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第 05 讲 统计与概率 14 种常见考法归类
1.了解简单随机抽样的含义，掌握两种简单的抽样方法：抽签法和随机数法；了解分层
随机抽样，掌握各层样本量比例分配的方法.在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，
设计恰当的抽样方法解决问题.
2.理解统计图表的含义，能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视
化描述，体会合理使用统计图表的重要性.
3.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数），理解集中
趋势参数的统计含义.
4.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解离散程
度参数的统计含义.
5.结合实例，能用样本估计总体的取值规律.
6.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义.
7.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.了解随机事件的并、
交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.
8.理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率.
9.理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.
10.结合实例，会用频率估计概率.
11.在具体情境中，结合古典概型，了解两个事件相互独立的概念，能计算两个相互独立
事件的概率.
1.随机抽样
（1）简单随机抽样
①定义：一般地，设一个总体含有 N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取 n（1≤n＜
N）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都
相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单
随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样；
②常用方法：抽签法和随机数法.
（2）分层随机抽样
①定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属
于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合
在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.在分层随机抽
样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配；
②分层随机抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层随
机抽样.
2.常用统计图表
（1）频率分布直方图
①纵轴表示 ，即小长方形的高＝ ；
②小长方形的面积＝组距× ＝频率；
③各小长方形的面积的总和等于1.
（2）频率分布表的画法
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝ ；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.
（3）条形图、折线图及扇形图
①条形图：建立直角坐标系，用横轴（横轴上的数字）表示样本数据类型，用纵轴上的
单位长度表示一定的数量，根据每个样本（或某个范围内的样本）的数量多少画出长短不同
的等宽矩形，然后把这些矩形按照一定的顺序排列起来，这样一种表达和分析数据的统计图
称为条形图；
②折线图：建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一
定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应各点，然后把各点用线段顺次连接，得到一条
折线，用这种折线表示出样本数据的情况，这样的一种表示和分析数据的统计图称为折线图；
③扇形图：用一个圆表示总体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的大
小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小，这样的一种表示和分析数据的统计图称为扇
形图.
3.总体百分位数的估计（1）百分位数
定义 意义
百
一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据 反映该组数中小
分
中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100－p）% 于或等于该百分位
位
的数据大于或等于这个值 数的分布特点
数
（2）求一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步：按从小到大排列原始数据；
第2步：计算i＝n×p%；
第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是
整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数.
4.总体集中趋势的估计
（1）中位数：将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个
数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（2）众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x ，x ，…，x 的
1 2 n
平均数 .
提醒 （1）中位数是样本数据所占频率的等分线，不受少数极端值影响；（2）众数体
现了样本数据的最大集中点，一组数据可能有n个众数，也可能没有众数；（3）与中位数、
众数比较，平均数反映出样本数据的更多信息，对样本数据中的少数极端值更加敏感.
5.总体离散程度的估计
（1）假设一组数据x ，x ，x ，…，x 的平均数为x，则：
1 2 3 n
①标准差
√1
s＝ [(x -x)2+(x -x)2+…+(x -x)2]；
n 1 2 n
②方差
1
s2＝ [（x －x）2＋（x －x）2＋…＋（x －x）2].
n 1 2 n
（2）分层随机抽样的均值与方差
分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为w，样本方差为s2.
以分两层抽样的情况为例.假设第一层有m个数据分别为x ，x ，…，x ，平均数为x，方
1 2 m
1 m
差为s2；第二层有n个数据，分别为y ，y ，…，y ，平均数为y，方差为s2.则x＝ ∑x，s2
1 1 2 n 2 m i 1
i=11 m 1 n 1 n
＝ ∑（x－x）2，y＝ ∑y，s2＝ ∑（y－y）2.
m i n i 2 n i
i=1 i=1 i=1
m n
①则w＝ x＋ y；
m+n m+n
1
②s2＝ {m[s2＋（x－w）2]＋n[s2＋（y－w）2]}.
m+n 1 2
6.随机事件
（1）事件的相关概念
（2）概率和频率
①在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n 为
A
n
事件A出现的频数，称事件A出现的比例f（A）＝ A为事件A出现的频率；
n n
②对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f （A）随着试验次数的增加稳定于概率P（A），
n
因此可以用频率f（A）来估计概率P（A）.
n
7.事件的关系和运算
（1）两个事件的关系和运算
事件的关系和运算 含义 符号表示
包含关系 A发生导致B发生 A⊆B
相等关系 B⊇A且A⊇B A＝B
并事件（和事件） A与B至少有一个发生 A∪B或A＋B交事件（积事件） A与B同时发生 A∩B或AB
互斥事件 A与B不能同时发生 A∩B＝ ⌀
A∩B＝ ，
互为对立事件 A与B有且仅有一个发生
A∪B＝Ω
（2）概率的几个基本性质
①概率的取值范围：0≤P（A）≤1；
②必然事件的概率P（Ω）＝1；
③不可能事件的概率P（ ）＝0.
（3）互斥事件的概率加法公式：如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）＋P（B）；
（4）对立事件的概率：如果事件 A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝1－P（A）或P（A）＝1
－P（B）.
