文档内容
热点 8-2 概率与统计综合
概率统计专题相关的知识点错综复杂又环环相扣，在高考考查中一般情况会对多个知识点进行综合考查。
题量通常为“两小一大”，有时也“三小一大”或“一小一大”；选择题、填空题考查全面，解答题重点
考查概率统计主干知识，以图表信息、古典概型、常见概率分布，回归分析，独立性检验、样本估计总
体、分布列和数学期望为主要考查内容，关注学科知识的综合性，常与分段函数、二次函数、导数、数
列、最值问题等相结合进行综合考查。
【题型1 古典概型的计算】
满分技巧
古典概型中基本事件的探求方法
1、列举法：适合于基本事件个数较少且易一一列举出来的试验；
2、列表法（坐标法）：适合于从多个元素中选定两个元素的试验；
3、树形图法：适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探究；
4、排列组合法：求较复杂试验中基本时间的个数时，可利用排列或组合的知识.
【例1】（2024·四川·校联考一模）一次课外活动中，某班60名同学均参加了羽毛球或乒乓球运动，其中
37人参加了羽毛球运动，38人参加了乒乓球运动．若从该班随机抽取一名同学，则该同学既参加了羽毛
球运
动又参加了乒乓球运动的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，该班学生中既参加了羽毛球运动又参加了乒乓球运动有： （名），
故从该班随机抽取一名同学，该同学既参加了羽毛球运动又参加了乒乓球运动的概率为 ，故选：A.
【变式1-1】（2024·湖南岳阳·高三岳阳一中校考开学考试）四位同学乘同一列火车，火车有10节车厢，
则至少有两位同学上了同一节车厢的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】四位同学乘同一列火车，则所有的基本事件有： 个；
设事件 ：“至少有两位同学上了同一节车厢”，
则事件 表示：四位同学所在车厢都不相同；
则事件 包括的基本事件个数为： ，
事件 包括的基本事件个数有： ，
故至少有两位同学上了同一节车厢的概率 .故选：C.
【变式1-2】（2024·江苏徐州·高三校考开学考试）今年暑期，《八角笼中》、《长安三万里》、《封神
榜》、《孤注一掷》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这四部电影，若小明要看《长安
三万里》，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分以下两种情况讨论：
（1）小明和其中一人同时看《长安三万里》，另外两人看剩余三部电影中的两部，
此时，所求概率为 ；
（2）观看《长安三万里》只有小明一人，只需将剩余三人分为两组，
再将这两组人分配给两部电影，此时，所求概率为 .
综上所述，恰有两人看同一部影片的概率为 .故选：B .
【变式1-3】（2022·河南·高三专题练习）“天问一号”中的天问是中国行星探测任务的名称，它的名字起
源于屈原的《天问》，想要表达的是中华民族对追求真理的执着，对科技创新的不懈．中国行星探测任务
被命名为“天问系列”是在2020年4月24日，首次火星探测任务的探测器则被命名为“天问一号”．2020年
7月23日，中午12时41分，长征五号遥四运载火箭托举着我国首次火星探测任务“天问一号”探测器，在
中国文昌航天发射场点火升空．若从“天，问，一，号”，这4个字中任取一个字，再从“4，24，7，23”这
4个数字中任取2个数字，组成一个“系列组”，则该“系列组”中包含“天问一号”命名时间“4，24”或发射时
间“7，23”的概率为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】所有“系列组”的不同情况有：
(天，4，24)，(天，4，7)，(天，4，23)，(天，24，7)，(天，24，23)，(天，7，23)，
(问，4，24)，(问，4，7)，(问，4，23)，(问，24，7)，(问，24，23)，(问，7，23)，
(一，4，24)，(一，4，7)，(一，4，23)，(一，24，7)，(一，24，23)，(一，7，23)，
(号，4，24)，(号，4，7)，(号，4，23)，(号，24，7)，(号，24，23)，(号，7，23)．
共24种不同情况，
其中包含命名时间“4，24”或发射时间“7，23”的不同情况有8种，
故所求概率为： ．故选：D．
【变式1-4】（2024·广东·高三统考期末）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文
化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背
中.如图，白点为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，已知3个数中至多有1个阴数，则取出
的3个数之和是5的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，白点为阳数，黑点为阴数，阳数为 ，阴数为
若从这10个数中任取3个数且3个数中至多有1个阴数，
基本事件总数为 ，
取出的3个数之和是5的倍数，基本事件包
，
共有12个，
取出的3个数之和是5的倍数的概率是 .故选：A.
