举办 某高校甲 乙 丙 丁 戊 位大
Ａ.６６ Ｂ.６０ Ｃ.３６ Ｄ.２４ ꎬ 、 、 、 、 ５
答案 Ｂ 对五名学生全排列 共有 ５ 学生志愿者前往Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 四个场馆服务 每
ꎬ Ａ５ ＝１２０ 、 、 、 ꎬ
种情况. 一位志愿者只去一个场馆 每个场馆至少分
ꎬ
因为只有甲在乙的左边和右边两种情况 所
配一位志愿者 由于工作需要甲同学和乙同
ꎬ
ꎬ
５ 学不能去同一场馆 则所有不同的安排方法
以甲不排在乙的左边的不同的站法共有Ａ５
ꎬ
２ 种数为
( )
种.故选 .
＝６０ Ｂ
Ａ.２１６ Ｂ.１８０ Ｃ.１０８ Ｄ.７２
æ ö
２.( 湖北八市联考ꎬ )已知ç１ ｍｙ÷ ｘ 答案 Ａ 甲 乙 丙 丁 戊 位大学生志愿
２０２２ ７ è ｘ ＋ ø(２ － 、 、 、 、 ５
者前往 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 四个场馆服务 每一位志
ｙ ５ 的展开式中ｘ２ｙ４ 的系数为 则ｍ的值为 、 、 、 ꎬ
) ８０ꎬ 愿者只去一个场馆 每个场馆至少分配一位
ꎬ
( ) 志愿者 则不同的安排方法种数为
２ ４
ꎬ Ｃ５Ａ４ ＝
Ａ.－２ Ｂ.２ Ｃ.－１ Ｄ.１
其中甲同学和乙同学去同一场馆的安
æ ö ２４０ꎬ
答案 Ａ ç１ ｍｙ÷ ｘ ｙ ５ １ ｘ ｙ ５ 排方法种数为 故甲同学和乙同学不
è ｘ ＋ ø(２ － ) ＝ ｘ (２ － ) ＋ ４
Ａ４ ＝２４ꎬ
去同一场馆 所有不同的安排方法种数为
ｍｙ (２ ｘ － ｙ ) ５ ꎬ 则有 Ｃ ３ ５ ×２ ２ (－１) ３ｍ ＝８０ꎬ 解得 ｍ ꎬ
.故选 . .故选 .
＝－２ Ａ ２４０－２４＝２１６ Ａ
３.( 广东汕头质检ꎬ ) 年北京冬季奥 ５.( 江苏盐城三模ꎬ )为落实立德树人的
２０２２ ５ ２０２２ ２０２２ ４
运会期间 从 名男志愿者和 名女志愿者中 根本任务 践行五育并举 某学校开设 Ａ Ｂ
ꎬ ３ ２ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
选 名去支援 冰壶 花样滑冰 短道速 Ｃ 三门德育校本课程.现有甲 乙 丙 丁 戊
４ “ ”“ ”“ 、 、 、 、
滑 三项比赛志愿者工作 其中冰壶项目需要 五位同学参加校本课程的学习 每位同学仅
” ꎬ ꎬ
一男一女两名 花样滑冰和短道速滑各需要 报一门 每门至少有一位同学参加 则不同
ꎬ ꎬ ꎬ
一名 男女不限 则不同的支援方法的种数是 的报名方法有
ꎬ ꎬ ( )
种 种 种 种
( ) Ａ.５４ Ｂ.２４０ Ｃ.１５０ Ｄ.６０
答案 Ｃ 根据题意 甲 乙 丙 丁 戊五位
5 Ａ.３６ Ｂ.２４ Ｃ.１８ Ｄ.４２ ꎬ 、 、 、 、
年 答案 Ａ 第一步 从 名男志愿者和 名 同学选 Ａ Ｂ Ｃ 三门德育校本课程 每位同学
高 ꎬ ３ ２ ꎬ ꎬ ꎬ
考 女志愿者各选一名去支援冰壶项目 选法共 仅报一门 每门至少有一位同学参加 需要
3 ꎬ ꎬ ꎬ
年 模 有 Ｃ １ ３Ｃ １ ２ ＝６ 种 ꎻ 分三组 ꎬ 有两种情况 :
拟
第二步 从剩余的 人中选一名去支援花样 三组人数为 此时不同的报名方法
A ꎬ ３ ① １、１、３ꎬ
版 高 考 第 滑 三 冰 步 ꎬ 选 ꎬ 法 从 共 剩 有 余的 Ｃ １ ３ ２ ＝ 人 ３ 种 中 ꎻ 选一名去支援短道 有Ｃ １ ５ Ａ Ｃ １ ４ ２ ２ Ｃ ３ ３ Ａ ３ ３ ＝６０ 种 ꎻ
数
学 速滑 选法共有 １ 种 三组人数为 此时不同的报名方法
ꎬ Ｃ２ ＝２ ꎬ ② ２、２、１ꎬ
４３０
２ ２ １
有Ｃ５Ｃ３Ｃ１
３
种.
