文档内容
专题 24.10 切线的性质与判定（2 大考点 9 类题型）（知识梳理与题
型分类讲解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点一】切线的性质
（1）定理：圆的切线垂直于过切点的半径
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
【要点提示】这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线；②过切点；③过圆心.满足两个条
件，可以得出第三个结论.即：
（1）过圆心+过切点⇒垂直于切线．（2）过圆心+垂直于切线⇒过切点．（3）过切点+垂直于切线⇒过圆
心．
【知识点二】切线的判定
（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
（2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【要点提示】定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论
是“直线是圆的切 线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂
直；②作垂直，证垂直在圆上.
【题型目录】
【题型1】切线说法的辨析.....................................................2
【题型2】判断或补全直线为圆的切线...........................................3
【题型3】利用切线的性质求角度...............................................7
【题型4】利用切线的性质求线段长.............................................9
【题型5】利用切线的性质综合证明与求值......................................13
【题型6】切线的证明........................................................17
【题型7】切线性质与判定综合................................................22
【题型8】直通中考..........................................................29
【题型9】拓展延伸..........................................................30第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】切线说法的辨析
【例1】（23-24九年级上·全国·课后作业）下列直线中可以判定为圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线
C．垂直于圆的半径的直线 D．与圆心的距离等于半径的直线
【答案】D
【分析】根据切线的判定方法逐项分析即可．
解：A．与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；
B．经过半径外端的直线且垂直于半径的直线是圆的切线，故该选项不正确，不符合题意；
C．经过半径外端的直线且与半径垂直的直线是圆的切线，故不正确；
D．与圆心的距离等于半径的直线，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了切线的判定方法，如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相
切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的
切线．
【变式】（2021九年级·浙江·专题练习）如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是
⊙A切线的是（ ）
A．∠A＝50°，∠C＝40° B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2 D．⊙A与AC的交点是AC中点
【答案】D
【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
C、∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，
∴AB是⊙A的半径，
∴BC是⊙A切线；
D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝ AC，但不能证出∠B＝90°，
∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
【点拨】本题考查了切线的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握切线的判定
是解题的关键．
【题型2】判断或补全直线为圆的切线
【例2】（23-24九年级上·河北衡水·阶段练习）如图， 是 的直径， 是 上一点， 是 外
一点，过点 作 ，垂足为 ，连接 ．若使 切 于点 ，添加的下列条件中，不正确的
是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查切线的证明，涉及圆的切线的判定、平行线的判定与性质、圆的性质等知识，根据选
项，逐项判定即可得到答案，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键．
解：A、 ，
，
当 时，则 ，即 ，根据切线的判定， 切 于点 ，该选项正确，不符
合题意；
B、 ，
，则 ，
，
，
当 时，则 ，即 ，根据切线的判定， 切 于点 ，该选
项正确，不符合题意；
C、当 时， ，
，
，
，即 ，根据切线的判定， 切 于点 ，该选项正确，不符合题意；
D、当 时，由 得到 ，则 是等腰三角形，无法确定 ，不能
得到 切 于点 ，该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【变式1】（2021·广东揭阳·一模）如图， 是⊙O的直径， 交⊙O于点 ， 于点 ，下
列说法不正确的是（ ）A．若 ，则 是⊙O的切线 B．若 ，则 是⊙O的切线
C．若 ，则 是⊙O的切线 D．若 是⊙O的切线，则
【答案】A
【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，
OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判