【题型2 随机抽样与计算】
满分技巧
1、明确简单随机抽样与分层抽样的定义。
2、分层随机抽样的相关计算关系：
（1） ＝ ；
（2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．（3）样本的平均数和各层的样本平均数的关系为： ＝ ＋ ＝ ＋ .
【例2】（2024·重庆·高三校联考阶段练习）①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和
草木三大类，某植物园需要对其园中的不同植物的干重（烘干后测定的质量）进行测量；②检测员拟对一
批新生产的1000箱牛奶抽取10箱进行质量检测；上述两项调查应采用的抽样方法是（ ）
A．①用简单随机抽样，②用分层随机抽样 B．①用简单随机抽样，②用简单随机抽样
C．①用分层随机抽样，②用简单随机抽样 D．①用分层随机抽样，②用分层随机抽样
【答案】C
【解析】①乔木、灌木、草木，分类明显，可以采用分层随机抽样；
②并未有明显分层特点，且样本容量较小，可以采用简单随机抽样；故选：C.
【变式2-1】（2024·青海西宁·高三统考期末）用分层抽样的方法从某社区的500名男居民和700名女居民
中选取12人参与社区服务满意度调研，则女居民比男居民多选取（ ）
A．8人 B．6人 C．4人 D．2人
【答案】D
【解析】由题可知，男居民选取 人，女居民选取 人，
则女居民比男居民多选取2人.故选：D.
【变式2-2】（2024·湖南长沙·长郡中学校考一模）为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽
样的方法，从高一､高二､高三三个年级共抽取100人进行各项指标测试.已知高三年级有500人，高二年
级有700人，高一年级有800人，则高三年级抽取的人数为（ ）
A．30 B．25 C．20 D．15
【答案】B
【解析】根据分层抽样的性质可知：
高三年级抽取的人数为 .故选：B
【变式2-3】（2023·广西·高三南宁三中校联考阶段练习）北京时间2023年10月31日8时11分，神舟十
六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，载人飞行任务取得圆满成功．某高中学校在有120名同学
的“航天”社团中随机抽取24名参加一个交流会，若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层
随机抽样，则高一年级抽取6人，若按性别比例分层随机抽样，则女生抽取15人，则下列结论错误的是
（ ）
A．24是样本容量
B．120名社团成员中男生有50人
C．高二与高三年级的社团成员共有90人
D．高一年级的社团成员中女生最多有30人
【答案】B
【解析】对于A，由样本容量定义知：样本容量为 ，A正确；
对于B， 女生共有 人， 男生有 人，B错误；对于C， 高一年级的社团成员有 人，
高二高三年级的社团成员共有 人，C正确；
对于D，由C知：高一年级的社团成员共 人，
高一年级的社团成员中女生最多有 人， 正确．故选：B．
【变式2-4】（2024·陕西·校联考一模）我校高三年级为了学生某项身体指标，利用随机数表对650名学
生进行抽样，先将650进行编号，001，002， ，649，650．从中抽取50个样本，下图提供随机数表的
第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第7个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623 B．328 C．072 D．457
【答案】C
【解析】从表中第5行第6列开始向右读取数据，
前7个数据分别是253，313，457，007，328，623，072．故选：C
【题型3 用样本估计总体】
满分技巧
样本估计总体的常用结论：
1、如果两组数 和 的平均数分别是 和 ，则一组数 的平
均数是 ；
2、如果一组数 的平均数为 ，则一组数 的平均数为 。
3、如果一组数 的平均数为 ，则一组数 的平均数为
4、如果一组数 的方差为 ，则一组数 的方差为 ；
5、如果一组数 的方差为 ，则一组数 的方差为 。
【例3】（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）歌唱比赛共有 11位评委分别给出某选手的原始评分，评定
该选手的成绩时，从11个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到9个有效评分. 9个有效评分与
11个原始评分相比，一定不变的数字特征是（ ）
A．平均数 B．极差 C．方差 D．中位数
【答案】D
【解析】设11位评委评分按从小到大排列为 ．
则①原始中位数为 ，去掉最低分 ，最高分 ，
后剩余 ，中位数仍为 ， D正确．
②原始平均数 ，
后来平均数 ，平均数受极端值影响较大，
与 不一定相同，A不正确；③
，由②易知，C不正确．
④原极差 ，后来极差 ，可能相等可能变小，B不正确．故选：D.