8.古典概型
（1）古典概型的特征
（2）古典概型的概率公式
事件A包含的样本点的个数
P（A）＝ .
有限样本空间中样本点的总数
9.相互独立事件
（1）事件相互独立：在一个随机试验中两个事件A，B是否发生互不影响，则称事件A与事件B相互
独立，当对于n个事件A ，A ，…，A ，如果其中任意一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响
1 2 n
则称n个事件A，A，…，A 相互独立；
1 2 n
（2）独立事件的概率公式
①若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）；
②若事件A，A，…，A 相互独立，则P（AA…A）＝P（A）P（A）…P（A）.
1 2 n 1 2 n 1 2 n
提醒 P（AB）＝P（A）P（B）只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，1.简单随机抽样需满足：（1）被抽取的样本总体的个体数有限；（2）逐个抽取；（3）
是不放回抽取；（4）是等可能抽取.
2.简单随机抽样常用抽签法（适用于总体中个体数较少的情况）、随机数法（适用于个
体数较多的情况）.
3.分层随机抽样问题的类型及解题思路
（1）求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算；
（2）已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层随机抽样就是按比例抽样，
列比例式进行计算；
（3）分层随机抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中，抽样比＝ ＝
.
（4）在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为x，第二层的样本量为n，
平均值为y，则样本的平均值为 .
4.频率分布直方图的相关结论
（1）频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1；
（2）频率分布直方图中纵轴表示 ，故每组样本的频率为组距× ，即矩形的面
积；
（3）频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数.
5.频率分布直方图中的常见结论
（1）众数的估计值为最高矩形底边的中点对应的横坐标；
（2）平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；
（3）中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的.
6.平均数、方差的公式推广
若数据x ，x ，…，x 的平均数为x，方差为s2，那么mx ＋a，mx ＋a，mx ＋a，…，mx ＋a的平均数
1 2 n 1 2 3 n
是mx＋a，方差为m2s2.
7.总体百分位数的估计需要注意的三个问题
（1）总体百分位数估计的基础是样本百分位数的计算，因此计算准确是关键；
（2）由于样本量比较少，因此对总体的估计可能存在误差，因此对总体百分位数的估计一般是估计值而非精确值.
（3）确定要求的p%分位数所在分组[A，B），由频率分布表或频率分布直方图可知，样本中小于A
p%-a
的频率为a，小于B的频率为b，所以p%分位数＝A＋组距× .
b-a
8.求众数、中位数、平均数的方法
（1）众数：由定义知，一组数据中出现次数最多的数，即为众数，若有两个或几个数据出现的次数
最多，且出现的次数一样，这些数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，
则认为这组数据没有众数；
（2）中位数：若一组数据为奇数个，按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于中间位置的数
据就是这组数据的中位数；若一组数据为偶数个，按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于中间位
置的两个数据的平均数就是这组数据的中位数；
1 n
（3）平均数：利用x＝ ∑x求解.
n i
i=1
9.标准差、方差的应用
（1）标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的情况.标准差、方差越大，数据的离
散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.
（2）用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征.
10.计算分层随机抽样的方差的步骤
（1）确定x，y，s2，s2；
1 2
（2）确定ω；
m n
（3）应用公式s2＝ [s2＋（x－ω）2]＋ [s2＋（y－ω）2]，计算s2.
m+n 1 m+n 2
11.事件关系判断的策略
（1）判断事件的互斥、对立关系时一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个
事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.反之互斥事件是不可
能同时发生的事件，但也可以同时不发生；对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都
不发生，即有且仅有一个发生；
（2）判断事件的交、并关系时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出
现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件.
12.用频率估计概率
（1）频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概
率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.
（2）利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某
一个常数，这个常数就是概率.
13.古典概型的概率求解步骤
（1）求出所有样本点的个数n；
（2）求出事件A包含的所有样本点的个数m；m
（3）代入公式P（A）＝ 求解.
n
14.求样本空间中样本点个数的方法
（1）枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题；
（2）树状图法：适用于需要分步完成的试验结果.树状图在解决求样本点总数和事件A包含的样本点
个数的问题时直观、方便，但画树状图时要注意按照一定的顺序确定分枝，避免造成遗漏或重复；
15.互斥事件概率的两种求法
（1）将所求事件转化成几个彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件概率的加法公式求解概率；
（2）若将一个较复杂的事件转化为几个彼此互斥事件的和事件时分类太多，而其对立面的分类较少，
可考虑先求其对立事件的概率，即运用“正难则反”的思想.常用此方法求“至少”“至多”型事件的概
率.
16.求相互独立事件同时发生的概率的策略
（1）列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示；
（2）厘清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立），列出关系式；
（3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
（4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合
条件的事件的概率.
