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专题 25.1 概率初步（5 大考点 12 类题型）（全章知识梳理与题型分
类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】必然事件、不可能事件和随机事件
必然事件：在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．
不可能事件： 在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．
随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
要点提示：
1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；
2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性
最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发
生的可能性的大小有可能不同.
【知识点二】概率的意义
概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件
A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率(probability)，记为
P（A）=P
要点提示：
(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即 ，其中P(必然事件)=1，
P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.
【知识点三】古典概型
满足下列两个特点的概率问题称为古典概型.
（1）一次试验中，可能出现的结果是有限的；
（2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等的.古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率.
要点提示：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中
的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）= .
【知识点四】用列举法求概率
常用的列举法有两种：列表法和树状图法.
列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可
能的结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次
数和方式，并求出概率的方法.
要点提示：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
树状图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用
树状图.
树状图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能
的次数和方式，并求出概率的方法.
要点提示：
(1) 树状图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）在用列表法或树状图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
【知识点五】利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估
计概率.
要点提示：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结
果将较为精确.
考点与题型目录
【考点一】随机事件
【题型1】随机事件...........................................................3
【考点二】概率【题型2】根据概率公式计算概率...............................................5
【题型3】已知概率求数量.....................................................7
【题型4】几何概率...........................................................8
【考点三】用列举法求概率
【题型5】列举法求概率......................................................11
【题型6】列表示或树状图求概率..............................................13
【题型7】游戏的公平性......................................................16
【考点四】用频率估计概率
【题型8】求某事件的频率与概率..............................................18
【题型9】由频率估计概率....................................................20
【题型10】由频率估计概率的综合应用.........................................22
【考点五】直通中考与拓展延伸
【题型11】直通中考.........................................................24
【题型12】拓展延伸.........................................................26
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】随机事件
【例1】（23-24七年级下·全国·单元测试）把一副扑克牌中的13张红桃牌正面朝下，洗匀后，从中任意
抽取1张．下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？估计这些事件发生的
可能性的大小，并把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列．
（1）抽到的牌的点数是8；
（2）抽到的牌的点数小于6；
（3）抽到的牌是黑桃；
（4）抽到的牌是红桃．
【答案】（1）发生的可能性 ，随机事件；（2）发生的可能性 ，随机事件；（3）不可能事件，发
生的可能性为0；（4）必然事件，发生的可能性为1；按发生的可能性从小到大的顺序排列为：（3）
（1）（2）（4）
【分析】此题主要考查了可能性大小以及事件的名称，正确求出各事件发生的可能性是解题关键．利用
必然事件、不可能事件、随机事件的定义分析，再分别求出发生的可能性．解：（1）抽到的牌的点数是8，是随机事件，发生的可能性为 ；
（2）抽到的牌的点数小于6，是随机事件，发生的可能性为 ；
（3）抽到的牌是黑桃，是不可能事件，发生的可能性为0；
（4）抽到的牌是红桃，是必然事件，发生的可能性为1；
则按发生的可能性从小到大的顺序排列为：（3）（1）（2）（4）．
【变式1】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）下列事件是随机事件的是（ ）