【变式3-1】（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校联考模拟预测）已知数据 ， ，…，
的平均数和方差分别为4，10，那么数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为（ ）
A． ， B．1， C． ， D． ，
【答案】D
【解析】设数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为 和 ，
则数据 ， ，…， 的平均数为 ，方差为 ，
得 ， ，故选：D．
【变式3-2】（2024·湖南长沙·长沙一中校联考模拟预测）现有随机选出的20个数据，统计如下，则
（ ）
7 24 39 54 61 66 73 82 82 82
87 91 95 8 98 102 102 108 114 120
A．该组数据的众数为102 B．该组数据的极差为112
C．该组数据的中位数为87 D．该组数据的80%分位数为102
【答案】D
【解析】将数据按从小到大的顺序排列：
7，8，24，39，54，61，66，73，82，82，
82，87，91，95，98，102，102，108，114，120，
对于A，出现次数最多的是82，所以众数是82，故A错误；
对于B，极差为 ，故B错误；
对于C， ， 第10个数和第11个数的平均数为中位数，即 ，故C错
误；
对于D， ， 第16个数和第17个数的平均数为80%分位数，
即 ，故D正确.故选：D.
【变式3-3】（2024·陕西西安·统考一模）某班学生每天完成数学作业所需的时间的频率分布直方图如
图，为响应国家减负政策，若每天作业布置量在此基础上减少5分钟，则减负后完成作业的时间的中位数
为（ ）A．25 B．30 C．35 D．40
【答案】A
【解析】由频率分布直方图可得： ，解得 ，
因为第一组的频率为 ，第二组的频率为 ，
故中位数在第二组的中间，即中位数为 （分钟），
又因为每天作业布置量在此基础上减少5分钟，
所以减负后完成作业时间的中位数为 （分钟）.故选：A
【变式3-4】（2024·四川·高三西充中学校联考期末）下图是2023年11月中国的10个城市地铁运营里程
（单位：公里）及运营线路条数的统计图，下列判断正确的是（ ）
A．这10个城市中北京的地铁运营里程最长且运营线路条数最多
B．这10个城市地铁运营里程的中位数是516公里
C．这10个城市地铁运营线路条数的平均数为15.4
D．这10城市地铁运营线路条数的极差是12
【答案】C
【解析】对于A，北京的地铁运营线路条数最多，而运营里程最长的是上海，A错误；
于是B，地铁运营里程的中位数是 公里，B错误；
对于C，地铁运营线路条数的平均数为 ，C正确；
对于D，地铁运营线路条数的极差是 ，D错误.故选：C
【题型4 百分位数的计算】
满分技巧
计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算i＝n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百
分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
【例4】（2024·广东·高三校联考开学考试）某班12名同学某次测试的数学成绩（单位：分）分别为62，
57，72，85，95，69，74，91，83，65，78，89，则这12名同学这次测试的数学成绩的第60百分位数是
（ ）
A．74 B．78 C．83 D．91
【答案】C
【解析】将这组数据按从小到大的顺序排列为57，62，65，69，72，74，78，83，85，89，91，95.
因为 ，所以这12名同学这次测试的数学成绩的第60百分位数是83.故选：C.
【变式4-1】（2024·重庆·高三西南大学附中校联考开学考试）一个容量为10的样本，其数据依次为：
9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数据的第75百分位数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】D
【解析】将这些数从小到大重新排列后为：2，3，5，7，9，10，16，18，20，23，
，则取从小到大排列后的第8个数，
即该组数据的第75百分位数为18.故选：D.
