文档文本内容
专题十一 概率与统计
11.1 随机事件、古典概型
基础篇
考点 一 随机事件的概率 Ａ 与 Ｂ Ａ 与 Ｃ 间的关系是
ꎬ ( )
Ａ 与 Ｂ Ａ 与 Ｃ 均相互独立
考向一 事件的关系及运算 Ａ. ꎬ
Ａ 与 Ｂ 相互独立 Ａ 与 Ｃ 互斥
１.( 届山东潍坊五县联考ꎬ )已知 Ａ Ｂ 是 Ｂ. ꎬ
２０２３ ４ ꎬ Ａ 与 Ｂ Ａ 与 Ｃ 均互斥
一次随机试验中的两个事件 若满足 Ｐ Ａ Ｃ. ꎬ
ꎬ ( )＝ Ａ 与 Ｂ 互斥 Ａ 与 Ｃ 相互独立
Ｄ. ꎬ
Ｐ Ｂ ２ 则 答案 Ａ 解法一 因为摸球是有放回的 所
( )＝ ꎬ ( ) : ꎬ
３
以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果
事件 Ａ Ｂ 互斥
Ａ. ꎬ
没有影响 故Ａ 与Ｂ Ａ 与Ｃ 均相互独立.而Ａ
事件 Ａ Ｂ 相互独立 ꎬ ꎬ
Ｂ. ꎬ
与 Ｂ Ａ 与 Ｃ 均能同时发生 从而不互斥.
事件 Ａ Ｂ 不互斥 ꎬ ꎬ
Ｃ. ꎬ
解法二 个白球分别记为 个黑球
事件 Ａ Ｂ 不相互独立 :３ １ꎬ２ꎬ３ꎬ２
Ｄ. ꎬ
分别记为 .
答案 Ｃ 若事件 Ａ Ｂ 互斥 则 Ｐ Ａ Ｂ ４ꎬ５
ꎬ ꎬ ( ∪ )＝
由题意得 样本空间 Ω
ꎬ ＝{(１ꎬ１)ꎬ(１ꎬ２)ꎬ(１ꎬ
Ｐ Ａ Ｐ Ｂ ４ 与事件发生的概率小于
( )＋ ( )＝ >１ꎬ
３)ꎬ(１ꎬ４)ꎬ(１ꎬ５)ꎬ(２ꎬ１)ꎬ(２ꎬ２)ꎬ(２ꎬ３)ꎬ
３
或等于 矛盾 故事件 Ａ Ｂ 不互斥 若事件
(２ꎬ４)ꎬ(２ꎬ５)ꎬ(３ꎬ１)ꎬ(３ꎬ２)ꎬ(３ꎬ３)ꎬ(３ꎬ
１ ꎬ ꎬ ꎻ
Ａ Ｂ 相互独立 则 Ｐ ＡＢ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ 而题 ４)ꎬ(３ꎬ５)ꎬ(４ꎬ１)ꎬ(４ꎬ２)ꎬ(４ꎬ３)ꎬ(４ꎬ４)ꎬ
ꎬ ꎬ ( )＝ ( ) ( )ꎬ
设无法判断 Ｐ ＡＢ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ 是否成立 (４ꎬ５)ꎬ(５ꎬ１)ꎬ(５ꎬ２)ꎬ(５ꎬ３)ꎬ(５ꎬ４)ꎬ(５ꎬ
( )＝ ( ) ( ) ꎬ
故无法判断事件 Ａ Ｂ 是否相互独立.故选 ５)}ꎬ
ꎬ Ｃ.
２.( 福建南平三模ꎬ )抛掷两枚质地均匀 所以 Ｐ Ａ １５ ３ Ｐ Ｂ １５ ３ Ｐ Ｃ
２０２２ ５ ( )＝ ＝ ꎬ ( )＝ ＝ ꎬ ( )＝
２５ ５ ２５ ５
的硬币 下列事件与事件 至少一枚硬币正
ꎬ “
１０ ２ Ｐ ＡＢ ９ Ｐ ＡＣ ６.因为 Ｐ ＡＢ
面朝上 互为对立的是
＝ ꎬ ( )＝ ꎬ ( )＝ ( )
” ( )
２５ ５ ２５ ２５
至多一枚硬币正面朝上
Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ ＡＣ Ｐ Ａ Ｐ Ｃ 所以 Ａ
Ａ. ＝ ( ) ( )ꎬ ( )＝ ( ) ( )ꎬ
只有一枚硬币正面朝上 与 Ｂ Ａ 与 Ｃ 均相互独立.
Ｂ. 、
两枚硬币反面朝上 ４.(多选)( 届吉林省吉林市调研ꎬ )抛
Ｃ.
２０２３ １１
两枚硬币正面朝上
掷两枚质地均匀的骰子 设事件 Ａ 第一枚
Ｄ.