A．三角形有且只有一个外接圆 B．方程 是一元二次方程
C．直径是圆中最长的弦 D．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
【答案】B
【分析】本题考查了事件的分类，一元二次方程的定义，弦的定义，圆周角定理，随机事件的定义，可
能发生也可能不发生的事件为随机事件，三角形的外接圆的圆心是垂直平分线的交点，据此相关性质内
容进行逐项分析，即可作答．
解：A、三角形有且只有一个外接圆，是必然事件，不是随机事件，故该选项不符合题意；
B、方程 是一元二次方程，故原说法是随机事件，故该选项符合题意；
C、直径是圆中最长的弦是必然事件，不是随机事件，故该选项不符合题意；
D、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等是必然事件，不是随机事件，故该选项不符合题意；
故选：B．
【变式2】（24-25七年级上·江苏苏州·期中）一个不透明的盒子中装有红、蓝两种颜色的小球若干个
（小球除颜色外，其余均相同）．小慧随机从盒中摸球，每次摸出1个球，记录颜色后放回，共30次，
其中摸出红球8次，蓝球22次．根据数据推测，盒子里 球可能多一些．（填“红”或“蓝”）
【答案】蓝
【分析】本题考查了可能性，掌握可能性大小的判断方法是解题的关键．哪种颜色的球多，摸出的可能
性就大．小慧摸出蓝球的次数比红球的多，说明蓝色球比红色球多的可能性比较大．据此解题．
解：∵ ，那么盒子里可能蓝球多，
∴盒子里蓝球可能多一些．
故答案为：蓝．
【变式3】（2024九年级上·全国·专题练习）一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意挪
一次，黄色朝上的次数最多，红色和绿色朝上的次数一样多，可能有 个面涂了黄色．【答案】4
【分析】本题考查可能性，可能性的大小与数量的多少有关，要黄色朝上的次数最多，所以涂黄色面最
多；红色和绿色朝上的次数一样多，所以涂红色和绿色的面一样多，据此解答即可．
解：一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意抛一次，黄色朝上的次数最多，红色和绿
色朝上的次数一样多．
如果每种颜色朝上的数量都一样多，则红、黄、绿各涂2个面，
但现在黄色朝上的次数最多，而红色和绿色朝上的次数要一样多，
因此只能是红色、绿色各1个面，黄色涂4个面．
故答案为：4．
【题型2】根据概率公式计算概率
【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数 与 轴只有一个交点．
(1)求 的值．
(2)从 ， 中任选一个数记做 ，求使二次函数 的图象开口方向向上的概率．
【答案】(1) 或 ； (2)
【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的结合，二次函数根的
判别式，简单概率的计算，即可．
（1）根据题意，二次函数 与 轴只有一个交点，则 ，解出 ，即可；
（2）根据（1）所求 的值，根据二次函数 图象开口方向向上，则 ，进行解答，即可．
解：（1）∵二次函数 与 轴只有一个交点
∴ 有两个相等的实数根
∴
解得： 或 ．
（2）由（1）得 或 ，
∴当 时， ； ；
当 时， ； ；
∴ ， 对应值为 ， ， ， ；∵二次函数 的图象开口方向向上，
∴ ，
∴二次函数 的图象开口方向向上的概率为： ．
【变式1】（2024·浙江·中考真题）一个三位数，其任意两个相邻数字之差的绝对值如果不超过1，则称
该三位数为“平稳数”．现在用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数中，是“平稳
数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了简单概率的计算，根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳
数”，根据概率公式即可求解．
解：依题意，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，
可能结果有123，132，213，231，312，321，共六种可能，
只有123，321是“平稳数”，
∴恰好是“平稳数”的概率为 ．
故选：B．
【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期中）从3，0， ， ， 这五个数中，随机抽取一个数作为
m的值，则使函数 的图象经过第一、第三象限，且使关于x的方程 有实
数根的概率是 ．
【答案】 /0.6
【分析】根据一次函数图象的性质可得 的值为： ，根据一元二次方程有实数根的情况可得
的值为： ，由此可得既满足一次函数，又一元一次方程有实数根的值有： ，由概率公式即可
求解．
解：∵函数 的图象经过第一、第三象限，
∴ ，
解得， ，已知 ，
∴满足一次函数时，从3，0， ， ， 这五个数中，随机抽取一个数作为m的值，则 的值为：
；
∵关于x的方程 有实数根，
∴ ，
解得， ，
已知 ， ，
∴满足一元二次方程有实数根时，从3，0， ， ， 这五个数中，随机抽取一个数作为m的值，
则 的值为： ；
∵从3，0， ， ， 这五个数中，随机抽取一个数作为m的值，
∴既满足一次函数，又一元一次方程有实数根的值有： ，
∴既满足一次函数，又一元一次方程的 的值的概率为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了概率的计算，一次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，由二次函数
图象的性质求不等式的解集，无理数的估算，掌握一次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系
的计算，二次函数图象求不等式的方法是解题的关键．
【题型3】已知概率求数量
【例3】（22-23七年级下·四川达州·期末）在一个不透明的布袋中装有8个红球和16个白球，它们除颜
色不同外其余都相同．
(1)求从布袋中摸出一个球是红球的概率；
(2)现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从布袋中摸出一个球是红球的
概率是 ，问取走了多少个白球？
【答案】(1) ； (2)取走了7个白球
【分析】本题考查了概率的知识 ．
（1） 用红球的个数除以球的总共个数可求从布袋中摸出一个球是红球的概率；（2） 设取走了 个白球， 根据从布袋中摸出一个球是红球的概率是 ，列出方程求解即可 ．
熟知概率公式是关键．
解：（1） （从布袋中摸出一个球是红球） ；
（2）设取走了 个白球， 根据题意得
，
解得： ．
答： 取走了7个白球 ．
【变式1】在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中红球4个，黄球3个，其余
的为绿球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的可能性为 ，则袋中绿球的个数是（ ）
A．12 B．5 C．4 D．2
【答案】B
【分析】首先设袋中白球的个数为x个，然后根据概率公式，可得： = ，解此分式方程即可求
得答案．
解：设袋中白球的个数为x个，
根据题意得： = ，
解得：x=5.
