专题14二项式定理、复数（5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）（解析版）_2024年3月_02按日期_16号

专题 14 二项式定理、复数 易错点一：忽略了二项式中的负号而致错（（a-b）n化解问题） Ⅰ：二项式定理 n 一般地，对于任意正整数 ，都有： ， (ab)n 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做 的二项展开式． 式中的 做二项展开式的通项，用 表示，即通项为展开式的第 项： ， 其中的系数 （r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数， Ⅱ：二项式 的展开式的特点： ①项数：共有 项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第 项的二项式系数为 ，最大二项式系数项居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数 ．字母 降幂排列，次数由 到 ；字母 升幂排列，次 数从 到 ，每一项中， ， 次数和均为 ； ④项的系数：二项式系数依次是 ，项的系数是 与 的系数（包括二项式系数）． Ⅲ：两个常用的二项展开式：(ab)n C0anC1an1b(1)rCranrbr(1)nCnbn nN* ① n n n n （ ） (1x)n 1C1xC2x2Crxrxn ② n n n Ⅳ：二项展开式的通项公式 二项展开式的通项： Cr 公式特点：①它表示二项展开式的第 项，该项的二项式系数是 n； ②字母 的次数和组合数的上标相同； ③ 与 的次数之和为 ． Cranrbr Crbnrar 注意：①二项式 的二项展开式的第r+1项 n 和 的二项展开式的第r+1项 n 是有 区别的，应用二项式定理时，其中的 和 是不能随便交换位置的． T (1)rCranrbr ②通项是针对在 这个标准形式下而言的，如 的二项展开式的通项是 r1 n （只 需把 看成 代入二项式定理）． 易错提醒：在二项式定理 的问题要注意 的系数为 ，在展开求解时不要忽略. 例、已知 的展开式中含 的项的系数为30，则 （ ） A． B． C．6 D． 错解： ，令 ，可得 ，∴ ． 错因分析：二项式 中的项为 ， ，错解中误认为是 ， ，忽略了负号而出现了错 解． 正解：D ，令 ，可得 ，∴ ．变式1：在 的展开式中， 的系数是 ． 【详解】二项式 展开式的通项为 （其中 且 ）， 令 ，解得 ，所以 ， 所以展开式中 的系数是 .故答案为： 变式2： 展开式的常数项为 . 【详解】展开式的通项公式为 ， 令 ，解得 ， 所以常数项为 ，故答案为：15. 变式3： 的展开式中 的系数为 . 【详解】设展开式中的第 项含有 项，即 ， 令 ，解得 ， 即 ，所以展开式中 的系数为 . 故答案为： 1． 的二项式展开式中 的系数为（ ） A．560 B．35 C．-35 D．-560 【答案】D【分析】 中利用二项式定理可求得 的系数，从而求解. 【详解】由题意知 的展开式为 ， 令 ，得 ，所以 的系数为 ，故D项正确. 故选：D. 2．若 的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则 的展开式中的常数项为 （ ） A．6 B．8 C．28 D．56 【答案】C 【分析】根据 的展开式中所有项的二项式系数之和求出n的值，从而写出 的展开式的 通项公式，再令x的指数为0，即可求解常数项． 【详解】由 的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得 ，所以 ， 则二项式 的展开式的通项公式为 （ 且 ）， 令 ，解得 ， 所以 ，故 的展开式中的常数项为28， 故选：C． 3． 的展开式中 的系数为（ ） A．55 B． C．65 D． 【答案】D【分析】根据 展开式的通项公式进行计算即可. 【详解】含 的项为 ， 所以展开式中 的系数为 ． 故选： 4．若 的展开式中含有常数项（非零），则正整数 的可能值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据二项展开式的通项公式建立方程，求解即可. 【详解】由二项式定理知， ， 因为其含有常数项，即存在 ，使得 此时 ，所以 时， ， 故选：C. 5． 的展开式中 的系数为 ，则实数 （ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用二项式的展开式公式展开，再与前面的项相乘求解即可. 【详解】 的展开式的通项公式为 ， 所以 ． 令 ，解得 ，．令 ，解得 ． 由题意，可知 ， 所以 ． 故选：D． 6．在 的展开式中， 的系数为（ ） A． B．21 C．189 D． 【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式可得解. 【详解】由二项展开式的通项公式得 ，令 得 ， 所以 的系数为 . 故选：B. 7． 的展开式中含 的项的系数为 . 【答案】960 【分析】利用二项展开式的通项公式分析运算求解. 【详解】 的展开式的通项为 ，故令 ， 可得 的展开式中含 的项的系数为： . 故答案为：960. 8．已知 的展开式中的常数项是672，则 . 【答案】2 【分析】写出二项式通项 ，整理后让x的次数为0，得出r的值，再根据常数项的值列出等式方程即可 得出a的值．