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专题 24.14 弧长和扇形面积（2 大知识点 7 类题型）（知识梳理与题
型分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】弧长公式
【知识点二】扇形面积公式
1.扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.
2.扇形面积公式
半径为R的圆中
360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：
n°的圆心角所对的扇形面积公式：
【题型目录】
【题型1】弧长公式（求弧长、半径、圆心角）..................................1
【题型2】扇形面积公式（求扇形面积、半径、圆心角）..........................4
【题型3】求弓形（旋转图形、不规则图形）面积................................6
【题型4】求圆锥侧面积.....................................................10
【题型5】求圆锥的高、展形图的圆心角.......................................14
【题型6】直通中考.........................................................16
【题型7】拓展延伸.........................................................17第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】弧长公式（求弧长、半径、圆心角）
【例1】（2024·江西·中考真题）如图， 是半圆O的直径，点D是弦 延长线上一点，连接
， ．
（1）求证： 是半圆O的切线； （2）当BC=3时，求 的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质，弧长公式，熟知相关性质和
计算公式是解题的关键．
（1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得 ，即可得 ，进而可证得
结论；
（2）连接 ，证明 为等边三角形，求得 ，利用弧长公式即可解答．
解：（1）证明： 是半圆O的直径，
，
，
，
，
是半圆O的切线；
（2）解：如图，连接 ，
，
为等边三角形，
， ，
，．
【变式1】（2024·云南红河·模拟预测）为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留
守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为 ，侧面积为 的圆锥
形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥侧面积，弧长公式等知识；设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧
长公式即可求得扇形圆心角的度数．
解：设扇形的半径为r，则 ，
解得： ；
设扇形圆心角度数为n度，则 ，
解得： ，
即扇形圆心角为 ；
故选：B．
【变式2】（2024·陕西商洛·模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一
的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中 的长度为 米，裙长 米，圆心
角 ，则 的长为（ ）
A．1米 B． 米 C．2米 D． 米
【答案】B
【分析】本题考查了弧长公式．由题意知， ，求得 ，得到 米
即可．解：由题意知， ，
解得 ，
∵裙长 为 米，
∴ 米，
故选：B．
【题型2】扇形面积公式（求扇形面积、半径、圆心角）
【例2】（23-24九年级上·吉林四平·阶段练习）如图， 为 的直径，点 是 上方 上异于
的点，点 是 的中点，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证： 是 的切线； （2）若 ，求图中阴影部分的面积（结果保留 ）．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积公式、扇形的面积公式等．
（1）连接 ，由 ，得 ，而 得到 ，
由平行线的性质可得 ，从而即可得证；
（2）由圆周角定理可得 ，由勾股定理可得 ，从而得到 ，再
由 进行计算即可．
解：（1）证明：连接 ，点 是 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，且 ，
∴DE是 的切线；
（2）解： 为 的直径，
，
，BC=6，
，
，
由（1）得 ，
，
图中阴影部分的面积是 ．
【变式1】（2024·安徽·模拟预测）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一
种图形．如图，分别以等边 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若图中阴影部分的面积为 ，空白部分的面积为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的性质，扇形面积公式，由 是等边三角形，得 ，
，过 作 于点 ，然后由勾股定理得 ，求出 ，
，然后代入求值即可，熟练掌握等边三角形的性质和扇形面积
公式是解题的关键．
解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
设 ，
如图，过 作 于点 ，
∴ ， ， ，
∴由勾股定理得： ，∴ ，即 ，
则 ，
∴ ，
故选： ．
【变式2】（2024·山东济南·模拟预测）如图，在正五边形ABCDE中，以点 为圆心、 为半径作
．若阴影部分的面积是 ，则正五边形ABCDE的边长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了正多边形和圆、扇形的面积计算等知识，确定扇形的圆心角的度数后利用扇形面积
计算公式列方程即可得到结论．
解：在正五边形ABCDE中， ，
∴阴影部分的面积为 ，
解得 ，
故答案为：6．
【题型3】求弓形（旋转图形、不规则图形）面积
【例3】（2024·江苏徐州·模拟预测）如图， 是 的内接三角形， ， ，
D 为 延长线上一点， ．
（1）求证： 是 的切线；（2）如果 的半径为 4，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】本题考查切线的判定和求弓形的面积：
