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专题 24.19 四点共圆（4 种判定方法 7 类题型）（方法梳理与题型分
类讲解）
第一部分【模型梳理与题型目录】
【判定方法1】若一个点到四个点的距离相等，则这四个点共圆．
【判定方法2】若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．
【判定方法3】共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．
【判定方法4】对于凸四边形ABCD，若对角互补，则A、B、C、D四点共圆.
题型目录
【题型1】判定方法1.........................................................1
【题型2】判定方法2.........................................................4
【题型3】判定方法3.........................................................7
【题型4】判定方法4........................................................10
【题型5】四点共圆综合......................................................15
【题型6】直通中考..........................................................21
【题型7】拓展延伸..........................................................25
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】判定方法1
【例1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示，在 中， ， 分别是 ， 边上的
高，求证： ， ， ， 四点在同一个圆上．
【分析】求证 ， ， ， 四点在同一个圆上， 是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心
的圆上，因而只要再证明 到 得中点的距离等于 的一半就可以．此题主要考查了确定圆的条件，求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等．
证明：如图所示，取 的中点 ，连接 ， ．
， 是 的高，
和 都是直角三角形．
， 分别为 和 斜边上的中线，
．
， ， ， 四点在以 点为圆心， 为半径的圆上．
【变式1】如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，则∠CBD的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】A
解：
如图，AB=AC=AD
∵
，故选A．
【变式2】（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，等边 中， ， 为 上一动点，
， ，则 最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，连接 ，取 的中点O，连接 ， ，过点O作 于H，首先证明
是顶角为 的等腰三角形，当 的值最小时， 的值最小，即可求出 的最小值．
解：如图，连接 ，取 的中点O，连接 ， ，过点O作 于H，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴C、D、P、E四点共圆，
∴ ，
∴当 的值最小时， 的值最小，
根据垂线段最短可得，当 时， ，此时 最小， ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值最小为 ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查了四点共圆、垂线段最短、圆周角定理、含 角的直角三角形的性质、等腰直角三角
形的判定与性质等知识；正确判断当 时 最小是解题的关键
【题型2】判定方法2
【例2】（20-21九年级上·四川南充·期中）如图， ， 分别是 的高，求证： 、 、 、
四点共圆．
【分析】取AB的中点O，连接DO、HO，根据BD，AH分别是△ABC的高，可得△DAB和△HAB都是直角
三角形，斜边都是AB，而点O为斜边中点，则有DO＝HO＝ AB＝AO＝BO，也就是说以O为圆心、OA
为半径的圆，点D、H、B也在这个圆上，即可证明A、B、H、D四点共圆．
证明：如图，取 的中点 ，连接 、 ，
∵BD，AH分别是ΔABC的高，
和 都是直角三角形，且它们的斜边都是 ，
∵点 为斜边中点，，
也就是说，点 、 、 在以 为圆心、 为半径的圆上，
即点 、 、 、 都在以 为圆心、以 为半径的圆上，
故可得： 、 、 、 四点共圆．
【点拨】本题考查了四点共圆，解答本题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得四
点共圆．
【变式1】（19-20九年级上·江苏南京·期中）如图①，若BC是Rt ABC和Rt DBC的公共斜边，则
A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图△②， ABC△的三条高AD、BE、CF相
交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（ ） △
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．
解：如图，
以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），
以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），
以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），
以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），
以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），
