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专题25.1 概率初步（全章知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】必然事件、不可能事件和随机事件
1.定义：
（1）必然事件：在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．
（2）不可能事件： 在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．
（3）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
【知识点2】概率的意义
概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事
件A发生的频率 会稳定在某个常数P附近，那么这个常数 就叫做事件A的概率，记为P(A)=p.
【知识点3】古典概型
满足下列两个特点的概率问题称为古典概型.
（1）一次试验中，可能出现的结果是有限的；
（2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等的.
古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件
的概率.
【知识点4】用列举法求概率
常用的列举法有两种：列表法和树形图法.
（1）列表法：
当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可
能的结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的
可能的次数和方式，并求出概率的方法.
（2）树状图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，
通常采用树形图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生
的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
【知识点5】利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法
来估计概率.
【考点一】随机事件【例1】（2022秋·八年级单元测试）下列五个事件中，哪些是必然事件．哪些是不可能事件．哪些
是随机事件．根据你的判断，把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列．
（1） 人中至少有 人的生日在同一个月；
（2）手机号码的末位数字为偶数；
（3） 的绝对值小于 ；
（4）从装有 个黄球和 个红球的袋子中摸出 个球是红球；
（5）从装有 个白球和 个红球的袋子中摸出 个球是红球．
【答案】（1）必然事件；（2）随机事件；（3）不可能事件；（4）随机事件；（5）随机事件，
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念理解判断．
解：（1）13人中至少有 人的生日在同一个月是必然事件，发生的可能性是1；
（2）手机号码的末位数字为偶数是随机事件，从0到9的数字中有5个奇数，5个偶数，所以该事
件发生的可能性是 ；
（3） 的绝对值小于 是不可能事件，发生的可能性是0；
（4）从装有 个黄球和 个红球的袋子中摸出 个球是红球是随机事件，摸到红球的概率是 ；
（5）从装有 个白球和 个红球的袋子中摸出 个球是红球是随机事件，摸到红球的概率是 ，
这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ．
【点拨】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，以及可能性的大小，解决本题需
要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．
不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不
发生的事件．
【举一反三】
【变式1】（2023秋·广东广州·七年级广州市白云中学校考开学考试）一个不透明的口袋里有4个黄
球和4个红球，除颜色不同以外其余均相同，从口袋中任意提出1个球，要使摸出黄球的可能性大于
摸出红球的可能性，可以在摸球之前（ ）．
A．拿出2个黄球 B．拿出2个红球C．放入2个白球 D．放入2个红球
【答案】B
【分析】袋子里面只有两种球的情况下，哪种颜色的球多，摸到哪种球的可能性就大；
解：要使摸出黄球的可能性大，黄球数量要多于红球数量，可以放入两个黄球，也可以拿出两个红球；
故选：B．
【点拨】根据可能性大小的判定方法，解答此题即可．
【变式2】（2023秋·九年级课时练习）下列事件中，必然事件是 ，不可能事件是
，随机事件是 ．（填序号）
（1）多边形的外角和等于 ；
（2）两直线被第三条直线所截，同位角相等；
（3）一元二次方程 无实数根；
（4）任意买一张电影票，座位号是偶数；
（5）在同一年出生的400人中没有两人的生日相同．
【答案】 （1）（3）/（3）（1） （5） （2）（4）/（4）（2）
【分析】根据事件的分类，逐个进行判断，即可解答．
解：（1）多边形的外角和等于 ；是必然事件；
（2）两直线被第三条直线所截，同位角相等；是随机事件；
（3）∵ ，∴一元二次方程 无实数根是必然事件；
（4）任意买一张电影票，座位号是偶数；是随机事件；
（5）在同一年出生的400人中没有两人的生日相同；是不可能事件；
故答案为：（1）（3）；（5）；（2）（4）．
【点拨】本题主要考查了事件的分类，解题的关键是掌握必然事件一定会发生；不可能事件一定不会
发生；随机事件有可能发生，有可能不发生．
【考点二】根据概率公式计算概率
【例2】（2023春·贵州贵阳·七年级校考阶段练习）在一个不透明的袋子中装有3个红球和6个黄球，
每个球除颜色外其余都相同．从中任意摸出一个球，若是红球则小明获胜，若是黄球则小亮获胜．
（1）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
（2）如果另拿5个球放入袋中并搅匀，使得从中任意摸出1个球，摸到红球和黄球的可能性大小相等．
那么应放入______个红球，______个黄球．【答案】（1）这个游戏对双方不公平，理由见分析；（2）4，1
【分析】（1）分别求解摸到红球的概率与摸到黄球的概率，从而可得结论；
（2）要使摸到红球和黄球的可能性大小相等，只需黄球、红球的个数相等即可．
（1）解：∵袋子中装有3个红球和6个黄球，
∴摸到红球的概率是 ，摸到黄球的概率是 ，
∴小亮获胜机会大，
∴这个游戏对双方不公平；
（2）要使摸到红球和黄球的可能性大小相等，只需黄球、红球的个数相等即可
所以，应放4个红球，1个黄球．
【点拨】本题考查概率计算、可能性大小的判断，熟记概率公式是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2023秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）桂城街道约有70万人，随机调查了5000人，
其中625人看某电视台的早间新闻，在桂城街道随便问一个人，他看该电视台早间新闻的概率大约是（
）
A．0.007 B．0.125 C．0.625 D．0.112
【答案】B
【分析】先根据随机调查了5000人，其中625人看某电视台的早间新闻，再求解随机采访1人看早间
新闻的概率，再作答即可.