２
Ａ３ ＝９０
Ａ２
所以不同的报名方法共有 种.故
６０＋９０＝１５０
选 .
Ｃ
６.( 山东青岛二中期末ꎬ )已知 ａ ｂ
２０２２ ６ >０ꎬ >０ꎬ
æ ö
在ç１ａｘ２ １ｂｘ ÷ ｘ ３ 的展开式中 若 ｘ３
è － －１ø( －１) ꎬ
３ ３
项的系数为 则１ １的最小值为
２ꎬ ａ＋ｂ ( )
１ ３ ４
Ａ. Ｂ.２ Ｃ. Ｄ.
２ ４ ３
æ ö
答案 Ｄ 因为ç１ａｘ２ １ｂｘ ÷ ｘ ３ １
è － －１ø( －１) ＝
３ ３ ３
ａｘ２ ( ｘ －１) ３ － １ ｂｘ ( ｘ －１) ３ －( ｘ －１) ３ ꎬ( ｘ －１) ３ 从延平门进城到安化门出城 最近的不同
３ Ａ. ꎬ
的展开式的通项为 Ｔ ｋｘ３－ ｋ ｋ ｋ 路线共有 条
ｋ ＋１ ＝Ｃ３ (－１) ꎬ ＝ １５
甲乙二人从安化门 明德门 启夏门这三
０ꎬ１ꎬ２ꎬ３ꎬ Ｂ. 、 、
个城门中随机选一城门进城 若二人的选
所以１ａ ２ ２ １ｂ １ ０ ꎬ
Ｃ３(－１) － Ｃ３(－１)－Ｃ３ ＝
择互不影响 则二人从同一城门进城的概
３ ３
ꎬ
即 ａ ｂ
２ꎬ ＋ ＝３ꎬ
率为１
æ ö ａ ｂ
因为 ａ ｂ 所以１ １ ç １ １÷ ＋ ３
>０ꎬ >０ꎬ ａ ＋ ｂ ＝èａ＋ｂ ø ＝
用四种不同的颜色给长乐 永福 大宁 兴
３
Ｃ. 、 、 、
æ ｂ ａö
１ç ÷ １ ４ 当且仅当 ａ ｂ 宁四坊染色 街道忽略 要求有公共边的
è２＋ａ＋ｂ ø≥ ×(２＋２)＝ ꎬ ＝ ( )ꎬ
３ ３ ３ 两个区域不能用同一种颜色 共有 种不
ꎬ ６０
３时 等号成立.所以１ １的最小值为４. 同的染色方法
＝ ꎬ ａ ＋ ｂ
２ ３
若将街道看成直线 则图中矩形 ＡＢＣＤ 区
故选 . Ｄ. ꎬ
Ｄ
域中共有不同矩形 个
７.( 届重庆市缙云教育联盟质量检测ꎬ ) １５０
２０２３ ４
答案 Ｃ 如图 从延平门到安化门 最
西安是世界四大古都之一 历史上先后有十 Ａ. １ꎬ ꎬ
ꎬ
近路线是从点 Ｍ 到点 Ｎ 只能横向往右走纵
多个王朝在西安建都.下图为唐长安 西安古 ꎬ
(
称 ) 城示意图 ꎬ 城中南北向共有 ９ 条街道 ꎬ 东
向往下走
ꎬ
所以有
Ｃ ２ ６ ＝１５
情况
ꎬ
故
Ａ
正确.
