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专题 24.8 点和圆的位置关系（5 大考点 14 类题型）（知识梳理与题
型分类讲解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点1】点和圆的位置关系
点与圆的位置关系分为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种情况，这三种位置关系与点到圆心的距
离（d）圆的半径（r）之间有着紧密的联系．具体关系如下：
点在圆外 ； 点在圆上 ； 点在圆内 ；
【知识点2】圆的确定
经过两点可作无数个圆，这些圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上.
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
【知识点3】外心
1.三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离
相等.
2.锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外部。
3.三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半.
【知识点3】反证法的一般步骤
1.假设命题反面成立；
2.从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；
3.得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立。
【题型目录】【知识点一】点和圆的位置关系
【题型1】判断点和圆的位置关系.............................................2；
【题型2】利用点和圆的位置关系求半径.......................................3；
【知识点二】圆的确定
【题型3】判断确定圆的条件.................................................4；
【题型4】确定圆心.........................................................4；
【题型5】画圆（尺规作图）.................................................5；
【知识点三】三角形的外接圆
【题型6】求三角形外心坐标.................................................6；
【题型7】求特殊三角形外接圆的半径.........................................7；
【题型8】由外心位置判定三角形的形状.......................................8；
【题型9】判断三角形外接圆圆心位置.........................................9；
【知识点四】反证法
【题型10】举反例..........................................................9；
【题型11】反证法证明中的假设..............................................9；
【题型12】用反证法证明命题................................................9；
【知识点五】中考前沿与拓展延伸
【题型13】直通中考.......................................................10;
【题型14】拓展延伸.......................................................11.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】判断点和圆的位置关系
【例1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系中， 、 、 是 上的三个点，
、 、 ．（1）圆心 的坐标为 ；
（2）判断点 与 的位置关系．
【变式1】（23-24九年级上·全国）如图，在 中， ， ， ， ，
分别是AB上的高线和中线．如果 是以点 为圆心， 为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（
）
A．点 ， 均在 内 B．点 ， 均在 外
C．点 在 内，点 在 外 D．以上选项都不正确
【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）直角坐标平面内，点A(3，0)，点B的坐标为 ，
的半径为4．若点B在 内，则a的范围是 ．
【题型2】利用点和圆的位置关系求半径
【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在三角形 中， ， ， ，
是高线， 是中线．
（1）以点A为圆心，3为半径作圆A，则点 ， ， 与圆A的位置关系如何？
（2）若以点A为圆心作圆A，使 ， ， 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的
半径 的取值范围？
【变式1】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于A、B两点，P是以点 为圆心、2为半径的圆上的动点，Q是线段 的中点，连结 ，则线段 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在 中，点 在弦 上， 于点
，则圆心距 的长为 ；若点 在圆 上动，则 的最小值=
．
【题型3】判断确定圆的条件
【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知 ， ， 三点可以确定一个圆，
则以下 点坐标不满足要求的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法：①三点确定一个圆，②圆的直径是圆的对
称轴，③长度相等的两条弧是等弧，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（2023九年级·全国·专题练习）如图，在矩形 中， 为 的中点， 为 边上的任
意一点，把 沿 折叠，得到 ，连接 ．若 ， ，当 取最小值时，
的值等于 ．【题型4】确定圆心
【例4】（2023·江苏盐城·模拟预测）有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的
弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三
角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块
碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是第 块．
【变式2】（20-21九年级下·全国·课后作业）图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，
∠B=90°，以AD为直径作圆O，证明点C在圆O上；
【题型5】画圆（尺规作图）
【例5】（2020·四川成都·一模）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆
心，OC 长为半径作 ，交射线 OB 于点 D，连接 CD；（2）分别以点 C，D 为圆心，CD 长为半
径作弧，交 于点 M，N；（3）连接 OM，MN，ON．根据以上作图过程及所作图形，若∠AOB＝
20°，则∠OMN= ．【变式1】（2023·内蒙古通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在 中， ．