【详解】展开式的通项为 ， 令 ，得 ， 所以常数项是 ，故 ． 故答案为：2． 9．在 的展开式中， 的系数为 ． 【答案】24 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出指定项的系数即得. 【详解】二项式 展开式的通项为 ， 由 ，得 ，则 ，所以x的系数为24. 故答案为：24. 10． 的展开式中，按 的升幂排列的第3项的系数为 ． 【答案】3 【分析】根据已知得出按 的升幂排列的第3项即含 的项.结合二项式定理，分类讨论求解，即可得出答 案. 【详解】由已知可得，展开式中含有常数项、一次项、两次项， 所以，按 的升幂排列的第3项即含 的项. 展开式中的常数项为 ， 展开式中含 的项为 ； 展开式中含 的项为 ， 展开式中含 的项为 ； 展开式中含 的项为 ， 展开式中的常数项为 . 所以， 的展开式中，含 的项为 .故答案为：3. 11．在 的展开式中的 的系数是 . 【答案】 【分析】根据二项展开式的通项公式，可令 求得 的系数. 【详解】 展开式的通项公式为： ， 令 ，解得： ，所以 的系数为 . 故答案为： . 12．二项式 的展开式中常数项为 ． 【答案】 【分析】根据给定的条件，利用二项式定理求解作答. 【详解】 的展开式的通项为 ． 令 ，得 ，故常数项为 ． 故答案为： . 13． 的展开式的第三项的系数为135，则 ． 【答案】6 【分析】先写出展开式的通项公式 ；再令 ，列出等式求解即可. 【详解】 的展开式的通项公式为 ， 则第三项的系数为 ，即 ，解得 （舍去）或 ．故答案为：6. 易错点二：三项式转化不合理导致计算麻烦失误（三项展开式的问题） 求三项展开式式中某些特定项的系数的方法 第一步：通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解 第二步：两次利用二项式定理的通项公式求解 第三步：由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作 几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量 易错提醒：对于三项式的展开问题，一般采取转化为二项式再展开的办法进行求解，但在转化为二项式的 时候，又有不同的处理策略：一是如果三项式能够化为完全平方的形式，或者能够进行因式分解，则可通 过对分解出来的两个二项展开式分别进行分析，进而解决问题（如本例中的解法二）；二是不能化为完全 平方的形式，也不能进行因式分解时，可直接将三项式加括号变为二项式，套用通项公式展开后对其中的 二项式再利用通项展开并进行分析求解，但要结合要求解的问题进行合理的变形，以利于求解. 例、 的展开式中，x的一次项的系数为（ ） A．120 B．240 C．320 D．480 易错分析：本题易出现的错误是盲目套用解决三项式展开的一般方法（转化为二项式处理： ），而不针对要求解的问题进行合理的变通，导致运算繁杂并出现错误． 正解：解法一 由于 ， 展开式的通项为 ，0≤r≤5， 当且仅当r＝1时，展开式才有x的一次项，此时 ． 所以展开式中x的一次项为 ，它的系数为 ．故选B． 解法二 由于 ， 所以展开式中x的一次项为 ．故x的一次项的系数为240．故选B． 变式1：在 的展开式中，含 的系数为 . 【详解】把 的展开式看成是5个因式 的乘积形式， 展开式中，含 项的系数可以按如下步骤得到： 第一步，从5个因式中任选2个因式，这2个因式取 ，有 种取法； 第二步，从剩余的3个因式中任选2个因式，都取 ，有 种取法； 第三步，把剩余的1个因式中取 ，有 种取法； 根据分步相乘原理，得；含 项的系数是 故答案为： . 变式2： 展开式中 的系数为 （用数字作答）． 【详解】由于 表示5个因式 的乘积， 故其中有2个因式取 ，2个因式取 ，剩余的一个因式取 ，可得含 的项， 故展开式中 的系数为 ， 故答案为： ． 变式3：在 的展开式中，形如 的所有项系数之和是 ． 【详解】 展开式的通项为 ． 令 ，得 ．令 ，得所求系数之和为 ．故答案为：320 1． 的展开式中的常数项为（ ） A．588 B．589 C．798 D．799 【答案】B 【分析】因为 展开式中的项可以看作8个含有三个单项式 各取一个相乘而得，分析 组合可能，结合组合数运算求解. 【详解】因为 展开式中的项可以看作8个含有三个单项式 中各取一个相乘而得， 若得到常数项，则有：①8个1；②2个 ，1个 ，5个1；③4个 ，2个 ，2个1； 所以展开式中的常数项为 . 故选：B. 2．在 的展开式中， 的系数是（ ） A．24 B．32 C．36 D．40 【答案】D 【分析】根据题意， 的项为 ，化简后即可求解. 【详解】根据题意， 的项为 ， 所以 的系数是 . 故选：D． 3． 的展开式中 的系数为12，则 （ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据乘法的运算法则，结合组合数的性质、二倍角的余弦公式进行求解即可. 【详解】 的展开式中 的系数可以看成：6个因式 中选取5个因式提供 ， 余下一个因式中提供 或者6个因式 中选取4个因式提供 ，余下两个因式中均提供 ， 故 的系数为 ， ∴ ， ∴ ， 故选：C 4． 的展开式中 的系数为（ ） A． B．60 C． D．120 【答案】A 【分析】先把 看作整体写出二项式展开的通项，再根据指定项确定 的次数，再写一次二项式展开 的通项，最后根据指定项配凑出项的系数. 