考点一：简单随机抽样
例1．【多选】（2022秋·高一单元测试）对于简单随机抽样，下列说法正确的是（ ）
A．它要求被抽取样本的总体的个体数有限
B．它是从总体中逐个进行抽取的，在实践中操作起来也比较方便
C．它是一种有放回的抽样
D．它是一种等可能抽样，在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会相等，从而保证了这种抽样方法的
公平性
变式1．（2023春·江西景德镇·高一统考期中）利用简单随机抽样的方法，从 个个体 中抽取14个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为 ，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可
能性为__________．
变式2．（2023·全国·高一专题练习）下列抽样中适合用抽签法的是（ ）
A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱50件）产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验
例2．（2023·高一单元测试）总体由编号为 的20个个体组成，利用下面的随机数表
选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左到右依次选取两个数字，则
选出来的第5个个体的编号为_________．
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
变式1．（2023春·全国·高一专题练习）欲利用随机数表从00，01，02， ，59这些编号中抽取一个容量
为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，
则第4个被抽取的样本的编号为______.
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 19 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
变式2．【多选】（2022秋·高一单元测试）已知下表为随机数表的一部分，将其按每5个数字编为一组：
08015 17727 45318 22374 21115 78253
77214 77402 43236 00210 45521 64237
29148 66252 36936 87203 76621 13990
68514 14225 46427 56788 96297 78822
已知甲班有60位同学，编号为01~60号，现在利用上面随机数表的某一个数为起点，以简单随机抽样的方
法在甲班中抽取4位同学，由于样本容量小于99，所以只用随机数表中每组数字的后两位，得到下列四组
数据，则抽到的4位同学的编号可能是（ ）
A．15，27，18，53 B．27，02，25，52
C．14，25，27，22 D．15，27，18，74
考点二：分层随机抽样
例3．（2023·高一单元测试）简单随机抽样，分层抽样之间的共同点是（ ）A．都是从总体中逐个抽取
B．将总体分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取
C．抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的
D．将总体分成几层，然后分层按照比例抽取
变式1．【多选】（2023春·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）某公司生产甲、乙、丙三种型号的轿
车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，公司质监部门用按比例分配的分
层随机抽样的方法抽取46辆进行检验，则（ ）
A．在每一种型号的轿车中可采用抽签法抽取
B．抽样比为
C．三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆
D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的
变式2．【多选】（2023秋·江西南昌·高一统考期末）某市有大、中、小型商店共1500家，且这三种类型
的商店的数量之比为 ，现在要调查该市商店的每日零售额情况，从中随机抽取60家商店，则下列选
项正确的有（ ）
A．1500家商店是总体
B．样本容量为60
C．大、中、小型商店分别抽取4、20、36家
D．被抽取的60家商店的零售额情况是所抽取的一个样本
变式3．（2023春·陕西西安·高一西安市黄河中学校联考阶段练习）光明社区老年合唱队中， 岁的
有30人， 岁的有15人，76岁及以上的有10人.若用分层抽样的方法抽取 位老人参加某项活动，
已知从 岁的老人中抽取了3人，则 的值为__________.
变式4．（2023春·北京顺义·高一牛栏山一中校考阶段练习）当前，国家正分批修建经济适用房以解决低
收入家庭住房紧张的问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户．若第一
批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层随机抽样的
方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为_______.
变式5．（2023春·江西景德镇·高一统考期中）在新冠肺炎疫情期间，大多数学生都在家进行网上上课，
某校高一，高二，高三共有学生6000名，为了了解同学们对某授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法
从这6000名学生中抽取一个容量60的样本，若从高一，高二，高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连
续偶数，则该校高二年级的人数为（ ）
A．1000 B．1500 C．2000 D．1000变式6．（2023春·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）某学校高一、高二、高三三个年级共有
学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300，现在按 的
比例分配分层随机抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为________．
例4．（2022春·广东江门·高一江门市第一中学校考期中）高一某班级有男生35人，女生15人，
用分层抽样的方法从全班学生中抽取一个容量为10的样本，抽出的男生平均体重为70kg，抽出的女生平
均体重为50kg，估计该班的平均体重是（ ）
A．54kg B．60kg C．64kg D．65kg
变式1．（2023春·江西南昌·高一南昌市外国语学校校考阶段练习）某学校高一年级有300名男生，200名
女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取总样本量为50，男生平均成绩为120分，女生平
均成绩为110分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为（ ）
A．110分 B．115分 C．116分 D．120分
变式2．（2023春·宁夏·高一六盘山高级中学校考阶段练习）某校有男教师160人，女教师140人，为了调
查教师的运动量的平均值(通过微信步数)，按性别比例分配进行分层随机抽样，通过对样本的计算，得出