ꎬ ＝“
答案 Ｃ 由对立事件的概念知 至少一枚
出现奇数点 事件Ｂ 第二枚出现偶数点
:“
”ꎬ ＝“ ”ꎬ
硬币正面朝上 的对立事件为 两枚硬币反
事件Ｃ 两枚骰子出现点数和为 事件 Ｄ
” “
＝“ ８”ꎬ
面朝上 .故选
两枚骰子出现点数和为 则
” Ｃ. ＝“ ９”ꎬ ( ) 专
题
３.( 河北邯郸 月模拟ꎬ )袋内有 个白 Ａ 与 Ｂ 互斥 Ｃ 与 Ｄ 互斥 十
２０２２ ３ ６ ３ Ａ. Ｂ. 一
球和 个黑球 从中有放回地摸球 用Ａ 表示 Ａ 与 Ｄ 独立 Ｂ 与 Ｃ 独立
２ ꎬ ꎬ Ｃ. Ｄ. 概
率
第一次摸得白球 如果 第二次摸得白球 答案 ＢＣ 用数字 ｘ 表示第一枚骰子出现
与
“ ”ꎬ “ ”
统
记为 Ｂ 第二次摸得黑球 记为 Ｃ 那么事件 的点数是 ｘ 数字 ｙ 表示第二枚骰子出现的 计
ꎬ“ ” ꎬ ꎬ
４３５
点数是 ｙ 则数组 ｘ ｙ 表示这个试验的一个 周日两天中任选一天参加公益活动 则周
ꎬ ( ꎬ ) ꎬ
样本点.对于 事件Ａ 包含样本点 事 六 周日都有同学参加公益活动的概率为
Ａꎬ (１ꎬ２)ꎬ 、
件 Ｂ 也包含样本点 所以 Ａ Ｂ
(１ꎬ２)ꎬ ∩ ≠∅ꎬ ( )
故 Ａ 与 Ｂ 不互斥 故 错误
ꎬ Ａ ꎻ １ ３ ５ ７
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
对于 事件 Ｃ 包含的样本点有
８ ８ ８ ８
Ｂꎬ (２ꎬ６)ꎬ(３ꎬ
答案 Ｄ 由题意知 位同学各自在周六
共 个 事件 Ｄ 包
４ 、
５)ꎬ(４ꎬ４)ꎬ(５ꎬ３)ꎬ(６ꎬ２) ５ ꎬ
周日两天中任选一天参加公益活动有 种
含的样本点有 ４
２
(３ꎬ６)ꎬ(４ꎬ５)ꎬ(５ꎬ４)ꎬ(６ꎬ３)
情况 而 位同学都选周六有 种情况 位
共 个 故 Ｃ Ｄ 即 Ｃ 与 Ｄ 互斥 故
ꎬ ４ １ ꎬ４
４ ꎬ ∩ ＝∅ꎬ ꎬ Ｂ
同学都选周日有 种情况 故周六 周日都
正确
１ ꎬ 、
ꎻ
对于 总的样本点有 个 事件 Ａ 包 有同学参加公益活动的概率 Ｐ ２ ４ －１－１ １４
Ｃꎬ ６×６＝３６ ꎬ ＝ ＝
４
２ １６
含的样本点有 个 故 Ｐ Ａ １８
３×６＝１８ ꎬ ( )＝ ＝
７ 故选 .
３６
＝ ꎬ Ｄ
８
１ 由选项 知Ｐ Ｄ ４ １ 而事件ＡＤ 包
ꎬ Ｂ ( )＝ ＝ ꎬ ３.( 课标 ꎬ ꎬ 分) 西游记 三国演
２０１９ Ⅲ ３ ５ « »«
２ ３６ ９
含的样本点有 共 个 故 Ｐ 义 水浒传 和 红楼梦 是中国古典文学
(３ꎬ６)ꎬ(５ꎬ４)ꎬ ２ ꎬ »« » « »
瑰宝 并称为中国古典小说四大名著.某中学
ＡＤ ２ １ 所以 Ｐ ＡＤ Ｐ Ａ Ｐ Ｄ ꎬ
( )＝ ＝ ꎬ ( )＝ ( ) ( )ꎬ 为了解本校学生阅读四大名著的情况 随机
３６ １８ ꎬ
故 Ａ 与 Ｄ 独立 故 正确 调查了 位学生 其中阅读过 西游记 或
ꎬ Ｃ ꎻ １００ ꎬ « »
对于 事件Ｂ 包含的样本点有 个 红楼梦 的学生共有 位 阅读过 红楼
Ｄꎬ ６×３＝１８ ꎬ « » ９０ ꎬ «
梦 的学生共有 位 阅读过 西游记 且阅
故 Ｐ Ｂ １８ １ 由选项 知 Ｐ Ｃ ５ 而 » ８０ ꎬ « »
( )＝ ＝ ꎬ Ｂ ( )＝ ꎬ
读过 红楼梦 的学生共有 位 则该校阅
３６ ２ ３６
« » ６０ ꎬ
事件 ＢＣ 包含的样本点有
读过 西游记 的学生人数与该校学生总数
(２ꎬ６)ꎬ(４ꎬ４)ꎬ(６ꎬ
« »
比值的估计值为
共 个 故 Ｐ ＢＣ ３ １ 所以 Ｐ Ｂ Ｐ
( )
２)ꎬ ３ ꎬ ( )＝ ＝ ꎬ ( )
３６ １２ . . . .
Ａ.０ ５ Ｂ.０ ６ Ｃ.０ ７ Ｄ.０ ８
Ｃ １ ５ ５ １ Ｐ ＢＣ 故 Ｂ 与 Ｃ 不 答案 Ｃ 在样本中 仅阅读过 西游记 的
( )＝ × ＝ ≠ ＝ ( )ꎬ ꎬ « »
２ ３６ ７２ １２ 学生人数为 又由既阅读过 西游
独立 故 错误.故选 ９０－８０＝１０ꎬ «
ꎬ Ｄ ＢＣ. 记 又阅读过 红楼梦 的学生人数为 得
» « » ６０ꎬ
考向二 频率与概率
阅读过 西游记 的学生人数为
« » １０＋６０＝７０ꎬ
１.( 课标 文ꎬ ꎬ 分)若某群体中的成员
２０１８ Ⅲ ５ ５ 所以在样本中 阅读过 西游记 的学生人数
ꎬ « »
只用现金支付的概率为 . 既用现金支付
０ ４５ꎬ
所占的比例为７０ . 即为该校阅读过 西
也用非现金支付的概率为 . 则不用现金 ＝０ ７ꎬ «
5 ０ １５ꎬ １００
年 支付的概率为 游记 的学生人数与该校学生总数比值的估
高 ( ) »
考 . . . . 计值.