断B选项正确；
若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确；
根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正
确；
若 ，没有理由可证明DE是⊙O的切线．
解：当AB=AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确；当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴CD∥BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，所以D选项正确；
当CD=BD时，又AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确．
若 ，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误．
故选：A．
【点拨】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
【变式2】（21-22九年级上·北京·期末）在下图中， 是 的直径，要使得直线 是 的切线，
需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可）【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）
【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：
∠ABT=∠ATB=45°即可．
解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，
∵∠ABT=∠ATB=45°，
∴∠BAT=90°，
又∵AB是圆O的直径，
∴AT是圆O的切线，
故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．
【点拨】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键．
【题型3】利用切线的性质求角度
【例3】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图， 为 的切线，切点为 ， 交 于点 ，点
在 上．若 的度数是 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆的切线性质、同弧所对圆心角和圆周角的关系，熟记切线的性质是解题的关键．
先根据切线的性质求出 的度数，再根据三角形内角和定理求出 的度数，然后由圆周角定理
即可解答．
解： 切 于点 ，
，
，
，
，
故选：B．
【变式1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图， 是 的切线，A为切点，连接 ，
点C在 上， ，连接 并延长，交 于点D，连接 ，若 ，则 的度数为
．
【答案】 /50度
【分析】此题考查了切线的性质，四边形内角和、等边对等角等知识．利用垂线的性质及切线的性质得
到 和 ，再利用四边形的内角和为 进而可求得 ，再利用等边对等
角及三角形的内角和即可求解．
解： ，
，又 是 的切线，
，
，
又 ，
，
，
又 ，
，
，
故答案为： ．
【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 为 的直径，C、D为 上的点，直线
切 于C点，图中与 互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，余角的定义，
连接 ，由切线的性质得到 ，则 ，再由等边对等角得到
，则 ，根据同弧所对的圆周角相等得到 ，则
，由直径所对的圆周角是直角得到 ，则 ，再根据
度数之和为90度的两个角互为余角即可得到答案．
解：如图所示，连接 ，
∵直线 切 于C点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵度数之和为90度的两个角互为余角，
∴图中与 互余的角有 ，共3个，
故选：C．
【题型4】利用切线的性质求线段长
【例4】（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 是 的直径，点D在 上，过点D作 的切
线 交 的延长线于点C．若 ，则 的半径为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理等知识．
连接 ，由切线的性质得出 ，设 ，由勾股定理得出 ，则可得出答案．
解：连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的半径为6．
故选：B．
【变式1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图， 是⊙ 的直径， 、 、 、 是 上的点，
过点 作为 切线交 延长线于点 ，若 ， ，则 半径是 ．
【答案】
【分析】本题考查切线的性质，连接 ，设 的半径为 ，证明 和 都是等边三角形，得
，继而得到 ，根据切线的性质得 ，，根据 角所对的直角边等于斜边的一半得 ，即可得解．解题的
关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．
解：连接 ，设 的半径为 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 和 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 半径是是 ．
故答案为： ．
【变式2】（23-24九年级下·全国·期中）如图， 是 的半径， 是 的弦， 于点D，
是 的切线， 交 的延长线于点E．若 ， ，则线段 的长为
．【答案】
【分析】根据 ，得出 ， ，根据等腰直角三角形的性质得出
，即 ，根据 ， ，得出 为等腰直角三角形，
即可得出 ．
解：∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，则 ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质，解题的关
键是熟练掌握垂径定理，得出 ．【题型5】利用切线的性质综合证明与求值
【例5】（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图， 是 的直径， 为 上两点， 和
过点 的切线互相垂直，垂足为点 ．
(1)求证： 平分 ．
(2)连接 ，若 ，求 的半径（提示：连接 ）
【答案】(1)证明见解析; (2) .