男教师平均微信步数为12500步，女教师平均微信步数为8600步，则该校教师平均微信步数为（ ）
A．12500 B．10680
C．8600 D．10550
考点三：扇形（饼状）图
例5．【多选】（2023春·陕西西安·高一西安市黄河中学校联考阶段练习）对某地区2023年的学生
人数进行了统计，并绘制成如图所示的扇形统计图.在初中生中，九年级学生人数最多，八年级学生人数最
少，七年级学生人数约为1.2万，则（ ）
A．该地区2023年的学生人数约为15万B．该地区2023年高中生的人数比八年级学生人数的2倍还多
C．该地区2023年小学生的人数比初中生､高中生和大学生的人数之和还多
D．该地区2023年九年级的学生人数在初中生人数中的占比约为
变式1．（2022春·贵州黔东南·高一统考期末）独角兽企业被视为新经济发展的一个重要风向标，2021年
中国独角兽企业行业分布广泛，覆布图（图中的数字表示各行业独角兽企业的数量），其中“北上广”三
地的独角兽企业数量的总占比为70%．则下列说法正确的是（ ）
A．房产居家和消费行业的独角兽企业数量的总占比不足10%
B．人工智能，汽车交通以及智能硬件行业的独角兽企业数量的总占比超过50%
C．“北上广”三地的独角兽企业共有170家
D．电子商务行业的独角兽企业数量最多
变式2．（2022春·云南昆明·高一统考期末）南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔
（Florence Nightingale 1820-1910）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．
某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图如下，根据此图，
下列说法错误的是（ ）A．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加
B．2016年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多
C．2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍
D．2016年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增
变式3．（2022·高一单元测试）新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选
择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷
面分数，由高到低进行排序，评定为 五个等级.某试点高中 年参加“选择考”总人数
是 年参加“选择考”总人数的 倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校
年和 年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况， 年与 年
比较，下列说法正确的是（ ）
A．获得 等级的人数减少了
B．获得 等级的人数增加了 倍
C．获得 等级的人数减少了一半
D．获得 等级的人数相同考点四：条形图与折线图
例6．（2022春·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）某学校为了解高三年级学生在线学习情
况，统计了2021年2月18日﹣27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的
条形图与折线图的组合图．
根据组合图判断，下列结论正确的是（ ）
A．前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差
B．前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差
C．这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大
D．这10天学生在线学习人数在逐日增加
变式1．（2023春·江西吉安·高一江西省泰和中学校考期末）某家庭2020年收入的各种用途占比统计如图
1所示，2021年收入的各种用途占比统计如图2所示．已知2021年的“旅行”费用比2020年增加了500
元，则该家庭2021年的“衣食住”费用比2020年增加了（ ）A．2000元 B．2500元 C．3000元 D．3500元
变式2．（2022秋·北京丰台·高一统考期末）网上一家电子产品店，今年1﹣4月的电子产品销售总额如图
1，其中某一款平板电脑的销售额占当月电子产品销售总额的百分比如图2．
根据图中信息，有以下四个结论，推断不合理的是（ ）
A．从1月到4月，电子产品销售总额为290万元
B．该款平板电脑4月份的销售额比3月份有所下降
C．今年1﹣4月中，该款平板电脑售额最低的是3月
D．该款平板电脑2至4月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与1月份相比都下降了
变式3．（2022春·广西河池·高一统考期末）某保险公司推出了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保
险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.现对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下
的统计图：用样本估计总体，以下四个选项错误的是（ ）
A．30~41周岁参保人数最多B．随着年龄的增长，人均参保费用越来越多
C．54周岁以下的参保人数约占总参保人数的8%
D．定期寿险最受参保人青睐
考点五：频率分布直方图
例7．（2021秋·高一单元测试）某校对高一新生进行体能测试（满分100分），高一（1）班有40
名同学成绩恰在 内，绘成频率分布直方图（如图所示），从 中任抽2人的测试成绩，恰有
一人的成绩在 内的概率是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2021春·陕西渭南·高一校考期末）某教育机构为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出
了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在 元的同学有30人，则n的值为
（ ）
A．55 B．50 C．1000 D．100变式2．（2021秋·高一单元测试）为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提升学生的体质
健康水平，某校高二年级体育组教师在高二年级随机抽取100名男生，测试了立定跳远项目，依据测试数
据绘制了如图所示的频率直方图.已知立定跳远195cm及以上成绩为合格，255cm以上成绩为优秀，根据图
中的数据估计全校1000名男生中立定跳远项目合格的男生有（ ）
A．660名 B．940名 C．970名 D．800名
变式3．（2023春·天津南开·高一天津二十五中校考阶段练习）某校举行知识竞赛，对全校参赛的1000名
学生的得分情况进行了统计，把得分数据按 ， ， ， ， 分成5组，得
到如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是（ ）
A．图中的x值为0.020 B．得分在 的人数为400
C．这组数据的极差为50 D．这组数据的平均数的估计值为77
变式4．（2022春·天津和平·高一耀华中学校考期末）某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400