解：∵ ，
答：他看该电视台早间新闻的概率大约是 ．
故选B．
【点拨】本题主要考查等可能事件的概率公式，掌握概率公式，是解题的关键．
【变式2】（2023秋·江苏南通·九年级校考期中）瑞瑞有一个小正方体，6个面上分别画有线段、等边
三角形、平行四边形、矩形、菱形、圆这6个图形．抛掷这个正方体一次，向上一面的图形既是轴对称图
形，又是中心对称图形的概率是 ．
【答案】
【分析】抛掷这个正方体一次，共有6种等可能的情况，用所给图形中即是轴对称图形又是中心对称
图形的个数除以6即可．
解：所给6个图形中既是轴对称又是中心对称的图形有：线段，矩形，菱形，圆，共4个，因此抛掷这个正方体一次，向上一面的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查概率计算，轴对称图形和中心对称图形的识别，掌握轴对称图形和中心对称图形的
定义是解题的关键．
【考点三】几何概率
【例3】（2023秋·九年级课时练习）如图，在正方形 中，分别以B，D为圆心，以正方形的
边长2为半径画弧，形成阴影部分的树叶图案．（计算时π取3）
（1）求阴影部分的面积；
（2）若在正方形 中随机撒一粒豆子，求豆子落在阴影区域内的概率．（豆子落在弧上不计）
【答案】（1）2；（2）
【分析】（1）根据阴影部分的面积等于半径为2的扇形的面积的2倍减去正方形的面积及扇形面积公
式计算即可；
（2）用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求解．
（1）解：由题意可得，
；
（2）解：由题意可得，
豆子落在阴影区域内的概率为 ．
【点拨】本题考查几何概率、扇形的面积公式，解题的关键是正确求出阴影部分的面积．
【举一反三】
【变式1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．
若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
解：∵总面积为 ，其中阴影部分面积为 ，
∴飞镖落在阴影部分的概率是 ．
故选：C．
【点拨】本题考查了几何概率的求法，解题的关键是根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴
影区域表示所求事件A；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件A发生的概率．
【变式2】（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，在平行四动形纸板 中，点 分别为
的中点，连接 ．将一飞镖随机投掷到平行四边形纸板上，则飞镖落在阴影部
分的概率为 ．
【答案】
【分析】根据点 分别为 的中点，得到 ， ，
从而得到 ，进而得出 ，由此即可得到答案．
解：如图，连接 ，四边形 为平行四边形，点 分别为 的中点，
点 在同一直线上，
， ，
，
，
飞镖落在阴影部分的概率为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了几何概率，平行四边形的性质，用到的知识点为：概率 相应的面积与总面积之
比，根据题意计算出 是解此题的关键．
【考点四】用列举法或树状图计算概率
【例4】（2023秋·四川达州·九年级校考期中）为推广阳光体育“大课间”活动，我市某中学决定在
学生中开设A：实心球．B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜
欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图．请结合图中的信息解答
下列问题：
（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？
（2）请将两个统计图补充完整；（3）若调查到喜欢“跳绳”的5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学
生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．
【答案】（1）150名；（2）见分析；（3）
【分析】（1）根据题意计算 即可得到总人数；
（2）先计算“立定跳远”的学生人数，进而求得其百分比，在两个统计图中补充两个数据即可；
（3）用树状图列出所有情况，再由概率计算公式即可得解.
（1）解：根据题意得： （名）．
答：在这项调查中，共调查了150名学生．
（2）本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数是； （名），
所占百分比是： ，
补充两个统计图如下：
（3）用 ， ， 分别表示三个男生，用 ， 分别表示两个女生，画树状图如下：
由图知共有20种情况，同性别学生的情况是8种，
故：刚好抽到同性别学生的概率是 ．
【点拨】本题考查统计图的综合运用以及用树状图求概率，考查运算求解能力，属于基础题.
