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专题 24.1 圆（2 大知识点 8 类题型）（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点1】圆的概念
1、描述性定义：如图，在平面内把线段OP绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的图形
叫做圆.其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径.以点0为圆心的圆，记作“⊙0”，读作
“圆0”.
2、集合性定义：在平面内，圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合
由圆的集合性定义可以得出：(1)圆上的点到圆心的距离都等于半径；(2)到圆心的距离等
于半径的点都在圆上.
【要点提示】同一个圆的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心构成的三角形都是等腰
三角形.
【知识点2】与圆有关的概念
1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；
直径：经过圆心的弦叫做直径；
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧
AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
【要点提示】①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3.同心圆与等圆
同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
【要点提示】①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中；②圆中两平行弦所夹的弧相等.
【题型目录】
【题型1】圆的概念的理解.....................................................2；
【题型2】与圆相关概念的理解.................................................3；
【题型3】与圆及相关概念的求值...............................................5；
【题型4】与圆及相关概念的证明...............................................7；
【题型5】利用直径是圆中最长的弦求值........................................10；
【题型6】利用直径是圆中最长的弦求最值......................................12；
【题型7】直通中考..........................................................15；
【题型8】拓展练习..........................................................17.
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】圆的概念的理解
【例1】（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果
某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查了圆的定义，半径的概念以及确定一个圆的基本要素，熟悉基本概念是解决本题的关
键．根据圆的定义，半径，确定一个圆的基本要素进行判定即可．
解：同一圆上的点到圆心的距离相等，且都等于半径，故①正确；
如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆，故②正确；
圆心和半径共同确定一个圆，半径确定了，圆心位置不确定，圆也不能确定，故③错误．
故选：A．
【变式】（23-24七年级上·重庆铜梁·开学考试）下面说法错误的是（ ）
A．圆有无数条半径和直径 B．直径是半径的2倍
C．圆有无数条对称轴 D．圆的大小与半径有关
【答案】B
【分析】本题主要考查了圆的相关概念，明确在同一个圆和等圆内、所有的半径都相等、所有的直径都相等、所有直径是半径的2倍成为解题的关键．
根据圆的特征逐项分析即可解答．
解：A．圆有无数条半径和直径，说法正确；
B．由直径的定义可知，同一个圆的直径是半径的2倍，选项缺少在同一个圆中，故说法错误；
C．因为圆是轴对称图形，且它的直径所在的直线就是其对称轴，而圆有无数条直径，所以圆就有无
数条对称轴；
D．圆的大小和圆的半径有关，说法正确．故选：B．
【题型2】与圆相关概念的理解
【例2】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）下列命题中，正确的有（ ）
①直径是弦，但弦不一定是直径； ②半圆是弧，但弧不一定是半圆；
③半径相等的两个圆是等圆； ④一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧；
⑤长度相等的两条弧是等弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据弦和直径的定义可得判断①；根据弧的定义可以判断②；根据等圆的定义可以判断③；根
据优弧、劣弧的定义可以判断④；根据等弧定义从而得到答案⑤．
解：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦，直径是弦，但弦
不一定是直径，故①说法正确，符合题意；
圆上任意两点间的部分叫做弧，半圆是弧，但弧不一定是半圆，故②说法正确，符合题意；
半径决定圆的大小，半径相等的两个圆是等圆，故③说法正确，符合题意；
弧可以分为劣弧、优弧、半圆三种，当一条弦是直径时,直径把圆分成两个半圆，既不是优弧也不是劣弧，
故④说法不正确，不符合题意；
长度相等的两条弧只有弧所在的半径也相同或相等时才是等弧,故⑤说法错误,不符合题意;
综上所述，正确的选项有①②③,正确的个数共3个，故选：C．
【点拨】本题主要考查了圆的基本概念，判断命题的真假，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．
【变式1】（22-23九年级上·河北邢台·阶段练习）以下说法：（1）半圆是弧，但弧不一定是半圆；
（2）过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径；（3）弦是直径；（4）直径是圆中最长的弦；
（5）直径不是弦；（6）优弧大于劣弧；（7）以O为圆心可以画无数个圆．正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C【分析】根据直径和弦的定义、弧的定义逐一进行判断．
解：（1）半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确；
（2）过圆上任意一点可以作无数条弦，原说法不正确；
（3）弦不一定是直径，原说法不正确；
（4）直径是圆中最长的弦，正确；
（5）直径是圆中最长的弦，原说法不正确；