名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开
的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ）A．直方图中x的值为0.035
B．在被抽取的学生中，成绩在区间 的学生数为30人
C．估计全校学生的平均成绩为83分
D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分
考点六：总体百分位数的估计
例8．（2023春·河南·高一校联考期末）有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，66，68，
69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98，则其25%分位数与75%分位数的和为
（ ）
A．144 B．145 C．148 D．153
变式1．（2022春·云南·高一统考期末）棉花的纤维长度是衡量棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽
测20根棉花的纤维长度（单位：mm），按从小到大排序结果如下：
82 86 113 115 140 143 146 170 175 195
202 206 233 236 238 255 260 263 264 265
请你估计这批棉花的第5百分位数是（ ）
A．84 B．86 C．99.5 D．115
变式2．（2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考阶段练习）有一组样本数据如下：
56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98
则其25%分位数、中位数与75%分位数分别为（ ）
A．65，76，82 B．66，74，82 C．66，76，79 D．66，76，82
例9．（2023春·江苏苏州·高一校考阶段练习）下图是根据某班学生在一次体能素质测试中的成绩
画出的频率分布直方图，则由直方图得到的 分位数为（ ）A．75 B．77.5 C．78 D．78.5
变式1．（2023春·山西太原·高一校联考阶段练习）少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青
少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，
某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图
所示，则下列结论正确的是（ ）
A．样本的众数为65 B．样本的第80百分位数为72.5
C．样本的平均值为67.5 D．该校学生中低于 的学生大约为1000人
例10．（2023春·江西南昌·高一校考期中）为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温
报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：
高三一班：36.1，36.2， ，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃），
高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7， ，37.1（单位：℃）
若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则 为（ ）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
变式1．（2022春·广东潮州·高一统考期末）一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x，7，8（其中
），若该组数据的中位数是众数 倍，则该组数据的方差和60%分位数分别是（ ）A． ，5 B．5，5 C． ，6 D．5，6
变式2．（2023秋·山东东营·高一统考期末）十名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是：15，17，
14，10，15，17，17，16，14，12，设其中位数为a，众数为b，第一四分位数为c，则a，b，c大小关系
为（ ）
A． B．
C． D．
考点七：总体集中趋势的估计
例11．（2023春·四川广元·高一广元中学校考期中）某班有男生20名，女生30名．一次数学考试
（所有学生均参加了考试），男生数学成绩平均为92，女生数学成绩平均分为97，则该班数学成绩平均分
为（ ）
A．94 B．94.5 C．95 D．95.5
变式1．（2023秋·广西桂林·高一统考期末）《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种
算法.某研究学习小组共7人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间分别为83，84，80，
69，82，81，81（单位:min）.则这组时间数据的（ ）
A．极差为14 B．方差为22 C．平均数为80 D．中位数为80
例12．（2022·高一单元测试）某滑冰馆统计了2021年11月1日到30日某小区居民在该滑冰馆的
锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（ ）
A．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间 内的最少
B．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16C．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值大于14
D．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.456
变式1．（2023·高一单元测试）某校举办了迎新年知识竞赛，随机选取了100人的成绩整理后画出的频率
分布直方图如下，则根据此频率分布直方图，下列结论不正确的是（ ）
A．该校约有一半学生成绩高于70分 B．该校不及格人数比例估计为25%
C．估计该校学生成绩的中位数为70分 D．估计该校学生的平均成绩超过了70分
变式2．（2022秋·辽宁铁岭·高一昌图县第一高级中学校考阶段练习）为了调查某市市民对出行的满意程
度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如图所示的频率分布直
方图，其中 ．
(1)求 、 的值；
(2)求被调查的市民的满意程度的平均数、众数、中位数；
(3)若按照分层抽样从 ， 中随机抽取8人，应如何抽取？
变式3．（2023春·福建三明·高一永安市第九中学校考阶段练习）2021年3月18日，位于孝感市孝南区长
兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生
产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业．在加大生产的同
时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，
将其质量指标值分成以下六组： ， ， ，…， ，得到如下频率分布直方图．(1)求出直方图中m的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据
