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专题 24.15 圆（5 大考点 15 类题型）（全章知识梳理与题型分类讲
解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
【知识点二】圆心角、弦、弧、弦心距之间关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对
应的其余各组量都分别相等.
【知识点三】圆周角定理及其推论
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
推论2：直径所对的圆周角是直角； 圆周角所对的弦是直径.
推论3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.
【知识点四】点和圆的位置关系
点在圆外， ；点在圆上， ；点在圆内， ；
【知识点五】直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系：（圆心到直线距离为 ，圆的半径为 ）
相交：直线与圆有两个公共点， ；
相切：直线与圆有一个公共点， ；
相离：直线与圆无公共点， .
【知识点六】切线性质定理与判定定理
切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定方法
（1）直线与交点个数；
（2）直线到圆心的距离与半径关系；（3）切线的判定定理.
【知识点七】切线长定理
（1） 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，这两条
切线的夹角.
（2）弦切角定理： 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角.
【知识点八】确定圆的条件
（1）经过两点可作无数个圆，这些圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上.
（2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
【知识点九】圆的外心与内心
（1）外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形
各顶点的距离相等.
（2）锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外
部。
A
O
B C
（3）三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半.
（4）内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做内心，它的性质是到三角形三边的距
离相等。
A
D
F
O
B C
E
【知识点十】三角形内切圆半径与三角形三边关系
（1）三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与内心连线夹角减去 再乘以 2..
（2）三角形周长为 ，面积为 ，内切圆半径为 ,则 .
（3）直角三角形两直角边分别是 ，斜边为 ，内切圆半径为 ，则 .
【知识点十一】正多边形与圆、弧长公式、扇形面积公式、圆锥的侧面积公积
（1）正 变形的圆心角为 度.
（2）弧长计算公式：在半径为 的圆中， 的圆心角所对的弧长计算公式为 .
（3）如果扇形的半径为 ，圆心角为 ，那么扇形面积的计算公式为 .
（4）如果扇形的半径为 ，弧长为 ，那么扇形面积的计算公式为 .
（5）圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则圆锥的侧面积
， 圆锥的全面积: .
知识点与题型目录
【考点一】圆的有关性质
【题型1】圆及相关概念.......................................................4
【题型2】垂径定理及推论.....................................................7
【题型3】弧、弦、圆心角、弦心距关系........................................13
【题型4】圆周角............................................................16
【题型5】圆的有关性质综合..................................................20
【考点二】点和圆、直线和圆的位置关系
【题型6】点和圆的位置关系..................................................24
【题型7】直线和圆的位置关系................................................27
【题型8】切线的性质与判定综合..............................................30
【题型9】切线长定理........................................................34
【考点三】正多边形和圆【题型10】正多边形和圆.....................................................38
【考点四】弧长与扇形面积
【题型11】利用弧长公式求值.................................................41
【题型12】利用扇形公式求值.................................................45
【题型13】求圆的不规则图形面积.............................................47
【考点五】直通中考与拓展延伸
【题型14】直通中考.........................................................51
【题型15】拓展延伸.........................................................55
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】圆及相关概念
【例1】如图所示， 为 的一条弦，点 为 上一动点，且 ，点 ， 分别是 ，
的中点，直线 与 交于 ， 两点，若 的半径为7，求 的最大值.
【答案】 的最大值为 .
【分析】由 和 组成 的弦 ，在 中，弦 最长为直径14，而 可求，所以
的最大值可求.
解：连结 ， ，
∵
∴
∴ 为等边三角形，
∵点 ， 分别是 ， 的中点
∴ ，∵ 为 的一条弦
∴ 最大值为直径14 ∴ 的最大值为 .【点拨】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题.
【变式1】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角
所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离
相等．其中正确的命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质．
解：（1）等弧所对的弦相等，正确，符合题意；
（2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；
（3）不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
（4）圆的对称轴是直径所在的直线，故原命题错误，不符合题意；
（5）三角形的内心到三角形三边距离相等，正确，符合题意；
正确的命题有2个， 故选：B．．
【变式2】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．
已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点， 是半圆的直径，抛物线的解析式为 ，
若 ，则图中 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，圆的知识，根据题意得，
点坐标为 ，将 点坐标 代入抛物线的解析式为 即可求得抛物线的解析式，令
即可求得点 的坐标，从而可求出 的长，解题的关键是求出抛物线的解析式，从而求出点 的坐标．
解：∵ ， 是半圆的直径，
∴ 点坐标为 ， 点坐标为 ，将 点坐标 代入抛物线的解析式 ，
得， ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时， ，
∴ 点坐标为 ，
，
，
故答案为： ．
【变式3】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在 中， 为直径， ，点 、点 均
在 上， ，将点 沿直线 翻折，翻折后点 的对应点为点 ，若 ，则 的长为
．
【答案】 或
【分析】本题考查了对称的性质，以及勾股定理的应用，连接 ，根据由折叠的性质得出 或
12，进而求得 ，由勾股定理求得 ，然后根据勾股定理即可求得 的长．
解：连接 ，
∵将点 沿直线 翻折， ，
∴ ， ，点 在直线 上，
∵ 为直径， ，
∴ ，
当点 在线段 上时，如图，∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 中， ，
∴ 中， ，
当点 在线段 外时，如图，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 中， ，
∴ 中， ，
综上所述， 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【题型2】垂径定理及推论【例2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知 的半径长为1， 、 是 的两条弦，且
， 的延长线交 于点D，连结 ， ．
(1)求证： ．
(2)当 时，求 的度数．
(3)当 是直角三角形时，求B、C两点之间的距离．
【答案】(1)见解析；(2) ；(3) 或 .