西向有 条街道 被称为 九衢十二条 整
１２ ꎬ “ ”ꎬ
齐的街道把唐长安城划分成了 坊 各坊
１０８ ꎬ
有坊墙包围.下列说法错误的是
( )
专
题
１ ２ 十
计
３ ４
图 数
１ 图 原
２ 理
４３１
甲乙二人从安化门 明德门 启夏门这三 个看成一个整体 有 种排法 然后全排列
２
Ｂ. 、 、 ꎬ Ａ２ ꎬ
个城门中随机选一城门进城 因二人的选择 有 种排法 根据分步乘法计数原理
５
ꎬ Ａ５ ＝１２０ ꎬ ꎬ
互不影响 所以两人进城共有 种不同情 知 乐 射 排在相邻的两周的排法共有
ꎬ ９ “ ”“ ”
况 二人从同一城门进城有 种情况 所以 种 故 正确
２ ５
ꎬ ３ ꎬ Ａ２Ａ５ ＝２４０ ꎬ Ｂ ꎻ
先排 礼 乐 射 三门课程有 种
二人从同一城门进城的概率为１ 故 正确. Ｃ. “ ”“ ”“ ” Ａ ３ ３ ＝６
ꎬ Ｂ
３ 排法 然后利用插空法排课程 御 书
ꎬ “ ” “ ”
.如图 长乐 永福 大宁 兴宁分别用
Ｃ ２ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ １ꎬ２ꎬ 数 有 ３ 种排法 根据分步乘法计数
“ ” Ａ４ ＝２４ ꎬ
代替.
３ꎬ４ 原理 得共有 ３ ３ 种排法 故 正确
用四种不同的颜色给长乐 永福 大宁 兴宁
ꎬ Ａ３Ａ４ ＝１４４ ꎬ Ｃ ꎻ
、 、 、 .分 种情况
Ｄ ２ :
四坊染色 若四个位置颜色各不相同 有
４
ꎬ ꎬ Ａ４ 若先把 礼 排在最后一周 再排 数 有 ５
种染色方法 若 与 颜色相同且 与
“ ” ꎬ “ ”ꎬ Ａ５
＝２４ ꎬ １ ４ ２ 种排法
ꎬ
颜色不相同 有 种染色方法 若
３
３ ꎬ Ａ４ ＝２４ ꎬ ２ 若先把 礼 不排在最后一周 再排 数 有
“ ” ꎬ “ ”ꎬ
与 颜色相同且 与 颜色不相同 有
３ 种排法 所以 共有
３ １ ４ ꎬ Ａ４ ＝
Ｃ
１
４Ｃ
１
４Ａ
４
４ ꎬ ꎬ Ａ
５
５ ＋Ｃ
１
４Ｃ
１
４Ａ
４
４ ＝５０４
种染色方法 若 与 颜色相同且 与
种排法 故 错误.
２４ ꎬ １ ４ ２ ３
ꎬ Ｄ
颜色相同 有
２
种染色方法.综上 共有
故选 .
ꎬ Ａ４ ＝１２ ꎬ
ＡＢＣ
种不同的染色方法.故 错误.