【分析】（1）连接 ，由切线的性质得到 ，证明 ，得 ，由 ，
得 ，则 ，即 平分 ；
（2）连接 交 于点 ，由 得 ，则 垂直平分 ， 是 的中位
线，则 ，而 ，设 的半径为 ，则 ，根据勾股定理列方程求出 的
值即可．
解：（1）证明：如图，连接 ，
与 相切于点 ，
，
，
，，
，
，
，
平分 ；
（2）解：如图，连接 交 于点 ，
，
，
， ，
，
， ， ，
，
设 的半径为 ，则 ，
，
由勾股定理可得 ， ，
，
，
解得 ， （不符合题意，舍去），
的半径为 ．
【点拨】本题主要考查了圆的切线的性质、弧与圆周角之间的关系、等边对等角、垂径定理、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
【变式1】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形 的顶点 在原点，边 ，
分别在 轴和 轴上，点 坐标为 ，点 是 的中点，点 是边 上的一个动点，连接 ，以
为圆心， 为半径作圆，设点 横坐标为 ，当⊙ 与正方形 的边相切时， 的值为 ．
【答案】 或
【分析】先求出 ，则 ，再分分 与 相切和 与 相切两种情况考虑：
利用切线的性质得到和圆的性质分别表示出 的长，再在 中利用勾股定理建立方程求解即可．
解： 四边形 是正方形，点 坐标为 ，
，
∵点 是 的中点，
∴ ．
分 与 相切和 与 相切两种情况考虑：
①当 与 相切时，如图1所示．
点 横坐标为 ，
．在 中， ， ， ，
，即 ，
解得： ；
②当 与 相切时，设切点为 ，连接 ，如图2所示．
， ， ，
四边形 为矩形，
，
．
在 中， ， ， ，
，即 ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
综上所述： 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形等等，
利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
【变式2】（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 是 的外接圆，P是 延长线上一点，连
接 ，且 ，点D是 中点， 的延长线交 于点Q，则下列结论：
① ；② 垂直平分 ；③直线 和 都是 的切线；④ ．
其中正确的结论是（ ）A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查了圆的综合问题，涉及了圆周角定理、垂径定理、圆的切线证明等知识点，掌握相关
结论是解题关键．①②根据点D是 中点， ， 、 即可判断；
③根据 ， ，且 即可判断；④假设结论正确，即
可倒推进行判断．
解：∵点D是 中点， ，
∴ ， ，
故②正确；
∵ ，
∴ ，故①正确；
∵ ， ，且 ，
∴
∵ ，
∴
∵
∴
∴
∴直线 是 的切线
∵ 垂直平分 ，
∴
∴
∴
∴直线 是 的切线，故③正确；
若 ，则∴
根据条件无法得出以上结论，故④错误；
故选：C
【题型6】切线的证明
【例6】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，点 是以 为直径的 上的一点，过点 作 的
切线，交 的延长线于点 ，点 是 的中点，连接 并延长与 的延长线交于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析; (2) .
【分析】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质， 直角三角形的性质，等腰三角形的判定
和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）连接 ， ，由 为 的直径得 ，根据 知 、由 知
，根据 是 的切线得 ，即 得证；
（2）根据直角三角形的性质证 是等边三角形，得到 ，则 ， ，
求得 ，得到 ，即可得到结论．
解：（1）证明：如图，连接 ， ，
为 的直径，，
在 中，
，
，
，
是 的切线，
，
，
，
，
，
即 ，
半径 ，
为 的切线；
（2）解： ， ，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【变式1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图， 为 的直径，过圆上一点D作 的切线
交 的延长线于点C，过点O作 ， 交 于点E，连接 ．
(1)求证：直线 与 相切； (2)若 ，求 的长．【答案】(1)见解析； (2)6.
【分析】（1）如图，连接 ，由 与 相切于点D，可得 ，由 ，可得
，由 ，可得 ，则 ，证明
，则 ，进而结论得证；
（2）设⊙O的半径为r，则 ，由勾股定理得， ，即 ，可求 ，
则 ， ，由（1）知 ，则 ，由勾股定理得，
，即 ，计算求解即可．
解：（1）证明：如图，连接 ，
∵ 与 相切于点D，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴直线 与 相切；
（2）解：设⊙O的半径为r，则 ，
由勾股定理得， ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知 ，
∴ ，
由勾股定理得， ，即 ，
解得， ，
∴ 的长为6．
【点拨】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定
理等知识．熟练掌握切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定
理是解题的关键．
【变式2】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图， 为正方形 对角线 上一点，以 为
圆心， 长为半径的 与 相切于点 ．
(1)求证∶ 与 相切； (2)若正方形 的边长为4，求 的半径．
【答案】(1)见解析; (2) .