以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），
共6组．故选D．
【点拨】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共
圆．
【变式2】（2023·福建福州·模拟预测）如图，在 中， ，点D是 左侧
一点，连接 ， ， ，若 ， ， ，则 的长是（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】A
【分析】过点C作 交 于点E，取 的中点O，连接 ， ，判断出A，B，C，D四点都
在以 为直径，点O为圆心的圆上，利用圆的性质即可求解．
解：过点C作 交 于点E，取 的中点O，连接 ， ，如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
所以A，B，C，D四点都在以 为直径，点O为圆心的圆上，
∵在 中， ，
所以 ，
∵ ， ，
∴
故 ，
∴ ，是等腰直角三角形，
∵ ，
所以 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，四点共圆的判定及等腰三角形的性质，正确做出辅助线
是解题的关键．
【题型3】判定方法3
【例3】（21-22九年级上·福建福州·期中）如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将 ABC
绕A点顺时针旋转得到 ADE，使D点落在BC边上．
（1）求∠BAD的度数；
（2）求证：A、D、B、E四点共圆．
【答案】（1）10°；（2）见解析
【分析】（1）由三角形内角和定理和已知条件求得∠C的度数，由旋转的性质得出AC＝AD，即可得出
∠ADC＝∠C，最后由外角定理求得∠BAD的度数；
（2）由旋转的性质得到∠ABC＝∠AED，由四点共圆的判定得出结论．
解：（1）∵在Rt ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠C＝50°，
∵将 ABC绕A点顺时针旋转得到 ADE，使D点落在BC边上，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠C＝50°，
∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝50°，
∴∠BAD＝50°－40°＝10°
证明（2）∵将 ABC绕A点顺时针旋转得到 ADE，
∴∠ABC＝∠AED，
∴A、D、B、E四点共圆．【点拨】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、外角定理以及四点共圆的判定，解题的关键是理
解旋转后的图形与原图形对应边相等，对应角相等．
【变式1】（2024·浙江金华·二模）如图， 和 都是等边三角形， ，连接 ， ，
F为直线 ， 的交点，连接 ，当线段 最长时， 的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，圆中最长的弦相关问题，解直
角三角形，得出 四点共圆是解题的关键．证明 ，得出 四点共圆，
进而作 的外接圆，当 为直径时， 取得最大值，即可求解．
解：∵ 和 都是等边三角形，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴ 四点共圆，
如图所示，作 的外接圆，当 为直径时， 取得最大值，∵
∴
∵ 为直径
∴
∴ ，
故选：B．
【变式2】（22-23九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在四边形ABCD中， ，
， ，若 ， ，则线段AC的长为 ．
【答案】
【分析】连接BD，过B作BH⊥AC于H点，根据△BCD是直角三角形，可证明∠BAC=∠BDC，则有A、
B、C、D四点共圆，进而有BD是该圆的直径，可得∠BAD=90°，利用勾股定理可得 ，则有
， ，根据BH⊥AC，可得△ABH、△BCH是直角三角形，则有∠ABH=30°，即 ，利用勾股定理可得 ，再在△BCH是直角三角形，可得
，问题即可得解．
解：连接BD，过B作BH⊥AC于H点，如图，
∵∠BCD=90°，
∴△BCD是直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在Rt△BCD中，∠DBC=30°，
即∠BDC=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAC=∠BDC，
∴A、B、C、D四点共圆，
∵∠BCD=90°，
∴BD是该圆的直径，
∴∠BAD=90°，
∵AB=5，AD=2，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵BH⊥AC，
∴△ABH、△BCH是直角三角形，∵∠BAC=60°，
∴∠ABH=30°，
∴ ，
即 ，
∵△BCH是直角三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了勾股定理、四点共圆、圆周角定理以及含30°角的直角三角形的性质等知识，利用四
点共圆是解答本题的关键．
【题型4】判定方法4
【例4】（22-23九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形 中， ，对角线 平分
， ，且 ．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析； (2)
【分析】（1）由题意推出 ，从而得到 、 、 、 四点共圆，进而得出结论即可；
（2）首先根据已知信息求出 ，再结合四点共圆的结论，在 中求解 即可．（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 、 、 、 四点共圆，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ 、 、 、 四点共圆，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ．
【点拨】本题考查四点共圆的证明、圆的内接四边形的性质，以及解直角三角形等，掌握圆当中的重要
结论，准确求解直角三角形是解题关键．
【变式1】（2023·辽宁鞍山·一模）如图，一套三角板（ 和 ）斜边恰好重合，点 与点
在 边两侧，连接 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】利用对角互补证四点共圆，再利用圆周角定理求解即可．