经检验：x=5是原分式方程的解，
∴袋中白球的个数为5个.
故答案选B.
【点拨】本题考查的知识点是概率公式，解题的关键是熟练的掌握概率公式.
【变式2】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）一个不透明布袋里只装有n个红球和3个白球（除颜色
外其余都相同），从中任意摸出一个球是红球的概率为 ，则n的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了概率的计算，分式方程的运用，掌握随机事件概率的计算公式是解题的关键．
确定红球的数量，总的数量，根据任意摸出一个球是红球的概率为 ，列式求解即可．解：有n个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），任意摸出一个球是红球的概率为 ，
∴ ，
解得， ，
检验，当 时，原分式方程有意义，
∴n的值为 ，故答案为：6 ．
【题型4】几何概率
【例4】（24-25九年级上·浙江·期中）如图，阴影部分是抛物线 与 轴围成的封闭图形，为
了估计阴影部分的面积，在矩形 中随机产生1000个点，落在阴影部分的点数为700个，则阴影部
分面积的近似值为 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形的性质，二次函数的图象与性质，二次函数与x轴和y轴的交点，几何概率，求出
矩形 的面积是解题的关键．首先求出 ， ，得到 ，然后求出 ，求
出矩形 的面积为 ，然后利用几何概率公式求解即可．
解：∵
∴令 ，即
解得 ，
∴ ，
∴
当 时，
∴抛物线 的顶点坐标为(0,2)∴
∴矩形 的面积为
∵在矩形 中随机产生1000个点，落在阴影部分的点数为700个，
∴阴影部分面积的近似值为 ．故答案为： ．
【变式1】（23-24九年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形
内画半圆，在正方形内随机取点，则此点来自阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．本题考查了几何概率的知识，解题的
关键是求得阴影部分的面积，难度不大．
解：如图，图中四个半圆都通过正方形的中心，用正方形的面积减去四空白的面积，剩下的就是阴影部
分的面积，而正方形的面积减去两个半圆的面积就得两个空隙的面积，
∴所求阴影部分的面积为 ．
∵正方形的面积为 ，
故正方形内随机取点，则此点来自阴影部分的概率是 ，
故选：B．
【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，正方形内接于 ，随机向该圆形区域投掷飞镖1次，
假设飞镖投中圆形区域中的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中，则重投1次），则飞镖恰好投
中在正方形区域内的概率是 ．【答案】
【分析】本题考查了几何概率．设正方形的边长为a，则圆的直径为 ，求出正方形的面积
为 ，圆的面积为 ，然后用正方形的面积除以圆的面积即可求解．
解：设正方形的边长为a，则圆的直径为 ，
∴正方形的面积为 ，圆的面积为 ，
∴飞镖恰好投中在正方形区域内的概率是 ．
故答案为： ．
【变式4】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，
将 绕点B按逆时针方向旋转30°后得到 ，现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴
影部分概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查几何概率，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明阴影部分的面积 三角形 的面积，求出三角形 的面积，可得结论．
解：如图，过点 作 于点 ．
， ， ，
，
由旋转变换的性质可知 ， ，
，
，
， ，
现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为 ．
故答案为： ．
【题型5】列举法求概率
【例5】（2024·湖北宜昌·二模）已知：甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球比赛．
(1)若四位选手进行单循环（即每位选手与其他选手打一场比赛）单打比赛，一共要打多少场比赛；
(2)若四位选手进行双打比赛，求甲、乙两位同学配对的概率．
【答案】(1)一共要打6场比赛； (2) .