【变式4-2】（2024·广东深圳·高三深圳中学校考开学考试）已知7个数据0，1，5，6，7，11，12，则这
组数据的第 百分位数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以这组数据的第 百分位数为这组数据从小到大排列的第 个数，即为
，
所以这组数据的第 百分位数为 .故选：D
【变式4-3】（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）从某公司生产的产品中任意抽取12件，得到它
们的质量（单位： ）如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，则这组数据
的四分位数不可能是（ ）
A．8.75 B．8.15 C．9.9 D．8.5
【答案】C
【解析】将这12个数据从小到大排序得：7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，
由 ，可知这组数据的第25百分位数为 ，
由 ，可知这组数据的第50百分位数为 ，
由 ，可知这组数据的第75百分位数为 ，
所以这组数据的四分位数不可能是9.9.故选：C【变式4-4】（2024·全国·校联考模拟预测）已知2024个互不相同的实数，记其上四分位数为 ，中位数
为 ，第75分位数为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据百分位数的概念可知，将这2024个互不相同的实数从小到大排列后，
其上四分位数即为第75分位数，故 ，
由于这2024个互不相同的实数最中间两数为第1012和第1013个数，
故中位数b为这两个数的平均数，
又第50分位数也为第1012和第1013个数的平均数，
故b即等于第50分位数，而第50分位数小于第75分位数，故 ，故选：C
【题型5 事件关系的判断】
满分技巧
判断互斥、对立事件的两种方法
（1）定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个
事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
（2）集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
【例5】（2024·全国·模拟预测）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记“点数之和为5”是事件 ，“点
数之和为4的倍数”是事件 ，则（ ）
A． 为不可能事件 B． 与 为互斥事件
C． 为必然事件 D． 与 为对立事件
【答案】B
【解析】同时抛掷两颗骰子，有36个结果，
“点数之和为5”是事件 有 共有4种情况；
“点数之和为4的倍数”是事件 有 共有9种情况；
对于选项A: 表示“点数之和为5或是4的倍数”， 不是不可能事件.故A错误；
对于选项B：A与B不可能同时发生．故B正确；
对于选项C： 表示“点数之和为5且是4的倍数”，是不可能事件，故C错误；
对于选项D： 与 不能包含全部基本事件，故D错误.故选:B．
【变式5-1】（2024·广东·高三学业考试）一个人打靶时连续射击3次，则事件“至少有两次中靶”的对立事
件为（ ）
A．至多有一次中靶 B．至多有两次中靶 C．恰好有一次中靶 D．三次都中靶
【答案】A
【解析】由题意，事件“至少有两次中靶”的对立事件为“至多有一次中靶”.故选：A.
【变式5-2】（2024·广东湛江·统考一模）在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设
事件 “甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件 “甲、乙两人所选选项完全不同”，事件
“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件 “甲、乙两人均未选择B选项”，则（ ）
A．事件M与事件N相互独立 B．事件X与事件Y相互独立
C．事件M与事件Y相互独立 D．事件N与事件Y相互独立
【答案】C
【解析】依题意甲、乙两人所选选项有如下情形：
①有一个选项相同，②两个选项相同，③两个选项不相同，
所以 ， ， ， ，
因为事件 与事件 互斥，所以 ，又 ，
所以事件M与事件N不相互独立，故A错误；
，故B错误；
由 ，则事件M与事件Y相互独立，故C正确；
因为事件N与事件Y互斥，所以 ，
又 ，所以事件N与事件Y不相互独立，故D错误.故选：C．
【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，那么互斥不对
立的事件是（ ）
A．恰有一个黄球与恰有一个蓝球 B．至少有一个黄球与都是黄球
C．至少有一个黄球与都是蓝球 D．至少有一个黄球与至少有一个蓝球
【答案】A
【解析】从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下4种：
①3个球全是黄球；②2个黄球和1个蓝球；③1个黄球2个蓝球；④3个球全是蓝球．
对于A，恰有一个黄球是情况③，恰有一个蓝球是情况②，
∴恰有一个黄球与恰有一个蓝球是互斥不对立的事件，故A正确；
对于B，至少有一个黄球是情况①②③，都是黄球是情况①，
∴至少有一个黄球与都是黄球能同时发生，不是互斥事件，故B错误；
对于C，至少有一个黄球是情况①②③，都是蓝球是情况④，
∴至少有一个黄球与都是蓝球是对立事件，故C错误；
对于D，至少有一个黄球是情况①②③，至少有一个蓝球是情况②③④，
∴至少有一个黄球与至少有一个蓝球能同时发生，不是互斥事件，故D错误．故选：A．
【变式5-4】（2023·广东惠州·高三校考阶段练习）同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用 表示红