【详解】因为 展开式的通项为 ， 当 时才能出现 ，此时 展开的通项为 ， 当 时出现 的一次，所以展开式中 的系数为 ． 故选：A. 5．设 ，已知 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为 256，则 中 的系数为（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到 和 ，再根据 项的取法为1个 和1个 再计算即可. 【详解】因为 的展开式中只有第5项的二项式系数最大， 所以展开式一共有 项，即 ， 令 ，得展开式中所有项的系数和为 ，所以 ， 中 项的取法为1个 和1个 ， 所以 系数为 . 故选：C 6． 的展开式中， 的系数为（ ） A．80 B．60 C． D． 【答案】D 【分析】由题得 ，再利用二项式的通项即可得到答案. 【详解】 ，则其展开式通项为 ， 令 ，则 的展开式中含 的项为 ， 所以 的系数为 ， 故选：D． 7．已知 展开式的各项系数之和为 ，则展开式中 的系数为（ ） A．270 B． C．330 D． 【答案】D【分析】令 ，得 ，得 . 再根据二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】令 ，则 ，得 . 所以 ， 又因为只有 ， 展开式中有含 的项， 所以 的系数为 . 故选：D 8． 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为256，则 中 的系数为（ ） A．1 B．4或1 C．4或0 D．6或0 【答案】C 【分析】展开式中只有第5项的二项式系数最大，可以得到 的值，然后再赋值法求出所有项的系数和的 表达式可解出a的值，再分类求出 中 的系数即可得出答案. 【详解】展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以总共有9项， 令 得所有项的系数和为 ， 或 当 时， 展开式中 的系数为： ，当 时， 展开式中不含 项. 故选：C. 9． 的展开式中 项的系数为 ． 【答案】80 【分析】只需6个因式中3个因式取 、3个因式取 或2个因式取 、1个因式取 、3个因式取1，根 据组合知识得到答案. 【详解】 可以看成6个因式 相乘， 所以 的展开式中含 的项为3个因式取 、3个因式取 或2个因式取 、1个因式取 、3个因式取1， 所以 的展开式中含 项的系数为 ． 故答案为：80 10． 展开式中， 项的系数为 . 【答案】 【分析】由二项式定理求解． 【详解】 ，∵ 的指数是3，∴得到 ， ∵ 的指数是2，得到 ，∴ 项的系数为 . 故答案为： 11． 的展开式中 项的系数为 ． 【答案】 【分析】根据多项式相乘展开方法求解.【详解】 的展开式中，构成 项只能是一个 、一个 、3个 相乘， 故此项为 ． 故答案为： . 12．在 的展开式中， 的系数为 . 【答案】66 【分析】根据二项式的含义，结合组合数的计算，求得答案. 【详解】由题意， 表示12个因式 的乘积， 故当2个因式取x，其余10个因式取1时，可得展开式中含 的项， 故 的系数为 . 故答案为：66. 13． 的展开式中， 的系数为10，则 . 【答案】 【分析】化 ,利用二项展开式的通项公式求得展开式中 的系数,列方程求 出 的值. 【详解】 其展开式的通项公式为 ， 令 得 因为 的系数为10，则 ，解得 ， 故答案为： . 14． 展开式中的常数项为 .（用数字做答）【答案】49 【分析】利用分类计数原理求解即可. 【详解】 展开式中得到常数项的方法分类如下： （1）4个因式中都不取 ，则不取 ，全取 ，相乘得到常数项. 常数项为 ； （2）4个因式中有1个取 ，则再取1个 ，其余因式取 ，相乘得到常数项. 常数项为 ； （3）4个因式中有2个取 ，则再取2个 ，相乘得到常数项. 常数项为 . 合并同类项，所以展开式中常数项为 . 故答案为： . 15． 展开式中含 项的系数为 ． 【答案】-160 【分析】变形为 ，写出通项公式，求出 ，得到答案. 【详解】 变形为 ， 故通项公式得 ， 其中 的通项公式为 ， 故通项公式为 ，其中 ， ， 令 ，解得 ，故 . 故答案为：-160 16． 的展开式中 的系数为 ． 【答案】92 【分析】由于 ，根据二项式定理分别求得 和 的展开式的通项， 从而分析可得 的系数. 【详解】 ， 又 展开式的通项 ， 展开式的通项 ， 所以含 的项为 则含 的系数为 . 故答案为： . 17． 的展开式中 的系数为 （用数字作答）． 【答案】 【分析】 ，然后两次利用通项公式求解即可； 【详解】因为 ， 设其展开式的通项公式为： ， 令 ， 得 的通项公式为 ， 令 ， 所以 的展开式中， 的系数为 ，故答案为： 易错点三：混淆项的系数与二项式系数致误（系数与二项式系数问题） Ⅰ：二项式展开式中的最值问题 1.二项式系数的性质 ①每一行两端都是 ，即 ；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即 ． ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 ． ③二项式系数和令 ，则二项式系数的和为 ，变形式 ． ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令 ， 则 ， 从而得到： ． ⑤最大值： 如果二项式的幂指数 是偶数，则中间一项 的二项式系数 最大； 如果二项式的幂指数 是奇数，则中间两项 ， 的二项式系数 ， 相等且最大． 2.系数的最大项 求 展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为 ，设第 项系数最大，应有 ，从而解出 来． Ⅱ：二项式展开式中系数和有关问题 常用赋值举例：abn C0an C1an1bC2an2b2Cranrbr Cnbn （1）设 n n n n n ， 二项式定理是一个恒等式，即对 ， 的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取 ， 的值． ab1 2n C0 C1 Cn ①令 ，可得： n n n 0C0C1C2C31nCn ②令 ，可得： n n n n n，即： C0 C2 Cn C1 C3Cn1 n n n n n n n （假设 为偶数），再结合①可得： C0 C2 Cn C1 C3Cn1 2n1 n n n n n n ． （2）若 ，则 ①常数项：令 ，得 ． ②各项系数和：令 ，得 ． 注意：常见的赋值为令 ， 或 ，然后通过加减运算即可得到相应的结果． 易错提醒：二项式定理 的问题要注意：项的系数与二项式系数的区别与联系（求所有项的系数只要 令字母值为1）. 例、设 的展开式中，第三项的系数为36，试求含 的项． 错解：第三项的系数为 ，依题意得 ，化简得 ，解此方程并舍去不合题意的负值， 得n＝9，设 的展开式中 项为第r＋1项，则 ，由9－r＝2，得r＝7，故 的展开式中含 的项为 ． 错因分析：错解将“二项展开式中的第三项的二项式系数”当作了“第三项的系数”，解答显然是错误的． 正解： 的展开式的第三项为 ，∴ ，即 ，解此方程并舍去不合题意的负值，得n＝4，设 的展开式中 项为第r＋1项，则 ，由4－r ＝2，得r＝2，即 的展开式中 项为 ． 变式1：求 的展开式中第3项的系数和二项式系数． 【详解】二项式 展开式通项公式为 ， 第三项为： ， 所以第三项系数为 ，第3项的二项式系数为 ． 变式2：计算 的展开式中第5项的系数和二项式系数． 【详解】因为 的展开通项为 ， 所以 的展开式中第5项是 ， 故所求第5项的系数是 ，第5项的二项式系数是 ． 变式3：求 的展开式中常数项的值和对应的二项式系数． 【详解】因为 ， 所以展开式中的第 项为 ． 要得到常数项，必须有 ，从而有 ， 因此常数项是第4项，且 ． 从而可知常数项的值为160，其对应的二项式系数为 ．1．在二项式 的展开式中，二项式系数最大的是（ ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第3项和第4项 【答案】B 【分析】根据二项式系数的性质分析求解. 【详解】二项式 的展开式共有7项，则二项式系数最大的是第4项. 故选：B. 2．已知二项式 的展开式中仅有第 项的二项式系数最大，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，二项式 的展开式共 项，即可求出 的值. 【详解】因为二项式 的展开式中仅有第 项的二项式系数最大， 则二项式 的展开式共 项，即 ，解得 . 故选：A. 3．在二项式 的展开式中，下列说法正确的是（ ） A．常数项是 B．各项系数和为 C．第5项二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为32 【答案】BD 【分析】根据二项式理及二项式系数的性质逐项判断即可. 【详解】二项式 的展开式的通项为当 时，得常数项为 ，故A不正确； 当 时，可得展开式各项系数和为 ，故B正确； 由于 ，则二项式系数最大为 为展开式的第4项，故C不正确； 奇数项二项式系数和为 ，故D正确. 故选：BD. 4．在二项式 的展开式中，下列说法正确的是（ ） A．第6项的二项式系数最大 B．第6项的系数最大 C．所有项的二项式系数之和为 D．所有项的系数之和为1 【答案】ACD 【分析】由系数和二项式的系数的性质可判断A，B，C；由赋值可判断D. 【详解】通项公式为 ， ， 其二项式系数为 ，二项式 的展开式共 项，中间项的二项式系数最大， 故第6项的二项式系数 是最大的，故A正确； 二项式系数和为 ，所以C正确； 令 得所有项的系数和为1，故D正确； 因为展开式中第六项的系数为负数，所以第六项的系数不可能为最大，故B选项错误， 故选：ACD. 5．已知2，n，8成等差数列，则在 的展开式中，下列说法正确的是（ ） A．二项式系数之和为32 B．各项系数之和为1 C．常数项为40 D．展开式中系数最大的项为80x 【答案】ABD 【分析】根据等差中项可得 .对于A：根据二项式系数之和的结论直接运算求解；对于B：利用赋值法 运算求解；对于C、D：利用二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】由题意可得： ，则 ，对于选项A：二项式系数之和为 ，故A正确； 对于选项B：令 ，可得各项系数之和为 ，故B正确； 对于选项C、D：因为 的展开式的通项公式为： ， 所以 ， 展开式中没有常数项，故C错误； 展开式中系数最大的项为80x，故D正确； 故选：ABD. 6．下列关于 的展开式的说法中正确的是（ ） A．常数项为－160 B．第4项的系数最大 C．第4项的二项式系数最大 D．所有项的系数和为1 【答案】ACD 【分析】利用二项展开式的通项和二项式系数的性质求解. 