【分析】本题主要考查列举法求概率：
（1）运用列举法列出所有情况即可；
（2）运用列举法列出所有配对情况，再根据概率公式求解即可
解：（1）四位选手进行单循环比赛的情况为：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）共6种情况；
所以，一共要打6场比赛
（2）甲、乙、丙、丁4位同学共有6种配对情况：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），
（乙，丁），（丙，丁），其中甲、乙两位同学配对的有1种，
所以，甲、乙两位同学配对的概率 ．
【变式1】（24-25九年级上·贵州毕节·期中）在三张卡片上分别标上数字 ，2， ，先从这三张卡片
中随机抽出一张记所标数字为a，然后放回打乱，再从中随机抽出一张记所标数字为b，则一次函数
的图象经过第二象限和第三象限的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，列举法求概率．熟练掌握一次函数的图象与性质，列举法
求概率是解题的关键．
由题意知，当 或 时，一次函数 的图象经过第二象限和第三象限，然后
列举所有的情况，进行求解作答即可．
解：由题意知，当 或 时，一次函数 的图象经过第二象限和第三象限，
由题意知，有 ， ， ， ， ， ， ， ， 共9种
等可能的结果，
其中使一次函数 的图象经过第二象限和第三象限，有 ， ， ， ，
共5种等可能的结果，
∴一次函数 的图象经过第二象限和第三象限的概率为 ，
故选：D．
【变式2】（24-25九年级上·河南焦作·期中）小颖有红、黄、蓝三支彩笔，这三支彩笔的笔杆与笔帽的
颜色一致，完成绘画后她随机将三个笔帽盖在笔杆上，每个笔帽与笔杆的颜色都不匹配的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查了用列举法求概率．列出所有可能出现的结果，再找出每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的结果，利用概率公式计算即可求解，正确列出所有可能出现的结果是解题的关键．
解：由题意可得，共有 种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；黄红，蓝
黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝；
其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有 种结果，
∴每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是 ，
故答案为： ．
【题型6】列表示或树状图求概率
【例6】（24-25九年级上·全国·阶段练习）某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活
动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了
两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)这次调查的学生共 名．
(2)请将条形统计图补充完整，扇形统计图中“进取”所对应的圆心角是 ．
(3)如果要在这5个主题中任选两个进行调查，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注平等、感恩两个
主题的概率．（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）
【答案】(1)280; (2)补图见解析， ; (3) .