3 Ａ.０ ３ Ｂ.０ ４ Ｃ.０ ６ Ｄ.０ ７
年 答案 Ｂ 设事件 Ａ 为 不用现金支付 事 ４.( 海南海口质量检测ꎬ )已知小张每次
模 “ ”ꎬ ２０２２ １３
拟
件 Ｂ 为 既用现金支付也用非现金支付 事 射击命中十环的概率都为 ％ 现采用随机
A “ ”ꎬ ４０ ꎬ
版 件 Ｃ 为 只用现金支付 则 Ｐ Ａ Ｐ Ｂ 模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命
“ ”ꎬ ( )＝ １－ ( )
高 Ｐ Ｃ . . . .故选 . 中十环的概率 先由计算器产生 到 之间
考 － ( )＝ １－０ １５－０ ４５＝０ ４ Ｂ ꎬ ０ ９
数
学 ２.( 课标 ꎬ ꎬ 分) 位同学各自在周六 取整数值的随机数 指定 表示命中
２０１４ Ⅰ ５ ５ ４ 、 ꎬ ２ꎬ４ꎬ６ꎬ８
４３６
十环 表示未命中十环 再以每
ꎬ０ꎬ１ꎬ３ꎬ５ꎬ７ꎬ９ ꎬ 率的估计值为４０ .
＝０ ４ꎻ
三个随机数为一组 代表三次射击的结果
１００
ꎬ ꎬ
乙分厂加工出来的一件产品为 级品的概
经随机模拟产生了如下 组随机数
Ａ
２０ :３２１
率的估计值为２８ . .
４２１ ２９２ ９２５ ２７４ ６３２ ８００ ４７８ ５９８ ６６３ ５３１ ２９７
＝０ ２８
１００
３９６ ０２１ ５０６ ３１８ ２３０ １１３ ５０７ ９６５
由数据知甲分厂加工出来的 件产品
据此估计 小张三次射击恰有两次命中十环 (２) １００
ꎬ
利润的频数分布表为
的概率约为 .
答案 . 利润
６５ ２５ －５ －７５
０ ３
解析 由题意知 随机数组 频数
４０ ２０ ２０ ２０
ꎬ ４２１ꎬ２９２ꎬ２７４ꎬ
表示恰有两次命中十环 共 因此甲分厂加工出来的 件产品的平均
６３２ꎬ４７８ꎬ６６３ ꎬ ６ １００
个 所以所求概率 Ｐ ６ . . 利 润 为 ６５×４０＋２５×２０－５×２０－７５×２０
ꎬ ＝ ＝０ ３ ＝ １５
２０ １００
５.( 课标 文ꎬ ꎬ 分)某厂接受了一项 元 .
２０２０ Ⅰ １７ １２ ( )
加工业务 加工出来的产品 单位 件 按标 由数据知乙分厂加工出来的 件产品利
ꎬ ( : ) １００
准分为 四个等级.加工业务约定 润的频数分布表为
ＡꎬＢꎬＣꎬＤ :
对于 级品 级品 级品 厂家每件分别
利润
Ａ 、Ｂ 、Ｃ ꎬ ７０ ３０ ０ －７０
收取加工费 元 元 元 对于 级
频数
９０ ꎬ５０ ꎬ２０ ꎻ Ｄ ２８ １７ ３４ ２１
品 厂家每件要赔偿原料损失费 元.该厂
ꎬ ５０ 因此乙分厂加工出来的 件产品的平均
１００
有甲 乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加
、
利 润 为 ７０×２８＋３０×１７＋０×３４－７０×２１
工成本费为 元/件 乙分厂加工成本费为
＝ １０
２５ ꎬ
１００
元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工
元 .
２０
( )
业务 在两个分厂各试加工了 件这种产
比较甲 乙两分厂加工的产品的平均利润
ꎬ １００
、 ꎬ
品 并统计了这些产品的等级 整理如下
应选甲分厂承接加工业务.
ꎬ ꎬ :
甲分厂产品等级的频数分布表
考点 二 古典概型
等级
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ １.( 届广东东莞四中月考ꎬ )已知在多项
频数 ２０２３ ６
４０ ２０ ２０ ２０
选择题的四个选项 中 有至少两
乙分厂产品等级的频数分布表 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ ꎬ
项且至多三项符合题目要求.规定 全部选对
:
等级
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
得 分 部分选对得 分 有选错得 分.若
５ ꎬ ２ ꎬ ０
频数
２８ １７ ３４ ２１ 某题的正确答案是 某考生随机选了至
ＣＤꎬ
分别估计甲 乙两分厂加工出来的一件 少一个选项且至多三个选项 则该考生能得
(１) 、 ꎬ
产品为 级品的概率
分的概率为
Ａ ꎻ
( )
分别求甲 乙两分厂加工出来的 件
(２) 、 １００
１ １ ３ ２
产品的平均利润 以平均利润为依据 厂家 Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
专
ꎬ ꎬ １４ ７ １４ ７
题
应选哪个分厂承接加工业务 答案 Ｃ 设该考生能得分为事件 Ｍ.样本 十
? 一
解析 由试加工产品等级的频数分布 空间为 Ω
(１) ＝{ＡꎬＢꎬＣꎬＤꎬＡＢꎬＡＣꎬＡＤꎬＢＣꎬＢＤꎬ 概
率
表知 共 个样本
与
ꎬ ＣＤꎬＡＢＣꎬＡＢＤꎬＡＣＤꎬＢＣＤ}ꎬ １４
统
甲分厂加工出来的一件产品为 级品的概 点 且事件 Ｍ 含有的样本点有 共 计
Ａ ꎬ ＣꎬＤꎬＣＤꎬ ３
４３７
的概率为
个 所以 Ｐ Ｍ ３.故选 ( )
ꎬ ( )＝ Ｃ.