【分析】（1）根据 证明 即可；
（2）由（1）得： ，则 ，又由 可得
，在 中，根据三角形内角和定理可得 ，由此可得
，即 的度数为 ．
（3）分两种情况：①当 时，可得 是等边三角形，则 中， ，
，则可得 ， ，则 ；②当 时，可得
．
解：（1）在 和 中，
， ， ，
．
（2）由（1）得： ，
，
，
，在 中， ，
即 ，
，
，
∴ 的度数为 ．
（3）①当 时，如图：
， ，
，
，
是等边三角形，
在 中， ， ，
，
，
．
②当 时，如图：
是等腰直角三角形，
．
综上， 或 ．【变式1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，以 为
直径作 ．将矩形 绕点C旋转，使所得矩形 的边 与 相切，切点为E，边 与
相交于点F，则 的长为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【分析】连接 并延长交 于点H，可证四边形 是矩形，再根据勾股定理和垂径定理即可求得
的长．
解：如图，连接 并延长交 于点H，
∵矩形 绕点C旋转得矩形 ，
∴ ， ，
∵边 与 相切，切点为E，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ， 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理，得∴ ．
故选：B．
【点拨】本题考查了垂径定理、旋转的性质．矩形的判定以及性质，切线的性质，勾股定理，作出辅佐
线，利用垂径定理求值是解题的关键．
【变式2】（24-25九年级上·重庆江北·阶段练习）如图， 是 的直径，点 ， 在圆上，且 经
过 中点 ，连接 并延长，与 的延长线相交于点 ，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意易得 ，即 ，则有 ，进而可得 ，
然后根据三角形外角的性质是可进行求解．
本题主要考查垂径定理的推论及圆周角定理，熟练掌握垂径定理的推论及圆周角定理是解题的关键．
解：∵ 经过 中点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【变式3】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中， 过原点 ，交 轴，
轴分别于点 ．若点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．【答案】
【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，矩形的判定和性质，坐标于图形，全等三角形的判定和性质
的综合，根据题意，如图所示，连接 ，过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，可得四边形
是矩形， ，则 ，由勾股定理可得 的值，再证
，可得 ，由此即可求解．
解：如图所示，连接 ，过点 作 轴于点 ，作 轴于点 ，
∴四边形 是矩形，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，则 ，
在 中， ，
∵ 是圆的半径，
∴ ，
在 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
【变式4】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图， ， 是半径为 的 的两条弦， ，
， 是直径， 于点 ， 于点 ， 为 上的任意一点，则 的最小
值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，垂径定理，勾股定理，熟知“两点之间线段最短”是解答
此题的关键．由于A、B两点关于 对称，因而 ，即当B、C、P在一条直线上时，
的最小，即 的值就是 的最小值．
解：连接 ，作 垂直于 于H．
∵ ， ， 是直径， ， ，∴ ， ，四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
，
在 中根据勾股定理得到 ，
即 的最小值为 ．
故答案为： ．
【题型3】弧、弦、圆心角、弦心距关系
【例3】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 是 的弦，半径 ，垂足为
，交 延长线于点 ．
(1)求证： 是 的中点；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】本题考查垂径定理，弧，弦，角之间的关系，勾股定理．掌握相关知识点，是解题的关键．
（1）垂径定理，得到 ，进而得到 ，根据等边对等角结合等角的余角相等，得到
，进而得到 ，即可得到 ，即可；
（2）勾股定理求出 ，设 ，再利用勾股定理进行求解即可．
解：（1）证明：如图，连接 ．是 的弦，半径 ，
是 的中点．
．
．
．
，
．
， ．
．
．
．
即 为 的中点．
（2）如图，连接 ．
半径 ，垂足为 ， ，
．
是 的中点， ，
．
．
在 中， ．
设 ，则 ，
．
，即 的半径为 ．【变式1】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图， ， ， ， 是 上的点， ，下列结论
中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系，根据圆心角，弦，弧之间的关系逐项排除即可，熟练
掌握知识点是解题的关键．
解： 、∵ ，
∴ ，不符合题意；
、∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，不符合题意；
、不能保证 ，符合题意；
、∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，不符合题意；
故选： ．
【变式2】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图， 的直径 ，半径 ，点 在弧
上， ， ，垂足分别为 、 ，若点 为 的中点，弧 的度数为 ．【答案】60°/ 度