９.( 湖南新高考教学教研联盟联考一ꎬ )
８４ Ｃ
２０２２ １０
.若将街道看成直线 则在矩形 ＡＢＣＤ 区域
Ｄ ꎬ 已知 ｘ ｎ ａ ａ ｘ ａ ｘ２ ａ ｘ３
(１ ＋ ) ＝ ０ ＋ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋＋
中的 条横线中任取两条 条竖线中任取
５ ꎬ６ ａ ｘｎ ｎ Ｎ 则下列结论正确的是
ｎ ( ∈ )ꎬ ( )
两条 即可围出一个矩形 所以共有不同的
ꎬ ꎬ ａ ａ
矩形 ２ ２ 个.故 正确.故选 . Ａ. ０ ＝ ｎ
Ｃ５Ｃ６ ＝１５０ Ｄ Ｃ 当 ａ 时 ｎ
二、多项选择题 Ｂ. ３ ＝１０ ꎬ ＝５
若 ｘ ｎ ｎ Ｎ 的展开式中第 项的
Ｃ. (１＋ ) ( ∈ ) ７
８.( 广东清远阳山中学月考ꎬ )为弘扬我
２０２２ １１ 二项式系数最大 则 ｎ 等于 或
ꎬ １２ １３
国古代的 六艺文化 某夏令营主办单位计
“ ”ꎬ ａ ａ ａ ａ
当 ｎ 时 １ ２ ３ ４ ６５
划利用暑期开设 礼 乐 射 御 书
Ｄ. ＝４ ꎬ ＋ ＋ ＋ ＝
“ ”“ ”“ ”“ ”“ ”
２ ４ ８ １６ １６
数 六门体验课程 每周一门 连续开设六
答案 ＡＢＤ ａ ａ 正确
“ ” ꎬ ꎬ ０ ＝ ｎ＝１ꎬＡ ꎻ
周 则下列说法正确的是
ꎬ ( ) ｘ３ 的系数 ａ ３ ＝Ｃ ３ ｎꎬ 则 Ｃ ３ ｎ ＝ １０ꎬ 所以 ｎ ＝ ５ꎬＢ
某学生从中选 门课程学习 共有 种
正确
Ａ. ２ ꎬ １５
ꎻ
选法
若 ｘ ｎ ｎ Ｎ 的展开式中第 项的二
(１＋ ) ( ∈ ) ７
课程 乐 射 排在相邻的两周 共有
项式系数最大 当 ｎ 为偶数时 ｎ 等于 当
Ｂ. “ ”“ ” ꎬ ２４０
ꎬ ꎬ １２ꎬ
种排法
ｎ 为奇数时 ｎ 等于 或 错误
5 ꎬ １１ １３ꎬＣ ꎻ
年 课程 御 书 数 排在不相邻的三周
高 Ｃ. “ ”“ ”“ ” ꎬ 当 ｎ 时 ｘ ４ ａ ａ ｘ ａ ｘ２ ａ ｘ３ ａ ｘ４.
考 共有 种排法 ＝４ ꎬ(１＋ ) ＝ ０ ＋ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４
3 １４４ æ ö ４ ａ ａ ａ ａ
年 令 ｘ １ 则ç １÷ ａ １ ２ ３ ４ ８１
模 课程 礼 不排在第一周 课程 数 不排在 ＝ ꎬ è１＋ ø ＝ ０ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ꎬ
Ｄ. “ ” ꎬ “ ” ２ ２ ２ ４ ８ １６ １６
拟
最后一周 共有 种排法 又 ａ
A ꎬ ４８０
０
＝１ꎬ
版 答案 ＡＢＣ 门中选 门共有
２ ａ ａ ａ ａ
Ａ.６ ２ Ｃ６ ＝１５
所以 １ ２ ３ ４ ６５ 正确.故选 .
高
种选法 故 正确 ＋ ＋ ＋ ＝ ꎬＤ ＡＢＤ
考
ꎬ Ａ ꎻ ２ ４ ８ １６ １６
数
学 .课程 乐 射 排在相邻的两周时 把这两 三、填空题
Ｂ “ ”“ ” ꎬ
４３２
１０.(
２０２３
届河北唐山海港高级中学开学检测ꎬ
ｋ ｘ ７－ ｋ
æ
ç １ｘ
ö
÷
ｋ æ
ç １
ö
÷
ｋ
ｋｘ７ ２ ＋ｋ 令７＋
ｋ
Ｃ７ ( ) è－ ø ＝è－ ø Ｃ７ ꎬ
)将 封不同的信随机放入 个不同的 ２ ２ ２
１４ ３ ２
æ öｎ ＝５ꎬ
则 ｋ
＝ ３ꎬ
所以展开式中 ｘ５ 的系数为
信箱中
ꎬ
共有 ｎ 种不同的放法
ꎬ
则在
è
ççｘ
－
１
ｘø
÷÷
æ ç １ ö ÷ ３ ３ ３５.