（1）圆周角定理结合等边对等角，求出∠BCD=30°，进而得到 ，即可得证；
（2）连接 ，过点 作 ，用扇形的面积减去三角形的面积求出阴影部分的面积即可．
解：（1）证明：∵ ，
∴ 的度数为 ，
∴优弧 的度数为： ，
∴优弧 所对的圆心角的度数为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
又∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）连接 ，过点 作 ，则： ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴阴影部分的面积为 ．
【变式1】（2024·山西晋城·三模）如图，在四边形 中，先以点A为圆心， 长为半径画弧，此
弧恰好经过点C，再以点C为圆心， 长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若 ，则图中阴影部
分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了扇形的面积、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关
键．连接 ，过点 作 于点 ，先证出 是等边三角形，再根据图中阴影部分的面积等于
求解即可得．解：如图，连接 ，过点 作 于点 ，
由题意可知， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则图中阴影部分的面积为
，
故选：A．
【变式2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个扇形的圆心角为 ，面积为 ，则此扇形
的弧长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算，根据扇形面积公式求得半径 ，再根据弧长的公式
求弧长即可．
解：令扇形的半径和弧长分别为 和 ，，
，
．
扇形的弧长为 ．
故答案为： ．
【变式3】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，矩形 中， ， ，现将此矩形绕点
顺时针旋转90°得到新的矩形 ，则边AD扫过的面积（阴影部分）是 （结果保留 ）
【答案】
【分析】本题考查了扇形的面积公式和旋转的旋转以及勾股定理，能够把不规则图形的面积转换为规则
图形的面积．连接 、 ，则阴影部分的面积为扇形 的面积减去扇形 的面积．
解：连接 、 ，
根据勾股定理，得 ，
故可得 ，
，
则阴影部分的面积 ．
故答案为： ．
【题型4】求圆锥侧面积
【例4】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图所示，已知扇形AOB的半径为 ，圆心角的度数为 ，若将此扇形围成一个圆锥侧面，求围成的圆锥的高以及圆锥的全面积．
【答案】高 厘米，全面积为16π平方厘米
【分析】本题考查圆锥展开图及扇形的弧长面积公式，勾股定理，根据圆锥展开图扇形弧长等于底面圆
周长求出底面半径，结合勾股定理求出高，再根据面积公式求解即可得到答案；
解：由图形可得，
扇形的弧长 ，
∴圆锥的底面半径为 ，
∴圆锥的高为： ．
∴圆锥全面积 圆锥侧面积+圆锥底面积 ．
【变式1】（2024·湖南长沙·模拟预测）将两个底面积相同的圆锥按如图方式粘合成一个新几何体，已
知原来的两个圆锥母线长分别为 ， ，新几何体的最大横截面圆的半径 ，则新几何体
的表面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的侧面积公式， ，据此即可求解．
解：由图可知：新几何体的表面积 ，
故答案为：
【变式2】（2024·江苏宿迁·模拟预测）如果圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，那么它的侧面积等
于 ．【答案】
【分析】本题主要考查了圆的周长公式和扇形面积公式，解题的关键是熟记公式．
首先根据底面半径求出底面圆的周长，然后根据圆锥的侧面积公式 进行计算．
解：∵圆锥的底面半径为3cm，
∴底面周长 ，
又∵母线长为6cm，
∴ ；
故答案为： ．
【题型5】求圆锥的高、展形图的圆心角
【例5】（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，在半径为4的扇形AOB中， ，点C是
上的一个动点（不与点A， 重合），连接 ， ， ， ，垂足分别为点D，E．
（1）若扇形AOB是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径；
（2）在 中是否存在长度为定值的边？若存在，请求出这条边的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1 (2)存在，
【分析】（1）设该圆锥的底面半径为r，根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的弧长列式即可得到答
案；
（2）连接 ，由垂径定理得到D为 中点，E为 中点．则 为 的中位线．得到
．再求出 的长，即可得到 的长，结论得证；
（1）解：设该圆锥的底面半径为r，
由题意得 ．
解得r=1，
即该圆锥的底面半径为1．（2）存在， 的长为定值．如图，连接 ．
∵ ， ，
∴D为 中点，E为 中点．
∴ 为 的中位线．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
【点拨】此题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式、垂径定理、三角形中位线定理的等知识，数形结合
是解题的关键．
【变式1】（23-24九年级上·安徽蚌埠·单元测试）如图，圆锥的底面半径 ，高 ，则这
个圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求圆锥的计算，勾股定理，二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．首先根据底面半径 ，高 ，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面
积公式求出即可．
解： 圆锥的底面半径 ，高 ，
母线 ，
，
故选：B．
【变式2】（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为 ，