【分析】本题考查了矩形的性质，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定；连接 ，交 于点
，进而得出四边形 是矩形，结合已知条件证明 是等边三角形，即可求解．
解：如图所示，连接 ，交 于点 ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴
∵点 为 的中点，
∴
∴
∴ 是等边三角形，
∴ ，即弧 的度数为60°
故答案为：60°．
【题型4】圆周角
【例4】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， 是 的直径， ，点 是半圆上一动
点，且与点 分别在 的两侧．
(1)如图1，若 ，求 的度数；
(2)求证： ．【答案】(1) (2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，根据题目的已知
条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）连接 ，利用直径所对的圆周角是直角求出 ，从而可得 ，再根据
已知 ，求出 ，进而求出答案；
（2）过点 作 ，交CD的延长线于点 ，利用手拉手模型﹣旋转性全等，证明 ，
从而可得 ， ，进而得到 是等腰直角三角形，即可解答．
解：（1）连接 ，
∵BD是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
（2）证明：过点 作 ，交CD的延长线于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ （ASA），
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式1】（2024九年级上·浙江·专题练习）如图， ， 是 的直径，弦 ，连结 ，
，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出 解答．根据平行线的性质得出
，进而利用圆周角定理解答即可．
解： 弦 ，
，
由圆周角可知， ，
，
，
，
，
故选：A
【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知 的半径是4，C，D是直径 同侧圆周
上的两点， ， ，动点P在 上，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，轴对称-最短路线问题，解决线路最短问题的方法是：作出其中某
一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点的线段即为最近距离．依据是利用垂直平分线性质转移线
段，利用两点之间线段最短求最近距离．首先要确定点P的位置，作点C关于 的对称点F，连接 ，
交AB于点P，则点P即为所求作的点．且此时 的最小值为 ，由直角三角形性质及勾股定理
即可求得最小值．
解：如图，作点D关于 的对称点F，连接 ，与 交于点P，连接 ．∴ ，
∴ ，
∴ 的值就是 的最小值．
延长 ，与圆O交于点E，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∴弧 的度数为： ，
∵ ，
∴弧 的度数为 ，
∴弧 的度数为 ，
∴弧 的度数为： ，
∴ ，
又∵ 是直径，
∴ ，
∵ 的半径为4，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
即 的最小值为 ．
故答案是： ．
【题型5】圆的有关性质综合
【例5】（23-24九年级上·陕西榆林·期末）【定义新知】
如图1， ， 是 上两点，且在直径 的上方，若直径 上存在一点 ，连接 ， ，满足，则称 是 的“幸运角”．
【问题探究】
（1）如图2， 是 的直径，弦 ， 是 上的一点，连接 交 于点 ，连接 ．
① 是 的“幸运角”吗？请说明理由；
②设 所对的圆心角为 ，请用含 的式子表示 的“幸运角”的度数；
【拓展延伸】
（2）如图3，在（1）的条件下，若直径 ， 的“幸运角”为 ， ，求 的长．
【答案】（1）① 是 的“幸运角”，理由见解析；② 的 “幸运角”度数为n；（2）
或
【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形性质，解题的关键是作辅助线．
（1）①根据 是 的直径，弦 ，可得 ，从而得到 结合等腰三角形底边上
三线合一即可得到答案；
②根据圆周角定理可得， ，结合 可得 结合内外交关系即可得到答
案；
（2）连接连接 ， ，由（1）可得 ， ， ，即可得到 、
，设 ，则有 ，根据“幸运角”为 结合勾股定理即可得到答案．
解：（1）① 是 的“幸运角”，理由如下：
是 的直径，弦 ，
，，
，
，
，
，
是 的“幸运角”；
② 所对的圆心角为 ，
，
，
，
，
的 “幸运角”度数为n；
（2）如图，连接 ， ，
的“幸运角”为 ，
， ， ，
，
，
，
，
，
设 ，则有 ，，
解得： ， ，
或 ．
【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）中国的车轮制造，自古就有完备的标准体系．《周礼·考工记》记
载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸……”如图，某学习小
组通过以下方式探究某个残缺车轮的半径：在车轮上取 两点，设 所在圆的圆心为 ，经测量：弦
，过弦 的中点 作 交圆弧于点 ，且 ，则该车轮的半径等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确做出辅助线是解题关键．连接 ，设 的
半径为 ，根据垂径定理可得 三点共线，进而可得 ， ，在
中，由勾股定理得解得 的值，即可获得答案．
解：如图，连接 ，设 的半径为 ，
∵ 为 的中点且 ，
∴ 三点共线，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得 ，即 ，解得 ，
即该车轮的半径等于 ．
故选：D．
【变式2】（2024·广东中山·三模）如图，量筒的液面 呈凹形，近似看成圆弧，读数时视线要与