色骰子的点数， 表示绿色骰子的点数，设事件 “ ”，事件 “ 为奇数”，事件 “
”，则下列结论正确的是（ ）
A．A与 对立 B． C．A与 相互独立 D． 与 相互独立【答案】C
【解析】由题意可知： ，
对于选项A：事件 “ ”，事件 “ 为奇数”，
例如 ，则 ， 不为奇数，
即A事件和 事件可以同时不发生，所以A事件与 事件不对立，故A错误；
对于选项B：样本空间共 个样本点，
且 ，共 个样本点，所以 ，
，共 个样本点， ，
，共 个样本点， ，
则 ，所以 ，故B错误；
对于选项C：因为 ，所以 与 不相互独立，故D错误；
对于选项D：因为 ，则 ，
且 ，可得 ，
所以 与 相互独立，故C正确．故选：C．
【题型6 线性回归分析】
满分技巧
线性回归分析问题的类型及解题方法
1、求线性回归方程：（1）利用公式求出回归系数 ， ；（2）利用回归直线过样本中心点求系数；
2、利用回归方程进行预测：把线性回归方程看作一次函数，求函数值；
3、利用回归直线判断正、负相关：决定正相关函数负相关的系数是 ；
4、回归方程的拟合效果可以利用相关系数判断，当 越接近1时，两变量的线性相关性越强。
【例6】（2024·河南·高三校联考开学考试）（多选）已知变量 之间的经验回归方程为 ，
且变量 的数据如下表所示：
5 6 8 12 14
10 8 6 5 1
则下列说法正确的是（ ）
A．变量 之间负相关 B．
C．当 时，可估计 的值为11 D．当 时，残差为
【答案】AC
【解析】对于A选项，由 ，可得变量 之间负相关，故A选项正确；对于B选项， ，
将 代入经验回归方程，有 ，可得 ，故B选项错误；
对于C选项，由上知 ，当 时， ，故C选项正确；
对于D选项，当 时， ，残差为 ，故D选项错误．故选：
AC．
【变式6-1】（2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测）某骑行爱好者在专业人士指导下对近段时间骑行锻
炼情况进行统计分析，统计每次骑行期间的身体综合指标评分 与骑行用时 （单位：小时）如下表：
1 2 3 4 5
身体综合指标评分
8.
用时 小时） 9.5 7.8 7 6.1
8
由上表数据得到的正确结论是（ ）
参考数据：
参考公式：相关系数 .
A．身体综合指标评分 与骑行用时 正相关
B．身体综合指标评分 与骑行用时 的相关程度较弱
C．身体综合指标评分 与骑行用时 的相关程度较强
D．身体综合指标评分 与骑行用时 的关系不适合用线性回归模型拟合
【答案】C
【解析】因为相关系数 .
即相关系数近似为 与 负相关，且相关程度相当高，
从而可用线性回归模型拟合 与 的关系，所以选项ABD错误，C正确.故选：C.
【变式6-2】（2024·山东·高三山东省实验中学校考开学考试）为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积
（单位： ）与水生植物的株数 （单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型
去拟合 与 的关系，设 与 的数据如表格所示：得到 与 的线性回归方程
，则 （ ）
3 4 6 72 2.5 4.5 7
A．-2 B．-1 C． D．
【答案】C
【解析】由已知可得， ， ，
所以，有 ，解得 ，所以， ，
由 ，得 ，
所以， ，则 .故选：C.
【变式6-3】（2024·湖北武汉·统考模拟预测）随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促
进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真
人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚
拟角色直播带货后的销售金额情况统计．
2023年8 2023年9 2023年10 2023年11 2023年12 2024年1
年月
月 月 月 月 月 月
月份编号 1 2 3 4 5 6
销售金额 ／万
15.4 25.4 35.4 85.4 155.4 195.4
元
若 与 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
（1）试求变量 与 的样本相关系数 （结果精确到0.01）；
（2）试求 关于 的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．
附：经验回归方程 ，其中 ， ，
样本相关系数 ；
参考数据： ， ．
【答案】（1）0.96；（2） ，219.4万元
【解析】（1） ，
，
所以 .（2）由题意 ，
所以 ，
所以 关于 的经验回归方程为 ，
所以预测2024年2月份该公司的销售金额为 万元.
【变式6-4】（2024·广东广州·统考二模）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量
有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从
这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据 ，其中 ，和 ，分别表示
第 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得
.
（1）求样本 的相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y（单位：
只）和植物覆盖面积x（单位：公顷）的相关程度；
（2）已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，
记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列.