圆心角θ为 ，圆锥的底面圆的半径为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是圆锥的计算、扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解题的关键．先根据扇形面积
公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出弧长，最后根据圆的周长公式计算即可．
解：设扇形的半径为 ，弧长为 ，
由题意得： ，
解得： （负值舍去），
则 ，
解得： ，
∴圆锥的底面圆的半径为： ，
故答案为： ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2022·四川广安·中考真题）如图，四边形ABCD是边长为 的正方形，曲线DABC DA …是
1 1 1 1 2
由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA 的圆心为A，半径为AD；弧AB 的圆心为B，半径为
1 1 1
BA；弧BC 的圆心为C，半径为CB ；弧C D 的圆心为D，半径为DC …．弧DA、弧AB、弧BC 、弧
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1C D…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C D 的长是 （结果保留π）．
1 1 2022 2022
【答案】2022π
【分析】根据题意有后一段弧的半径总比前一段弧的半径长 ，又因为 的半径为 ，可知任何一段弧
的半径都是 的倍数，根据圆心以A、B、C、D四次一个循环，可得弧 的半径为：
，再根据弧长公式即可作答．
【详解】根据题意有：
的半径 ，
的半径 ，
的半径 ，
的半径 ，
的半径 ，
的半径 ，
的半径 ，
的半径 ，
．．．
以此类推可知，故弧 的半径为： ，即弧 的半径为： ，
即弧 的长度为： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了弧长的计算公式，找到每段弧的半径变化规律是解答本题的关键．
【例2】（2024·内蒙古·中考真题）如图是平行四边形纸片 ，
，点M为 的中点，若以M为圆心， 为半径画弧交对角线
于点N，则 度；将扇形 纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），
则这个圆锥的底面圆半径为 ．
【答案】 40 2
【分析】本题考查了平行四边形的性质、弧长公式、圆锥等知识，熟练掌握弧长公式是解题关键．先根
据平行四边形的性质可得 ，再根据三角形的内角和定理可得 ，然后根据等
腰三角形的性质可得 ，最后根据三角形的外角性质可得 的度数；先利用弧长
公式求出扇形 的弧长，再根据圆锥的底面圆的周长等于扇形 的弧长求解即可得．
解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由圆的性质可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴扇形 的弧长为 ，
∴圆锥的底面圆半径为 ，
故答案为：40；2．
【例3】（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在 中， ， ， ，将绕点 逆时针旋转到 的位置，点 的对应点 首次落在斜边 上，则点 的运动路径的
长为 .
【答案】
【分析】首先证明 是等边三角形，再根据弧长公式计算即可．
解：在 中，∵ ， ， ，
∴ ，
由旋转的性质得 ， ，
，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴点 的运动路径的长为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了旋转变换，含 直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，
解题的关键是证明 是等边三角形．
2、拓展延伸
【例1】（2020·湖北黄冈·中考真题）如图所示，将一个半径 ，圆心角 的扇形纸
板放置在水平面的一条射线 上．在没有滑动的情况下，将扇形 沿射线 翻滚至 再次回到
上时，则半径 的中点P运动的路线长为 ．【答案】
【分析】本题考查了弧长的计算，解题的关键是理解点O经过的路线并能正确运用弧长公式进行计算．
仔细观察点O经过的路线可得，点O经过的路线可以分为四段，分别求出四段的长，再求出其和即可．
解：连接 ，如图所示：
∵P为 的中点， ，
∴ ，
根据勾股定理得： ，
中点P经过的路线可以分为四段，当 切射线 于点B时， ，此时P点绕不动点B转过了
，此时点P经过的路线长为：
，
第二段： 到 ，P点绕动点转动，而这一过程中 始终与射线 相切，
∴点P转动点的连线始终垂直射线 ，
∴点P运动的路线长为 的长，即 ，第三段： 到点P落在射线 上，点P绕不动点A转动了 ，此时点P运动的路线长为：
；
第四段： 到 与射线 重合，点P绕不动点O转动了 ，此时点P运动的路线长为：
；
∴P点经过的路线总长为： ．
故答案为： ．
【例2】（2024·广东广州·一模）综合与实践
主题：装饰锥形草帽．
素材：母线长为 、高为 的锥形草帽（如图（ ））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、
足够大的卡纸．
步骤 ：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角 的比例剪成半径为 的扇形．
步骤 ：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、
不重叠，便可得到五彩草帽．
计算与探究：
（ ）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数；
（ ）如图（ ），根据（ ）的计算过程，直接写出圆锥的高 、母线长 与侧面展开图的圆心角度数
之间的数量关系： ．
【答案】（ ）24°；（ ） ．【分析】（ ）设底面圆的半径为 ，由勾股定理可得 ，根据 ，求出 ，再根
据红、橙、黄、蓝、紫卡纸圆心角 即可求解；
（ ）设底面圆的半径为r，则 ，由 即可求解；
本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形的弧长，掌握圆锥底面圆的周长等于圆锥侧面展开图扇
形的弧长是解题的关键．
解：（ ）设底面圆的半径为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角 的比例剪成半径为 的扇形，
∴红色扇形卡纸的圆心角的度数为 ；
（ ）∵设底面圆的半径为r，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：．