【分析】本题考查了补全条形统计图，圆心角的度数，运用列表或树状图求概率，解决此题的关键是读
懂题意，根据图表得到需要的信息．
（1）根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学生总数即可；
（2）求出“互助”与“进取”的学生数，补全条形统计图，求出“进取”占的圆心角度数即可；
（3）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到“B”与“C”的情况数，即可求出所求的概
率．解：（1） （名），
答：这次调查的学生共有280名，
故答案为：280；
（2） （名）， （名），
补全条形统计图，如图所示，
根据题意得： ， ，
答：“进取”所对应的圆心角是 ，
故答案为： ；
（3）用树状图为：
共有20种等可能的结果，恰好选到“B”和“C”有2种，
∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是 ．
【变式1】（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关A，
B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等
可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况，
∴小灯泡发光的概率为 ，
故选：A．
【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）从 ，2，3，4这四个数中随机抽取两个不同的数，
分别记作a和b．若点A的坐标记作 ，则点A在函数 上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查的是二次函数的性质，用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列
出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点
为：概率等于所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果
数，然后再用概率公式求解即可．
解：列表得：
2 3 42
3 (−2,3) (2,3)
4
由表格可得，共有12种等可能出现的结果，其中在函数 上的有 种，
故若点A的坐标记作 ，则点A在函数 上的概率是 ，
故选：B．
【变式3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被
国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“芒种”
“秋分”“小雪”四张邮票中的两张送给好朋友小翠．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全
相同），让小翠从中随机抽取两张，则小翠抽到的两张邮票恰好是“立春”和“小雪”的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率．正确的列出表格或画出树状图是解题关键；
设“立春”“芒种”“秋分”“小雪”四张邮票分别为A、B、C、D，画树状图，由图则得可能所有可能
结果数，及抽到的两张邮票恰好是“立春”和“小雪”的结果数，即可求得概率．
解：设“立春”“芒种”“秋分”“小雪”四张邮票分别为A、B、C、D，画树状图如下：
由图知，共有12种等可能结果，而小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“小雪”的可能结果有2种，
则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“小雪”的概率为： ．
故答案为： ．
【题型7】游戏的公平性
【例7】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡
片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为 ，然后放回洗
匀，背面朝上放在桌面上，再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为 ，组成一数对 ．
(1)请写出 所有可能出现的结果；
(2)甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数则甲赢，数
字之和为偶数则乙赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】(1) ， ， ， ， ， ， ， ， ; (2)不公平，理由见解析
【分析】本题考查游戏公平性，概率等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）利用列表法解决问题即可．
（2）求出数字之和为奇数的概率，数字之和为偶数的概率即可判断．
解：（1）列表如下：
1 2 3
1
2
3
所有可能出现的结果： ， ， ， ， ， ， ， ， ．
（2）由（1）可得数字之和为奇数的概率 ，数字之和为偶数的概率 ，
，
这个游戏不公平．
【变式1】（21-22九年级·浙江宁波·阶段练习）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，
2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这
两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的
是（ ）
A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线
上甲获胜，所确定的点在直线 上乙获胜
B．取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜C．取出的两个数乘积小于20时甲得3分，否则乙得6分，游戏结束后，累计得分高的人获胜
D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜
【答案】A
【分析】利用列表法分别求出各选项中各自情况情况数即可得出答案．
解：在 上的点有 ， ， ， 四点；在 上的点有 ， ， 三点，
因此该游戏不公平，故A符合题意；
取出两个数的乘积不大于15的有5、6、7、8、10、12、14、15共8种情况，取出两个数的乘积大于
15的有16、18、20、21、24、24、28、32共8种情况，因此该游戏公平，故B项不符合题意；
取出的两个数乘积小于20的情况数为10种，可得 分，取出的两个数乘积不小于小于20的
情况数为6种，可得 分，因此该游戏公平，故C项不符合题意；
取出的两个数相加和为奇数有8种，和不为奇数的有8种，因此该游戏公平，故D项不符合题意
故答案为：A．
【点拨】本题主要考查了游戏的公平性，求出各选项中对应情况数是解题的关键．