附：相关系数
【答案】（1）0.94，相关性较强；（2）见解析
【解析】（1）样本 ， ，2， ， 的相关系数为
．
由于相关系数 , ，则相关性很强， 的值越大，相关性越强．
故 ，故相关性越强．
（2）由题意得： 的可能取值为0，1，2，
20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，
有12个样区的这种野生动物数量不低于样本平均数，
所以 ， ， ，
所以 的分布列为：
0 1 2【题型7 独立性检验】
满分技巧
独立性检验的一般方法
（1）根据题目信息，完善列联表；
（2）提出零假设：假设两个变量相互独立，并给出在问题中的解释。
（3）根据列联表中的数据及计算公式 求出 的值；
（4）当 时，我们就推断 不成立，即两个变量不独立，该推断犯错误的概率不超过 ；
当 时，我们没有充分证据推断 不成立，可以认为两个变量相互独立。
【例7】（2024·广东广州·统考二模）根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 .依据
的独立性检验，结论为（ ）
A．变量 与 独立
B．变量 与 独立，这个结论犯错误的概率不超过
C．变量 与 不独立
D．变量 与 不独立，这个结论犯错误的概率不超过
【答案】A
【解析】因为 ，
所以，依据 的独立性检验，我们认为变量 与 独立，故选：A.
【变式7-1】（2024·四川成都·高三成都七中校考期末）在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑
小鼠进行动物实验.现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验，得到如下 列联表（部分
数据缺失）：
被某病毒感
未被某病毒感染 合计
染
注射疫苗 10 50
未注射疫苗 30 50
合计 30 100
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
计算可知，根据小概率值 ______的独立性检验，分析“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病
毒感染的效果” （ ）
附： ， .A．0.001 B．0.05 C．0.01 D．0.005
【答案】B
【解析】完善 列联表如下：
被某病毒感
未被某病毒感染 合计
染
注射疫苗 10 40 50
未注射疫 3
20 50
苗 0
7
合计 30 100
0
假设 ：“给基因编辑小鼠注射该疫苗不能起到预防该病毒感染的效果”.
因为： ，而 ，
所以根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立.
即认为“给基因编辑小鼠注射该疫苗能起到预防该病毒感染的效果”.故选：B
【变式7-2】（2024·福建泉州·高三校考阶段练习）针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜
欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为 人，男生中喜欢短视
频的人数占男生人数的 ，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的 .零假设为 ：喜欢短视频和性别相
互独立.若依据 的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则 的最小值为（ ）
附： ，附表：
0.05 0.01
3.841 6.635
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】根据题意，不妨设 ，
于是 ，
由于依据 的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，
根据表格可知 ，解得 ，于是 最小值为 .故选：C
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、
速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩
云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表（单位：天），并计算得到 ，下列小波
对地区A天气的判断不正确的是（ ）
日落云里
走 下雨 未下雨
夜晚天气
出现 25 5
未出现 25 45
参考公式：
临界值参照表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．夜晚下雨的概率约为
B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为
C．据小概率值 的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关
D．出现“日落云里走”， 据小概率值 的独立性检验，可以认为夜晚会下雨
【答案】D
【解析】由列联表知：100天中有50天下雨，50天未下雨，
因此夜晚下雨的概率约为 ，A正确；
未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为 ，B正确；
，
因此据小概率值 的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，
C正确，D错误．故选：D
【变式7-4】（2024·四川宜宾·高三四川省兴文第二中学校校考开学考试）为探究某药物对小鼠的生长抑
制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）.
测得40只小鼠体重如下（单位： ）：（已按从小到大排好）
对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4 26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5
27.6 28.3
实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2 14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
附： ，其中 .
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635（1）求40只小鼠体重的中位数 ，并完成下面 列联表：
合计
对照组
实验组
合计
（2）根据 列联表，能否有 的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
【答案】（1）23.4，列联表见解析；（2）有 的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
【解析】（1）由所给数据从小到大排序：
，
所以40只小鼠体重的中位数为 ，
列联表如下：
合计
对照组 6 14 20
实验组 14 6 20
合计 20 20 40
（2）由 公式可知 ，
所以有 的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
【题型8 二项分布】
满分技巧
独立重复试验与二项分布
1、定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特
征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生
的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验
中发生的次数．
2、定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．
3、列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列．
4、求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值．
相关公式：已知X～B(n，p)，则P(X＝k)＝C pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
【例8】（2024·安徽合肥·高三合肥一六八中学校联考期末）甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､
乙各射击一次，甲､乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为
，乙击中8环､9环､10环的概率分别为 ，且甲､乙两人射击相互独立.（1）在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；
（2）若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求 的分布列与数学期望.
【答案】（1）0.2；（2）分布列见解析，数学期望为0.6
【解析】（1）设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件 ，
则事件 包括：甲击中9环乙击中8环，
甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环，
则 .