求作： 的外接圆．
作法：如图2．
（1）分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线 ，交 于点O；
（3）以O为圆心， 为半径作 ， 即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【变式2】（2024·吉林长春·三模）如图，在 中， °， ，要求用无刻度的直尺
和圆规在 内部作一个45°的 ．各小组经过激烈讨论后给出了三种方案：①作 的平分线；
②构造等腰直角三角形；③分别作两个锐角的平分线，图 、图 、图 分别对应其中的一种，根据尺规
作图痕迹，其对应顺序正确的是（ ）A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②
【题型6】求三角形外心坐标
【例6】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在下列 （每个小正方形的边长为1）的网格中，已
知 的三个顶点 在格点上，请分别按不同要求写出点的坐标．
（1）经过 三点有一条抛物线，图中存在点 ，点 落在格点上，同时也落在这条拋物线上，则点
的坐标为______．
（2）经过 三点有一个圆，圆心为点 ，则点 的坐标为______．
【变式1】（23-24九年级上·北京·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，
A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点
的圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为和 ，则 外接圆的圆心坐标是 ．
【题型7】求特殊三角形外接圆的半径
【例7】（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）（1）如图，已知 ，用尺规作图画出 的外接
圆 （不写画法，保留作图痕迹）；
（2）若 是直角三角形，且 ， ，则 的外接圆的半径为______．
【变式1】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，直角坐标系中 ， ， ，经过A，
B，C三点的圆，圆心为M，若线段 ，则点D与 的位置关系为（ ）
A．点D在 上 B．点D在 外 C．点D在 内 D．无法确定
【变式2】（2024·安徽合肥·一模）如图， 内接于 ， 为 的直径， ， ，
则 ．【题型8】由外心位置判定三角形的形状
【例8】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知 是 的外心， 分别是 、
的中点，连接 、 交 于点 ，若 ， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024九年级上·浙江·专题练习）如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一
定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【变式2】（2024·河北邯郸·三模）如图，正方形纸片 的中心 刚好是 的外心，则
（ ）
A． B． C． D．
【题型9】判断三角形外接圆圆心位置
【例9】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，有一破残的圆片，我们需要把它复制完整，已知
弧上的点A、B、C．（1）通过尺规作图，确定A、B、C所在圆的圆心O；
（2）若 是等腰三角形，且底边 ，腰 ，求圆片的半径．
【变式1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习） 的外接圆 的半径 ，则斜边 的
长是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知O是 的外心， ，则
．
【题型10】举反例
【例10】（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）对于命题“如果 ，那么 ．”能说明
它是假命题的反例是（ ）
A． B． ，
C． ， D． ，
【变式】（2024·吉林长春·模拟预测）请举反例说明命题“对于任意实数 ， 一定大于 ”是假命题．
你举的反例是 ．（写出一个值即可）
【题型11】反证法证明中的假设
【例11】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）用反证法证明，若 ，则 时，应假设（ ）
A． B． C． D．
【变式】（23-24八年级下·福建·期末）用反证法证明“直角三角形两锐角中至少有一个不小于 ”，
应先假设这个直角三角形中的每一个锐角都 ．
【题型12】用反证法证明命题
【例12】（2024·广东东莞·三模）综合探究
小明同学在学习“圆”这一章内容时，发现如果四个点在同一个圆上（即四点共圆）时，就可以通过添
加辅助圆的方式，使得某些复杂的问题变得相对简单，于是开始和同学一起探究四点共圆的条件．小明同学已经学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补．因此，他想探究它的逆命题是否
成立，以下是小明同学的探究过程，请你补充完整．
(1)【猜想】“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为：________________________________________，
如果该逆命题成立，则可以作为判定四点共圆的一个依据．
(2)【验证】如图1，在四边形 中， ，请在图1中作出过点 三点的 ，
并直接判断点D与 的位置关系．（要求尺规作图，要保留作图痕迹，不用写作法）
(3)【证明】已知：如图1，在四边形ABCD中， ，
求证：点 四点共圆．
证明：过 三点作 ，假设点D不在 上，
则它有可能在圆内（如图2），也有可能在圆外（如图3）．
假设点D在 内时，如图2，延长 交 于点E，连结AE，
是 的外角， ，
四边形ABCE是 的内接四边形， ，
又 ， ．
这与 相矛盾，所以假设不成立，所以点D不可能在 内．
请仿照以上证明，用反证法证明“假设点D在 外”（如图3）的情形
【变式】（23-24九年级下·江苏南京·自主招生）证明： 是无理数．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型13】直通中考
【例1】（2023·内蒙古·中考真题）如图， 是锐角三角形 的外接圆，
，垂足分别为 ，连接 ．若 的周长为21，则 的长为（ ）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
【例2】（2023·湖南·中考真题）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或
等于 ”．假设三角形没有一个内角小于或等于 ，即三个内角都大于 ．则三角形的三个内角的
和大于 ，这与“三角形的内角和等于 ”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角
小于或等于 ．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
【题型14】拓展延伸
【例1】（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，点A的坐标为 ， 轴于点B，点C为坐
标平面内一点， ，点D为线段 的中点，连接BD，则BD的最小值为 ．
【例2】（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴
交于点 、 ．
（1）若 、 ，求 的坐标；
（2）在 轴上取一点 ，连接BD、 ，若直线 的函数表达式为 ，求直线BD的函
数表达式；
（3）当 时，过 、 、 三点的圆交 轴于点 ，连接 、 ，当 最小时，请直接写出 的值和 的最小值．