液面相切于最低点C（即弧中点）．小温想探究仰视、俯视对读数的影响，当他俯视点C时，记录量筒
上点D的高度为 ；仰视点C（点E、C、B在同一直线），记录量筒上点E的高度为 ，若点
D在液面圆弧所在圆上，量筒直径为 ，则平视点C，点C的高度为 ．
【答案】 /
【分析】作出图形，证明 是 的直径，由垂径定理得 ，求得 的直径为14，再根据三角
形中位线定理结合勾股定理即可求解．
解：如图，连接 ， 交 于点 ，
∵ ，
∴ 是 的直径，由垂径定理得 ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的直径为14，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点F的高度即点C的高度为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理和勾股定理．垂径定理等知识，作出图形是解题的
关键．
【题型6】点和圆的位置关系
【例6】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在三角形 中， ， ， ，
是高线， 是中线．
(1)以点A为圆心，3为半径作圆A，则点 ， ， 与圆A的位置关系如何？
(2)若以点A为圆心作圆A，使 ， ， 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆A的半
径 的取值范围？【答案】(1)点 在圆A上，点 在圆A内， 在圆A外；(2)
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，掌握通过圆心与点的距离和半径的大小关系判断点
与圆的位置关系是解题的关键；
（1）先利用勾股定理计算出 ，再利用等面积法求出 ，然后根据点与圆的位置关系进行判
断即可；
（2）使 ， ， 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，根据 ， ， 可
知，C必定在圆外，D必定在圆内，据此求出半径范围即可．
解：（1） ， ， ，
，
，
，
半径 ，
， ， ，
点 在圆A上，点 在圆A内， 在圆A外；
（2） 使 ， ， 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外， ， ， ，
，即 ，
圆A的半径 的取值范围为 ．
【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知 是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若
圆的半径是5，则 的面积是（ ）
A．32或16 B．32或8 C．8或16 D．24或32
【答案】B【分析】本题考查了三角形的外接圆，等腰三角形的性质和勾股定理等知识的综合应用，分类讨论是解
答本题的关键；已知 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边 的垂线 ，则
所在直线必过圆心O；在 中，由勾股定理可求出 的长，进而可求出 的面积，需注
意本题的 分锐角和钝角三角形两种情况．
解：如图①，过A作 于D，则 必过点O，连接 ，
在 中， ，
由勾股定理得： ，则 ，
；
如图②，
同（1）可求得 ，则 ，
，
综上， 的面积是32或8，
故选：B．
【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，E是 的外心，P，Q分别是 ， 的中点，连接 ， ，交 于F，D两点．若 ， ， ，则 的周长为 ．
【答案】12
【分析】本题考查三角形的外心，垂直平分线的性质，三线合一，先根据已知条件证明 垂直平分 ，
垂直平分 ，进而得出 ， ，等量代换即可求解．
解：如图，连接 ， ，
E是 的外心，
，
P，Q分别是 ， 的中点，
， ，
垂直平分 ， 垂直平分 ，
， ，
的周长 ，
故答案为：12．
【题型7】直线和圆的位置关系
【例7】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知 的斜边 ，直角边 ，以点 为圆心
作 ．
(1)当半径 为________时，直线 与 相切；
(2)当 与线段 只有一个公共点时，半径 的取值范围为________；
(3)当 与线段 没有公共点时，半径 的取值范围为__________．
【答案】(1) ； (2) 或 ；(3) 或 ．【分析】（ ）如图作 于 ，求出 的值即可判断；
（ ）当 与线段 只有一个公共点时，半径 的取值范围为 或 ；
（ ）当 与线段 没有公共点时，半径 的取值范围为 或 ，
本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
解：（1）如图作 于 ，
在 中， ， ， ，
∴由勾股定理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴当半径 时，直线 与 相切，
故答案为： ；
（2）观察图形可知，
当 与线段 只有一个公共点时，半径 的取值范围为 或 ，
故答案为： 或 ；
（3）观察图形可知，
当 与线段 没有公共点时，半径 的取值范围为 或 ，故答案为： 或．
【变式1】（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，
以OA为直径在x轴上方作半圆，直线l的解析式为 ，若直线l与半圆只有一个公共点，则t
的值是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查圆的切线，一次函数的图象和性质，直线l与x轴的夹角为 ，与半圆相切时，与半
圆只有一个公共点，画出示意图，求出直线l与x轴的交点坐标，即可求解．
解：如图，当直线l： 与半圆相切时，与半圆只有一个公共点，设圆心为B，切点为C，直
线l与x轴的交点为D，连接 ，
点A的坐标为 ，
点B的坐标为 ，
，
直线l与半圆相切，
，
直线l： 与x轴的夹角为 ，
是等腰直角三角形，，
，
点D在x轴的负半轴，
点D的坐标为 ，
将 代入 ，得 ，
解得 ．
故答案为： ．