【详解】 展开式的通项为 . 对于A，令 ，解得 ，∴常数项为 ，A正确； 对于B，由通项公式知，若要系数最大，k所有可能的取值为0，2，4，6， ∴ ， ， ， ， ∴展开式第5项的系数最大，B错误； 对于C，展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C正确；对于D，令x＝1，则所有项的系数和为 ，D正确. 故选：ACD. 7．若 的展开式的二项式系数之和为16，则 的展开式中 的系数为 . 【答案】56 【分析】通过二项式系数和求出 ，然后求出 展开式的通项公式，最后求出指定项的系数即 可. 【详解】由 的展开式的二项式系数之和为16，得 ，所以 ， 则 的展开式的通项公式为 ， 令 ，解得 ，故 的展开式中 的系数为 . 故答案为：56 8．已知常数 ，在 的二项展开式中的常数项为15，设 ，则 ． 【答案】-31 【分析】先求出 ，再由二项式的展开式进行求解即可. 【详解】解： 的展开式为： ， 令 ，得 ， 则 ，因为 ，所以 ， 则 的展开式为： ，得 ， ， 则 ， 故答案为：-31. 9．在 的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为 ． 【答案】729/ 【分析】根据二项式系数之和求出n的值，进而设出各项的系数，然后采用赋值法即可求得答案. 【详解】由题意 的二项式中，所有的二项式系数之和为64， 即 ， 设 的各项的系数为 ， 则各项的系数的绝对值之和为 ， 即为 中各项的系数的和， 令 ， ， 即各项的系数的绝对值之和为 ， 故答案为：729 10．二项式 的展开式中常数项为 （用数字作答）. 【答案】60 【分析】根据二项式展开式的通项公式即可求得正确答案. 【详解】二项式 展开式的通项公式为 ， 由题意令 ，解得 ，所以二项式展开式中的常数项为 . 故答案为：60. 11．已知 的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则 . 【答案】14或23 【分析】根据二项式系数的定义列出等式，解方程即可求得 或 . 【详解】由题意可得 成等差数列，则 ， 即 ， 即 ，即 ， 解得 或 . 故答案为：14或23 12． 的展开式中含 项的系数为 . 【答案】 【分析】先对第一个括号中选取单项式进行分类，然后再在每一类中分步，结合计数原理以及组合数即可 求解. 【详解】要得到 的展开式中含有 的项，分以下两种情形： 情形一：先在第一个括号中选取“ ”，然后在后面四个括号中选取3个“ ”和1个“ ”， 由分步乘法计数原理可知此时“ ”的系数为 ； 情形二：先在第一个括号中选取“ ”，然后在后面四个括号中选取2个“ ”和2个“ ”， 由分步乘法计数原理可知此时“ ”的系数为 . 综上所述：由分类加法计数原理可知 的展开式中含 项的系数为 .故答案为： . 13．若 展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为 . 【答案】 【分析】根据二项式系数和得到 ，再计算第三项的二项式系数即可. 【详解】 展开式的二项式系数和为 ，故 ， 展开式中第三项的二项式系数为 . 故答案为： . 14．若 的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是 . 【答案】 【分析】先求得 的值，然后根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】依题意， ， 则二项式 展开式的通项公式为 ， 令 ，解得 ， 所以展开式中的常数项是 . 故答案为： 15．已知 ，若 展开式各项的二项式系数的和为 1024，则 的值为 ．【答案】17010 【分析】由题意，利用二项式系数的性质求出 值，再根据二项式展开式的通项公式，求出 值． 【详解】 ， 展开式各项的二项式系数的和为 ， ， 故 展开式的通项公式为 ． 则令 ，可得 ． 故答案为：17010． 16．已知 的展开式中二项式系数和是64，则展开式中x的系数为 ． 【答案】60 【分析】手续爱你根据二项式系数和公式求出 ，再利用二项展开式的通项公式即可得到答案. 【详解】由题意得 ，解得 ， 则 的二项展开式通项为 ， 令 ，解得 ，则x的系数为 ， 故答案为：60. 17．已知二项式 的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则 . 【答案】 【分析】根据二项展开式的二项式系数的性质，即可求解. 【详解】因为二项式 的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 根据二项展开式的性质，可得中间项的二项式系数最大，所以展开式一共有7项， 所以 为偶数且 ，可得 . 故答案为： . 18．已知 的展开式中第7项和第8项的二项式系数相等，求展开式中系数最大的项及二项式系数最大的项． 【答案】答案见解析 【分析】利用二项式系数相等可得 的值，再利用二项式系数的性质可得二项式系数最大的项，利用不等 式法可求得系数最大的项，从而得解. 【详解】因为 的展开式中第7项的二项式系数是 ，第8项的二项式系数是 ， 则 ，解得 ， 所以 的展开式共有 项，则二项式系数最大的是第7和第8项， 又 的展开通项公式为 ， 则 ， ； 而第 项的系数是 ，不妨设第 项为系数最大的项， 则 ，即 ， 即 ，即 ，解得 ，则 ， 即第10项的系数最大， ； 综上， 展开式中系数最大的项为 ，二项式系数最大的项为 与 . 