１４
１ １ ２ ２
２.( 届贵州遵义新高考协作体入学质量监 Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
２０２３ ５ ３ ５ ３
测ꎬ )同时掷两枚骰子 向上的点数之和是 答案 Ｃ 依题意知 总的样本点为
ꎬ {(１ꎬ
５ ꎬ ３
的倍数的概率是
２)ꎬ(１ꎬ３)ꎬ(１ꎬ４)ꎬ(１ꎬ５)ꎬ(１ꎬ６)ꎬ(２ꎬ３)ꎬ
( )
(２ꎬ４)ꎬ(２ꎬ５)ꎬ(２ꎬ６)ꎬ(３ꎬ４)ꎬ(３ꎬ５)ꎬ(３ꎬ
１３ ５ １ １
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 共 个.其中符
３６ １８ ３ ４ ６)ꎬ(４ꎬ５)ꎬ(４ꎬ６)ꎬ(５ꎬ６)}ꎬ １５
答案 Ｃ 同时掷两枚骰子 样本点总数为 合数字之积是 的倍数的样本点有 个 故
ꎬ ４ ６ ꎬ
ｎ 向上的点数之和是 的倍数包
＝６×６＝３６ꎬ ３ 所求概率 Ｐ ６ ２.故选 .
＝ ＝ Ｃ
含的样本点有
１５ ５
(１ꎬ２)ꎬ(２ꎬ１)ꎬ(１ꎬ５)ꎬ(５ꎬ１)ꎬ
５.( 届长沙雅礼实验中学入学考ꎬ )中国
２０２３ ５
(２ꎬ４)ꎬ(４ꎬ２)ꎬ(３ꎬ３)ꎬ(３ꎬ６)ꎬ(６ꎬ３)ꎬ(４ꎬ
空间站的主体结构包括天和核心舱 问天实
共 个 则向上的点数之
、
５)ꎬ(５ꎬ４)ꎬ(６ꎬ６)ꎬ １２ ꎬ
验舱和梦天实验舱 假设空间站要安排甲
ꎬ ꎬ
和是 的倍数的概率 Ｐ １２ １.故选
３ ＝ ＝ Ｃ. 乙 丙 丁 名航天员开展实验 其中天和核
３６ ３ ꎬ ꎬ ４ ꎬ
３.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)从 至 的 个整 心舱安排 人 问天实验舱与梦天实验舱各
２ ꎬ
２０２２ Ⅰ ５ ５ ２ ８ ７
安排 人 则甲乙两人安排在同一个舱内的
数中随机取 个不同的数 则这 个数互质
１ ꎬ
２ ꎬ ２
概率为
的概率为
( )
( )
１ １ １ １
１ １ １ ２ Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. ６ ４ ３ ２
６ ３ ２ ３
答案 Ａ 从甲 乙 丙 丁 名航天员中任
答案 Ｄ 解法一 从 个整数中随机取 ꎬ ꎬ ꎬ ４
: ７ ２
选两人去天和核心舱 剩下两人去剩下两个
个不同的数共有 ２ 种取法. ꎬ
Ｃ７ ＝２１
舱位 则有 种可能 要使得
２ ２
如图 所取的 个数互质的取法有 ꎬ Ｃ４Ａ２ ＝６×２＝１２ ꎬ
ꎬ ２ ３＋４＋２＋３
甲乙在同一个舱内 由题意 甲乙只能同时
ꎬ ꎬ
种 所以这 个数互质的概率为１４
在天和核心舱 在这种安排下 剩下两人去
＋１＋１＝１４ ꎬ ２
ꎬ ꎬ
２１
剩下两个舱位 则有 种可能 所以甲乙
２
２.
ꎬ Ａ２ ＝２ ꎬ
＝
３ 两人安排在同一个舱内的概率 Ｐ ２ １.故
＝ ＝
１２ ６
选
Ａ.
６.( 全国甲理ꎬ ꎬ 分)将 个 和 个
解法二 间接法 从 个数中任取 个数共 ２０２１ １０ ５ ４ １ ２ ０
( ): ７ ２ 随机排成一行 则 个 不相邻的概率为
有 种取法 个数不互质的情况有两 ꎬ ２ ０
２
Ｃ７ ＝２１ ꎬ２
种 从 个偶数中任取 个 有 种取 ( )
２
5 :① ４ ２ ꎬ Ｃ４ ＝６
年 法 从偶数和奇数中各取一个 有 种取 １ ２ ２ ４
高 ꎻ② ꎬ １ Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
考 ３ ５ ３ ５
法 所以 个数不互质的取法有 种 所以取
3 答案 Ｃ 解法一 从 个位置中任选 个
ꎬ ２ ７ ꎬ
年 : ６ ２
模 位置排 个 其他 个位置排 个 共有
个数互质的概率为 ７ ２ 故选 .
拟 ２ ０ꎬ ４ ４ １ꎬ
２ １－ ＝ ꎬ Ｄ
A ２１ ３ ２ ４ 种排法 先排 个 再将 个 分
版 ４.( 全国甲文ꎬ ꎬ 分)从分别写有
Ｃ６Ｃ４ ＝１５ ꎻ ４ １ꎬ ２ ０
２０２２ ６ ５ １ꎬ２ꎬ３ꎬ 别插入 个空中 共有 ２ 种插法 故所
高 ５ ꎬ Ｃ５ ＝１０ ꎬ
的 张卡片中无放回随机抽取 张
考
４ꎬ５ꎬ６ ６ ２ ꎬ
数 求概率 Ｐ １０ ２.