【变式2】（21-22七年级下·北京顺义·期末）如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，
规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或
3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜．
若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则 （填“甲”
或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的
方案是 ．（只填一种方案即可）
【答案】 甲 取走标记5，6，7的卡片（答案不唯一）
【分析】由游戏规则分析判断即可作出结论．
解：若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，为4，5或5，
6， 则剩余的卡片为1，6或1，4，然后乙只能取走一张卡片，最后甲将一张卡片取完，则甲一定获胜；
若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下：
乙取走5，6，7，则甲再取走4和8中的一个，最后乙取走剩下的一个，则乙一定获胜，
故答案为：甲；5，6，7（答案不唯一）．
【点拨】本题考查游戏公平性，理解游戏规则是解答的关键．
【题型8】求某事件的频率与概率【例8】（24-25九年级上·四川成都·期中）一个不透明的袋子中共装有 个小球，其中 个红球， 个白
球， 个黄球． 这些小球除颜色外都相同，将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，
记作随机摸球 次．
(1)随机摸球 次，其中摸出黄球 次，则这 次摸球中，摸出黄球的频率是 ．
(2)随机摸球 次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
【答案】(1) ; (2)两次摸出的小球都是红球的概率为 ，列表见解析
【分析】本题考查求频率，画树状图或列表法求概率，概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的
方法是解题的关键．
（1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可；
（2）列表可知共有 种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有 种结果，再利用概率公式求解
即可．
解：（1）由题意得，摸出黄球的频率是 ，
故答案为： ；
（2）列表如下：
红 红 白 白 黄
红 （红 ，红 ） （红 ，红 ） （红 ，白 ） （红 ，白 ） （红 ，黄）
红
（红 ，红 ） （红 ，红 ） （红 ，白 ） （红 ，白 ） （红 ，黄）
白 （白 ，红 ） （白 ，红 ） （白 ，白 ） （白 ，白 ） （白 ，黄）
白
（白 ，红 ） （白 ，红 ） （白 ，白 ） （白 ，白 ） （白 ，黄）
黄 （黄，红 ） （黄，红 ） （黄，白 ） （黄，白 ） （黄，黄）
共有 种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有 种结果，
两次摸出的小球都是红球的概率为 ．
【变式1】（20-21八年级上·河南周口·期末）已知数据： ， ， ， ， ．其中无理数出现
的频率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据无理数的定义和“频率=频数÷总数”计算即可．
解：共有5个数，其中无理数有 ， ，共2个
所以无理数出现的频率为2÷5=0.4．
故选B．
【点拨】此题考查的是无理数的判断和求频率问题，掌握无理数的定义和频率公式是解决此题的关键．
【变式2】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）一组数据分成四组后前三组的频率分别是
，则第四组频率为
【答案】0.3/
【分析】本题考查了随机事件的频率和为1，由此即可求解．
解：根据题意，第四组频率为 ，
故答案为：0.3 ．
【题型9】由频率估计概率
【例9】（24-25九年级上·贵州毕节·期中）下表记录了某纺织厂对一批衬衣进行抽检统计的结果
抽取件数n 50 100 150 200 500 800 1000
合格数m 48 93 143 189 478 759 952
合格率 a
(1) ______；
(2)估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率为______；（精确到 ）
(3)若从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有多少件？
【答案】(1) ; (2) ; (3)60件.
【分析】本题考查用频率估计算概率，频率计算公式，求出合格品的频率是解题的关键．
（1）根据合格率 ，计算即可；
（2）求出合格品的频率 ，由此估计出合格品的概率；
（3）根据次品数 ，计算即可．
解：（1） ，
故答案为： ．
（2）抽查总体件数： ，合格品数： ，
∴抽合格品的频率为： ，
∴估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率约为 ，
故答案为： ．
（3） （件），
答：从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有60件．
【变式1】（24-25九年级上·四川成都·期中）二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将
二维码打印在面积为 的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机
掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在 左右，则据此估计此二维码中黑色阴影
的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值
即为概率值。根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为 ，即黑色阴
影的面积占整个面积的 ，据此求解即可．
解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在 左右，
∴点落在黑色阴影的概率为 ，
∴黑色阴影的面积占整个面积的 ，
∴黑色阴影的面积为 ．
故选：A．
【变式2】（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球
的个数，小明在袋中放入 个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一