【分析】（1）过 作 于 ，连接 ，由正方形的性质结合已知条件可得出
，由三角形内角和可得出 ，进一步即可证明 与相切；
（2）由（1）易知 为等腰直角三角形， 为半径，设 ，由勾股定理可得出 ，
进而可得出 ，再由勾股定理可得出 ，由正方形的性质可得出 ，求出
，进而列出等式计算即可．
解：（1）证明∶过 作 于 ，连接 ，
与 相切于点 ，
，
四边形 为正方形，
，
，
又 为正方形 对角线，
，
∴ ，
，
与 相切；
（2）解∶由（1）易知 为等腰直角三角形， 为半径，
设 ，
∴
，
在 中， ，
∴ ，，
．
，
，
的半径为 .
【点拨】本题主要考查了圆的性质，正方形的性质，证明某直线是圆的切线，等腰直角三角形的判定以
及性质，勾股定理，平行线的性质等知识，掌握这些性质是解题的关键．
【题型7】切线性质与判定综合
【例7】（22-23九年级上·广东湛江·期中）已知：如图， 是 的直径， 是 的切线， 与
相交于点 ，连接 并延长与 相交于点 ，且点 为 的中点， ， ．
(1)求 的半径； (2)求证： 与 相切．
【答案】(1) ; (2)见解析.
【分析】（1）先设 的半径为 ，由于 是 的直径， 是 的切线，根据切线性质可知
，在 中，利用勾股定理可得 ，解方程可得出答案；
（2）连接 ，由于 ， ，可知 是 的中位线，那么 ，于是
，根据三角形外角性质可得 ，易证 ，而 ， ，
利用 可证 ，那么 ，于是 ，从而可证 是 的切线．
解：（1）解：（1）设 的半径为 ，是 的直径， 是 的切线，
，
在 中， ，
，
解得 ，
的半径为 ；
（2）证明：连接 ，
， ，
是 的中位线，
，
，
又 ，
，
在 和 中，
，
，
，
即 ，
与 相切．
【点拨】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、中位线的性质，解题的
关键是证明 ．
【变式1】（2024·贵州贵阳·一模）如如图， 是半圆 的直径， 是切线，点A是半圆上一点，且
，连接 ， ， ．
(1) 与 的位置关系为________；(2)求证： ；
(3)若四边形 是平行四边形，当 时，求 的值．
【答案】(1) ; (2)见解析; (3)4.
【分析】（1）先根据切线的性质得到 ，然后证明 即可解题；
（2）根据 得到 ，然后利用等腰三角形的性质解题即可；
（3）证明 ，然后根据平行四边形的面积公式求解即可．
解：（1）∵ 是 切线，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ．
∵ 是 的直径， ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了切线的性质与判定，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，平行四边形的性质，
正确掌握切线的性质是解题的关键．
【变式2】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图， 是 的直径，C是 上的一点，过点B作 的
切线 ，过圆心O作 的平行线交直线 于点F，交 于点E，交 于点D，连接 ．
(1)判断 与 的位置关系，并证明结论；
(2)若四边形 是平行四边形，求 的值；
(3)若 运动后能与 重合，则 ，请说明图形的运动过程．
【答案】(1) 与 相切，见解析; (2) ; (3)1，见解析.