易错点四：混淆虚部定义致错（求复数虚部） Ⅰ：复数的概念 ①复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，a，b分别是它的实部和虚部， 叫虚数单位，满足（1）当且仅当b＝0时，a＋bi为实数； （2）当b≠0时，a＋bi为虚数； （3）当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数．其中，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数 相等 （两复数对应同一点） ③复数的模：复数 的模，其计算公式 Ⅱ：复数的加、减、乘、除的运算法则 1、复数运算 （1） （2） 其中 ，叫z的模； 是 的共轭复数 ． （3） ． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 2、复数的几何意义 （1）复数 对应平面内的点 ； （2）复数 对应平面向量 ； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数 的模 表示复平面内的点 到原点的距离． 易错提醒：1、求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.2、复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R b＝0(a， ⇔ b∈R)；②z∈R z＝；③z∈R z2≥0 3、复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0 ⇔ ⇔ 且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2＜0 例、复数 虚部是（ ） 的 A. B. C. D. 【 错解】D 【错因分析】误认为复数的虚部为bi. 【正解】因为 ，所以复数 的虚部为 . 故选：D. 变式1：已知复数 （ 为虚数单位），则 的虚部为（ ） A． B． C． D． 【详解】因为 ， 即 ， 所以 的共轭复数为 ，其虚部为 . 故选：C. 变式2：已知 是虚数单位，则复数 的虚部是（ ）A． B． C． D． 【详解】 ，所以复数 的虚部为 ， 故选：A. 变式3：已知复数 ，则复数z的虚部为 ， ． 【详解】由题意 ， 所以复数z的虚部为1， . 故答案为：1， . 1． 的虚部为（ ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据复数除法和乘法运算以及虚部的概念即可得到答案. 【详解】 ，则其虚部为 ， 故选：B. 2．复数 （i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为（ ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】应用复数的除法运算化简 ，根据实部与虚部互为相反数列方程求 的值. 【详解】由 ，由其实部与虚部互为相反数， 即 ，则， . 故选：C3．已知 ， 则 的虚部是（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据共轭复数的概念结合复数的乘法运算，求得 ，即可得答案. 【详解】因为 ，则 ， 所以 的虚部为2， 故选：A. 4． 的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的运算法则，化简复数为 ，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数的运算法则，可得 ， 所以复数的虚部为 . 故选：C. 5．若 是虚数单位，则复数 的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数除法化简，即可确定虚部. 【详解】 .所以复数 的虚部为 . 故选：C. 6．已知复数 ，则 的虚部为（ ） A．－2 B．－1 C．6 D．2 【答案】D 【分析】利用复数乘法法则计算出 ，从而求出虚部. 【详解】 ，虚部为2， 故选：D． 7．已知复数 满足 ，则复数 的虚部为（ ） A．i B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用共轭复数的概念和复数的运算解求解. 【详解】设复数 ， ， 又 ，可得 ，解得 ， 所以复数 的虚部为 . 故选：D. 8．已知复数 在复平面内的对应点为 ，则 的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件先得到 ，再利用复数的运算法则求解即可得出结果. 【详解】因为复数 在复平面内的对应点为 所以 所以虚部为 . 故选：C9．若复数z满足 （i是虚数单位），则复数z的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用共轭复数的定义以及加减运算法则即可得复数z的虚部为 . 【详解】根据题意可设 ，则 ， ， 所以由 可得 ，所以 ,解得 ， 即复数z的虚部为 . 故选：B 10．已知i为虚数单位，复数z满足 ，则 的虚部是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过复数的模及除法运算化简复数，再利用共轭复数的定义及虚部的定义求解即可. 