个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 左右，则袋中红球约有 个．
【答案】
【分析】本题考查了用频率估计概率，设袋中红球约有 个，由题意可得 ，据此即可求解，
掌握随着实验次数的增大时，事件出现的频率稳定在事件发生的概率附近是解题的关键．
解：设袋中红球约有 个，
由题意得， ，
解得 ，
∴袋中红球约有 个，
故答案为： ．
【题型10】由频率估计概率的综合应用
【例10】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，
这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再
把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据：
摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000
摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252
摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）；
(2)试估算盒子里白球有 个；
(3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是
（填写所有正确结论的序号）．
①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上．
②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”．
③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”．
④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项．
【答案】(1) ; (2) ; (3)③④
【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具
体数目 总体数目 相应频率．
（1）由表中 的最大值所对应的频率即为所求；
（2）根据白球个数 球的总数 得到的白球的概率，即可得出答案；（3）试验结果在 附近波动，即其概率 ，计算四个选项的概率，约为 者即为正确答案．
解：（1）由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；
故答案为： ；
（2）根据题意得： （个），
故答案为： ；
（3）①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为 ，故此选项不符合题意；
掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”的概率
为 ，故此选项不符合题意；
从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为 ，故此选项符
合题意；
在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项的概率为 ，故此选项符合
题意．
故答案为：③④．
【变式1】（22-23九年级上·河北唐山·期末）一个口袋里只有黑球10个和若干个黄球，从口袋中随机摸
出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由
此估计袋中共有球的个数是（ ）
A．6 B．10 C．15 D．25
【答案】D
【分析】先计算出黄球频率，再频率的值接近于概率，再根据黄球的概率求解即可．
解：设袋中共有x个球，则黄球的个数为 ，
∵黄球的概率近似为 ＝ ，
∴ ，解得 ，
经检验： 是分式方程的解．
故选D．
【点拨】本题主要考查利用频率估计概率、分式方程的应用等知识点，掌握大量反复试验下频率稳定值
即概率是解答本题的关键．【变式2】（23-24九年级上·山西吕梁·期末）爱好收藏的张同学将收集到的500张关于山西十大景点的
卡片（它们分别是五台山、平遥古城、云冈石窟、晋祠、洪洞大槐树、壶口瀑布、雁门关、悬空寺、绵
山、皇城相府）放到一个不透明的盒子里反复抽取多次（抽取后放回并摇匀），发现抽到“云冈石窟”
卡片的频率稳定在 左右，则估计收集到的“云冈石窟”卡片张数是 ．
【答案】75
【分析】本题主要考查了用频率估计概率、概率的应用等知识点，根据频率稳定在 左右估计概率为
是解题的关键．
先抽到“云冈石窟”卡片的为 ，再用500乘以概率即可解答．
解：∵发现抽到“云冈石窟”卡片的频率稳定在0.15左右，
∴抽到“云冈石窟”卡片的概率为 ，
∴估计收集到的“云冈石窟”卡片张数是
故答案为：75．
第三部分【直通中考与拓展延伸】
【题型11】直通中考
【例1】（2023·四川资阳·中考真题）第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7
月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B
（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将
调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查共抽取了 名学生，并补全条形统计图；
(2)求A所在扇形的圆心角度数；(3)学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列
举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率．
【答案】(1)500，补全图形见解析; (2) ; (3) .
【分析】本题考查了列表法与树状图法，条形统计图，扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，
熟练掌握列表法与树状图法是解题的关键．
（1）用 的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数，用调查总人数减去A（非常关注）、C
（很少关注）、D（没有关注）三个选项的人数即可得到B（比较关注）选项的人数，即可补全条形图；
（2）用 乘以 的人数所占比例即可解答；
（3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙同时被选中的结果数，最后依据概率计算公式求
解即可；
解：（1）本次调查共抽取了 （名）．
选项B的人数为 （人）．
补全条形统计图如图所示．
（2）A所在扇形的圆心角度数为 ；
（3）列表如下：
甲 乙 丙 丁
（甲，
甲 （甲，乙） （甲，丁）
丙）
（乙， （乙，
乙 （乙，丁）
甲） 丙）
（丙，
丙 （丙，乙） （丙，丁）
甲）
（丁， （丁，
丁 （丁，乙）
甲） 丙）
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙同时被选中的结果有2种，