用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；
(3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的
方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个．
例13．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）某班级有50名学生，其中有30名男生
和20名女生随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，
94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93下列说法一定正确的是（ ）
A．这种抽样方法是一种分层随机抽样
B．这五名男生成绩的中位数大于这五名女生成绩的中位数
C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
变式1．（2023·高一单元测试）某公司为了解用户对其产品的满意度,从使用该产品的用户中随机调查了
100个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.若用户满意
度评分的中位数、众数、平均数分别为a,b,c,则（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2021春·吉林白山·高一统考期末）某校举行校园歌手大赛，6位评委对某选手的评分分别为
9.2，9.5，8.8，9.9，8.9，9.5，设该选手得分的平均数为x，中位数为y，众数为z，则（ ）
A． B． C． D．考点八：总体离散程度的估计
例14．（2021秋·高一单元测试）某公司生产的饮水机过滤器滤芯在2020年12月份的第一周的日
生产量（单位：万件）如下表：
日期 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7
日生产量/万件 1.10 0.80 1.20 1.10 0.80 1.10 0.90
则该公司这一周的日生产量的方差为（精确到0.01）（ ）
A．0.02 B．0.01 C．0.03 D．0.04
变式1．（2023春·湖北武汉·高一武汉市第十一中学校考阶段练习）在高三某次模拟考试中，甲、乙两个
班级的数学成绩统计如下表，则两个班所有学生的数学成绩的方差为（ ）．
平均分
班级 人数 方差
数
甲 40 70 5
乙 60 80 8
A．6.5 B．13
C．30.8 D．31.8
变式2．（2023春·安徽·高一安徽省颍上第一中学校联考阶段练习）小明在整理数据时得到了该组数据的
平均数为20，方差为28，后来发现有两个数据记录有误，一个错将11记录为21，另一个错将29记录为
19.在对错误的数据进行更正后，重新求得该组数据的平均数为 ，方差为 ，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
例15．（2023春·辽宁大连·高一大连市一0三中学校考阶段练习）经过简单随机抽样获得的样本数
据为 ，且数据 的平均数为 ，方差为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若数据 ，方差 ，则所有的数据 都为0
B．若数据 ，的平均数为 ，则 的平均数为6C．若数据 ，的方差为 ，则 的方差为12
D．若数据 ，的 分位数为90，则可以估计总体中有至少有 的数据不大于90
变式1．（2023春·陕西西安·高一西安市黄河中学校联考阶段练习）已知一组数据 的平均数为 ，
标准差为 ，则数据 的平均数和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022春·陕西渭南·高一统考期末）已知甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、
中位数、众数均为16，方差为0.8，则三年后，下列判断错误的是（ ）
A．这五位同学年龄的平均数变为19 B．这五位同学年龄的方差变为3.8
C．这五位同学年龄的众数变为19 D．这五位同学年龄的中位数变为19
考点九：随机事件关系的判断
例16．（2023春·河南洛阳·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）某饮料生产企业
推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲､乙两名同学都购买了这种饮料，设事件 为
“甲､乙都中奖”，则与 互为对立事件的是（ ）
A．甲､乙恰有一人中奖 B．甲､乙都没中奖
C．甲､乙至少有一人中奖 D．甲､乙至多有一人中奖
变式1．（2022春·河南省直辖县级单位·高一济源高中校考期末）袋内分别有红､白､黑球 个，从中任
取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球 D．至少有一个白球；红､黑球各一个
变式2．（2021春·陕西渭南·高一统考期末）从一批产品（既有正品也有次品）中随机抽取三件产品，设
事件A=“三件产品全不是次品”，事件B=“三件产品全是次品”，事件C=“三件产品有次品，但不全是次
品”，则下列结论中不正确的是（ ）
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．A、B、C两两互斥 D．A与B对立
变式3．（2023·高一单元测试）某人射击一次，成绩记录环数均为整数．设事件 ：“中靶”；事件 ：
“击中环数大于5”；事件 ：“击中环数大于1且小于6”；事件 ：“击中环数大于0且小于6”．则正确的关系是（ ）
A． 与 为对立事件B． 与 为互斥事件C． 与 为对立事件 D． 与 为互斥事件
变式4．（2023秋·辽宁·高一校联考期末）从高一（男、女生人数相同,人数很多）抽三名学生参加数学竞
赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一
名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是（ ）
A． B．
C．事件A与事件B互斥 D．事件A与事件C对立
考点十：用频率估计概率
例17．（2023·高一单元测试）将一枚硬币掷10次，正面向上出现了6次，若用 表示正面向上这
一事件，则 （ ）
A．发生的概率为 B．发生的概率接近
C．在这十次试验中发生的频率为 D．在这十次试验中发生的频率为6
变式1．（2023·高一单元测试）某人从水库中打了一网鱼共1000条，作上记号再放回水库中，数日后又从
水库中打了一网鱼共 条，其中 条有记号，由此估计水库中共有鱼的条数为（ ）
A． B． C． D．无法估计
变式2．（2023·高一单元测试）一批瓶装纯净水，每瓶标注的净含量是 ，现从中随机抽取10瓶，测
得各瓶的净含量为（单位： ）：
542 548 549 551 549 550 551 555 550 557
若用频率分布估计总体分布，则该批纯净水每瓶净含量在 之间的概率估计为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.7
考点十一：古典概型
例18．（2023春·湖北武汉·高一武汉市第十一中学校考阶段练习）甲、乙两校各有3名教师报名支
教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，则选出的2名教师性别
相同的概率是（ ）
A． B． C． D．变式1．（2023春·高一单元测试）从1，2，3，4，5，6中随机选取2个不同的数字组成 （ ，
且 ），则恰好能使得 的概率是______.