【变式2】（2021·四川成都·一模）如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出
发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若 ，则
PC长的最小值为 ．
【答案】
【分析】先证明 ，得出 ，证出 ，得出点P在以AB为直径的
圆上运动，运动路径一条弧 ，连接OC交圆O于P，此时PC最小， ，由勾股定理求出
，得出 即可．
解：由题意得： ，
∵四边形ABCD是正方形，
，
在 和 中，，
，
，
，
，
，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧 ，是这个圆的 ，如图所示：
连接OC交圆O于P，此时PC最小，
，
，
由勾股定理得： ，
；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定
理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键．
【题型8】切线的性质与判定综合
【例8】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在同心 ，大 的直径 交小 于 、 ，大
的两弦 、 交于 ，且 ， ，弦 与小 切于 ，过 作 于
．小 的半径为 ．
(1) 的长为__________；(2)试问弦 与小 是什么位置关系？请证明你的结论；
【答案】(1) (2)相切，证明见解析
【分析】本题考查切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，垂径定理等知识
点．掌握圆的基本性质是解题的关键．
（1）根据切线的性质得 ，证明四边形 是矩形，即得得解；
（2）过 作 于 ，连接 ，根据垂径定理得出 ，证明 ，即可证明
为小 的半径，证出 与小 相切．
解：（1）连接 ，
∵弦 与小 切于 ，小 的半径为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：相切．
证明：过 作 于 ，连接 ，∵ ， ， ，
，
，
，
∴ ，
即 为小 的半径，
∴ 与小 相切．
【变式1】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图， 为 的直径 延长线上的一点， 与 相
切，切点为 ，点 是 上一点，连接 ．已知 ．下列结论：（1） 与 相切；
（2）四边形 是菱形；（3） ；（4）弧 弧 ．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，
熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
（1）利用切线的性质得出 ，进而得出 ，即可得出 ，
得出答案即可；
（2）利用（1）所求得出： ，进而求出 ，即可得出答案；
（3）利用全等三角形的判定得出 ，进而得出 ；
（4）利用四边形 是菱形，即可得到 ，弧 弧 ．
解：（1）连接 ， ，与 相切，切点为 ，
，
在 和 中，
，
，
，
与 相切，故（1）正确；
（2）由（1）得： ，
在 和 中，
，
，
，
，
四边形 是菱形，故（2）正确；
（3）连接 ，
，
，
是 直径，
，
在 和 中，，
，
，
，
，
，
，
，
是 的直径， 不是直径，
，
，故（3）错误；
（4）由（2）证得四边形 是菱形，
，
弧 弧 ，
故（4）正确；故选：C
【变式2】（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图， 是 的弦， 是 的切线．若
，则 ．
【答案】
【分析】此题重点考查圆的切线的性质、圆周角定理、多边形的内角和等知识，接 、 ，由切线的
性质得 ，再由圆周角定理求得 ，则 ，
于是得到问题的答案．
解：连接 、 ，与 相切于点 ， 与 相切于点 ，
， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【题型9】切线长定理
【例9】（23-24九年级上·湖北·周测）已知：如图，抛物线 经过原点 和
三点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)设抛物线与 轴的另一个交点为 ．以 为直径作 ，如果过抛物线上一点 作 的切线 ，
切点为 ，且与 轴的正半轴交于点 ，连接 ．已知点 的坐标为(0,m)，求四边形 的面积．
（用含 的代数式表示）
(3)延长 交 于点 ，连接 ，当点 在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得
？请求出此时点 的坐标．【答案】(1) (2) (3) 或
【分析】（1）将O、A、B三点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，从而确定抛物线的
解析式；
（2）先求得点C的坐标，再根据切线长定理可得到 ，根据“SSS”可证得 ，则
它们的面积相等，因此四边形EOMD的面积其实是 的面积的2倍，以OM为底，OE为长可求出
的面积，即可得到四边形EOMD的面积表达式；
（3）在 中， ，所以 和 等底同高，它们的面积相等，由此可证得 与
的面积相等，由于这两个三角形共用底边OM，则 轴，根据OM的半径即得到直线PD的
解析式，联立抛物线的解析式即可求出P点的坐标．
解：（1）解： 抛物线 经过原点 和 三点，
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解： 抛物线的解析式为 ，当 时， 或 ，
抛物线与 轴的另一个交点为 ．
的半径为2，即 ，
都是OM的切线，点 的坐标为(0,m)，
，
又 ，
，
；（3）解： 在 中， ，
和 等底同高，
，
设点D的坐标为 ，
，
当 时，即 ， ，
，这两个三角形共用底边 ，
此时 轴，
又 为切线，
点D的坐标为 ，
点P在直线 上，设点P的坐标为 ，
点P在抛物线 上，
，
解得 ，
当 时，点P的坐标为 或 ．
【点拨】此题是二次函数与圆的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式、全等三角形的判定和性