∴甲、乙同时被选中的概率为 ．
【例2】（2024·江苏镇江·中考真题）有甲、乙两只不透明的袋子，每只袋子中装有红球和黄球若干，各
袋中所装球的总个数相同，这些球除颜色外都相同．实践组用甲袋、创新组用乙袋各自做摸球试验：两
人一组，一人从袋中任意摸出1个球，另一人记下颜色后将球放回并搅匀，各组连续做这样的试验，将
记录的数据绘制成如下两种条形统计图：
(1)__________图能更好地反映各组试验的总次数，__________图能更好地反映各组试验摸到红球的频数
（填“A”或“B”）；
(2)求实践组摸到黄球的频率；
(3)根据以上两种条形统计图，你还能获得哪些信息（写出一条即可）？
【答案】(1) ， ； (2) ；(3)实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）．
【分析】本题主要考查了频率分布直方图，概率的计算公式，解题关键是正确判断．
（1）直接判断得 图能更好地反映各组试验的总次数， 图能更好地反映各组试验摸到红球的频数；
（2）用频率公式可得 ；
（3）实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）．
解：（1） 图能更好地反映各组试验的总次数， 图能更好地反映各组试验摸到红球的频数；
故答案为： ， ．
（2）实践组摸到黄球的频率 ；
（3）实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）．
【题型12】拓展延伸
【例1】（2024·安徽合肥·一模）“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B
绘画，C舞蹈，D乐器，E武术共五类兴趣班．为了解学生对这五类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列
问题．
(1)本次抽取调查的学生共有______人， ______， ______，并补全条形统计图；
(2)估计该校2600名学生中喜爱“乐器”兴趣班的人数约为______人；
(3)九（1）班有王红和李明等五人参加了“乐器”兴趣班，在班级联欢会上，班主任从他们中随机抽取两
人上台共奏一曲，请用“列表法”或“画树状图法”，求出王红和李明至少有一人参与演奏的概率．
【答案】(1)50，20，10，详见解析; (2)260; (3)
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图和扇形统计图、利用列举法求
概率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键．
（1）根据喜欢绘画的条形统计图和扇形统计图信息即可得本次抽取调查学生的总人数，再计算各项所占
百分比即可得；
（2）根据喜爱“乐器”兴趣班所占百分比，由总体人数求出喜爱“乐器”兴趣班的人数；
（3）先画出树状图，从而可得甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果，再找出两人恰好选
择同一类的结果，然后利用概率公式计算即可得．
解：（1）本次抽取调查的学生总人数为 （人），
喜欢“绘画”兴趣班的百分比为 ， ；
喜欢“乐器”兴趣班的百分比为 ， ；
喜欢“书法”兴趣班的人数： （人）；喜欢“乐器”兴趣班的人数：
（人））
补全条形统计图如图：故答案为： 50，20，10．
（2）喜欢“乐器”兴趣班的百分比为 ，
估计该校2600名学生中喜爱“乐器”兴趣班的人数约为 （人）
故答案为：260；
（3）把王红和李明分别记为a，b，其他3位同学分别记为c，d，e，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中王红和李明至少有一人参与演奏的结果有14种，
王红和李明至少有一人参与演奏的概率 ．
【例2】（21-22九年级下·福建福州·期中）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可
抽奖．抽奖规则如下：
1．抽奖方案有以下两种：
方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15
元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；
方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，
否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．
2．抽奖条件是：
顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方
案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）．
已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元．
(1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率；
(2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由．
【答案】(1) ；(2)选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．理由见解析
【分析】（1）利用列表法表示获得奖金15元所有可能出现结果情况，进而求出相应的概率即可；
（2）由种抽奖方案，即：2次都选择方案A，1次方案A1次方案B，1次方案B，分别求出各种情况下获
得奖金的平均值即可．
解：（1）由于某顾客在该商场购买商品的金额为250元，只选择方案进行抽奖，因此可以抽2次，由抽
奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元，
从1个红球，2个白球中有放回抽2次，所有可能出现的结果情况如下：
共有9种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的有4种，
所以该顾客只选择根据方案A进行抽奖，获奖金为15元的概率为 ；
（2）①由（1）可得，只选择方案A，抽奖2次，获得15元的概率为 ，获得30元（2次都是红球）的
概率为 ，两次都不获奖的概率为 ，
所以只选择方案A获得奖金的平均值为：15× +30× =10（元），
②只选择方案B，则只能摸奖1次，摸到红球的概率为 ，因此获得奖金的平均值为：10× ≈6.7
（元），
③选择方案A1次，方案B1次，所获奖金的平均值为：15× +10× ≈11.7（元），
因此选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．【点拨】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解
答的前提．