学 则抽到的 张卡片上的数字之积是 的倍数 ＝ ＝
２ ４ １５ ３
４３８
解法二 捆绑法 由题意知 个 相邻共有 答案 Ａ 从 Ｏ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 个点中任取
( ): ２ ０ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ５ ３
２ １ 个点的情况有 ＡＢＣ ＡＢＤ ＡＢＯ ＡＣＤ ＡＣＯ
２ １
种排列方法 故所求概率Ｐ Ｃ２Ｃ５ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
Ｃ２Ｃ５ ꎬ ＝１－ ２ ４ ＝１ ＡＤＯ ＢＣＤ ＢＣＯ ＢＤＯ ＣＤＯ 共 种 其中
Ｃ６Ｃ４ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ １０ ꎬ ３
点共线的情况有 ＡＣＯ 和 ＢＤＯ 两种 因此从
５ ２. ꎬ
－ ＝
１５ ３
Ｏ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中任取 个点共线的概率为 ２
７.( 课标 文ꎬ ꎬ 分) 设 Ｏ 为正方形 ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ３
２０２０ Ⅰ ４ ５ １０
ＡＢＣＤ 的中心 在 Ｏ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中任取 点
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ３ ꎬ １ 故选 .
＝ ꎬ Ａ
则取到的 点共线的概率为
５
３ ( )
１ ２ １ ４
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
５ ５ ２ ５
专
题
十
一
概
率
与
统
计
４３９
综合篇
考法 古典概型概率的求法
５ １１ ２１ １１
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
考向一 古典概型的综合应用 １６ ３２ ３２ １６
答案 Ａ 重卦是由从下到上排列的 个爻
１.( 届浙江嘉兴基础测试ꎬ )从圆内接正 ６
２０２３ ４ 组成的 而爻有 阳爻 和 阴爻 两种 故所
ꎬ “ ” “ ” ꎬ
八边形的 个顶点中任取 个顶点构成三角
８ ３ 有的重卦共有 ６ 种.重卦中恰有 个
２ ＝ ６４ ３
形 则所得的三角形是直角三角形的概率是
ꎬ 阳爻 的共有 ３ ３ 种.故所求概率 Ｐ
“ ” Ｃ６ ×Ｃ３ ＝２０
( )
２０ ５ 故选 .
＝ ＝ ꎬ Ａ
１ ３ ７ ３ ６４ １６
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
１４ １４ ２０ ７ ３.( 课标 文ꎬ ꎬ 分)生物实验室有 只
２０１９ Ⅱ ４ ５ ５
答案 Ｄ 从圆内接正八边形的 个顶点中
８ 兔子 其中只有 只测量过某项指标.若从这
ꎬ ３
任取两点连成线段 其中有 条为圆的直径.
ꎬ ４ 只兔子中随机取出 只 则恰有 只测量
５ ３ ꎬ ２
若从这 个顶点中任取 个顶点构成三角
８ ３ 过该指标的概率为
( )
形 所得的三角形是直角三角形 则其中直
ꎬ ꎬ
２ ３ ２ １
角三角形的斜边为圆的直径 然后从剩余的
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
ꎬ
３ ５ ５ ５
个顶点 除去直角三角形斜边的顶点 中 答案 Ｂ 记 只兔子分别为 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ
６ ( ) ５ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
任取一个点 与斜边的顶点可构成直角三角 其中测量过某项指标的 只兔子为 Ａ Ｂ Ｃ
ꎬ ３ ꎬ ꎬ ꎬ
则从这 只兔子中随机取出 只的基本事
形 故所求事件的概率 Ｐ ４×６ ２４ ３.故 ５ ３
ꎬ ＝ ＝ ＝
Ｃ ３ ８ ５６ ７ 件有 ＡＢＣ ꎬ ＡＢＤ ꎬ ＡＢＥ ꎬ ＡＣＤ ꎬ ＡＣＥ ꎬ ＡＤＥ ꎬ ＢＣＤ ꎬ
选
Ｄ. ＢＣＥ ＢＤＥ ＣＤＥ 共 种 其中恰有 只测
ꎬ ꎬ ꎬ １０ ꎬ ２
２.( 课标 理ꎬ ꎬ 分)我国古代典籍 周
量过该指标的基本事件有 ＡＢＤ ＡＢＥ ＡＣＤ
２０１９ Ⅰ ６ ５ «
ꎬ ꎬ ꎬ
易 用 卦 描述万物的变化.每一 重卦 由
ＡＣＥ ＢＣＤ ＢＣＥ 共 种 所以所求事件的概
» “ ” “ ”
ꎬ ꎬ ꎬ ６ ꎬ
从下到上排列的 个爻组成 爻分
６ ꎬ 率 Ｐ ６ ３.
为阳爻 和阴爻 如图 ＝ ＝
“———” “— —”ꎬ １０ ５
所示的图形是一重卦.在所有重卦中随机取一 ４.( 课标 理ꎬ ꎬ 分)我国数学家陈景润
２０１８ Ⅱ ８ ５
重卦 则该重卦恰有 个阳爻的概率是 在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先
ꎬ ３ ( )
的成果.哥德巴赫猜想是 每个大于 的偶数
“ ２
可以表示为两个素数的和 如 .在 人 分配到甲 乙 丙三校的不同分法为
３
”ꎬ ３０＝７＋２３ ꎬ 、 、 ２５Ａ３
不超过 的素数中 随机选取两个不同的 种 恰好有 名学生分配到甲校的
３０ ꎬ ＝１５０( )ꎬ ２
数 其和等于 的概率是 不同分法为 ２ ２ ２ 种 所以恰好有
ꎬ ３０ ( ) Ｃ５Ｃ３Ａ２ ＝６０( )ꎬ ２
１ １ １ １ 名大学生分配到甲校的概率 Ｐ ６０ ２.