质、切线长定理、函数图象与坐标轴的交点及图形面积的求法等重要知识．注意能够发现 、
的面积关系，从而得到直线 轴的位置关系是解题的关键．
【变式1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在 中， ，其内切圆分别
与 相切于点D、E、F，若 ， ，则 的长为（ ）A．2 B．4 C．5 D．3
【答案】A
【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理、勾股定理等知识．根据切线长定理得：
，再利用勾股定理列方程可得 的长．
解：∵ 的内切圆分别与 相切于点D、E、F， ， ，
，
，
，
，
解得： （舍）或2，
故选：A．
【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图， ， 是 的切线，切点为 ，点
在 上，若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连
接AD，由圆的内接四边形的性质可得 ，进而可得 ，再根据切线长定理
可得 ，即得 ，最后根据三角形内角和定理即可求解，正确作出辅助线是解
题的关键．
解：连接AD，∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ， 是 的切线，切点为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【题型10】正多边形和圆
【例10】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形 内接于 ，M为弧 中点，连
接 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、
弦的关系定理是解题的关键．（1）根据正方形的性质得到 ，根据圆心角、弧、弦的关系得到 ，得到 ，即
可得到结论；
（2）连接 ，根据正方形的性质求出 和 ，计算即可．
解：（1）∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ．
∵M为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）连接 ．
∵四边形 是正方形，
∴ ．
∵M为弧 的中点，
∴ ，
∴ ．
【变式1】（24-25九年级上·山东滨州·开学考试）正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的
比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是正多边形和圆，画出图形，连接 ，连接 并延长交 于点 ，得到直角三
角形 ，利用 角所对的直角边等于斜边的一半，得到 ，然后求出 与 的关系，计算 ，
与 的比，正确画出图形得到相应关系是解题的关键．解：如图，画出图形，连接 ，连接 并延长交 于点 ，得到直角三角形 ，则 ，
，
是 边上的高 ， ，
．
．
即正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为 ．
故选：A．
【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著
名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．“割圆术”孕育了微积分思想，
他用这种思想得到了圆周率 的近似值为3.1416，如图， 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正
八边形面积近似估计 的面积，可得 的估计值为 ，若用圆内接正六边形近似估计 的面积，可
得 的估计值为 ．（结果保留根号）
【答案】 /
【分析】本题考查了正多边形与圆的综合，掌握等边三角形的判定及性质、含 30°角的直角三角形的特
征是解题的关键．
连接 、 ， 作 于 ，利用正多边形的性质得 ，再根据等边三角形的判定及性
质得 进而可得 ，再利用割补法求得正六边形的面积，进而可求解．解：连接 、 ， 作 于 ， 如图：
∵六边形 是正六边形，
，
，
，
，
，
∴ ，
，
，
∴ 的估计值为
故答案为： ．
【题型11】利用弧长公式求值
【例11】（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，
在 中， ．将 绕点 逆时针旋转，得到 ，若点 的
对应点 恰好落在线段 上，则点 的运动路径长是多少？（结果用含 的式子表示）．【答案】
【分析】本题考查了含 角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，弧长的计算，解题的关键是
明确点 的运动轨迹．根据旋转的性质得到点 的运动路径是 圆弧的长度，根据弧长公式计算即可．
解：
解：以 为圆心作圆弧 ，如图所示，在 中， ，
，
，
，
将 绕点 逆时针旋转，得到 ，
，
，
是等边三角形，
，
将 绕点 逆时针旋转，得到 ，
，
点 的运动路径长为
【变式1】（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，在 中， ， ，现以三
角形的一条边为直径作圆，圆与另外两条边所在的直线交于点D，E（D，E不与 的顶点重合），则 的长为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或2π D． 或
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的性质等，分两种情况讨论，作出图形，根据
等腰三角形的性质，利用圆周角定理求得∠DOE的度数，然后求得圆O的半径，利用弧长公式求得即可．
解：如图1，以 为直径作 ，交 于D，交 、 的延长线于点D、E，连接 、 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，O是 的中点，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图2，以 为直径作 ，交 于D，交 的延长线于E，连接 、 ，∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上， 的长为 或 ，