（6）在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，原说法不正确；
（7）以O为圆心可以画无数个圆，正确．
综上，正确的个数有3个，
故选：C．
【点拨】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、
等圆、等弧等）．
【变式2】（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，下列说法正确的是（ ）
A．线段AB， ，CD都是 的弦
B．线段 经过圆心O，线段 是直径
C．
D．弦AB把圆分成两条弧，其中 是劣弧
【答案】B
【分析】本题考查圆的相关定义，根据弦的定义对A进行判断；根据直径的定义对B进行判断；不能确
定 ，则可对C进行判断；根据劣弧和优弧的定义对D进行判断．
解：A．线段AB， 都是 的弦，CD不是，所以A选项不符合题意；
B．线段 经过圆心O，线段 是直径，所以B选项符合题意；
C．当点D为AB的中点时， ，所以C选项不符合题意；
D． 为优弧，所以D选项不符合题意．故选：B．
【题型3】与圆及相关概念的求值
【例3】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图， 是 的直径，点 在 的延长线上， 交
于点 ， ，且 ．若 ，求 的度数．
【答案】 ．
【分析】本题考查了圆的有关性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，连接 ，则
，又 则 ，然后根据等腰三角形的性质和外角性质即可求解，熟练
掌握知识点的应用是解题的关键．
解：如图，连接 ，
∵点 ， 在 上， 为 的直径，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【变式1】（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图， 是 的直径，点 ， 在圆上，且 经过中点 ，连接 并延长，与 的延长线相交于点 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，根据等腰三角形的性质求出 ，根据三角形外角性质得出
，根据等腰三角形的性质求出 ，求出
，再求出答案即可．本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的
性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
解：连接 ，
， ，
，
，
为 的中点， ，
，
，
，
，故选：B．
【变式2】（2024·广东·模拟预测）如图，以平行四边形 的一边 为直径作 ，若 过点
C，且 ， 则【答案】
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边对等角，平行四边形的性质和三角形内角和定理，先由平
角的定义得到 ，再由等边对等角和三角形内角和定理得到 ，则由平
行四边形对角相等可得 ．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
故答案为： ．
【题型4】与圆及相关概念的证明
【例4】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示，在 中， ， 分别是 ， 边上的
高，求证： ， ， ， 四点在同一个圆上．
【分析】求证 ， ， ， 四点在同一个圆上， 是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心
的圆上，因而只要再证明 到 得中点的距离等于 的一半就可以．此题主要考查了确定圆的条件，
求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等．
证明：如图所示，取 的中点 ，连接 ， ．， 是 的高，
和 都是直角三角形．
， 分别为 和 斜边上的中线，
．
， ， ， 四点在以 点为圆心， 为半径的圆上．
【变式1】（2024·吉林长春·模拟预测）如图， 为半圆 的一条弦（非直径），连结 、 ，分别
以 、 为圆心，大于 一半的长为半径画弧，两弧交于点 ，连结 ，交 于点 ，下列结论不一
定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形性质，由 ， ，可得 为线段 的
垂直平分线，即可判断 ；根据三线合一即可判断 ；由已知不能确定 与圆 的半径是否相等，即无法确定
是否是等边三角形，即可判断 ；掌握线段线段垂直平分线的判定和性质是解题的关键．
解：∵ ， ，
∴点 在线段 的垂直平分线上，
∴ 为线段 的垂直平分线，
∴ ， ，故选项 正确；
∵ ， ，
∴ ，
即 ，故选项 正确；∵由已知不能确定 与圆 的半径是否相等，
∴无法确定 是否是等边三角形，
即无法确定 是否等于 ，故选选 不一定正确；
故选： ．
【变式2】（23-24七年级下·广东珠海·期末）如图，在平面直角坐标系中，B，C为x轴上两点，以点O
为圆心画圆（直径小于 ），交y轴负半轴于点A，过点A作x轴平行线 ，点P为圆上一个动点，
连接 ，下列说法正确的有（ ）
①当点P运动到第一象限，则
②当点P运动到第二象限，则
③当点P运动到第三象限，则
④当点P运动到第四象限，则
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，平行线的性质，解题的关键是利用数形结合的思想来求
解，画出每一种情况的图形，然后利用平行线的性质求解．
解：①当点P运动到第一象限，则 ，故①错误；
②当点P运动到第二象限，
则 ，故②正确；
③当点P运动到第三象限，则 ，故③正确；
④当点P运动到第四象限，则 ，
则 ，故④错误，
故正确的为：②③，
故选：D．
【题型5】利用直径是最长的弦求值与证明
【例5】（23-24九年级下·甘肃平凉·开学考试）如图1，点 是以点 为圆心， 为直径的半圆上的一
个动点（点 不与点 ， 重合），过点 作 于 ．设弦 的长为 ，线段 的长为 ，
与 的函数图象如图2所示，则 的直径为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是要能根据图象确定圆的半径．先根据图象得
出当点 到点 的正上方时， 最大为2，可确定 的半径为2，即可求解．解：当点 和点 重合时， 最大，
由图象得 最大为2，
圆 的半径为2，
的直径为4，
故选：B
【变式1】（2024·广东深圳·二模）如图（a），A，B是⊙O上两定点， ，圆上一动点P从
点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是 ，线段AP的长度是 ．图（b）是y随x
变化的关系图象，其中图象与x轴交点的横坐标记为m，则m的值是（ ）
A．8 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图形，合理分析动点 的运动时间是解题关键．
根据 最长时经过的路程所用的运动时间，求出总路程所用的时间是之前的三倍，即可解答．
解：如图，当点 运动到 过圆心 ，即 为直径时， 最长，
由图（b）得， 最长时为6，此时 ，
，
，
此时点 路程为90度的弧，
点 从点 运动到点 的弧度为270度，
运动时间为 ，故选：B．
【变式2】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知 的半径为3，且A，B是 上不同的两点，则弦