【详解】因为 ，所以 ， 所以 ，所以 的虚部是 . 故选：D 11．已知复数 满足 ，其中 是 的共轭复数，则复数 的虚部是（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】设 后代入已知条件解方程即可 【详解】设 ，则 ，所以 ， 则 解得 即 ，所以 的虚部为 ．故选：C 12．已知复数z满足 （ 为虚数单位），则z的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数四则运算计算可得 ，再由虚部定义可得结果. 【详解】由 可得 ， 所以可得z的虚部为 . 故选：B 13．已知 ，则z的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数除法求得 后，根据定义可得． 【详解】 ，所以虚部为 ． 故选：C． 易错点五：复数的几何意义应用错误（复数有关模长的求算） 复数的模：复数 的模，其计算公式 易错提醒：复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距 离. 例、若 ，且 ，则 最的小值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5 【错解】设 ，因此有 ． 即 又 因为 ，所以最小值为1. 【错因分析】利用复数代数形式令 ，得 ，而 ．此时 会因不会确定a 的范围导致出错；若用数形结合法．错在一般是看不出 表示的几何意义． 【正解】方法一：设 ，因此有 ． 即 又 而 即 ，∴当 时， 取最小值3． 方法二：（利用数形结合法） 表示圆心在（-2，2），半径为1的圆．而 表示圆上点与点（2，2）的距离，其最 小值为3． 变式1：已知复数z满足 ， 为z的共轭复数，则 的最大值为 . 【详解】设 ， 则 的几何意义为z在复平面内所对应的点 到 的距离为 ， 所以z所对应的点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆， 而 可看作该圆上的点 到原点的距离的平方， 所以 . 故答案为：18.变式2：已知 为虚数单位，且 ，则 的最大值是 . 【详解】设 ， 由 的几何意义知： 对应的点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，即 ， 的几何意义为点 到坐标原点 的距离， . 故答案为： . 变式3：已知复数 满足 ，则 的最大值为 ． 【详解】设复数 ，由 ，得 ， 整理得 ，即 ， 因此复数 在复平面内对应点 在以点 为圆心， 为半径的圆， 为原点， 所以 . 故答案为： 1．设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为 ，则（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数模的坐标表示即可得解. 【详解】因为z在复平面内对应的点为 ， 所以 ，则 ， 又 ，所以 ，即 . 故选：C． 2．已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 的最小值为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】设出复数的代数形式，结合条件得到复数在复平面内所对应的点的轨迹是一个圆，从而将问题转 化为点与圆的位置关系求解. 【详解】设 ，在复平面内对应的点 的坐标为 ， 由 ，得 ，即 ， 因此点 在圆 上运动，圆心 的坐标为 ，半径 ， 又 ， 于是 可以看成是点 到点 的距离，显然此点在圆 外， 所以 . 故选：D 3．若复数 满足 ，则 （ 为虚数单位）的最小值为（ ） A． B． C． D．【答案】B 【分析】首先设复数 ，( 且不同时为0)，根据条件化简求得 的关系式，再根据复数模的 几何意义求最值. 【详解】设 ，( 且不同时为0)， 由题意可知 ，得 或 ， 当 时， 的轨迹是 轴（除原点外）， 此时 的几何意义表示复数对应的点和 的距离，此时 ， 当 时，复数所对应点的轨迹是以原点为圆心， 为半径的圆， 如图，根据复数模的几何意义可知， 的几何意义是圆上的点到 的距离， 如图可知， 的最小值是点 与 的距离 . 故选：B 4．若复数z满足 ( 为虚数单位），则 的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D． +1 【答案】C 【分析】设 ，根据已知可得出 .根据几何意义，结合三角恒等变换 化简，即可得出答案.【详解】设 ，则 . 由已知 可得， . 设 ， ， 则 . 所以， . 当 ，即 时，该式有最大值 ， 所以， ， 所以， . 故选：C. 5．复数 满足 （ 为虚数单位），则 的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据复数模的几何意义求解． 【详解】 ，∴ ， 对应的点在以原点为圆心1为半径的圆上， 表示复数 对应点和 对应的点间距离， 又 ，所以 的最小值是 ， 故选：B． 6．设复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数模的运算公式进行求解即可. 【详解】复数 满足 ， 则 ， ∴ ， 故选：D 7．