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. ＝ ＝
１２ １４ １５ １８ １５０ ５
答案 Ｃ 不超过 的素数有 ７.( 全国甲理ꎬ ꎬ 分)从正方体的 个
３０ ２ꎬ３ꎬ５ꎬ７ꎬ１１ꎬ ２０２２ １５ ５ ８
共 个 从这 个素数中 顶点中任选 个 则这 个点在同一个平面
１３ꎬ１７ꎬ１９ꎬ２３ꎬ２９ꎬ １０ ꎬ １０ ４ ꎬ ４
随机选取两个不同的数 有 ２ 种情况 的概率为 .
ꎬ Ｃ１０ ＝４５ ꎬ
其和等于 的情况有 种 则所求概率等于
３０ ３ ꎬ 答案 ６
３５
３ １.故选 .
＝ Ｃ 解析 从正方体的 个顶点中任选 个顶
４５ １５ ８ ４
５.( 届河北唐山海港中学开学检测ꎬ )已 点 共有 ４ 种选法 其中 个点在同一
２０２３ ７ ꎬ Ｃ８ ＝７０ ꎬ ４
平面的选法共 种 即选正方体的 个表面
ａ
１２ ꎬ ６
知函数ｆ ｘ ｘ３ ｂｘ２ ｘ .若ａ ｂ 分别是从
( )＝ ＋ ＋ ＋２ ꎬ 和 个对角面的 个顶点 根据古典概型概
３ ６ ４ ꎬ
中任取的一个数 则函数 ｆ ｘ 有两个
１ꎬ２ꎬ３ ꎬ ( ) 率公式知所求概率 Ｐ １２ ６.
＝ ＝
极值点的概率为
７０ ３５
( )
８.( 全国乙ꎬ理 ꎬ文 ꎬ 分)从甲 乙等
２０２２ １３ １４ ５ 、
１ １ ２ ５
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 名同学中随机选 名参加社区服务工作
６ ３ ３ ６ ５ ３ ꎬ
答案 Ｃ 由题意得 ｆ ′ ｘ ａｘ２ ｂｘ 则甲 乙都入选的概率为 .
( )＝ ＋２ ＋１＝０ 、
有两个不等实根 则有Δ ｂ２ ａ 解得ｂ２
ꎬ ＝４ －４ >０ꎬ 答案 ３
ａ.ａ ｂ 分别是从 中任取的一个数 表
１０
> ꎬ １ꎬ２ꎬ３ ꎬ
解析 设 甲 乙都入选 为事件 Ａ 从甲 乙
示为 ａ ｂ 有
“ 、 ” ꎬ 、
( ꎬ )ꎬ (１ꎬ１)ꎬ(１ꎬ２)ꎬ(１ꎬ３)ꎬ(２ꎬ１)ꎬ
等 名同学中随机选 名参加社区服务工
共 种
５ ３
(２ꎬ２)ꎬ(２ꎬ３)ꎬ(３ꎬ１)ꎬ(３ꎬ２)ꎬ(３ꎬ３)ꎬ ９
情况 作包含的基本事件有 ３ 个 事件 Ａ 包含的
ꎬ
Ｃ５ ꎬ
其中满足 ｂ２
>
ａ 的有
(１ꎬ２)ꎬ(１ꎬ３)ꎬ(２ꎬ２)ꎬ 基本事件有 １ 个 所以 Ｐ Ａ Ｃ
１
３ ３.
共 种情况 则函数 ｆ
Ｃ３ ꎬ ( )＝
Ｃ ３ ５
＝
１０
(２ꎬ３)ꎬ(３ꎬ２)ꎬ(３ꎬ３)ꎬ ６ ꎬ
９.( 南京一中期初测试ꎬ )某校高一年级
２０２２ １７
ｘ 有两个极值点的概率为６ ２ 故选
( ) ＝ ꎬ Ｃ. 名学生期中考试生物学科成绩的频率
９ ３ １ ０００
６.( 届江苏常州一中检测ꎬ )现有 名师范 分布直方图如图所示 其中成绩分组情况
２０２３ １５ ５ ꎬ
大学毕业生主动要求到西部某地的甲 乙 丙三
如表.
、 、
校支教 每个学校至少去 人 则恰好有 名大
5
ꎬ １ ꎬ ２
年
学生分配到甲校的概率为 .
高
考
3
年 答案 ２
模
５
拟
解析 将 名学生按 和 分
A ５ １ ∶ １ ∶ ３ １ ∶ ２ ∶ ２
版
２ ２
高 考 数 成 ３ 组的不同分法有 Ｃ ３ ５ ＋ Ｃ Ａ ５Ｃ ２ ２ ３ ＝１０＋ １０ ２ ×３ ＝
学 种 因此 名学生按每个学校至少去
２５( )ꎬ ５ １
４４０
组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组
１ １ ２ ３
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
分组 ５ ４ ５ １０
[５０ꎬ６０)[６０ꎬ７０)[７０ꎬ８０)[８０ꎬ９０)[９０ꎬ１００]
答案 Ｄ 恰好三次检测出两件次品可分为
求生物成绩在 内的人数
(１) [５０ꎬ６０) ꎻ 前三次检测的均为正品 和前两次恰有一次
若同组中的每个数据用该组区间中点值 ꎬ
(２) 检测出了一件次品 第三次检测出了一件次
代替 根据频率分布直方图 估计这 名 ꎬ
ꎬ ꎬ １ ０００ 品两种情况.前三次检测的均为正品的概率
学生生物成绩的平均分
ꎻ
３
现有 名同学 其中 人的成绩在第三 为Ａ３ 前两次恰有一次检测出了一件次品
(３) ５ ꎬ ３ ꎬ ꎬ
３
组内 人的成绩在第四组内 从这 名同学 Ａ５
ꎬ２ ꎬ ５
１ １ １
中随机抽取 名 求这 名同学来自不同组 第三次检测出了一件次品的概率为Ｃ２Ｃ２Ｃ３
２ ꎬ ２ ꎬ
３
的概率. Ａ５
３ １ １ １
解析 由题意 知生物成绩在 内 故所求概率为Ａ３ ＋Ｃ２Ｃ２Ｃ３ １８ ３.故选 .