【举一反三】
【变式1】（2023秋·山西太原·九年级校考阶段练习）有三张正面分别写有数字1，2， 的卡片，它
们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取两张，记录卡片上的数字，则记录的两个数字乘积是正数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符号条件的结果数，然后利用概率公式即可得出
答案．
解：根据题意画图如下：
由树状图知，共有6种等可能结果，其中两个数字乘积是正数的有2种
则记录的两个数字乘积是正数的概率是
故选A．
【点拨】本题考查了列表法或者画树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能得结果，
适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不
放回实验．熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式2】（2023秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）小明所在的学校准备在国庆节当天举办一个大
型的联欢会，为此小明设计了如图所示的 ， 两个转盘和同学们做“配紫色”（红、蓝可配成紫色）的
游戏，试问使用这两个转盘可以配成紫色的概率是 ．
【答案】 或
【分析】列表法将所有可能出现的结果，找出配成紫色的结果，用该事件的结果除以所有可能的结果即可得出结果．
解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下：所有可能出现的结果共有 种，
蓝 蓝 红
红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红）
蓝 （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，红）
绿 （绿，蓝） （绿，蓝） （绿，红）
黄 （黄，蓝） （黄，蓝） （黄，红）
上面等可能出现的 种结果中，有 种情况可能得到紫色，故配成紫色的概率是 ，
，
故答案为： 或 ．
【点拨】此题主要是考查列表法或树状图法求概率，解题关键是列出所有可能的结果，利用概率公式
进行求解即可．
【考点五】用频率估计概率
【例5】（2023秋·广东佛山·九年级佛山市惠景中学校考阶段练习）在一个不透明的口袋里装有颜色
不同的红、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，
再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________；（精确到0.1）
（2）试估算口袋中白球有多少只？
（3）请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，放回，再摸出一球；这两只球颜色不同的概率是多
少？
【答案】（1）0.6；（2）3只；（3）
【分析】（1）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；
（2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，利用概率公式计算白球的个数；（3）列表求得所有等可能的结果与从中先摸出一球，放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的情况，
即可根据概率公式求解．
解：（1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
故答案为：0.6；
（2）由（1）摸到白球的概率为0.6，
所以可估计口袋中白球的个数为： （只）．
（3）列表得出：
黑1 黑2 白1 白2 白3
黑1 （黑1，黑1） （黑1，黑2） （黑1，白1） （黑1，白2） （黑1，白3）
黑2 （黑2，黑1） （黑2，黑2） （黑2，白1） （黑2，白2） （黑2，白3）
白1 （白1，黑1） （白1，黑2） （白1，白1） （白1，白2） （白1，白3）
白2 （白2，黑1） （白2，黑2） （白2，白1） （白2，白2） （白2，白3）
白3 （白3，黑1） （白3，黑2） （白3，白1） （白3，白2） （白3，白3）
从中先摸出一球，放回，再摸出一球，共有25种等可能结果，其中这两只球颜色不同的有12种，
故这两只球颜色不同的概率是 ．
【点拨】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右
摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这
个固定的近似值就是这个事件的概率．
【举一反三】
【变式1】（2023秋·陕西榆林·九年级校考阶段练习）“良种壮苗”是造林的基本措施之一．某林业
局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成
活的概率约为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】由图可得，成活概率在 上下波动，由此即可得到答案．
解：由图可得这种树苗成活的频率稳定在 ，故这种树苗移植成活的概率约为 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了利用频率估计概率，采用数形结合的方法是解此题的关键．
【变式2】（2023秋·四川达州·九年级校考期中）在一次数学活动课上，老师将全班同学分成5个小
组进行摸球试验，试验规则如下：在一个不透明的盒子中装有6个黄球和若干个红球，这些球除颜色外其
他都相同，将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球，记下颜色后再放回盒子，这样连续摸球200次．试验结
束后，5个小组分别计算出摸出黄球的频率（如下表所示）．由此估计，盒子中红球的个数为 ．
组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组
摸出黄球的频
0.19 0.22 0.20 0.19 0.20
率
【答案】24
【分析】根据摸到红球的频率，可以得到摸到黄球的概率，从而可以求得总的球数，从而可以得到红
球的个数．
解：由题中表格可知：摸出黄球的频率稳定在0.20左右，
所以估计摸一次球，摸出黄球的概率为0.2，
所以盒子中小球约有 （个），
所以估计红球的个数为 ，
故答案为：24．
【点拨】本题考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关
键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