设复数 满足 ，则 的最大值是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】设复数 ，根据题意得到 ，得到复数对应的点的轨迹为 为圆心半 径为 的圆，进而求得 的最大值. 【详解】设复数 ，可得 ，所以 ， 所以复数对应的点的轨迹为 为圆心半径为 的圆， 所以 的最大值是 ． 故选：B.8．已知复数z满足 ，则 的最小值为（ ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】设复数 在复平面内对应的点为 ，由复数的几何意义可知点 的轨迹为 ，则问题转化为 上的动点 到定点 距离的最小值，从而即可求解． 【详解】设复数 在复平面内对应的点为 ， 因为复数 满足 ， 所以由复数的几何意义可知，点 到点 和 的距离相等， 所以在复平面内点 的轨迹为 ， 又 表示点 到点 的距离， 所以问题转化为 上的动点 到定点 距离的最小值， 当 为 时，到定点 的距离最小，最小值为1， 所以 的最小值为1， 故选：A． 9．已知复数 满足 ，则（ ） A． 的虚部为 B．C． 在复平面内对应的点在第四象限 D．若复数 满足 ，则 【答案】AD 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，对 化简，选项ABC依次判断即可；选项D，由复数的三 角不等式可得. 【详解】由 ， 得1 ，即 ， 选项A， 的虚部为 ，故A正确； 选项B， ，故B错误， 选项C，z在复平面内对应的点 在第三象限，故C错误； 选项D，方法一：复数z满足 ，且 ， 则由复数加减法的几何意义可知， ， 故 ， 故 ，故D正确. 方法二：由 ，得 ， 则复数 对应点 的集合是以 为圆心， 为半径的圆， 如图可知， ， 则 ，故选：AD. 10．已知复数 满足 ，则 的最大值是 ． 【答案】 / 【分析】根据复数模公式，复数的几何意义及椭圆的定义可得复数 对应的点 ，然后利用三角代换 结合条件即可求解． 【详解】设 ，由 ，得 ， 因此在复平面内，复数 对应的点 在以 为焦点，长轴长为4的椭圆上， 所以可设椭圆方程为 ，则 ， 所以椭圆方程为 ， 而 表示点 与点 的距离，可设 ， 所以 与点 的距离 ， 所以当 时， ，即 的最大值是 . 故答案为：11．复数z满足 （i为虚数单位），则 的最大值为 ． 【答案】7 【分析】由复数模的几何意义确定复数z对应点的轨迹，问题化为圆上点到原点的距离最大值，即可得结 果. 【详解】令 且 ，又 ， 所以 ，即 ， 所以复数z对应点在以 为圆心，半径为2的圆上， 又 表示圆上点到原点的距离，而圆心到原点距离为5， 所以 的最大值为 . 故答案为：7 资料来源：微信公众号 智慧学库 12．若复数 满足 ，则 的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题设条件确定复数 对应点在以 为焦点，长轴长为10的椭圆上，结合椭圆性质及 的几何意义确定最小值. 【详解】设 且 ，又 ， 所以 ， 即点 到两定点 的距离之和为 ， 所以点 在以 为焦点，长轴长为10的椭圆上， 由 表示椭圆上点到原点距离，故其最小值为短半轴 . 故答案为： 13．已知复数 满足 ，则 的最小值为 .【答案】 【分析】根据题意，由条件可得复数 表示以 为圆心，1为半径的圆，然后再结合其几何意义即可得 到结果. 【详解】设 ，∵ ， ∴ ，表示以 为圆心，1为半径的圆， ∴ ，表示圆上的点到点 的距离， ∴ 的最小值为 . 故答案为： . 14．已知 为虚数单位，且 ，则 的最大值是 ． 【答案】 / 【分析】利用复数模长的几何意义可知点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，根据 几何意义 为点 到坐标原点 的距离，结合圆的知识即可得解. 【详解】依题意，设 ， 由 ，得 ，则 ， 其几何意义为： 对应的点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆， 因为 的几何意义为点 到坐标原点 的距离， 所以 . 故答案为： . 15．已知复数z满足 ，则 的最大值是 ． 【答案】8【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解． 【详解】设 ，由 ，得 ，即 ， 因此在复平面内，复数 对应的点 在以 为圆心， 为半径的圆上， 而 表示点 与点 的距离，显然圆心 与点 的距离 ， 所以 的最大值是 . 故答案为：8 16．设复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则点 的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】由题意 ，由 根据复数模的运算可得 . 【详解】因为 在复平面内对应的点为 ，所以 ， 由 得 ， 所以 ，即 ， 所以点 的轨迹方程为 ， 故答案为： 17．若复数z满足 ，则 的最小值为 【答案】 / 【分析】设 ，代入 中化简，由 ，得 或 ，利用复数模的几何意义求 的最小值。 【详解】设 ，（ 不同时为0），， 由题意可知 ，得 或 ， 当 时， 的轨迹是 轴（除原点外），此时 的几何意义表示复数表示的点和 的距离，此时 ， 当 时，复数 的轨迹是以原点为圆心， 为半径的圆，如图， 根据复数模的几何意义可知， 的几何意义是圆上的点到 的距离，如图可知， 的最小值是点 与 的距离 . 故答案为： .