（2）由题可知 的所有可能取值为 ，
由（1）可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，则
，
所以 ，
，
故 的分布列为
0 1 2 3
0.51
0.384 0.096 0.008
2
所以 .
【变式8-1】（2022·全国·高三专题练习）某校高三年级数学组长为了了解学生的数学学习情况，对其在
市二诊考试中的数学成绩（满分150分）进行分析，从全年级数学成绩中随机抽取了15人的成绩作为样
本，得到如图所示的茎叶图．若成绩不低于120分，则称为数学成绩优良．
（1）从这15人的成绩中随机抽取3人，求至多有1人数学成绩优良的概率；
（2）以这15人的成绩中成绩优良的频率作为概率，估计该校高三年级在市三诊、省一、二诊未来3次诊
断考试数学成绩优良的人数，从而估计该校今年高考数学成绩．记随机变量 为未来这3次考试中优良学
生的人数，求 的分布列和数学期望．
【答案】（1） ；（2）分布列见解析，数学期望为
【解析】（1）记“从这15人的成绩中随机抽取3人，求至多有1人数学成绩优良”为事件 ，
由题知分数不低于120分有3人，则 ．
（2）以这15人的成绩中成绩优良的频率作为概率，易得数学成绩优良的概率为 ，
的所有可能取值为0，1，2，3，由题意得 ，
则 ， ，
， ，
随机变量 的分布列为
0 1 2 3
.
【变式8-2】（2022·河南·高三专题练习）甲、乙两队要举行一场排球比赛，双方约定采用“五局三胜”制
赛规，即一场比赛全程最多打五局，比赛双方只要有一个队先胜三局，则比赛就此结束，且该队为获胜
方．根据以往大量的赛事记录可知甲、乙两队在比赛中每局获胜的概率分别为 ．
（1）若在首局比赛中乙队以 的比分暂时领先，求最后甲队、乙队各自获胜的概率；
（2）求乙队以 的比分获胜的概率；
（3）设确定比赛结果需要比赛 局，求 的分布列及数学期望．
【答案】（1） ； ；（2） ；（3）分布列见解析，
【解析】（1）由题意，首局比赛已经结束，乙队以 的比分暂时领先为必然事件，
若甲队要最后获胜有两种情况：
第一种情况：甲队在第二、三、四局比赛中胜；
第二种情况：甲队在第二、三、四局比赛中胜且只胜其中两局，且第五局再胜．
故最后甲队获胜的概率为 ；
而最后乙队获胜的概率为 ．
（2）乙队以 的比分获胜，这表明在前四局比赛中甲、乙队双方各胜两局，且第五局乙队胜，
故乙队以 的比分获胜的概率为 ．
（3）由题意， ，
且 ；
；
．
所以 的分布列为
X 3 4 5P
所以数学期望 ．
【变式8-3】（2024·湖北十堰·高三统考期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明
城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 份作为样本，将 个样本数据按 、 、
、 、 、 分成 组，并整理得到如下频率分布直方图.
（1）请通过频率分布直方图估计这 份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代
表）.
（2）以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于 分，则被认定为成绩合格，低于 分说明成绩不合格.
从参加知识竞赛的市民中随机抽取 人，用 表示成绩合格的人数，求 的分布列及数学期望.
【答案】（1） ；（2）分布列见解析，
【解析】（1）由频率分布直方图可知， 份样本数据的平均值为
.
（2）竞赛成绩不低于 分的频率为 ，
低于 分的频率为 .
由题意可知 ， ，
，
，
，
， ，
所以 的分布列为期望 .
【变式8-4】（2024·北京昌平·高三统考期末）某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调
研，
统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：
，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）求 的值；
（2）该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服
务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总
价值为 元，求 的分布列和数学期望 ；
（3）用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为 ，
问 为何值时， 的值最大？（结论不要求证明
【答案】（1） ；（2）分布列见解析，期望6900；（3） .
【解析】（1）由频率分布直方图可知 ；
（2）根据频率分布直方图可知评分低于110分的占比 ，评分不低于110分的占比 ，
任选3人中其评分情况有四种：3人均低于110分；
2人低于110分，1人不低于110分；1人低于110分，
2人不低于110分；3人均不低于110分，
所以 可取 四种情况，
， ，
， ，
故 的分布列为：
9000 8000 7000 6000
0.027 0.189 0.441 0.343
则 ；
（3）由题意可知 ，可知当 时 取得最大值.