的范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆的认识，掌握弦、直径的概念是解题的关键．根据“连接圆上任意两点之间的线
段就是圆的弦，直径是圆中最长的弦”，可以求出弦 的范围．
解： A、 是 上不同的两点，，
，
的半径为 ，，
的直径为 ，直径是圆中最长的弦，
，
故答案为： ．
【变式3】（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知P是 内一点 点P不与圆心O重合 ，点P到
圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程 的两个实数根，则
的半径为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点与圆上各点的距离的最值，明确最小距离与最大
距离的和等于圆的直径是解题关键．由根与系数的关系求出两根之和，则最小距离与最大距离的和等于
圆的直径．
解：设最小距离为m，最大距离为n，
由根与系数的关系得 ，
是 内一点，
点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离的和等于圆的直径，
即圆的直径是12，圆的半径是
故答案为：6
【题型6】利用直径是最长的弦求最值
【例6】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点C是以点 为圆心，1个单位长度为半径的圆上一点，点B的坐标为 ，连接 ，D是 的中点，连接 ，求 的最
大值．
【答案】3
【分析】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，三角形的中位线定理，勾股定理，圆的基本性质，掌
握圆外一点到圆上任意一点距离的最长线段经过圆心是解本题的关键．
作点B关于y轴的对称点 ，连接 ，根据三角形中位线定理得 ，当 最大时， 有
最大值，确定当 ， ， 共线时， 有最大值，从而解答即可．
解：作点B关于原点O的对称点 ，连接 ，如图①．
∵D是 的中点，
∴
如图②，当点C运动到 的延长线上时， 最大，此时 也最大．
∵
∴
∵ ，
∴ ，∴ 的最大值为 ，
∴ 的最大值为3．
【变式1】（2019九年级·全国·专题练习）如图所示， 为 的一条弦，点 为 上一动点，且
，点 ， 分别是 ， 的中点，直线 与 交于 ， 两点，若 的半径为7，
求 的最大值.
【答案】 的最大值为 .
【分析】由 和 组成 的弦 ，在 中，弦 最长为直径14，而 可求，所以
的最大值可求.
解：连结 ， ，
∵ ∴
∴ 为等边三角形，
∵点 ， 分别是 ， 的中点
∴ ，∵ 为 的一条弦
∴ 最大值为直径14 ∴ 的最大值为 .
【点拨】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题.
【变式2】（2023·广西南宁·一模）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点， 是以点
C(0,−3)为圆心，2为半径的圆上的动点， 是线段 的中点，连接 ，则线段 的最大值是
（ ）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，三角形中位线，二次函数的性质．连接 ，如图，先求出A，
B坐标，即可判断出 为 的中位线，得到 ，利用点与圆的位置关系， 过圆心C时，
最大，如图，点D运动到 位置时， 最大，然后计算出 即可得到线段 的最大值．
解：连接 ，如图，
当 时， ，解得 ，
∴ ，
∵E是线段 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴当 最大时， 最大，
而当 过圆心C时， 最大，如图，点D运动到 位置时， 最大，
∵ ，
∴ ，
∴线段 的最大值是 ．故选：B．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型7】直通中考
【例1】（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重
物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ）
A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线
【答案】C
【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧．
解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的一段圆弧，
故选：C．
【例2】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形 中， ， ，动点E，F分别从点A，
C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿 ， 向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作
直线l的垂线，垂足为G，则 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直
角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键．连接 ， 交于点 ，取 中点 ，连接 ，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出 的轨
迹，从而求出 的最大值．
解：连接 ， 交于点 ，取 中点 ，连接 ，如图所示：
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴在 中， ，
∴ ，
∵ ，
，
在 与 中，
，
，
， ， 共线，
， 是 中点，
∴在 中， ，
的轨迹为以 为圆心， 为半径即 为直径的圆弧．
∴ 的最大值为 的长，即 ．
故选：D．
【题型8】拓展延伸【例1】（2024·陕西汉中·二模）如图，在 中，利用尺规作图法求作 ，使得 与 的交点C
到点O的距离最短．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】本题考查复杂作图，垂线段最短，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基
本性质把复杂作图拆解成基本作图（过直线外一点作已知直线的垂线），逐步操作．过点 作 于
点 ，以点 为圆心， 为半径画圆即可．
解：过点 作 于点 ，以点 为圆心， 为半径画圆，
∴点 到 的距离为 的长，
此时 与 的交点 到圆心 的距离最短，
则 即为所作．
【例2】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图， 、 是 的弦，连接 、 并延长，分别交
弦 、 于点 、 ， ．求证： ．
【分析】此题考查了圆的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握全等三角形的判定与性质 ．由 ， ，可得 ，证明 ，可得 ，进而可证明
，根据全等三角形的性质即可求解．
证明： ， ，
，
又 ，
，
，
又 ， ，
，
．