【分析】（1）连接 ，证明 ，得出 ，结合切线的性质得出
，即可得证；
（2）根据题意作出图形，连接 ，证明 四边形 为正方形，得出 ， ，推出
，再求出 ，即可得解；
（3）若 运动后能与 重合，得出必有 ，推出 ，进而得出
，利用 表示出 和 ，进而求得比值，将 沿 直线，平移 长度得 ，再将 沿 的平分线对折，则与 重合．
解：（1）解： 与 相切．
理由如下：连接 ，如图1，
∵ ，
∴ ， ，
，
，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
是 的切线，
∴ ，
，
是 的切线；
（2）解：根据题意作出图形，如图2，连接 ，四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
，
∴ ， ，
四边形 为平行四边形，
，
四边形 为菱形，
是 的切线，
∴ ，
四边形 为正方形，
， ，
∴ ，
，
∴ ，
；
（3）解： 为直径，
，
是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
若 运动后能与 重合，必有 ，
∴ ，
，
连接 ，如图3，
∵ ，
∴ ， ，
，
，
∴ ，
，
，
，
，
∴ ，
，
如图4，将 沿 直线，平移 长度得 ，再将 沿 的平分线对折，则与
重合，故答案为：1．
【点拨】本题是圆的一个综合题，主要考查了圆的基本性质，切线的判定与性质，全等三角形的判定与
性质，平行四边形的判定与性质，正方形的性质，平移的性质，轴对称的性质，正确作出辅助线和综合
运用这些知识是解本题的关键．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型8】直通中考
【例1】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形 是 的内接四边形，点 在四边形
内部，过点 作 的切线交 的延长线于点 ，连接 ．若 ， ，则
的度数为 ．
【答案】 /105度
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，连接 ，利用等边
对等角得出 ， ，利用切线的性质可求出 ，然后
利用圆内接四边形的性质求解即可．
解：解∶连接 ，∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 是切线，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
故答案为： ．
【例2】（2024·四川·中考真题）如图，AB为⊙O的弦，C为 的中点，过点C作 ，交 的
延长线于点D．连接 ．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)见解析；(2) .
【分析】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、垂径定理的推论等知识点，熟记相关结论是解题关键．
（1）由垂径定理的推论可知 ，据此即可求证；
（2）利用勾股定理求出 即可求解；
解：（1）证明：∵AB为⊙O的弦，C为 的中点，
由垂径定理的推论可知： ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【题型9】拓展延伸
【例1】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图， 的直径 ， ， 分别是它的两条
切线， 与 相切于点 ，并与 ， 分别交于 ， 两点， ， ，则 关于 的
函数表达式为 ．
【答案】
【分析】作 交 于点 ，由切线的性质可知 ， ，进而可证得四边形
是矩形，于是有 ， ，因而可得 ，由切线长定理可得 ，
，于是可得 ，在 中，根据勾股定理即可求出 关于 的函数表达式．
解：如图，作 交 于点 ，
， 分别是 的两条切线，
， ，
又 ，
，
四边形 是矩形，， ，
，
，
与 相切于点 ，
， ，
则 ，
在 中，根据勾股定理可得：
，
即： ，
整理，得： ，
即： ，
关于 的函数表达式为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了切线的性质定理，垂线的性质，矩形的判定与性质，切线长定理，勾股定理，
完全平方公式，用关系式表示变量间的关系等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
【例2】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，以 为圆心的 交
轴负半轴于 ，交 轴正半轴于 ，交 轴于C、D．
(1)若C点坐标为(0,4)，求点 坐标．
(2)在（1）的条件下， 上是否存在点 ，使 ，若存在，求出满足条件的点 的坐标，若不
存在，请说明理由．
(3)过 作 的切线 ，过 作 于 ，交 于 ，当 的半径大小发生变化时， 的
长度是否变化？若变化，求变化范围，若不变，证明并求值．【答案】(1) ; (2)存在；点P的坐标为 或 ；(3) 的长不变，且长度为6
【分析】（1）结合题意，连接 ，根据点M和点C的坐标可得出 的半径，即 的长，利用M的
坐标即可得出A的坐标；
（2）假设存在这样的点P，根据题意，可知 为等腰直角三角形，且 ．根据圆的方程
和两点直接的距离公式列出方程组，解之即可得出点P的坐标；
（3）作 于H，则 ，易证 ，故 ．从而可证 为一定值．
解：（1）解：如图①，连接 ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：假设存在这样的点P(x,y)，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
解得： ，
即存在两个这样的点P，且坐标为 或 ；
（3）解： 的长不变，且长度为6．
如图②，连接 ，作 于H，
则 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴
∴四边形 是矩形，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
【点拨】本题主要考查的是垂径定理的应用和切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形
的判定与性质，等腰三角形的性质，方程组的解法，综合性强，能够熟练掌握垂径定理的应用和切线与圆之间的性质关系是解题的关键．