变式2．（2023春·河南安阳·高一安阳一中校考阶段练习）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完
全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上， 则这个人站起来； 若硬币正面朝下， 则
这个人继续坐着.那么， 没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023春·江西景德镇·高一统考期中）在确保新型冠状病毒肺炎疫情防空到位的前提下，我市中
小学陆续分阶段复学.某高中在复学之后，为了帮助学生调整心理状态，理性面对疫情，科学合理有效安排
学习生活，成立了由5名男教师和2名女教师组成的心理咨询团队.现从这个团队中随机抽取3人专门负责
高一年级的心理咨询工作，则至少选中1名女教师的概率是__________．
变式4．（2023春·北京通州·高一统考期中）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中红球3个，白球2
个．
(1)从中有放回地依次随机摸出2个球，求第一次摸到白球的概率；
(2)从中无放回地依次随机摸出2个球，求第二次摸到白球的概率；
(3)若同时随机摸出2个球，求至少摸到一个白球的概率．
变式5．（2022春·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有 道不同
的题目，其中选择题 道，判断题 道，甲、乙两人各抽一道（不重复）．
(1)甲抽到选择题且乙抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
考点十二：互斥事件与对立事件的概率
例19．（2023春·高一单元测试）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现
奇数点”，事件B为“出现2点”，已知 ， ，则“出现奇数点或2点”的概率为（ ）
A． B． C． D．
变式1．【多选】（2023春·江西景德镇·高一统考期中）袋子中装有6个大小质地完全相同的球，其中2个
红球，4个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，下列结论正确的有（ ）A．第一次摸到红球的概率是
B．第二次摸到红球的概率是
C．两次都摸到红球的概率是
D．两次都摸到黄球的概率是
变式2．【多选】（2023春·高一单元测试）某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
投篮次
投中两分球的次数 投中三分球的次数
数
100 55 18
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估
计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式3．【多选】（2023春·福建三明·高一永安市第九中学校考阶段练习）设A，B为两个随机事件，以下
命题正确的为（ ）
A．若A，B是互斥事件， ，则
B．若A，B是对立事件，则
C．若A，B是独立事件， ，则
D．若 ，且 ，则A，B是独立事件
考点十三：独立事件的判断及概率
例20．（2023·高一单元测试）下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（ ）
A．甲､乙两运动员各射击一次，事件 “甲射中10环”，事件 “乙射中9环”
B．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名学生参加演讲比赛，事
件 “从甲组中选出1名男生”，事件 “从乙组中选出1名女生”C．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件 “第一次摸到白球”，事件
"第二次摸到白球”
D．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件 “第一次摸到白球”，事件
“第二次摸到黑球”
变式1．【多选】（2023·高一单元测试）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先
从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以 表示由甲罐中取出的球是红球､白球的事件，再从乙罐中
随机取出1个球，以 表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（ ）
A．事件 互斥 B．事件 与事件 相互独立
C． D．
变式2．【多选】（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考阶段练习）连续抛掷一枚质地均匀
的骰子两次，记录每次的点数，设事件 “第一次出现3点”， “第二次的点数小于5点”，
“两次点数之和为奇数”， “两次点数之和为10”，则下列说法正确的有（ ）
A．A与B不互斥且相互独立 B．A与D互斥且不相互独立
C．B与C不互斥且相互独立 D．B与D互斥且不相互独立
例21．（2023春·福建厦门·高一福建省厦门第二中学校考阶段练习）已知事件 与 相互独立，且
，则 （ ）
A．0.3 B．0.6 C．0.8 D．0.9
变式1．【多选】（2022春·广西玉林·高一统考期末）已知事件A，B，且 ，则（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果A与B相互独立，那么
D．如果A与B相互独立，那么
变式2．（2023春·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考阶段练习）已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响．
(1)求甲、乙、丙都通过测试的概率；
(2)求甲未通过且乙、丙通过测试的概率；
(3)求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率．
变式3．（2023春·江西景德镇·高一统考期中）溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会
的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问
题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的
概率均为 ，乙队每人回答问题正确的概㘶分别为 ， ， ，且两队各人回答问题正确与否相互之间没
有影响.
(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；
(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.
考点十四：统计和概率的综合
例22．（2023春·江苏无锡·高一锡东高中校考阶段练习）本学期初，某校为检验高三学生网络学习
的效果，对全校高三学生进行期初数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为
样本，分成 ， ， ， ， 五组，得到如图所示频率分布直方图．
(1)求图中 的值；
(2)估计该校高三学生期初数学成绩的平均数和85%分位数；
(3)为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，
求此2人分数都在 的概率．
变式1．（2023春·辽宁·高一校联考阶段练习）某校组织了所有学生参加党史知识测试，该校一数学兴趣小组从所有成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了200名参与者的测试成绩，将他们的成绩按
， ， ， ， 分组，并绘制出了部分频率分布直方图如图所示．
(1)请将频率分布直方图补充完整；
(2)估计该校所有学生成绩的第60百分位数；
(3)从成绩在 ， 内的学生中用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人开座谈
会，求这2人来自不同分组的概率．
变式2．（2023·高一单元测试）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了
解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．
请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表
组别 分组 频数 频率
第1组 8
第2组 a
第3组 20
第4组
第5组 2 b
合计
频率分布直方图(1)写出a，b，x，y的值；
(2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识
的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率．
变式3．（2023春·安徽·高一安徽省颍上第一中学校联考阶段练习）某学校需要从甲、乙两名学生中选一
人参加全国高中数学竞赛，现整理了近期两人5次模拟考试的成绩，结果如下表：
第一 第四
第二次 第三次 第五次
次 次
甲的成绩（分） 78 80 65 85 92
乙的成绩（分） 75 86 70 95 74
(1)如果根据甲、乙两人近5次的考试成绩，你认为选谁参加较合适？并说明理由；
(2)如果按照如下方案推荐参加全国高中数学竞赛：
方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加全国高中数学竞赛，否则被淘汰；
方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加全国高中数学竞赛，否则被
淘汰.
已知学生甲只会5道备选题中的3道，那么学生甲选择哪种答题方案可参加全国高中数学竞赛的可能性更
大？并说明理由.