故选：A．
【变式2】（2023·河南新乡·二模）如图，将矩形 绕点 逆时针旋转 得到矩形 ，点
的对应点 恰好落在边 上，若 的长为 ，则 的长为 ．
【答案】2
【分析】连接 ， ，由旋转可知 ，根据弧长公式得 ，得 ，
在 中，根据勾股定理得 ，即 ，即可求出 ．
解：如图，连接 ， ，由旋转可知
∵ 的长为 ，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
∴
∴
在 中， ，
，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了弧长的计算，矩形的性质和旋转的性质，熟记公式是解题的关键．
【题型12】利用扇形公式求值
【例11】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为 ，
．将 绕圆心O逆时针旋转至 ，点 在 上，求边 扫过区
域（图中阴影部分）的面积．
【答案】
【分析】本题考查旋转和含 角的直角三角形的性质以及扇形的面积公式．根据题意结合图形可知
是解题关键．
根据旋转和含 角的直角三角形的性质，可求出 和 的长度，再结合图形，即可求出阴影部分面积．
解：如图可知 ，
∵ ， 是由 绕圆心O逆时针旋转得到，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
．
【变式1】（2024·山西·模拟预测）如图，正六边形 的边长为4，以A为圆心， 的长为半径
画弧，得 ，连接 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】本题主要考查正六边形的性质和扇形的面积计算，连接 ，过点B作 ，先计算正六
边形的面积，再计算扇形的面积，相减即可得出答案．
解：连接 ，过点B作 ，如图，
∵正六边形 的边长为4，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴
同理可证， ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴图中阴影部分的面积为
故选：A
【变式2】（2023·福建莆田·模拟预测）如图，以锐角 的三条边为直径作圆．如果三角形外的阴
影部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则 的面积为 ．【答案】
【分析】本题考查了扇形的面积的计算，圆的面积的计算，正确的识别图形找出各图形之间的关系是解
题的关键． 设 外的6个小弓形的面积和为
，观察图形得到 外的3个半圆的面积和 三角形外的阴影部分总面积 外的3个半圆的
面积和 ，得到 的面积 (另外3个半圆的面积和 三角形内部的深色阴影部分面积)，于
是得到答案
解：设 外的6个小弓形的面积和为 ，
外的3个半圆的面积和 三角形外的阴影部分总面积 外的3个半圆的面积和 ，
∴ 的面积 (另外3个半圆的面积和 三角形内部的深色阴影部分面积)
[另外3个半圆的面积和 ( 外的3个半圆的面积和 ) ]
；
故答案为∶ ．
【题型13】求圆的不规则图形面积
【例13】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）（1）课本再现：如图 ， ， 是 的两条切线，
切点分别为 ， ．则图中的 与 ， 与 有什么关系？请说明理由，
（2）知识应用：如图， 、 、 分别与 相切于点 、 、 ，且 ，连接 、 ，
延长 交 于点 ，交 于点 ，过点 作 交 于 ．
①求证： 是 的切线；②当 ， 时，求 的半径及图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②半径是 ，图中阴影部分的面积是
【分析】本题考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的
证明与性质，圆中的相关面积计算等．
（1）连接 和 ，根据切线的性质，可得 ，即可得出结论；
（2）①根据题意求证 ，即可得出 ，即可得出答案；②根据
，求出 的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案．
解：（1）证明：如图 ，连接 和 ，
和 是 的两条切线，
， ．
又 ， ．
，
， ．
（2）①证明： 、 、 分别与 相切于点 、 、 ，
、 分别平分 、 ．
又 ．
．
．
又 ，
，又 经过半径 的外端点 ，
是 的切线．
②解：连接 ，则 ，
， ，
∴ ，
∴ ，
，
即⊙O的半径为 ．
∴
综上所述： 的半径是 ，图中阴影部分的面积是 ．
【变式1】（2024·河南周口·三模）如图，边长为 的等边三角形 的外心为点G，以点G为圆
心， 长为半径作半圆 ，直径 交 于点D，以 为邻边作矩形 交半圆于点E，将
半圆在 下方的部分沿 向上翻折，使得点F与点G重合，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．【答案】A
【分析】题目主要考查特殊图形的面积，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等，理解题意，
做出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
连接 ，根据题意及勾股定理确定 ，再由等边三角形及菱形的判定证明四边形 为菱形，
确定阴影部分的面积和即为 得面积，即可求解．
解：连接 ，如图示：
∵边长为 的等边三角形 ，矩形 ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为菱形，
∴阴影部分的面积和即为 得面积，
∴ ，故选：A．
【变式2】（2024·广东·模拟预测）如图，已知正六边形 的边长为2，分别以顶点C，E为圆心，
正六边形边长为半径画 ，两弧的交点为O，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正六边形的性质、扇形的面积、等边三角形的判定与性质等知识点，连接