è－ ø Ｃ７ ＝－
的展开式中 含 ｘ２ 项的系数为 . ２ ８
ꎬ
１３.( 浙江绍兴一中模拟ꎬ )某科室有
答案 ２０２２ １５ ４
７０
名人员 两男两女 参加会议时一排有 个
æ öｎ
ꎬ ꎬ ５
解析 由题意 得 ｎ ＝ ２ ３ ＝ ８ꎬ è ççｘ － １ ｘø ÷÷ ＝ 位置 ꎬ 从左到右排 ꎬ 则两女员工不相邻 ( 中
间隔空位也叫不相邻 且左侧的男员工前
æ ö
８ )ꎬ
è
ççｘ
－
１
ｘø
÷÷
ꎬ
其展开式的通项为 Ｔ
ｋ ＋１ ＝ Ｃ８
ｋｘ８－ ｋ
面一定有女员工的排法有 种.
(
结
æ
è
çç
－
１
ｘ
ö
ø
÷÷ ｋ
＝(－１)
ｋ
Ｃ８
ｋｘ８－ ３
２
ｋ
ꎬ
令
８－
３ ｋ
＝２ꎬ
得 ｋ
＝４ꎬ 答
果
案
用数字表示 )
２ ４４
解析 先排两男和空位 再把两女插空 分
则含 ｘ２ 项的系数为 (－１) ４ Ｃ ４ ８ ＝７０ . ꎬ ꎬ
两种情形
１１.( 湖北襄阳四中模拟ꎬ )从 位女生
:
２０２２ １４ ３ ꎬ
第一种 先排两男和空位 最左边是空位时
位男生中选 人参加科技比赛 且至少有
ꎬ ꎬ ꎬ
５ ４ ꎬ
排两男和空位共 种
１ 位女生入选 ꎬ 则不同的选法共有 Ａ ２ ２ ＝２ ꎬ
将女生插空时又分两种情形
种. 用数字作答
:
( )
先排两男和空位时 空位两侧排两名女生时
答案
ꎬ
６５
有 种
解析 根据题意 ꎬ 可分为三类 : Ａ ２ ２ ＝２ ꎻ
空位两侧共排一名女生时有 种
第一类 恰好有一名女生时 共有 １ １ １
ꎬ ꎬ Ｃ
１
３Ｃ
３
５ ＝３０
Ｃ２Ｃ２Ｃ２ ＝８ ꎬ
种不同的选法 共有 ２ ２ １ １ １ 种
ꎻ Ａ２(Ａ２ ＋Ｃ２Ｃ２Ｃ２)＝ ２０ ꎻ
第二类 恰好有两名女生时 共有 第二种 先排两男和空位 最左边是男生时
ꎬ ꎬ Ｃ ２ ３Ｃ ２ ５ ＝３０ ꎬ ꎬ ꎬ
种不同的选法 排两男和空位共有 １ ２ 种 将女生插空
ꎻ Ｃ２Ａ２ ＝４ ꎬ
第三类 恰好有三名女生时 共有 ３ １ 种 共 １ １ 种 共有 １ ２ １ １ 种.
ꎬ ꎬ Ｃ３Ｃ５ ＝５ Ｃ２Ｃ３ ＝６ ꎬ Ｃ２Ａ２Ｃ２Ｃ３ ＝２４
不同的选法 综上 共有 种.