(１) ꎬ [５０ꎬ６０) ＝ ＝ Ｄ
３
的频率为 Ａ５ ６０ １０
２.( 江苏如东中学等三校阶段考ꎬ )在劳
. . . . ２０２２ ５
１－(０ ０１×１０＋０ ０２×１０＋０ ０３×１０＋０ ０３５×１０)
动技术课上某小组同学用游标卡尺测量一
.
＝ ０ ０５ꎬ 个高度为 毫米的零件 次时 所得数据
所以生物成绩在 内的人数为 . ７ ５０ ꎬ
[５０ꎬ６０) ０ ０５×１ 如下
. :
０００＝５０
测量值 . 毫米 . 毫米 . 毫米 . 毫米 . 毫米
由 及频率分布直方图 知分数在
６ ８ ６ ９ ７ ０ ７ １ ７ ２
(２) (１) ꎬ
次数
内的频率为 . 在 内的频 ５ １５ １０ １５ ５
[５０ꎬ６０) ０ ０５ꎬ [６０ꎬ７０)
率为 . 在 内的频率为 . 在 根据此数据推测 假如再用游标卡尺测量该
０ ３５ꎬ [７０ꎬ８０) ０ ３ꎬ ꎬ
内的频率为 . 在 内的频 零件 次 则 次测得的平均值为 . 毫米
[８０ꎬ９０) ０ ２ꎬ [９０ꎬ１００] ２ ꎬ ２ ７ １
率为 . 所以估计这 名学生生物成绩 的概率为
０ １ꎬ １ ０００ ( )
的平均分为 . . . . . . .
５５×０ ０５＋６５×０ ３５＋７５×０ ３＋８５× Ａ.０ ０４ Ｂ.０ １１ Ｃ.０ １３ Ｄ.０ ２６
. . . . 答案 Ｃ 次测得的平均值为 . 毫米 有
０ ２＋９５×０ １＝７４ ５ ２ ７ １ ꎬ
设 这 名同学来自不同组 为事件 Ａ 两种情况 一次 . 毫米 一次 . 毫米 概
(３) “ ２ ” ꎬ : ７ ０ ꎬ ７ ２ ꎬ
设第三组的 名同学为 ａ ｂ ｃ 第四组的
３ ꎬ ꎬ ꎬ ２ 率 Ｐ １ １ １ １
１ ＝ × Ｃ２ ＝ ꎻ
名同学为 ｘ ｙ 则样本空间为 Ω ａ ｂ ５ １０ ２５
ꎬ ꎬ ＝{( ꎬ )ꎬ
ａ ｃ ａ ｘ ａ ｙ ｂ ｃ ｂ ｘ ｂ ｙ 两次都是 . 毫米 概率 Ｐ ３ ３ ９
( ꎬ )ꎬ( ꎬ )ꎬ( ꎬ )ꎬ( ꎬ )ꎬ( ꎬ )ꎬ( ꎬ )ꎬ ７ １ ꎬ ２ ＝ × ＝ ꎬ∴
ｃ ｘ ｃ ｙ ｘ ｙ 事件 Ａ ａ ｘ ａ １０ １０ １００
( ꎬ )ꎬ( ꎬ )ꎬ( ꎬ )}ꎬ ＝{( ꎬ )ꎬ( ꎬ 次测得的平均值为 . 毫米的概率 Ｐ Ｐ
ｙ ｂ ｘ ｂ ｙ ｃ ｘ ｃ ｙ 所以 Ｐ ２ ７ １ ＝ １ ＋
)ꎬ( ꎬ )ꎬ( ꎬ )ꎬ( ꎬ )ꎬ( ꎬ )}ꎬ Ｐ . . . 故选 .
２ ＝０ ０４＋０ ０９＝０ １３ꎬ Ｃ
Ａ ６ ３. ３.(多选)( 江苏新高考月考一ꎬ )从甲
( )＝ ＝
２０２２ １０
１０ ５
考向二 求复杂的互斥事件的概率 袋中摸出一个红球的概率是１ 从乙袋中摸
ꎬ
１.( 江苏百校联考ꎬ )一次劳动实践活动 ３
专
２０２２ ６
出一个红球的概率是１ 从两袋各摸出一个 题
中 某同学不慎将两件次品混入三件正品 ꎬ 十
ꎬ ２ 一
中 它们形状 大小完全相同 该同学采用技
球 下列结论正确的是
ꎬ 、 ꎬ 概
ꎬ ( )
率
术手段进行检测 恰好三次检测出两件次品
与
ꎬ
个球都是红球的概率为１ 统
的概率为 Ａ.２ 计
( ) ６
４４１
出的 名同学中至少有 名女同学的概率 Ｐ
个球中恰有 个红球的概率为１ ２ １
Ｂ.２ １
２
３ ７.
＝１－ ＝
至少有 个红球的概率为５ １０ １０
Ｃ. １
５.( 届江苏泰州中学调研ꎬ )老师要从
６
２０２３ １４ ６
个球不都是红球的概率为１ 篇课文中随机抽 篇不同的课文让同学背
Ｄ.２ ３
３ 诵 规定至少要背出其中 篇才能及格.某位
答案 ＡＢ 对于 个球都是红球的概率 ꎬ ２
Ａꎬ２ 同学只能背出其中的 篇 则该同学能及格
４ ꎬ
为１ １ １ 中结论正确 对于 个球 的概率是 .