，作 ，可推出四边形 是菱形；根据正六边形的性质可得 ，进一
步推出 均为等边三角形；根据阴影部分的面积 即可求解．
解：连接 ，作 如图所示：
由题意得： ，
∴四边形 是菱形，
∵ 是正六边形，
∴ ，
∴ ，
∴ 均为等边三角形，
∴∴
∴阴影部分的面积 ，
故答案为：
第三部分【中考链接与拓展延伸】
【题型1】直通中考
【例1】（2024·山东德州·中考真题）如图，圆 与 都经过A，B两点，点 在 上，点C是
上的一点，连接 并延长交 于点P，连接 ．
(1)求证：
(2)若 ， ．
①求 的半径； ②求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析 (2)①2 ②
【分析】对于（1），连接 ，在 中，先根据同弧所对的圆周角相等得 ，然后
在 中，根据圆周角定理得 ，可得答案；
对于（2）①，由 结合（1），可得 ，再连接 ，作 ，可
得 ， ，进而得出 ，然后在 中，根据 得
出答案；对于②，先说明 是等边三角形，即可求出其面积，在 中，求出弓形的面积，然后根据
得出答案．
解：（1）如图所示． 连接 ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ；
（2）①，∵ ，
∴ ．
连接 ，过点 作 ，交 于点D，
∴ ， ，
∴ ．
在 中， ，
即 ，
∴ ，
所以 的半径是2；②∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ 垂直平分 ， 垂直平分 ，
∴点 三点共线．
在 中， ，
在 中， ．
在 中， 上标点 ， ．
在 中，
．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质和判定，勾股定理，余弦，求
扇形的面积，等边三角形的性质和判定，构造辅助线是解题的关键．
【例2】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图， 中， ，点 为 边上一点，以点为圆心， 为半径作圆与 相切于点 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）连接 ，根据题意可得 ，根据余角的性质可得 ，根据圆周角
定理可得 ，等量代换即可得证；
（2）在 中，勾股定理求得 ,证明 ，设 的半径为r，则
， ，在 中， ，解方程即可求解．
解：（1）证明：如图，连接 ，
∵AB为切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：在 中， ，
∵ ，
在 和 中， ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 的半径为r，则 ， ，
在 中， ，
解得 ，
∴ 半径的长为3
【点拨】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上
知识是解题的关键．
【题型14】拓展延伸
【例1】（24-25九年级上·江苏南京）已知 的两边分别与 相切于点A，B， 的半径为r．
(1)如图1，点C在点A，B之间的优弧上， ，求 的度数；
(2)如图2，点C在圆上运动，当 最大时，要使四边形 为菱形， 的度数应为多少？请说明
理由；
(3)若 交 于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．
【答案】(1) (2)当 时，四边形 是菱形 (3)阴影部分的周长
【分析】（1）连接 ，由切线的性质可求 ，由四边形内角和可求解；
（2）当 时，四边形 是菱形，连接 ，由切线长定理可得
，由“ ”可证 ，可得 ，
可证 ，可得四边形 是菱形；（3）分别求出 的长，由弧长公式可求 ，即可求解．
解：（1）解：如图1，连接 ，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图2，当 时，四边形 是菱形，
连接 ，
由（1）可知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点C运动到 距离最大，
∴ 经过圆心，
∵ 为 的切线，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（3）解：∵ 的半径为r， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 的长度 ，
∴阴影部分的周长 ．
【点拨】本题考查圆的综合应用，掌握圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，切线长
定理，弧长公式，菱形的判定等知识，灵活运用这些性质是解决本题的关键．
【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图1， 是 的直径，点D为 下方 上一点，
点C为 的中点，连结 ．
(1)求证： 平分 ．
(2)如图2，延长 相交于点E，
①求证： ．
②若 ， ，求 的半径．【答案】(1)见详解
(2)①见详解；② 的半径为5
【分析】（1）由点C为 的中点，得 ，所以 ，由垂径定理得 ，即可根据
等腰三角形的“三线合一”证明 平分 ；
（2）由 是 的直径，得 ，由 ，得 ；
（3）连接 ，则 ，由 ， ，由平行线的性质得 ，则
，所以 ，而 ，则 ，所以 ，设 的半径为
r，则 ， ，由勾股定理得 ，求出符合题意的r值即可．
解：（1）证明： 点C为 的中点，
，
，
平分 ；
（2）①证明： 是 的直径，
，
，
，
；
②如图2，连接 ，则 ，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设 的半径为r，则 ，
，
，
，
，
整理得 ，
解得 （不符合题意，舍去），
的半径为5．
【点拨】本题考查了垂径定理、直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的判定、平行线的判定与性质、
等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、一元二次方程的解法等知识，此题综合性强，难度较大．