1．【多选】（2023·全国·统考高考真题）有一组样本数据 ，其中 是最小值， 是最大值，则
（ ）
A． 的平均数等于 的平均数
B． 的中位数等于 的中位数C． 的标准差不小于 的标准差
D． 的极差不大于 的极差
2．（2023·全国·统考高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题
准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·天津·统考高考真题）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 ．这
三个盒子中黑球占总数的比例分别为 ．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑
球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．
4．【多选】（2023·全国·统考高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收
到1的概率为 ，收到0的概率为 ；发送1时，收到0的概率为 ，收到1的概率
为 . 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每
个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传
输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概
率
一、单选题
1．（2023春·全国·高一专题练习）某校为了解高一年级学生的生涯规划情况，在高一年级的6个班级中任
选2个班级，并在所选班级中按男女比例抽取样本，则应采用的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样 B．分层抽样C．先用分层抽样，再用随机数表法 D．先用抽签法，再用分层抽样
2．（2023·全国·高一专题练习）已知一个总体中有n个个体，用抽签法从中抽取一个容量为20的样本.若
每个个体被抽到的可能性是 ，则n等于（ ）
A．10 B．50 C．100 D．不确定
3．（2023·全国·高一专题练习）已知某班共有学生46人，该班语文老师为了了解学生每天阅读课外书籍
的时长情况，决定利用随机数表法从全班学生中抽取10人进行调查．将46名学生按01，02，…，46进行
编号．现提供随机数表的第7行至第9行：
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 57 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
若从表中第7行第41列开始向右依次读取2个数据，每行结束后，下一行依然向右读数，则得到的第8个
样本编号是（ ）
A．07 B．12 C．39 D．44
4．（2023春·全国·高一专题练习）近年来，随着双碳目标、空调新国标的制定，节能变频空调的需求不断
增多，下图为2017-2022中国节能变频空调产量，根据该图，下列说法错误的是（ ）
A．2017-2022中国节能变频空调年产量逐年增加
B．2017-2022中国节能变频空调年产量的中位数6833.2万台
C．2022年中国节能变频空调产量比上一年增长超过14%
D．2017-2022中国节能变频空调年平均产量超过7500台
5．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）在统计学中，月度同比是指本月和上一年同月相比较的增长
率，月度环比是指本月和上一个月相比较的增长率，如图是我国2022年1月至2022年12月居民消费价格
月度涨跌幅度统计图，则以下说法正确的是（ ）A．在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据的众数为0.9%
B．在这12个月中，我国居民消费价格月度环比数据的众数为0.4%
C．在这12个月中，我国居民消费价格最低是5月
D．在这12个月中，我国居民消费价格最高是10月
6．（2023·全国·高一专题练习）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成
频率分布直方图（如图）.若要从身高在 三组内的学生中，用分层抽样的方法
选取18人参加一项活动，则从身高在 内的学生中选取的人数应为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023·高一课时练习）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规
模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地
新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）
A．甲地：均值为3，中位数为4 B．乙地：均值为1，方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：均值为2，方差为3
8．（2023春·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知数据 ， ，…， 的平均数、中位数、方差分别
为 ， ， （其中 ），数据 ， ，…， 的平均数、中位数、方差分别为 ， ，，则 （ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.分数不低于X即为优秀，已知优秀学生有80人，则（
）
A．
B．
C．70分以下的人数约为6人
D．本次考试的平均分约为93.6
10．（2023·全国·高一专题练习）利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时
各做5组试验，得到事件A=“一个正面朝上，一个反面朝上”.发生的频数和频率表如下：
序
号 频 频
频数 频数 频率 频率
率 数
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.55 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
根据以上信息，下面说法正确的有（ ）
A．试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性B．试验次数较小时，频率波动较大；试验次数较大时，频率波动较小，所以试验次数越少越好；
C．随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定值附近
D．我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率
11．（2023春·高一课时练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件： “向上的点数为 ”，
其中 ，2，3，4，5，6， “向上的点数为偶数”，样本空间为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． 与B互斥 D． 与 对立
三、填空题
12．（2023·江西赣州·统考模拟预测）从A，B等5处水样监测点中随机选3处进行水样检测，则A，B不
同时入选的概率为______．
13．（2022·高二课时练习）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到
有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 ，乙每次投篮投中的概率为 ，且
各次投篮互不影响，则乙获胜的概率为___________.
四、解答题
14．（2023春·宁夏·高一六盘山高级中学校考阶段练习）学校对高一年级生物学科水平测试模拟考试的成
绩进行了统计，随机抽取了80名学生的成绩作为样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方
图如下：
频
分组 频率
数
16 0.2
50
10
4 0.05
合计 80(1)求表中 ， 的值和频率分布直方图中 的值；
(2)若要使20%的学生达到优秀等次，请预测优秀等次的分数线．
15．（2023·全国·高一专题练习）某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定
合理的帮扶方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示．
(1)求a的值；
(2)求所有受灾居民的经济损失的平均值；
(3)现按照分层抽样的方法从经济损失在[4000,8000)的居民中随机抽取8人，则在[4000,6000)的居民有多少
人．