× ＝ ꎬＡ ꎻ Ｂꎬ２
３ ２ ６
æ ö 答案 ４
中恰有 个红球的概率为 １ ç １÷
１ × è１－ ø ＋ ５
３ ２
解析 考虑该同学能及格的对立事件 即用
æ ö ꎬ
ç １÷ １ １ 中结论正确 对于 至少
è１－ ø× ＝ ꎬＢ ꎻ Ｃꎬ
减去只能背出 篇的概率即可.所求概率Ｐ
１ １
３ ２ ２
æ ö æ ö ２ １
有 个红球的概率为 ç １÷ ç １÷ Ｃ２Ｃ４ ４.
１ １－è１－ ø×è１－ ø ＝ ＝１－ ３ ＝
３ ２ Ｃ６ ５
６.( 届辽宁丹东阶段测ꎬ )现有分别写有
２ 中结论错误 对于 个球不都是红球 ２０２３ １６
ꎬＣ ꎻ Ｄꎬ２
数字 至 的 张卡片 将写有质数的卡片
３
２ ８ ７ ꎬ
放入 Ａ 箱中 将写有合数的卡片放入 Ｂ 箱
的概率为 １ １ ５ 中结论错误.故
ꎬ
１－ × ＝ ꎬＤ
３ ２ ６ 中 从 Ａ 箱中随机抽取一张卡片放入 Ｂ 箱
ꎬ
选 .
ＡＢ 中 再从 Ｂ 箱中随机抽取两张卡片 抽取的
ꎬ ꎬ
４.( 江苏ꎬ ꎬ 分)从 名男同学和 名女
２０１９ ６ ５ ３ ２ 两张卡片上的数字互质的概率为 .
同学中任选 名同学参加志愿者服务 则选
２ ꎬ
答案 １
出的 名同学中至少有 名女同学的概
２ １ ３
率是 . 解析 依题意 Ａ 箱中原有卡片 共
２、３、５、７ ４
张 Ｂ 箱中原有卡片 共 张 从 Ａ 箱中
答案 ７ ꎬ ４、６、８ ３ ꎬ
随机抽一张卡片 有 种情形
１０
ꎬ ４ ꎬ
解析 解法一 记 名男同学分别为 ａ ａ
当从 Ａ 箱中抽取的卡片上的数字是 时 放
: ３ １、 ２、
２ ꎬ
ａ 名女同学分别为 ｂ ｂ 从这 名同学
入 Ｂ 箱中 再从 Ｂ 箱中随机抽取两张卡片
３ꎬ２ １、 ２ꎬ ５
ꎬ ꎬ
中选出 名同学的选法如下 ａ ａ ａ
两张卡片上的数字不可能互质
２ :( １ꎬ ２)ꎬ( １ꎬ
ꎻ
ａ ａ ｂ ａ ｂ ａ ａ ａ ｂ
当从 Ａ 箱中抽取的卡片上的数字是 时 放
３)ꎬ( １ꎬ １)ꎬ( １ꎬ ２)ꎬ( ２ꎬ ３)ꎬ( ２ꎬ １)ꎬ
３ ꎬ
ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ｂ ｂ 共
入 Ｂ 箱中 再从 Ｂ 箱中随机抽取两张卡片
( ２ꎬ ２)ꎬ( ３ꎬ １)ꎬ( ３ꎬ ２)ꎬ( １ꎬ ２)ꎬ １０
ꎬ ꎬ
种 其中至少有 名女同学的选法如下
互质的情况有 共两种 此时所
5 ꎬ １ :
(３ꎬ４)、(３ꎬ８) ꎬ
年 ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ
高 ( １ꎬ １)ꎬ( １ꎬ ２)ꎬ( ２ꎬ １)ꎬ( ２ꎬ ２)ꎬ( ３ꎬ
求概率为 １ ２ １
考
ｂ ａ ｂ ｂ ｂ 共 种 故所求概率 × ＝ ꎻ
3 １)ꎬ( ３ꎬ ２)ꎬ( １ꎬ ２)ꎬ ７ ꎬ Ｃ １ ４ Ｃ ２ ４ １２
年
模 当从 Ａ 箱中抽取的卡片上的数字是 时 放
Ｐ ７. ５ ꎬ
拟
＝
入 Ｂ 箱中 再从 Ｂ 箱中随机抽取两张卡片
A １０ ꎬ ꎬ
版 解法二 从 名男同学和 名女同学中任选 互质的情况有 共 种
: ３ ２
(５ꎬ４)、(５ꎬ６)、(５ꎬ８) ３ ꎬ
高 名同学共有 种选法 其中选出的
２
考 ２ Ｃ５ ＝１０ ꎬ ２
此时所求概率为 １ ３ １
数
名同学都是男同学的选法有 种 则选 × ＝ ꎻ
学 ２ １ ２
Ｃ３ ＝ ３ ꎬ Ｃ４ Ｃ４ ８
４４２
当从 Ａ 箱中抽取的卡片上的数字是 时 放
７ ꎬ 为１ １ １ １.
＋ ＋ ＝
入 Ｂ 箱中 再从 Ｂ 箱中 随机抽取两张卡片
１２ ８ ８ ３
ꎬ ꎬ ꎬ
互质的情况有 共 种
(７ꎬ４)、(７ꎬ６)、(７ꎬ８) ３ ꎬ
此时所求概率为 １ ３ １ 所以所求的概率
× ＝ ꎬ
１ ２
Ｃ４ Ｃ４ ８
专
题
十
一
概
率
与
统
计
４４３