ꎬ ꎬ ２０＋２４＝４４
由分类加法计数原理可得 共有 １４.( 湖北重点中学沃学联盟联考ꎬ )已
ꎬ ３０＋３０＋５＝ ２０２２ １６
种不同的选法. 知 Ｓ 为数列 ａ 的前 ｎ 项和 数列 ａ 满
６５ ｎ { ｎ} ꎬ { ｎ}
１２.( 辽宁鞍山一中 月线上模拟ꎬ )在
２０２２ ４ １４ 足 ａ 且 Ｓ ３ａ ｎ ｆ ｘ 是定义在 Ｒ
æ öｎ １ ＝－２ꎬ ｎ＝ ｎ＋ ꎬ ( )
２
ç ｘ １ｘ÷ 的展开式中 第 项和第 项的
è － ø ꎬ ３ ６ 上的奇函数 且满足 ｆ ｘ ｆ ｘ 则
２ ꎬ (２－ )＝ ( )ꎬ
二项式系数相等 则展开式中 ｘ５ 的系数为 ｆ ａ .
ꎬ ( ２０２１)＝
. 答案
０
答案 ３５ 解析 Ｓ ３ａ ｎ Ｓ ３ａ ｎ ｎ
－ ∵ ｎ ＝ ｎ＋ ꎬ∴ ｎ －１ ＝ ｎ －１ ＋ －１(
８ ２ ２
解析 因为展开式的第 项和第 项的二 专
３ ６ ≥２)ꎬ 题
十
项式系数相等 所以 ２ ５ 所以 ｎ 则
ꎬ Ｃｎ ＝Ｃｎꎬ ＝ ７ꎬ 两式相减得 ａ ３ａ ３ａ 即 ａ
æ ö ７ ｎ ＝ ２ ｎ－ ２ ｎ －１ ＋１ꎬ ｎ－１＝３ 计 数
ç ｘ １ｘ÷ 的 展 开 式 的 通 项 为 Ｔ 原
è － ２ ø ｋ ＋１ ＝ ( ａ ｎ －１ －１)ꎬ 理
４３３
ａ ａ ２０２１ ２０２１
ｎ－１ 即数列 ａ 是以 为首项 ∵ ２０２１ ＝－３ ＋１＝－(４－１) ＋１
∴ ａ ＝３ꎬ { ｎ－１} －３ ꎬ
ｎ －１ －１ ＝－[Ｃ ０ ２０２１４ ２０２１ (－１) ０ ＋Ｃ １ ２０２１４ ２０２０ (－１) １ ＋
为公比的等比数列 ａ ｎ －１
３ ꎬ∴ ｎ－１＝－３３ ＝－ ＋Ｃ ２ ２ ０ ０ ２ ２ ０ １４ １ (－１) ２０２０ ＋Ｃ ２ ２ ０ ０ ２ ２ １ １４ ０ (－１) ２０２１ ]
ｎ ａ ｎ .
３ ꎬ∴ ｎ＝－３ ＋１ ＋１
ｆ ｘ 是定义在Ｒ 上的奇函数 且满足ｆ
∵ ( ) ꎬ (２－ ＝－[Ｃ ０ ２０２１４ ２０２１ (－１) ０ ＋Ｃ １ ２０２１４ ２０２０ (－１) １ ＋
ｘ ｆ ｘ
)＝ ( )ꎬ ＋Ｃ ２ ２ ０ ０ ２ ２ ０ １４ １ (－１) ２０２０ ]＋２ꎬ
令 ｘ 则 ｆ ｆ 又 ｆ ｘ ｆ
其中
∴ ＝２ꎬ (２)＝ (０)＝ ０ꎬ (２－ )＝ ０ ２０２１ ０ １ ２０２０ １
Ｃ２０２１４ (－１) ＋Ｃ２０２１４ (－１) ＋
ｘ ｆ ｘ
( )＝ － (－ )ꎬ ２０２０ １ ２０２０ 能被 整除
＋Ｃ２０２１４ (－１) ４ ꎬ
ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 即 ｆ ｘ
∴ (２＋ )＝ － ( )ꎬ∴ ( ＋４)＝ ( )ꎬ ( ) ｆ ａ ｆ ２０２１ ｆ .
是以 为周期的周期函数.
∴ ( ２０２１)＝ (－３ ＋１)＝ (２)＝ ０
４
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
４３４