解：∵ 和 是一套三角板，
∴ ，
∴ ，
∴ 四点共圆，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查了四点共圆和圆周角定理，掌握四点共圆的条件是解题的关键．
【变式2】（2023·重庆铜梁·模拟预测）如图，正方形 的对角线交于点 ， 是正方形外一点，
且 ，连接 若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过 作 于 ，由四边形 是正方形， ，得 ， ，
，证明 ， ， ， 四点共圆，可得 是等腰直角三角形，故
， ，在 中，可得 ，从而
．
解：过 作 于 ，如图：四边形 是正方形， ，
， ， ，
，
，
，
， ， ， 四点共圆，
，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
在 中，
，
，
故选：B．
【点拨】本题考查正方形的性质及应用，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，
解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，用勾股定理解决问题．
【变式3】（23-24九年级上·山东日照·期中）如图，等边 中， ，P为 上一动点，
，则线段 的最小值为 ．【答案】3
【分析】连接 ，取 的中点O，连接 过点O作 于H．首先证明 是顶角为
的等腰三角形，当 的值最小时， 的值最小，求出 的最小值，可得结论．
解：如图，连接 ，取 的中点O，连接 过点O作 于H．
∴ 是等边三角形，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴C，D，P，E四点共圆，
∴ ，
∴当 的值最小时， 的值最小，
根据垂线段最短可知，当 时， ，此时 的值最小， ，
∵ ，
∴ ，∴ ,
∴ ，
∴ 的最小值为3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查四点共圆、圆周角定理、垂径定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；正确判断当
时 最小是解题的关键．
【题型5】四点共圆综合
【例7】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读理解：
（1）问题初现：如图1，在 中， ，D是 外一点，且 ，则
；
思路：若以点A为圆心， 为半径画 ，则点C、D必在 上， 是 的圆心角，而
是圆周角，从而可容易得到 的度数；
（2）问题解决：如图2，在四边形 中， ，求 的度数；
思路：可以通过证明A、B、C、D四点共圆，再利用圆周角的性质求出∠BAC的度数．请写出详细的解
题过程．
（3）问题拓展：如图3，在 中， ， 是 边上的高，且 ，则 ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解；
（2）由A、B、C、D共圆，得出 ；
（3）作 的外接圆，过圆心O作 于点E，作 于点F，连接 ．利用圆周角定理推知 是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得 ；在等腰 中，利用
勾股定理得到 ，进而求解．
解：（1）如图，
，
∴以点A为圆心， 长为半径画圆，点B、C、D必在 上，
是 的圆心角，而 是圆周角，
，
故答案为： ；
（2）如图2，取 的中点O，连接 ，
，
∴点 共圆，
，
，
；
（3）如图3，作 的外接圆，过圆心 作 于点于点E，作 于点F，连接
，，
，
在 中， ，
，
，
，O为圆心，
，
．
在 中， ， ，
，
，
∴四边形 是矩形，
，
在 中， ，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了圆的综合题，考查了垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、矩形的
判定与性质以及勾股定理等知识，难度偏大，熟练掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、
矩形的判定与性质以及勾股定理及作出合理的辅助线是解题的关键．
【变式1】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）根据下列四幅图中标注的信息，无法确定 四点在同一个圆上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了四点共圆的条件：若四边形对角互补或两三角形都在这底边的同侧，其顶角相等，
则四点共圆，解决本题的关键是熟练掌握四点共圆的条件，根据四点共圆的条件判断即可．
解：A．由图可得 ，即对角互补的四边形四点共圆，故确定 四点在同一个圆上，
不符合题意；
B．无法确定 四点在同一个圆上，符合题意；
C．由图可得 ，即对角互补的四边形四点共圆，故确定 四点在同一个圆上，不符
合题意；
D．由图可得 ，即两三角形都在这底边的同侧，其顶角相等，故确定 四点在同一个圆
上，不符合题意．
故选：B
【变式2】（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）如图，正方形 中，点E为边 上任一点（不
与C、D重合），作射线 ，过点C作 于点F，连接 ， ．
(1)直接写出 的度数；
(2)判断线段 ， ， 之间的数量关系（用等式表示），并证明你的结论；
(3)过点B作 于点H，直接写出 ， ， 之间的数量关系（用等式表示）．
【答案】(1) ；(2) ；(3) .【分析】（1）连接 ，利用四点共圆，圆周角定理解答即可；
（2）连接 ，过点A作 ，交 的延长线于点H，利用等腰直角三角形的判定和性质，圆的
内接四边形的判定和性质，勾股定理解答即可．
（3）过点C作 于点Q，根据矩形的判定和性质，三角形全等判定和性质，线段和证明即可．
解：（1）连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 四点共圆，
∴ ．
（2） ，证明如下：
连接 ，过点A作 ，交 的延长线于点H，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 四点共圆，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵正方形 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ,