证明如下：设 最大，即 ，
所以 ，
化简得 ，因为 ，故 .
【题型9 超几何分布】
满分技巧
超几何分布的适用范围及本质
（1）适用范围：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个题，考察某一类个题个数的
概率分布；
（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的。
2、超几何分布与二项分布的区别
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的，而二项分布是“有放
回”的抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同点。
【例9】（2024·山东·高三山东省实验中学校考开学考试）盒中有大小颜色相同的6个乒乓球，其中4个
未使用过（称之为新球），2个使用过（称之为旧球）.每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球，比赛
结束后放回盒中.使用过的球即成为旧球.
（1）求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率；
（2）设两局比赛后盒中新球的个数为 ，求 的分布列及数学期望.
【答案】（1） ；（2）分布列见解析，
【解析】（1）由题意可知当比赛使用1个新球，1个旧球时，盒中恰有3个新球，
使用一局比赛后盒中恰有3个新球的概率 .
（2）由题意可知 的可能取值为 ，
， ，
，
， ，
所以 的分布列为
0 1 2 3 4.
【变式9-1】（2024·辽宁·高三校联考期末）某企业打算处理一批产品，这些产品每箱10件，以箱为单位
销售，已知这批产品中每箱都有废品.每箱的废品率只有 或者 两种可能，且两种可能的产品市场占有
率分别为 .假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱，现处理价格为每箱840元，遇到废
品不予更换，以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据.（运算结果保留分数）
（1）在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；
（2）现允许开箱，不放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验，已发现在抽取检验的2件产品中，其
中恰有一件是废品
①求此箱是废品率为 的概率；
②判断此箱是否可以购买，并说明理由.
【答案】（1）可以购买；（2）① ；②可以购买.
【解析】（1）在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望值为：
，
所以在不开箱检验的情况下，可以购买.
（2）①设事件A：发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，
则 ，
设事件 ：抽取的是废品率为 的一箱，则 ，
所以发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品的条件下，
此箱是废品率为 的一箱的概率为 ；
②设正品价格的期望值为 ，则 ，
事件 ：抽取的是废品率为 的一箱，则 ，
所以 ,
所以在已发现抽取检验的2件产品中恰有一件是废品的情况下，此箱可以购买.【变式9-2】（2024·安徽黄山·统考一模）某校高三年级 名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布
直方图如图所示，其中成绩分组区间是 、 、 、 、 、 ．
（1）求图中 的值，并根据频率分布直方图，估计这 名学生的这次考试数学成绩的第 百分位数；
（2）从这次数学成绩位于 、 的学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取 人，再
从这 人中随机抽取 人，该 人中成绩在区间 的人数记为 ，求 的分布列及数学期望．
【答案】（1） ，第 分位数为 ；（2）分布列答案见解析，
【解析】（1）由频率分布直方图可得 ，解得 .
前四个矩形的面积之和为 ，
前五个矩形的面积之和为 ，
设这 名学生的这次考试数学成绩的第 百分位数为 ，
则 ，解得 ，
因此，这 名学生的这次考试数学成绩的第 百分位数为 .
（2）数学成绩位于 、 的学生人数之比为 ，
所以，所抽取的 人中，数学成绩位于 的学生人数为 ，
数学成绩位于 的学生人数为 人，
由题意可知，随机变量 的可能取值有 、 、 、 ，
则 ， ，
， ，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
所以， .
【变式9-3】（2024·浙江湖州·高三统考期末）杭州第 届亚运会，是继 年北京亚运会、 年广州
亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事. 年 月 日，杭州亚运会开幕式
隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚 点前登录该直播间的前 名观众设置了两轮“庆亚运、送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这 名观众中抽取 名幸运观
众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这 名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观
众总人数为 （幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为 人）.
（1）已知小杭是这前 名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为 ，求 的值；
（2）当 取到最大值时，求 的值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）记“小杭被抽中”为事件 ，“小杭第 次被抽中”为事件 .
，
整理可得 ，即 ，
又因为 且 ，解得 .
（2）“ ”表示第一次在 个人中抽取 个，
第二次抽取的 个人中，有 人在第一次抽取的 人以外，
另外的 个人在第一次抽取的 人中，
，记 ，
由
，
解得 ，又 ，所以 时， 取最大值.
【题型10 正态分布】
满分技巧
关于正态总体在某个区间内取值的概率求法
（1）熟记P(μ－σ