∴ ，
∴ ．
（3）证明： ，证明如下：
过点C作 于点Q，
则四边形 是矩形，
∴ ．∵正方形 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ,
∴ ，
∴
，
∴ ．
【点拨】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性
质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关
键．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型6】直通中考【例6】（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在ΔABC中， ，AB=AC=5，点 在 上，且
，点E是AB上的动点，连结 ，点 ，G分别是BC，DE的中点，连接 ， ，当AG=FG
时，线段 长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点
A，D，F，E四点共圆，∠DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求
解．
解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB
∵在ΔABC中， ，点G是DE的中点，
∴AG=DG=EG
又∵AG=FG
∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径
∴∠DFE=90°
∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点 是BC的中点，
∴CF=BF= ，FN=FM=
又∵FN⊥AC，FM⊥AB，
∴四边形NAMF是正方形
∴AN=AM=FN=
又∵ ，
∴
∴△NFD≌△MFE∴ME=DN=AN-AD=
∴AE=AM+ME=3
∴在Rt△DAE中，DE=
故选：A．
【点拨】本题考查直径所对的圆周角是90°，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形，
掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
【变式】（2023·山东日照·中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究
得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1， 中， （ ）．点D是 边上的一动点（点D不与B，C
重合），将线段 绕点A顺时针旋转 到线段 ，连接 ．
(1)求证：A，E，B，D四点共圆；
(2)如图2，当 时， 是四边形 的外接圆，求证： 是 的切线；
(3)已知 ，点M是边 的中点，此时 是四边形 的外接圆，直接写出圆心P与
点M距离的最小值．
【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析；(3) 。
【分析】（1）根据旋转的性质得到 ，证明 ，进而证明，可以得到 ，由 ，可得 ，即可
证明A、B、D、E四点共圆；
（2）如图所示，连接 ，根据等边对等角得到 ，由圆周角定理得到
，再由 ，得到 ，利用三角形内角和定理证明
，即 ，由此即可证明 是 的切线；
（3）如图所示，作线段 的垂直平分线，分别交 于G、F，连接 ，先求出 ，
再由三线合一定理得到 ， ，解直角三角形求出 ，则
，再解 得到 ，则 ；由 是四边形 的外接圆，可得点P一
定在 的垂直平分线上，故当 时， 有最小值，据此求解即可．
解：（1）证明：由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴A、B、D、E四点共圆；
（2）证明：如图所示，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是四边形 的外接圆，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，
又∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（3）解：如图所示，作线段 的垂直平分线，分别交 于G、F，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵点M是边 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ 是四边形 的外接圆，
∴点P一定在 的垂直平分线上，
∴点P在直线 上，
∴当 时， 有最小值，
∵ ，
∴在 中， ，
∴圆心P与点M距离的最小值为 ．【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，三角形
外接圆的性质，垂线段最短等等，正确作出辅助线是解题的关键．
【题型7】拓展延伸
【例7】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在正方形 中，连接 ，点H和点Q分别在线段
上，若点B、H、Q、C四点共圆，若 ，设 为x，三角形 的面积为y，则y与x的
函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了求函数解析式、圆周角定理、解直角三角形等知识，过点H作 于点M，过
点H作 于点N，则 ，证明四边形 是矩形， 是四边形
的外接圆的直径，求出 ， ， ，得到
，进一步得到 ，即可得到三角形 的面积．解：过点H作 于点M，过点H作 于点N，则 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴四边形 是矩形， 是四边形 的外接圆的直径，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴三角形 的面积 ，
故选：A．
【变式】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称
这四个点共圆，简称“四点共圆”．以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗?
I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的 个顶点共圆（图1、2）；
II．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的 个顶点共圆（图3）；
III．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图4）．【结论证明】（1）在图1、2中，取 的中点 ，根据______得 ，即 ， ， ，
共圆；
（2）在图3中，画 经过点 ， ， （图5）．假设点 落在 外， 交 于点 ，连接 ，
可得 ___ ，与已知条件___得出矛盾；同理点 也不会落在 内，即 ， ， ， 共圆．
结论III同理可证．
【理解应用】利用四点共圆解决下述两个问题：
（3）证明锐角三角形的三条高交于一点．
已知：如图6，锐角三角形 的高 ， 相交于点 ，射线 交 于点 ．求证： 是
的高．
（4）如图7，若二次函数 的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ， 为第二象限上
的点，在直线 上，且 ；若 为 轴上方抛物线上的一动点，令 点横坐标为 ，
当 为何值时， 的面积最大，求出此时 点坐标和最大面积．
【答案】（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2） ； ；（3）见解析；
（4） 时， 有最大值为 ，此时【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明；
（2）根据结论II可得： ，根据 得出 ，根据三角形的外角
大于与它不相邻的任一个内角得出 ，相互矛盾，即可证明点 在 上；
（3）以 ， ， ， 四点作圆，以 ， ， ， 四点作圆，连接 ，根据同圆中，等弧所对的圆
周角相等得出 ， ，推得 ，根据对顶角相等可得
，根据三角形内角和定理得出 ，即可证明；
（4）连接 ，作 中点 ，连接 ，过 作 轴交 于 ，先求出点 、 、 的坐标，
根据勾股定理求出 ，根据中点坐标的公式求出点 的坐标，根据等腰直角三角形的定义可推得
，根据结论III可得 ， ， ， ，共圆，即 在 的外接圆上，推得点 为
的外接圆圆心，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 ，根据待定系数法求
出直线 的解析式为 ，根据坐标系中两点间的距离公式列出方程，求出 的值，得出点 的坐
标；根据待定系数法求出直线 的解析式为 ，根据点 的横坐标得出 ，
，求出 ，根据三角形的面积公式可得 ，根据
二次函数的性质即可求解．
解：（1）连接 、 ，如图：
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得 ， ，
∴ ，
故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（2）假设点 落在 外， 交 于点 ，连接 ，
根据结论II可得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的一个外角，
∴ ，相互矛盾，
故点 在 上；
故答案为： ； ．
（3）证明：以 ， ， ， 四点作圆，以 ， ， ， 四点作圆，连接 ，
∵ ， ， ， 四点共圆，
∴ ，
∵以 ， ， ， 四点共圆，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的边 上的高．
（4）解：连接 ，作 中点 ，连接 ，过 作 轴交 于 ，如图：∵ 的图象与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ， ，共圆，即 在 的外接圆上，
∵ ，
∴点 为 的外接圆圆心，
∴ ，
设直线 为 ，将点 和点 的坐标代入得： ，
解得： ，
直线 为 ，
设 ， ，
解得： 或 （舍去），
∴ ，设直线 为 ，将点 和点 的坐标代入得： ，
解得： ，
直线 为 ，
∵ 点横坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值为 ，
此时 ．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质，三角形外角性质，圆与四边形的综合应用，待定系数法求一次
函数的解析式，两点间的距离，中点坐标，二次函数的综合应用等，解题的关键是用含字母的代数式表
示相关的点坐标、线段长度及三角形面积．
